行列式的计算技巧和方法总结

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专业技术参考资料 计算技巧及方法总结

一、 一般来说，对于二阶、三阶行列式，可以根据定义来做

1、二阶行列式

2112221122

211211a a a a a a a a -= 2、三阶行列式

33

3231232221

131211

a a a a a a a a a =.332112322311312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++ 例1计算三阶行列式601504

3

21-

解 =-6

015043

21601??)1(52-?+043??+)1(03-??-051??-624??-

4810--=.58-=

但是对于四阶或者以上的行列式，不建议采用定义，最常采用的是行列式的性质以及降价法来做。但在此之前需要记忆一些常见行列式形式。以便计算。

计算上三角形行列式 nn nn n n a a a a a a a a a ΛΛ

ΛΛΛΛ

Λ

Λ221122*********= 下三角形行列式 nn

n n a a a a a a ΛΛΛ

ΛΛΛ

Λ

21222111000.2211nn a a a Λ= 对角行列式 nn nn n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛ

ΛΛ2211212221

11000=

二、用行列式的性质计算

1、记住性质，这是计算行列式的前提

将行列式D 的行与列互换后得到的行列式,称为D 的转置行列式,记为T D 或'D ,即若

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,21

2222111211nn

n n n

n a a a a a a a a a D Λ

Λ

ΛΛΛΛΛ=

则 nn

n n n n T a a a a a a a a a D Λ

ΛΛΛΛΛΛ

212

22

12

12111=. 性质1 行列式与它的转置行列式相等, 即.T D D = 注 由性质1知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,它的列也同样具有.

性质2 交换行列式的两行(列),行列式变号.

推论 若行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式为零. 性质3 用数k 乘行列式的某一行(列), 等于用数k 乘此行列式, 即

.21

21

112112

1

21

112111kD a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a D nn

n n in i i n nn

n n in i i n ===Λ

ΛΛ

Λ

ΛΛΛΛΛΛΛΛ

ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 第i 行(列)乘以k ,记为k i ?γ(或k C i ?).

推论1 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面. 推论2 行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式为零. 性质4 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和, 例如,

nn

n n in in i i i i n a a a c b c b c b a a a D Λ

ΛΛΛΛΛ

ΛΛΛΛΛ2

1

221111211+++=. 则

2121

21

11211212111211D D a a a c c c a a a a a a b b b a a a D nn

n n in i i n nn

n n in i i n +=+=Λ

ΛΛ

Λ

ΛΛΛ

ΛΛΛΛΛ

ΛΛΛΛΛ

ΛΛ

Λ

Λ

Λ. 性质5 将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数k 后加到另一行(列)对应位置的元素上, 行列式不变.

注: 以数k 乘第j 行加到第i 行上,记作j i kr r +; 以数k 乘第j 列加到第i 列上，记作j i kc c +.

2、利用“三角化”计算行列式 计算行列式时，常用行列式的性质，把它化为三角形行列式来计算. 例如化为上三角形行列式的步骤是:

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如果第一列第一个元素为0, 先将第一行与其它行交换使得第一列第一个元素不为0; 然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行,使得第一列除第一个元素外其余元素全为0;

再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式,如此继续下去,直至使它成为上三角形行列式,这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值.

例2若21

10

1321-=D , 则.2

1

3

10201

1D D T =-=

例3（1）01212

1

1

1001211

121

---=--（第一、二行互换）.

（2）1

2

11

02

1101211

121

---=--（第二、三列互换） （3）0725011

11

=（第一、二两行相等） （4）0337

22

4

1

12

=---（第二、三列相等）

例4（1）02222510

2

11

=--因为第三行是第一行的2倍. （2）

07

5414

1

5

3820

141=---因为第一列与第二列成比例,即第二列是第一列的4倍.

例5若12

1

013

201

--=D , 则D 21

2

1

01

3201)2(1

2

1

013402-=---=----

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又 D 412

1

01

32014124

0112

204

=--=--.

例6 设,13332

31

232221

13

1211

=a a a a a a a a a 求.5353102633

32

31

232221131211

a a a a a a a a a ---- 解 利用行列式性质，有

3332

31

232221131211

53531026a a a a a a a a a ----=3332

31

2322211312

115353522a a a a a a a a a ---5)3(2?-?-=33

32

31

2322211312

11a a a a a a a a a 15)3(2??-?-=.30=

例7（1）

.11011

1311

103111

132+

=

++=

（2）()1)2(1272305

)

2(11

12

127230

5

2

11

--+--++=----+1

2

272052

1112730511---+--=. 例8 因为

,123

1040

3212

213==

++--+而

15)40()29(0

2

213

12

3=+++=-+

-.

因此

2

213

12

3

03212

213-+

-≠++--+.

注: 一般来说下式是不成立的

22

2112

1122

21

121122

2221

2112121111b b b b a a a a b a b a b a b a +

≠

++++.

例9（1）1

3

201

01311

3

2141

1

3112----r r ,上式表示第一行乘以-1后加第二行上去, 其值不变.

（2）3

320410

31132141

1

3113c c +--,上式表示第一列乘以1后加到第三列上去, 其值不变.

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例10计算行列式2

1

5

032

1263

-=D . 解 先将第一行的公因子3提出来：

,21

50324213215

0321263-=-

再计算

.

1623541

00430201541

10470221542

108704212718

908704

2

1

32

1

5

0324213=?====----=-=D

例11 计算.3

35111024

3152113------=D

解 2

1c c D

→331511204

3512131

-------

1

4125r r r r +-7216

01120

64802131------

32r r ?

7216064

8011202

13

1

----- 242384r r r r -+ 15

1000108001

1202

1

3

1---- 3

445r r +.40250

01080

01

12021

31＝--- 例12计算.3

1

11

13111131

1113=

D 解 注意到行列式的各列4个数之和都是6.故把第2，3，4行同时加到第1行，可提出公因子6，再由各行减去第一行化为上三角形行列式.

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D

4

321r r r r +++3

1111

3111

1311

11163111131111316666= 1

4131

2r r r r r r --- .482000020000201

1116

=

注：仿照上述方法可得到更一般的结果:

.)]()1([1---+=n b a b n a a

b

b

b

b b a b b b b a Λ

ΛΛΛΛΛΛΛ

例13 计算

.1

11100000

0332

211a a a a a a --- 解 根据行列式的特点，可将第1列加至第2列，然后将第2列加至第3列，再将第3列加至第4列，目的是使4D 中的零元素增多.

4D

1

2c c +

1

1

2

1

0000

00033221a a a a a --

2

3c c +

1

3

2

1

000000003321

a a a a -

3

4c c +.44

3

2

1

0000

000

00321321

a a a a a a = 例14 计算.3610363234232d

c b a c b a b a a d

c b a c

b a b a a d

c b a c

b a b

a a d c b

a

D ++++++++++++++++++=

解 从第4行开始，后一行减前一行：

D

r

r r r r r ---33

41

2 .363023200c b a b a a c b a b a a c b a b a a d c b a +++++++++ 3

423r r r r -- .20200b

a a a

b a a a c

b a b a a d

c b a +++++

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专业技术参考资料 34r r -..00020004a a

b

a a c

b a b a a d

c b

a =++++

三、 行列式按行(列)展开（降阶法）

1、行列式按一行(列)展开

定义1 在n 阶行列式D 中,去掉元素ij a 所在的第i 行和第j 列后,余下的1-n 阶行列式,称为D 中元素ij a 的余子式, 记为ij M , 再记

ij j i ij M A +-=)1(

称ij A 为元素ij a 的代数余子式.

引理（常用） 一个n 阶行列式D , 若其中第i 行所有元素除ij a 外都为零，则该行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积，即

ij ij A a D =

定理1 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和, 即

),,,2,1(2211n i A a A a A a D in in i i i i ΛΛ=+++=

或 ).,,2,1(2211n j A a A a A a D nj

nj j j j j ΛΛ=+++= 推论 行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零, 即

,,02211j i A a A a A a jn in j i j i ≠=+++Λ

或 .,02211j i A a A a A a nj ni j i j i ≠=+++Λ

2、用降价法计算行列式（常用）

直接应用按行(列)展开法则计算行列式, 运算量较大, 尤其是高阶行列式. 因此, 计算行列式时，一般可先用行列式的性质将行列式中某一行(列)化为仅含有一个非零元素, 再按此行(列)展开,化为低一阶的行列式, 如此继续下去直到化为三阶或二阶行列式.

3、拉普拉斯定理（一般少用）

定义2 在n 阶行列式D 中,任意选定k 行k 列)1(n k ≤≤, 位于这些行和列交叉处的2k 个元素,按原来顺序构成一个k 阶行列式M , 称为D 的一个k 阶子式,划去这k 行k 列, 余下的元素按原来的顺序构成k n -阶行列式,在其前面冠以符号k

k j j i i +++++-ΛΛ11)1(,称为M 的代

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数余子式,其中k i i ,,1Λ为k 阶子式M 在D 中的行标,k j j j ,,,21Λ为M 在D 中的列标.

注：行列式D 的k 阶子式与其代数余子式之间有类似行列式按行（列）展开的性质. 定理2 (拉普拉斯定理) 在n 阶行列式D 中, 任意取定k 行(列))11(-≤≤n k ,由这k 行(列)组成的所有k 阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式D .

例15求下列行列式的值:

（1）2

1

4

121

312

-- （2）1

20250723

解 (1) 2

1

3142

1

31)1(2

11222

1

4

121

312

-?

+-?

--?=--

.272856)61(4)32()14(2-=--=--+--+-=

(2) .3)45(31

22

531

202507

23=-=?

=

例16计算行列式 .5

02101132

1014321---=D

解 5

2

1

01

1321

014321---=

D 313

422r r r r ++

5

20

7

1

1321

014107

----

1

0921

12

065

272

1

1

417

)1()1(2

12

3223-=---?-=-++r r r r

.241861

92

6)1(12

2-=--=--?=+

例17计算行列式 .0

532004140013202

527

1

02135----=D

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解 5

3204

1401

3202

1352

)1(0

53200

4140013

2

02

527

10213552-----=----=+D 5

324141

3

2

52---?-=

121

3)2(r r r r -++6

6

270

13210---

.1080)1242(206

6

27)

2(10-=--=--?-=

例18求证 21)1(1

121311

2

211

132114321-+-=---n n x x

x

x

x x x n x x n x n n Λ

ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ.

证 D

3221143r r r r r r r r n

n -----Λ

1

11111111

1000011000

11100

11110

11110Λ

ΛΛΛΛΛΛΛΛ

ΛΛΛx

x

x

x x x x ---- 1

10

111001

11101

11

1

111111)1(1

x

x x x

n -----=+Λ

ΛΛ

ΛΛΛΛΛΛΛ

Λ

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3221143r r r r r r r r n

n -----Λ

.)1(1

10

000000100

010

00010000)1(211-++-=-----n n n x x

x x x x x x

x Λ

ΛΛΛΛΛΛΛΛ

ΛΛΛ

例19设,314231315

0111253------=D D 中元素ij a 的余子式和代数余子式依次记作ij M 和ij A ,

求14131211A A A A +++及41312111M M M M +++.

解 注意到14131211A A A A +++等于用1,1,1,1代替D 的第1行所得的行列式,即

3142

3

1

3

150111111

14131211-----=

+++A A A A

341

3r r r r +-

11

20

2

25

0111111

---

1

1

222511---= 1

2c c + .42

05

20

1

202

511

=-=--

又按定义知,

3

1413

1

3

1

50111251

4131211141312111-------=

-+-=+++A A A A M M M M

3

4r r +

3

1

1

501121)1(0

10

31

3

15

0111251

---=----

3

12r r - .03

1

150

15

01=----- 例20 用拉普拉斯定理求行列式

2

10032100

3210

032 的值.

解 按第一行和第二行展开

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专业技术参考资料 2

1003

21003210

032=2132)1(21322121+++-?2031)1(31023121+++-?+2030)1(32033221+++-?+ 0121+-=.11-=

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