全程复习方略（文理通用）2015届高三数学一轮复习 2.6幂函数与二次函数精品试题

幂函数与二次函数

(45分钟 100分)

一、选择题(每小题5分,共40分)

1.已知幂函数f(x)的图象经过点(9,3),则f(2)-f(1)=( ) A.3

B.1-

C.

α

-1

α

D.1

2α

【解析】选C.设幂函数为f(x)=x,由f(9)=9=3,即3=3,所以2α=1,α=,所以f(x)=所以f(2)-f(1)=

-1.

=,

2.(2014·温州模拟)下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的 是( ) A.y=sinx,x∈R C.y=x,x∈R

B.y=-x,x∈R D.y=

,x∈R

3

【解析】选B.根据函数奇偶性的定义知A,B,C在定义域内为奇函数,但A中函数y=sinx在定义域内不单调,C中y=x在定义域内单调递增,因此选B. 3.(2014·衡阳模拟)若(2m+1A.C.(-1,2)

>(m+m-1B.D.

2

,则实数m的取值范围是( )

【解析】选D.因为函数y=在[0,+∞)上为增函数,所以由已知得

解得:≤m<2.

2

4.设函数f(x)=ax+bx+c(a,b,c∈R),若a=c,则函数f(x)的图象不可能是( )

【解析】选D.由A,B,C,D四个选项知,图象与x轴均有交点,记两个交点的横坐标分别为x1,x2,若只有一个交点,则x1=x2,由于a=c,所以x1x2==1,比较四个选项,可知选项D的x1<-1,x2<-1,所以D不满足.

- 1 -

5.(2013·金华模拟)函数y=x-的图象大致为( )

【解析】选A.函数为奇函数,图象关于原点对称,所以排除C,D.当x=1时,y=0,当x=8时,y=8-排除B,故选A.

6.(2014·台州模拟)函数f(x)=ax+(a-3)x+1在区间[-1,+∞)上是递减的,则实数a的取值范围是( ) A.[-3,0) C.[-2,0]

B.(-∞,-3] D.[-3,0]

2

=8-2=6>0,

【解析】选D.当a=0时,f(x)=-3x+1显然成立, 当a≠0时,需综上可得-3≤a≤0.

【误区警示】本题易忽视a=0这一情况而误选A,失误的原因是将关于x的函数误认为是二次函数. 【加固训练】设二次函数f(x)=ax-2ax+c在区间[0,1]上单调递减,且f(m)≤f(0),则实数m的取值范围是( ) A.(-∞,0]

B.[2,+∞)

2

解得-3≤a<0,

C.(-∞,0]∪[2,+∞) D.[0,2]

【解析】选D.二次函数f(x)=ax-2ax+c在区间[0,1]上单调递减,则a≠0, f′(x)=2a(x-1)≤0,x∈[0,1],

所以a>0,即函数图象的开口向上,对称轴是直线x=1. 所以f(0)=f(2),则当f(m)≤f(0)时,有0≤m≤2. 7.(2014·哈尔滨模拟)已知函数f(x)=

2

若函数g(x)=f(x)-m有三个不同的零点,则实数m的取值范围为( ) A.C.

D.

B.

【思路点拨】在同一坐标系中分别作出f(x)与y=m的图象,数形结合求解.

- 2 -

【解析】选C.由g(x)=f(x)-m=0得f(x)=m,作出函数y=f(x)的图象,

当x>0时,f(x)=x-x=

.

8.(2014·绍兴模拟)若不等式x+ax+1≥0对于一切x∈A.0

B.2

2

2

2

-≥-,所以要使函数g(x)=f(x)-m有三个不同的零点,则-

恒成立,则a的最小值是( )

C.- D.-3 在x∈

上恒成立,

【解析】选C.由x+ax+1≥0得a≥-令g(x)=-所以g(x)max=g

,则知g(x)在=-,所以a≥-.

为增函数,

二、填空题(每小题5分,共20分) 9.已知二次函数y=f(x)的顶点坐标为解析式是 .

【解析】设二次函数的解析式为f(x)=a

+49(a<0),方程a

+49=0的两个根分别为x1,x2,

,且方程f(x)=0的两个实根之差等于7,则此二次函数的

则|x1-x2|=2=7,

2

所以a=-4,故f(x)=-4x-12x+40. 答案:f(x)=-4x-12x+40

10.设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数y=f(x)-g(x)在x∈[a,b]上有两个不同的零点,则称f(x)和g(x)在[a,b]上是“关联函数”,区间[a,b]称为“关联区间”.若f(x)=x-3x+4与g(x)=2x+m在[0,3]上是“关联函数”,则m的取值范围为 .

【解析】由题意知,y=f(x)-g(x)=x-5x+4-m在[0,3]上有两个不同的零点.在同一坐标系下作出函数y=m与

- 3 -

2

2

2

y=x-5x+4(x∈[0,3])的图象如图所示,

2

结合图象可知,当x∈[2,3]时,y=x-5x+4∈∈[0,3])的图象有两个交点. 答案:

2

2

,故当m∈时,函数y=m与y=x-5x+4(x

2

11.已知函数f(x)=x-x+1,若在区间[-1,1]上,不等式f(x)>2x+m恒成立,则实数m的取值范围为 . 【解析】f(x)>2x+m等价于x-x+1>2x+m,即x-3x+1-m>0,要使此不等式在[-1,1]上恒成立,只需使函数g(x)=x-3x+1-m在[-1,1]上的最小值大于0即可. 因为g(x)=x-3x+1-m在[-1,1]上单调递减, 所以g(x)min=g(1)=-m-1, 由-m-1>0得,m<-1.

因此满足条件的实数m的取值范围是(-∞,-1). 答案:(-∞,-1)

12.(2014·杭州模拟)对任意两个实数x1,x2,定义max(x1,x2)=若f(x)=x-2,g(x)=-x,则max(f(x),g(x))的最小值为 . 【思路点拨】先写出max(f(x),g(x))的表达式,然后画出图象求解.

【解析】因为f(x)-g(x)=x-2-(-x)=x+x-2,所以x+x-2≥0时,解得x≥1或x≤-2.当-2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

- 4 -

所以max(f(x),g(x))=作出图象,由图象可知函数的最小值在A处,所以

最小值为f(1)=-1.

答案:-1

三、解答题(13题12分,14～15题各14分)

13.(2014·衢州模拟)二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1. (1)求f(x)的解析式.

(2)在区间[-1,1]上,y=f(x)的图象恒在y=2x+m的图象上方,试确定实数m的范围. 【解析】(1)设f(x)=ax2

+bx+c(a≠0),由f(0)=1得c=1,故f(x)=ax2

+bx+1. 因为f(x+1)-f(x)=2x,所以a(x+1)2

+b(x+1)+1-(ax2

+bx+1)=2x. 即2ax+a+b=2x,所以

所以

所以f(x)=x2

-x+1.

(2)由题意得x2

-x+1>2x+m在[-1,1]上恒成立,即x2

-3x+1-m>0在[-1,1]上恒成立. 设g(x)=x2

-3x+1-m,其图象的对称轴为直线x=,所以g(x)在[-1,1]上递减. 故只需g(1)>0,即12

-3×1+1-m>0, 解得m<-1.

14.(2014·中山模拟)已知函数f(x)=ax2

+bx+1(a,b∈R),x∈R.

(1)若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,求f(x)的解析式,并写出单调区间. (2)在(1)的条件下,f(x)>x+k在区间[-3,-1]上恒成立,试求k的范围. 【解析】(1)由题意有f(-1)=a-b+1=0,

- 5 -

且-=-1,所以a=1,b=2.

所以f(x)=x2

+2x+1,单调减区间为(-∞,-1], 单调增区间为[-1,+∞).

(2)f(x)>x+k在区间[-3,-1]上恒成立, 转化为x2

+x+1>k在[-3,-1]上恒成立.

设g(x)=x2+x+1,x∈[-3,-1],则g(x)在[-3,-1]上递减. 所以g(x)min=g(-1)=1.

所以k<1,即k的取值范围为(-∞,1). 15.(能力挑战题)设a为实数,记函数f(x)=a++的最大值为g(a).

(1)设t=+,求t的取值范围,并把f(x)表示为t的函数m(t).

(2)求g(a). (3)试求满足g(a)=g的所有实数a.

【解析】(1)因为t=+

,所以要使t有意义,必须1+x≥0且1-x≥0,即-1≤x≤1.

因为t2

=2+2

∈[2,4],且t≥0,① 所以t的取值范围是[,2].

由①得:=t2

-1,

所以m(t)=a

+t=at2

+t-a,t∈[

,2].

(2)由题意知g(a)即为函数m(t)=at2

+t-a,t∈[,2]的最大值,

因为直线t=-是抛物线m(t)=at2

+t-a的对称轴, 所以可分以下几种情况进行讨论: ①当a>0时,函数y=m(t),t∈[,2]的图象是开口向上的抛物线的一段,

由t=-<0知m(t)在t∈[,2]上单调递增,

故g(a)=m(2)=a+2; ②当a=0时,m(t)=t,t∈[

,2],有g(a)=2;

③当a<0时,函数y=m(t),t∈[

,2]的图象是开口向下的抛物线的一段,

- 6 -

若t=-∈(0,]即a≤-时,

g(a)=m()=

, 若t=-∈(,2],即a∈时,

g(a)=m

=-a-,

若t=-∈(2,+∞)即a∈时,

g(a)=m(2)=a+2.

综上所述,有g(a)=

(3)当->;g=,显然无解. 当-

,-∈

,

所以-a≠-

,

g(a)=-a->2=;

g=,显然无解.

当a>0时,>0, 由g(a)=g知:a+2=+2,故a=1. 当a≤-时,∈[-,0),a·=1,

故a≤-1或≤-1,从而有g(a)=或g=

,

要使g(a)=g,必须有a≤-,≤-, 即-≤a≤-, 此时,g(a)==g

.

综上可知a∈

或a=1.

- 7 -

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