角平分线、平行线、等腰三角形“知识板块”的应用

1.角平分线遇平行线出现等腰三角形。分a、b两种情形： a、 如图甲：一直线与角的一边平行 //OA??3??2?CD???1??3?DO?DC ?1??2? 等腰三角形DOCb、 如图乙：一直线与角的平分线平行

?? DE//OC???

2．等腰三角形与角平分线往往出现平行线 a、如图甲：等腰三角形的一腰与角的一边平行

CO?DC??1??3? ???2??3?CD//OA?1??2?

b、如图乙：等腰三角形的底边与顶角的外角平分线平行

?1??3????2??4???3??4?OD?OE??等腰三角形ODE??1??2?图甲

B

O 3 D

图乙 1 2 4 E

A

C

?OE??3??4?OD1???3??AOB???2?AOB??3??4? ? ??1??3?OC//DE1 ??1??AOB?2 ?3．等腰三角形与平行线往往出现角平分线

a、如图甲：与一腰平行 OA//DC??3??2????1??2 CO?DC??3??1?b、如图乙：与底边平行 OD?OE??3??4? ? ? 1 ? ? 3 ? ? 1 ??2??DE//OC?? ???2??4?

角平分线、平行线、等腰三角形关系密切，在题设中若见其一，应思其二，想其三；或作其二，寻找发现其三，这种解题思路方法往往能得到打开第一道大门的金钥匙，突破解题的一个难点，使一类题目变难为易成为可能，使学生对题目一看就会成为可能。这种思维方法称为“知识板块”思维。

角平分线、平行线、等腰三角形“知识板块”的应用举例：

例1、如图1：已知在△ABC中?ABC、?ACB的平分线交于点I，过点I作DE//BC，分别交AB、AC于点D、E。求证：DE=BD+CE。 A 证明：

DE//BC??2??3? 3???1???2??1?

D I E

3 ?BD?DI??DE?DI?IE?BD?CE1 ?2 同理：CE?EI?B C

例2、如图2：已知I是△ABC的内心，DI//AB交BC于点D，EI//AC交BC于E。求证：

A △DIE的周长等于BC。

证明：

DI//AB??1??3????3??2?DI?BD?1??2?I B

1 3 2 D

图（2） C E

同理：EI = CE。

∴△DIE的周长=DI + IE + ED = BC

例3、如图3：已知在△ABC中，?ABC的平分线与?ACB的外角平分线交于点D，DE//BC，交AB于点E，交AC于点F，求证：EF = BE—CF。

A 证明： //BC??2??BDE?DE???1??BDEE F D ?1??2?

?BE?ED1 3 4 B 2 同理：CF = FD C M ∴ EF = ED – FD = BE – CF

例1、 例2、例3都是由角平分线、平行线发现等腰三角形，并且同时出现两个，而这个

发现是突破此类问题难点的关键。

例4、平行四边形ABCD中，AB=3，BC=4，?ABC的平分线交AD于点E，?BCD 的平分线交AD于点F，BE、CF交于点G，FG=1。求：?A的度数。 解：

?AD//BC??2??5平行四边形ABCD???AD?BC?2??1??5??1

?????

??AE?AB??AE?3??AB?3????DE?AD?AE?1AD?BC????AD?4?BC?4??同理可证：DF = CD = AB = 3 ? AF = 1 ∴EF = AD －（AF + DE ）= 4 －2 = 2

?0平行四边形ABCD?AB//CD??ABC??BCD?180??1??2??ABC?2?1??3??BCD?2?

?2??3?900??BGC?900??EGF?900??????5?3001 ?FG?1,?FG?EF?2?

∴ ? 30 0 ∴ ?A?12001 ?评注：①此题关键在于利用角平分线、平行线发现两个等腰三角形，即△ABE和△DCF。

②利用平行四边形的对边相等，分别得到AF=DE=1。

③用平行线的同旁内角的平分线互相垂直得到RT△BGC，RT△BGF。 ④如果直角边为斜边的一半则直角边所对的角为300。 ⑤用三角形内角和定理得?A?120。

例5、在矩形ABCD中，AC与BD交于点O；DE平分?ADC，交BC于点E，?BDE=150，求?COE的度数。 A D 解：

0??矩形ABCD??ADC?90O 0 ??EDC?45??DE平分?ADC ???B ?BCD?900?C E

0??CED?450 ∴ CD?CE

??BDE?150??ODC?450?150?600?

?矩形ABCD?BD?AC??1?OD?BD??OD?OC2?1?OC?AC?2??CD?OC??0??OCD?600? ? ????等边△OCD

?? ? ?? ∴

CE?OC??COE??CED0

1800?300?750 ∵?OCE?90?60?30 ∴?COE?20评注：①矩形的对角线相等且相互平分，即矩形的对角线把矩形分成四个等腰三角形。

②有一个角为60度的等腰三角形为等边三角形。

③等腰三角形的一个底角=

11800?顶角。 2??④此题关键是

CD?OC???OC?CE。

CD?CE?0⑤此题内含“角平分线遇平行线出现等腰三角形CDE”。

例6、 在△ABC中，?CAB?90，A D⊥B C于点D ，点E在B C的延长线上，且

?CAE??B，AD=3，DE=4。求：CD：CE的值。

解：

AD?BC?RT?ADE?

? AD?3?AE? DE?4??32?42?5??1??3作DF//CA，交EA的延长线于点F????2??F??????BAC?900??B??4?900?????B??1????AD?BC??1??4?900???1??2?????B??2??

??3??F?AF?AD???AF?3AD?3?AFCD3DF//AC???AECE5

评注：①关键由?B??1,?B??2发现AC平分?DAE。

②作角平分线的平行线构造出等腰△ADF。

③由勾股定理求出AE=5，从而求出CD：CE的值。

例7、 如图：?BAC?900,AB?AC?1,BD是角平分线DE//BC，交AB于点E。求

DE之长。

A E B

1 2 AEAD?DE//BC???解：。 ABAC??AE?AD。

AB?AC??设AE=AD=x；则DE=2x

3 D C

DE//BC??2??3????1??3?BE?DE

?2??1?∴BE?∴

2x ∴AB?x?2x?1

?2?1x?1?x??12?1?2?1

∴DE?2?2

评注： ① 发现△AED仍为等腰直角三角形。 ② 由角平分线、平行线发现等腰△BED。 ③ 设未知数，列方程求出DE之长。（方程思想） 例8、 如图：已知Rt△ABC中，以AB为直径的⊙O交斜边

BC于点D，OE//BC交AC于点E。 求证：DE是⊙O的切线。

??1??3?DE//BD????2??B? 证明：???OB?OD??3??B????1??2??OA?OD???ODE??OAE??ODE??OAE?90?

OE公有??∴ED是圆O的切线。

评注：①只能利用定义证明直线与圆相切。

②由等腰三角形和平行线，发现角平分线得∠1=∠2。 ③利用全等三角形证等角，利用垂直证垂直。

例9、AB是⊙O的直径，BC是⊙O外一点。PB⊥AB，AC//OP交⊙O于C点。求证：PC是⊙O的切线。

P OC?OA??1??2??证明：连结，则??1??3?

AC//OP?????2??4??3??4???OP?OP???OPC??OPB OC?OB??C 1 A 2 3 4 O B ??PCO??PBO?0 ??PCO?90?0PB?AB??PBO?90??DC?PC?PC是圆O的切线。

【切线的判定方法：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线。】 评注：①由等腰△AOC的构造出现，进而可发现∠3 = ∠4。 ②利用直角∠B证明了∠P C O为直角。 ③具体判定直线与圆相切的两个判别方法： ⑴作垂足，垂足在圆上。

⑵连半径，证明半径的外端就是垂足。

例10、已知：AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线。切点为点B，DC是⊙O的切线。求证：OC//AD。 C OD?OA??1??A??证明:连结OD,则??1??2?

CD//AD?????A??3???2??3??OC公有???ODC??OBC OD?OB??5 D 1 A 2 3 4 O 6 B ??ODC??OBC?900?DC是圆O的切线。

评注：欲证相切，找垂直。利用直角证直角。

例11、如图：已知在梯形ABCD中，点O在AB上，半圆⊙O与AD、CD、BC相切，且AD = 5， BC = 3。求AB的长。

D C 解：（方法一）连结OC、OD

1 2 ?1??2?则有???2??3 3A AB//CD??1??3?B O ?OB?BC?3 同理：OA = AD = 5

∴AB = OA + OB = 5 + 3 = 8

（方法二）延长DA至E，延长CB至F，使AE=AD、BF=BC；连结EF，则EF//CD，且EF与⊙O相切。

1111则

AB?(EF?CD)?(DE?CF)?(2AD?2BC)?(10?6)?8 2222（圆外切四边形的对边之和相等）。

例12、已知P为⊙O外一点，通过作⊙O的两条割线，分别交⊙O于A、B和C、D点，且AB是⊙O的直径。已知PA=OA=4，AC=CD。⑴求CD长。⑵求cosB的值。 解：连结BC、OC、AD。

AC?CD??4??5??

?4??1,?5??2?B

D 1 3 2 O 5 4 A P C ??1??2????1??3

OB?OC??2??3?PCPO?OC?BD??

CDOB设PC= y , CD= x . ∵PO = 8 , OB = 4 ∴∴y(y + x) = 4×12

y8??y?2x x4?2x(2x?x)?4?12 ?6x2?48

?x?22

?AC?CD?22且y?2?22?42

AB是圆O的直径.??BAC?900,BC2?∴BC=8?222AB2?AC2

??2?56?214

?2??5????PAD相似于?PCB

?P??P??ADAPAD4 ???BCPC21442O

?AD?27 ∵∠BDA = 90

∴BD?8?272??2?6 cosB=

BD63??AB84

评注：①平行线截得成比例线段。

②割线定理可变成为成比例线段。 ③代数法解几何题（方程思想）。

④引申说明：BC是圆周角的平分线，因此一定会出现等腰三角形ACD; BC是∠ABD的平分线，而AB又是⊙O的直径。因此，连结OC得等腰三角形BOC,进而观察联想到OC//BD.此题在这里又一次体现了角平分线、等腰三角形、平分线三者的密切关系。同时也体现利用这个“知识板块”思想解题的奥妙。

例13、如图：AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，直线DE切⊙O于点C, AB的延长线交ED于点E，CG⊥AB于点G，AD⊥CD于点D, AD交⊙O于点F. 求证：AG·BG = AD·DF. H OC?DE?证明：（方法一）连结OC,则??OC//AD

AD?ED?E

O B G 3 C A 1 2 F D ???2??3???1??2??OA?OC??1??3???AD?CD??CD?CG ⑴ CG?AB????延长CG交⊙O于点H..

?AB是圆O的直径??CG?GH??AB?CH? ?CG?GH?AG?GB???CG2?AG?GB ⑵

CD2 =DF·AD ⑶

由⑴⑵⑶得：AG·GB = AD·DF .

(方法二)连结CB，则

AC?BC??

CG?AB??CG2?BG?AG??CD2?AD?DF??AG?GB?AD?DF

?CD?CG?评注：①由平行线、等腰三角形得到角平分线。 ②由角平分线性质得：CD=CG.

③垂直平分弦定理；相交弦定理；切割线定理；综合得结论。

④运用射影定理结合切割线定理,关键还是得先证：∠1=∠2；再证：CG = CD.

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