带电粒子在磁场4（高中物理10大难点突破）中的运动

带电粒子在磁场4(高中物理10大难点突破)中的运动

三、带电粒子在长足够大的长方形磁场中的运动 例3、如图5所示，一束电子(电量为e)以

A

V d B 300 速度V垂直射入磁感强度为B，宽度为d的匀强磁场中，穿透磁场时速度方向与电子原来入射方向的夹角是30°，则电子的质量是 ，穿透磁场的时间是( )。

解析：电子在磁场中运动，只受洛仑兹力

O

V B 图5

作用，故其轨迹是圆弧的一部分，又因为f⊥V，故圆心在电子穿入和穿出磁场时受到洛仑兹力指向交点上，如图5中的O点，由几何知识知，AB间圆心角θ＝30°，OB为半径。 ∴r=d/sin30°=2d，又由r=mV/Be得m=2dBe/V

又∵AB圆心角是30°，∴穿透时间t=T/12，故t=πd/3V。 带电粒子在长足够大的长方形磁场中的运动时要注意临界条件的分析。如已知带电粒子的质量m和电量e,若要带电粒子能从磁场的右边界射出，粒子的速度V必须满足什么条件？这时必须满足r=mV/Be>d,即V>Bed/m.

四、带电粒子在正方形磁场中的运动

例4、长为L的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图6所示，磁感强度为B，板间距离也为L，板不带电，现有质量为m，电量为q的带正电粒子(不

O r1 l V 计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速

+q V l 图6

度V

A．使粒子的速度V5BqL/4m； C．使粒子的速度V>BqL/m； D．使粒子速度BqL/4m

解析:由左手定则判得粒子在磁场中间向上偏，而作匀速圆周运动，很明显，圆周运动的半径大于某值r1时粒子可以从极板右边穿出，而半径小于某值r2时粒子可从极板的左边穿出，现在问题归结为求粒子能在右边穿出时r的最小值r1以及粒子在左边穿出时r的最大值r2，

粒子擦着板从右边穿出时，圆心在O

r12＝L2+(r1-L/2)2得r1=5L/4，

又由于r1=mV1/Bq得V1=5BqL/4m,∴V>5BqL/4m时粒子能从右边穿出。

粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在O＇点，有r2＝L/4，又由r2

＝mV2/Bq=L/4得V2＝BqL/4m

∴V2

例5、核聚变反应需要几百万度以上的高温，为把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内（否则不可能发生核反应），通常采用磁约束的方

图7 法（托卡马克装置）。如图7所示，环状匀强磁场围成中空区域，中空区域中的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内。设环状磁场的内半径为R1=0.5m，外半径R2=1.0m，磁场的磁感强度B=1.0T，若被束缚带电粒子的荷质比为q/m=4×107C/㎏，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度。试计算

（1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度。

（2）所有粒子不能穿越磁场的最大速度。

解析：（1）要粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场，则粒子的临界轨迹必须要与外圆相切,轨迹如图8所示。

由图中知r12?R12?(R2?r1)2，解得r1?0.375m

BqrV12由BqV1?m得V1?1?1.5?107m/s

mr1 r1 图8

所以粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度为V1?1.5?10m/s。

7 O 2 O图9

（2）当粒子以V2的速度沿与内圆相切方向射入磁场且轨道与外圆相切时，则以V1速度沿各方向射入磁场区的粒子都不能穿出磁场边界，如图9所示。

由图中知r2?R2?R1?0.25m 2Bqr2V22?1.0?107m/s 由BqV2?m得V2?mr2所以所有粒子不能穿越磁场的最大速度V2?1.0?107m/s 六、带电粒子在有“圆孔”的磁场中运动

例6、如图10所示，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a、b、c和d，外筒的外半径为r，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感强度的大小为B。在两极间加上电压，使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场。一质量为ｍ、带电量为＋q的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝a的S

点出发，初速为零。如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点S，则两电极之间的电压U应是多少？（不计重力，整个装置在真空中）

解析：如图11所示，带电粒子从S点出发，在两筒之间的电场作用下加速，沿径向穿过狭缝a而进入磁场区，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动。粒子再回到S点的条件是能沿径向穿过狭缝d.只要穿过了d，粒子就会在电场力作用下先减速，再反向加速，经d重新进入磁场区，然后粒子以同样方式经过c、b，再回到S点。设粒子进入磁场区的速度大小为V，根据动能定理，有

qU?1mV2 2a d S o c 图11

d a S o c b 图10

设粒子做匀速圆周运动的半径为R，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律，有

b V2BqV?m

R由前面分析可知，要回到S点，粒子从a到d必经过圆周，所以半径R必定等于筒的外半径r，即R=r.由以上各式解得;

B2qr2U?.

2m34七、带电粒子在相反方向的两个有界磁场中的运动

例7、如图12所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场。左侧匀强电场的场强大小为E、方向水平向右，电场宽度为L；中间区域匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。一个质量为m、电量为q、不计重力的带正电的粒子从电场的左边缘的O点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到O点，然后重复上述运动过程。求： （1） 中间磁场区域的宽度d;

（2） 带电粒子从O点开始运动到第一次

L d B B 回到O点所用时间t.

解析：（1）带电粒子在电场中加速，由动

能定理，可得： qEL?mV2 带电粒子在磁场中偏转，由牛顿第二定律，可得：

V2BqV?m

R12O E 图12

由以上两式，可得R?12mEL。

Bq

可见在两磁场区粒子运动半径相同，如图13所示，三段圆弧的圆心组成的三角形ΔO1O2O3是等边三角形，其边长为2R。所以中间磁场区域的宽度为

d?Rsin600?16mEL

2BqO

O3 600 O2 （2）在电场中

t1?2V2mV2mL， ??2aqEqET2?m? 33qB56O1 图13

在中间磁场中运动时间t2?在右侧磁场中运动时间t3?T?5?m， 3qB则粒子第一次回到O点的所用时间为

t?t1?t2?t3?22mL7?m。 ?qE3qB综上所述，运动的带电粒子垂直进入有界的匀强磁场，若仅受洛仑兹力作用时，它一定做匀速圆周运动，这类问题虽然比较复杂，但只要准确地画出轨迹图，并灵活运用几何知识和物理规律，找到已知量与轨道半径R、周期T的关系，求出粒子在磁场中偏转的角度或距离以及运动时间不太难。

带电粒子在磁场中运动情况的讨论

带电粒子在磁场中的运动问题是高三物理复习教学的重点、难点，也是历年高考的热点问题。要想在有限的考试时间内快速准确求解这类问题，需要有扎实的基础知识和较强的综合分析能力。如果能

掌握带电粒子在磁场中运动情况的基本类型及相关问题的解法，就可成竹在胸、从容应试。基于考纲要求，本文只讨论带电粒子（不计重力）在匀强磁场中垂直磁场方向的几种运动情况。

一、带电粒子在无界磁场中的运动（以下所画都是垂直磁场方向的截面图）

如图1，空间存在无边界的匀强磁场，磁感应强度为B，带电荷量为q、质量为m的带电粒子以垂直于B的速度v运动，它所受洛仑兹力提供向心力，作完整的匀速圆周运动。轨道半径为r、运动周期为T，则

得

若粒子从C点运动到D点所用时间为t，则

得

二、带电粒子在有界磁场中的运动 （一）有单平面边界的磁场

如图2，直线MN右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场。带电粒子由边界上P点以图示方向进入磁场，在磁场内做部分圆周运动，将以关于边界对称的方向从Q点射出。则有

几何关系：PQ＝

当＜900时，θ＞1800，轨迹为一段优弧，圆心在磁场中。

当＝900时，θ＝1800，轨迹为半圆周，圆心在线段PQ的中点。

当＞900时，＜ 1800，轨迹为一段劣弧，圆心在磁场外。 总结：这类问题中要特别注意出入磁场的速度方向关于边界对称的特点。更重要的是要能用“动态”的观点分析问题，即当粒子速度大小一定从P点进入方向变化时，粒子在磁场中的运动轨迹、运动时间、出磁场的位置都随之变化，但轨迹半径不变，所有可能轨迹的圆心应分布在以P点为圆心、为半径的半圆上。若带电粒子从P点射入时速度大小变化而方向一定时，粒子在磁场中的运动轨迹、轨迹半径、出磁场的位置都随之变化，但运动时间和偏转方向不变，所有可能轨迹的圆心应分布在PO及其延长线上。

（二）有平行双平面边界的磁场（只讨论粒子垂直边界进入磁场） 1．当

时（如图3中r1），粒子在磁场中做半圆周运动后由进入

边界的Q1点飞出磁场。则有

几何关系：PQ1=2r1

粒子运动方向改变180°。 2．当则有

时（如图中），粒子将从另一边界Q2点飞出磁场。

几何关系：

粒子运动方向改变。

总结：这类问题要特别注意粒子能否出另一边界的临界条件。还有正三棱柱面边界磁场、正四棱柱面边界磁场的问题，其分析方法与上面相似。

〔例题〕：如图4，有很多质量为m、电荷量为＋q的带电粒子以等大速度从P点沿垂直于磁场的不同方向连续射入磁感应强度为B、磁场宽度为d的匀强磁场中，求解下列问题：

要使粒子不从右边界射出，粒子速度大小应满足的条件是什么？

若粒子恰好不从右边界射出，这些粒子在磁场中所能到达的区域的面积是多少？

若所有粒子都从P点垂直左边界进入磁场并从右边界Q点射出，速度方向改变角，求粒子的速度大小和粒子的偏转距离？

解析：根据题意画出粒子运动轨迹如图4。

由牛顿第二定律得

要使粒子不从右边界射出，应有

联立①②式解得

若粒子恰好不从右边界射出，应有

此时粒子在磁场中所能到达的区域的面积为：

???????②

?????①

（3）设此时粒子速度为V2，轨迹半径为，由题意及几何知识得

故有

?????③

由牛顿第二定律得

联立③④式解得

粒子偏转距离为

????④

（三）有圆柱面边界的磁场（磁场方向与圆柱轴线平行） 1．带电粒子对准磁场圆心射入磁场

如图5所示，磁场圆半径为R，粒子轨迹圆半径为r，带电粒子从P点对准磁场圆心O射入，由几何知识容易证明粒子从Q点飞出的速度方向的反向延长线必过磁场圆心O点。则有如下关系：

物理关系：

几何关系：

，

，

，

特别地当时，，即粒子速度方向改变。

2．带电粒子不对准磁场圆心射入磁场

如图5所示，带电粒子从P点射入方向发生变化时，则轨迹圆心

的

位置随之变化。当粒子沿图6所示轨迹运动时，粒子在磁场中运动时间最长、方向偏转角最大。此时有：

联立以上四式可解得和，并由

讨论：

可求得入射方向角。

（1）由图6看出，在轨迹半径和运动方向偏转角一定的情况下，可实现此偏转的最小磁场圆即为以PQ为直径的圆。

（2）如图7所示，由几何知识很容易证明当

时，相同

带电粒子从P点沿纸面内不同方向射入磁场，它们离开磁场时的方向却是平行的。

总结：处理这类问题时一定要分清磁场圆和轨迹圆。再如圆环形磁场区域问题可参考（二）、（三）的分析方法求解。 〔例题〕在

平面内有许多电子（质量为、电量为），从坐标原

点不断以相同速率沿不同方向射入第一象限，如图所示。现加一个垂直于xoy平面向内、磁感应强度为B的匀强磁场，要求这些电子穿过磁场后都能平行于x轴向x轴正方向运动，求符合该条件磁场的最小面积。

解析：由题意可得电子在磁场中做半径为

的匀速圆周运

动。沿轴正方向射入的电子做圆周运动后从Q点离开磁场，联想图7所示特点，若存在一半径为R、圆心在O1圆形磁场区域即可到达题意要求年，如图8所示。显然，符合条件的最小磁场区域应是圆O1、A1相交的部分。所以：

。

从以上分析讨论看出，带电粒子在磁场中运动问题实质上就是利用磁场控制带电粒子的运动方向。解决这类问题的关键是找到带电粒

子运动轨迹的圆心，依据题意画出示意图，再综合运用物理规律和数学知识求解

同源带电粒子在有界磁场中的运动求解思路

带电粒子在匀强磁场中的运动是理科综合考试大纲中的II级要求，是近几年高考的热点问题。从同一离子源射出的带电粒子进入有边界的匀强磁场中的运动问题，更能考查学生的理解能力、分析综合能力、应用数学知识解决物理问题的能力。这类问题能很好的体现考试大纲对考生的能力要求。解决这类问题一般都要画出解题示意图，但往往由于有界磁场限制了思路而不能准确画出带电粒子的运动轨迹。如果把有界磁场扩大为无界磁场来考虑，问题将变得很简单。下面举例说明。

1. 同源等速异向带电粒子在磁场中的运动

例1. 如图1所示，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于纸面向里，PQ为该磁场的右侧边界线，磁场中有一点O，O点到PQ的距离为r。现从点O以同一速率将相同的带负电粒子向纸面内各个不同的方向射出，它们均做半径为r的匀速圆周运动，求带电粒子打在边界PQ上的范围。（粒子的重力不计）

分析：带电粒子的运动受到磁场右侧边界的限制，打在PQ上的范围不易确定。

2 r 图2

O 我们可以假设磁场没有边界PQ，很容易就得出所有带电粒子运动轨迹的范围，不同的带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径r是相同的，从O点向各个方向发射带电粒子，O为这些轨迹圆周的公共点，带电粒子能运动到的范围是以O点为圆心，2r为半径的大圆(虚线)，如图2所示。在这个基础上再将边界线PQ复原就可以得到带电粒子打在边界线上的范围，如图3。

需要注意的是打到边界线上的最上边的点是大圆（虚线）与PQ的交点，打到最下面的点是小圆与PQ的切点。实际上由于带电粒子都带负电，它们在纸面内都是做顺时针方向的匀速圆周运动，边界线右侧没有磁场，粒子穿出PQ线后已飞离磁场，边界右边的轨迹不可能存在，因此打到边界上的范围并不对称。

O1 O M P 2r O2 N 图3 Q 解：如图3所示， P点在以O1为圆心的圆上，过O点作PQ的垂线OM，在直角三角形OMP中，?OPM?300，则

粒子能到达边界线最下面的点的轨迹圆是以O2为圆心的圆，该圆正好与边界线PQ相切，N为切点。由图3的几何关系可知MN?r。

所以带电粒子打到边界线上的范围应是线段PN的长度，

PN?(3?1)r

2. 同源异速同向带电粒子在匀强磁场中的运动

例2. 如图4所示，A、B为水平放置的足够长

图4

的平行板，板间距离为d?1.0?10?2m，A板上有一电子源P，Q点为P点正上方B板上的一点，在纸面内从P点向Q点发射速度在0～

3.2?107m/s范围内的电子。若垂直纸面内加一匀强磁场，磁感应强度B?9.1?10?3T，已知电子的质量

，电子的电量

e?1.6?10?19C，不计电子的重力和电子间的相互作用力，且电子打

到板上均被吸收，并转移到大地，求电子击在A、B两板上的范围。

分析：本题中带电粒子的速度方向相同，速度大小不同，仍然是在有界磁场中的运动。

同上题一样，假设电子在无界匀强磁场中运动，根据左手定则可以判断：沿PQ方向以大小不同的速度射出的电子均做顺时针方向的匀速圆周运动，这些半径不等的圆均相内切于点P，并与PQ相切，它们的圆心都在过P点的水平直线上，如图5所示。设电子运动的最大

2mvvm轨迹半径为rm，洛仑兹力提供向心力：Bevm?m，所以rm?m

Berm

图5

代入数据得rm?2.0?10?2m，即rm?2d

B

Q M N A

P H

图6

在图5的基础上再加上与直线AP平行且间距为d的直线BQ，AP与BQ相当于磁场的两条边界线，如图6所示，只需画出半径分别是d和2d的两个特殊圆，所求范围即可求得。

B Q M N 随着速度不断增大，电子的运动半径也随之增大，这些电子运动半个圆后打到A板上，而当电子的运动半径增大到d即图6中的小圆

rm A P H 图7

时，圆正好与B板相切，切点为N，电子开始打到B板上，运动半径大于d的电子将被B板挡住，不再打到A板上，故此圆也是电子打到A板上最远点所对应的圆，这样电子打在A板上的范围应是PH段。

而从此刻开始，随着速度的增大，电子打到B板上的点逐渐向左移动，一直到电子的速度达到最大，此时电子打在图6中大圆与B板相交的位置M，这样电子打在B板上的范围是MN段。由图7，根据几何关系，有

2QM?PH?MH2?d2?rm?rm?d2?2d?(2d)2?d2?(2?3)d

代入数据QM?2.68?10?3m

QN?d?1.0?10?2m

PH?2d?2?10?2m

故电子击中A板P点右侧与P点相距0～2?10?2m的范围，即PH段；击中B板Q点右侧与Q点相距2.68?10?3m～1.0?10?2m的范围，即MN段。

3.小结

通过上面两个例题分析可知，求解带电粒子在有界磁场中的运动范围问题，可以假设磁场无限大，把有界磁场变成无界磁场，画出带电粒子的可能运动轨迹，确定带电粒子的运动范围后，根据题设要求再补画边界线，就可以得到所求的范围。

4.巩固练习

1. 如图8，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B=0.60T，磁场内有一块平面感光板ab，板面与磁场方向平行，在距ab的距离l?16cm处，有一个点状的?放射源S，它向各个方向发射?粒子，?粒子的速度都是

v?3.0?106m/s，已知?粒子的电荷与质量之比

q?5.0?107C/kg，现只ma l S 图8

b 考虑在图纸平面中运动的?粒子，求ab上被?粒子打中的区域的长度。

答案：PP12?20cm

2. 如图9（甲）所示，两水平放置的平行金属板C、D相距很近， 上面分别开有小孔O和O?，水平放置的平行金属导轨P、Q与金属板C、D接触良好，且导轨在磁感强度为B1=10T的匀强磁场中，导轨间

距L=0.50m，金属棒AB紧贴着导轨沿平行导轨方向在磁场中做往复运动，其速度图像如图（乙），若规定向右运动速度方向为正方向，从t=0时刻开始，由C板小孔O外连续不断以垂直于C板方向飘入质量为m=3.2×10-21kg，电量q=1.6×10-19C的带正电的粒子（设飘入速度很小，可视为零），在D板外侧有以MN为边界的匀强磁场B2=10T，MN与D相距d=10cm，B1与B2方向如图所示（粒子重力及其相互作用不计），求

（1）0到4.0s时间内哪些时刻发射的粒子能穿过电场并飞出磁场边界MN？

图9

（2）粒子从边界MN射出来的位置之间最大的距离为多少？

答案：（1）0.25s

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