上海市2015年高三二模汇编 - 三角函数

2015年高三二模汇编——三角

一、填空题

1.（2015年崇明理7文8）在?ABC中，已知BC?8,AC?5，三角形面积为12，则cosC2? ．

【答案】

7 252.（2015年奉贤理7文7）若???1????,?，sin2??，则cos??sin?的值是__________．

16?42??

【答案】

154

510?2的第1行第2列的元素1的代数余子式为?1，则13.（2015年虹口理10文10）若行列式sin???x????cos??x?2?4?实数x的取值集合为____. 【答案】(2k?1)?,(k?Z)

4.（2015年黄埔理5）已知角?的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边在x轴的正半轴上，终边经过 点P??3a,4a?(a?0,a?R)，则cos2?的值是 . 【答案】-7 255.（2015年黄埔理6）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且

a2?b2?c2?2bscin，则A ?A= ．

? 4【答案】

6.（2015年静安理2）已知扇形的圆心角是1弧度，半径为5cm，则此扇形的弧长为 cm． 【答案】5

7.（2015年静安文7）方程3sinx?cosx的解集为 ． 【答案】{x|x?k???6,k?Z}

8.（2015年静安理7）方程lg(3sinx)?lg(?cosx)的解集为 ． 【答案】{x|x?2k??5?,k?Z}6

1

9.（2015年闵行理4文4）若cos??【答案】

?4，且???0,??，则tg? ．

2513

210.（2015年浦东理8文8）若对任意x?R，不等式sin2x?2sinx?m?0恒成立，则m的取值范围是 ． 【答案】(1?2,??)

11.（2015年普陀理3文2）若函数f?x??sin【答案】2

12.（2015年普陀理5）若0?x??，则函数y?sin??x2sin???x2???0?的最小正周期为?，则?? ???????x?cos??x?的单调递增区间为 ?3??2?北60°?5?【答案】[,]

3613.（2015年普陀文4）若??2?x??2，则函数y?cosx?cos?????x?的单调递减区间为 ?2?A【答案】[???,]

44CB14.（2015年普陀理10）如图，机车甲、乙停在A、B处，且AB?10km．甲的速度为4千米/小时，乙的速度是甲的

1倍，甲沿北偏东60的方向移动，乙沿正北方向移动．若两者同时移动100分钟， 2第10题图则它们之间的距离为 千米． 【答案】203 315.（2015年徐汇理5）在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若a?3,c?2,A??3，则

?ABC的面积为 ．

【答案】3 216.（2015年徐汇文5）已知函数y?cosx与y?sin(2x??)(0????)的图像有一个横坐标为点，则常数?的值为 ． 【答案】

?的交3? 62

17.（2015年长宁理9）已知方程sinx?3cosx?m?1在x?[0,?]上有两个不相等的实数解，则实数m的取值范围是________． 【答案】[3?1,1)

18.（2015年长宁文7）方程sinx?3cosx?0在x?[0,?]上的解为_____________． 【答案】x?

2? 3二、选择题

1.（2015年徐汇文15）“??arcsin（A）充分不必要条件 （C）充要条件 【答案】A

11”是“sin??”的（ ）

33

（B）必要不充分条件

（D）既不充分也不必要条件

2.（2015年长宁理15文15）在△ABC中，“sinA? A．充分非必要条件 C．充要条件 【答案】B

?1”是“A?”的（ ）

62B．必要非充分条件

D．既非充分又非必要条件

三、解答题

1.（2015年崇明理19文19）（本题满分12分）本题共有2小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6

分． 已知函数f(x)?3sin(2x?)?2sin2(x?)(x?R)．

612（1）化简并求函数f(x)的最小正周期； （2）求使函数f(x)取得最大值的x集合． 【答案】解：（1）f(x)?3sin(2x?所以函数f(x)的最小正周期T??

???6)?2sin2(x??12)?3sin(2x??6)?1?cos(2x??6)?2sin(2x??3)?1

5?,k?Z时，函数取得最大值，

32125?所以使函数f(x)取得最大值的x集合为{x|x?k??,k?Z}

12（2）当2x???2k???,k?Z，即x?k??

2.（2015年奉贤理19文19）如图，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有4.5海里，并以10海里/小时的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以14海里/小时的速度航行，应沿什么方向，用多少小北 时能尽快追上乙船？(13分) A 45°

3

B 15°

【答案】解析：设用t小时，甲船能追上乙船，且在C处相遇。

在△ABC中，AC=14t，BC=10t，AB=4.5，

设∠ABC=α，∠BAC=β，∴α=180°－45°－15°=120° 2分

根据余弦定理AC?AB?BC?2AB?BCcos?，

2228112?1?20t??2?4.5?10t?(?)， 4分 4239128t2?60t?27?0，（4t－3）（32t+9）=0，解得t=，t=?（舍） 6分

43233∴AC=28×=，BC=20×=15 8分

44315?BCsin?2?53， 10分 ?根据正弦定理，得sin??AC211453又∵α=120°，∴β为锐角，β=arcsin， 11分

145372253?又＜＜，∴arcsin＜，

41414142?53甲船沿南偏东－arcsin的方向 12分

4143用小时可以追上乙船。 13分 4?14t?2?

3.（2015年虹口理21文21）（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.

如图，经过村庄A有两条夹角60为的公路AB,AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M,N（异于村庄A），要求PM?PN?MN?2（单位：千米）.记?AMN??.

（1）将AN,AM用含?的关系式表示出来；

C（2）如何设计（即AN,AM为多长时），使得工厂产生的噪声对居民的影响最小 （即工厂与村庄的距离AP最大）？

NP

AMB

ANAMMN4解：（1）在?AMN中，由正弦定理，得???3.??2分

sin?sin(120???)sin60?3

44于是AN?3sin?,AM?3sin(??60?)(0????120?).??6分

33（2）在?ANP中，由余弦定理，得

4

AP2?AN2?NP2?2AN?NPcos?ANP4?4???3sin???22?2?3sin??2?cos(180???)3?3?1616820?sin2??4?3sin??cos??(3sin2??cos2?)?33331620?sin(2??30?)?(0????120?).332

??11分故当2??30??90?，即??60?时，(AP2)max?12. 此时AN?AM?2.

于是，设计AN?AM?2(千米)时，工厂与村庄的距离AP最大，为23（千米）；

工厂产生的噪声对居民的影响最小. ??14分

4.（2015年黄埔理20）（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分.

13cos2x?1,x?R，函数f?x?与函数g?x?的图像关于原点对称 已知函数g?x??sin2x?22（1）求y?f?x?的解析式；

（2）求函数f?x?在?0,??上的单调递增区间．

【答案】解(1)设点(x,y)是函数y?f(x)的图像上任意一点，由题意可知，点(?x,?y)在y?g(x)的 图像上，

于是有?y?1313sin(?2x)?cos(?2x)?1,x?R．所以，f(x)?sin2x?cos2x?1，x?R． 222213?(2)由(1)可知，f(x)?sin2x?cos2x?1?sin(2x?)?1,x?[0,?]，记D?[0,?]． 2235????由2k???2x??2k??,k?Z，解得k????x?k??,k?Z，

12122325??,k??],k?Z的区间上单调递增. 1212结合定义域，可知上述区间中符合题意的整数k只能是0和1．

?5? 令k?0得D1?[??,]；k?1时，得D1?[7?,13?]. 所以，DD1?[0,]，

1212121212则函数f(x)在形如[k??D7D2?[?,?]．

12于是，函数f(x)在[0,?]上的单调递增区间是[0,?]和[7?,?]．

1212

5.（2015年黄埔文20）(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分． 已知函数g(x)?13sin2x?cos2x?1，x?R，函数f(x)与函数g(x)的图像关于原点对称． 22（1）求y?f(x)的解析式； （2）当x?[?,]时，求函数f(x)的取值范围．

42【答案】解(1)设点(x,y)是函数y?f(x)的图像上任意一点，由题意可知，点(?x,?y)在y?g(x)的图像

上，

于是有?y???1313sin(?2x)?cos(?2x)?1,x?R．所以，f(x)?sin2x?cos2x?1，x?R． 2222 5

??BAC?30?，【答案】解：?ABC中，?ABC?45?，?BCA?105?， 2分

ABAC10?? 4分

sin105?sin45?sin30? 8分 ?AB?（56?2），AC?102，设方案一和方案二耗时分别为t1,t2， ?则t1?10?1021?2（56?2）6?2 10分 ?,t2??606459?t1?t2?选择方案一 12分

15.（2015年闸北理15文16）（本题满分15分，第（1）小题6分，第（2）小题9分）

如图所示，某市拟在长为8km道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM， 该曲线段为函数y?Asin?x?A?0,??0?x??0,4?的图像，且图像的最高点为S3,23，赛道的 后一部分为折线段MNP，且?MNP?120． （1）求M、P两点间的直线距离；

（2）求折线段赛道MNP长度的最大值．

解法一：（1）依题意，有A?23 ????1分 又

????T2???3， 而T?， ??? ????1分 4?6 ?y?23sin?6x 当x?4时，

y?23sin2??3，?M?4,3?，又P?8,0? 3 ?MP?42?32?5 ???????????????3分 （2）在?MNP中，?MNP?120，MP?5.

设?PMN??，则0???60. ??????????????1分 由正弦定理得

MPNPMN， ??sin120sin?sin?60???103103sin?，MN?sin?60???， ?????????????3分 33103103103sin??sin?60????sin???60???3分 故NP?MN?3330???60，?当??30时，折线段赛道MNP最长. ????????2分

?NP?解法二 ：（1）同解法一.

（2）在?MNP中，?MNP?120，MP?5.

由余弦定理得MN?NP?2MN?NP?COS?MNP?MP，

11

222

即MN?NP?MN?NP?25； ??????????3分

2232?MN?NP?MN?NP?25?4分 故?MN?NP??25?MNNP??，从而???42??103即MN?NP?，当且仅当MN?NP时等号成立. ??????2分

3亦即，设计为MN?NP时，折线段赛道MNP最长.

22注：本题第（2）问答案及其呈现方式均不唯一，除了解法一、解法二给出的两种设计方法， 还可设计为：①N??12?39?43??12?39?43?,N,；②；③点N在线段MP的垂直平分线上等. ????2???6?6???2

16.（2015年长宁理19文19）（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．

在△ABC中，已知2sin（1）求角C的大小； （2）若角A?2A?B?cos2C?1，外接圆半径R?2． 2?6，求△ABC面积的大小.

【答案】（1）由题意，1?cos(A?B)?cos2C?1，

2因为A?B?C??，所以cos(A?B)??cosC，故2cosC?cosC?1?0，??（2分）

?1． ??????（5分）所以，C?． ??????（6分）

32c?c?2R，得（2）由正弦定理，?4，所以c?4sin?23． ???（2分）

?sinC3sin3?a?2R，得a?2， ????（4分） 因为A?，由

6sinA?1又B?，所以△ABC的面积S?ac?23． ????（6分）

22解得cosC??1（舍），或cosC?

12

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/zggv.html