概率论与数理统计模拟考试题目及答案

概率论与数理统计复习题（一）

一．填空

1.P(A)?0.4,P(B)?0.3。若A与B独立，则P(A?B)? ；若已知A,B中至少有一个事件发生的概率为0.6，则P(A?B)? 。 2．p(AB)?p(AB)且P(A)?0.2，则P(B)? 。

3．设X~N(?,?)，且P{X?2}?P{X?2}, P{2?X?4}?0.3，则?? ；

2P{X?0}? 。

4．E(X)?D(X)?1。若X服从泊松分布，则P{X?0}? ；若X服从均匀分布，则P{X?0}? 。

5．设X~b(n,p),E(X)?2.4,D(X)?1.44，则P{X?n}?

6．E(X)?E(Y)?0,D(X)?D(Y)?2,E(XY)?1,则D(X?2Y?1)? 。 7．X~N(0,9),Y~N(1,16)，且X与Y独立，则P{?2?X?Y??1}? （用?表示），?XY? 。

8．已知X的期望为5，而均方差为2，估计P{2?X?8}? 。

?2)?E(??2)，则其中的统计量 更9．设??1和??2均是未知参数?的无偏估计量，且E(?12有效。

10．在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信水平愈 愈好，而置信区间的长度愈 愈好。但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是 。

二．假设某地区位于甲、乙两河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾。设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1；乙河流泛滥的概率为0.2；当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率为0.3，试求：

（1）该时期内这个地区遭受水灾的概率； （2）当乙河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。

三．高射炮向敌机发射三发炮弹（每弹击中与否相互独立），每发炮弹击中敌机的概率均为0.3，又知若敌机中一弹，其坠毁的概率是0.2，若敌机中两弹，其坠毁的概率是0.6，若敌机中三弹则必坠毁。（1）求敌机被击落的概率；（2）若敌机被击落，求它中两弹的概率。 四．X 的概率密度为f(x)??0?x?c,?kx, 2且E(X)=。（1）求常数k和c；(2) 求X

3其它?0, 1

的分布函数F(x)；

五．（X,Y）的概率密度f(x,y)??X与Y是否独立；（3）?XY；

六．.设X，Y独立，下表列出了二维随机向量（X，Y）的分布，边缘分布的部分概率，试将

其余概率值填入表中空白处. Ｘ Ｙ ?kx(2?y), 2?x?4,0?y?2。求 （1）常数k；（2）

otherwise?0, y1 y2 y3 piX x1 1 8 x2 pYj 1 81 6

七．. 某人寿保险公司每年有10000人投保，每人每年付12元的保费，如果该年内投保人死亡，保险公司应付1000元的赔偿费，已知一个人一年内死亡的概率为0.006。用中心极限定理近似计算该保险公司一年内的利润不少于60000元的概率.

概率与数理统计复习题（一）一、填空

1.P(A-B)=0.28 P(A-B)=0.3

P(A)=0.4?分析: P(B)=0.3 ? ? A,B独立 ???P(AB)=P(A)*P(B)=0.12 ?? ?P(AB)=0.28

P(AB)+P(AB)=P(A)?P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)?P(AB)?0.1?????P(AB)?0.3

P(A+B)=0.6 P(A)=0.4 P(B)=0.3 ?P(A)?0.4?2.P(B)?0.8

分析: P(AB)=P(AB)=P(A+B)?1?P(A?B)?1?P(A)?P(B)?P(AB)???1?P(A)?P(B)?0???P(B)?0.8P(A)?0.2?

3.??2　　P?ｘ>0??0.8

2

分析:P?ｘ<2??P?x?2??P?x?2??1?P?x?2??2P?x?2??1?2???2???　　　P?ｘ<2??0.5?F(2)?0.5????0.5??0???2??????????P?x?0??0.8?4?2????2?2??0.3???2??0.8?P?2?x?4??0.3?F(4)?F(2)?0.3???????????????????14.P?x?0??1?　　P?x?0?=1e　P?x>0??1?P?x?0??1?F(0)?1????0?2??1????2????2???????????????1?1??Px?k?e??P?x=k??e??k!分析:　　a. x服从泊松分布,则 ?k!????Ex?Dx?1???1??P?x?0??1?P?x?0??1P?x?0??1?e?k??

ｂ.x服从均匀分布,属连续分布,则P?x=0??0?P?x?0??1?P?x?0??1 5.P?x?n??0.46

????n?6　　p=0.4?分析:　　　x~b(n,p)?Dx?np(1-p)? ?nnn-nn?x~b(n,p)?Px=n?Cpq?p??n??E(x)=2.4 D(x)=1.44 ??Ex?npP?x?n??0.46

6.D(x?2y?1)?6

分析:　　D(x?2y?1)?D(x?2y)?Dx?D(2y)?cov(x,?2y)?Dx?4Dy?2cov(x,y)?Dx?4Dy-2(Exy-ExEy)?　　　　　??D(x?2y?1)?6E(x)=E(y)=0 Dx=Dy=2 Exy=1?

17.P??2?x?y??1???()?0.5　　　　　Pxy?0

5?2???E(x?y)?Ex?Ey?0?1??1?x-y~N(-1,5)　?分析:y~N(1,16)???????D(x?y)?Dx?Dy?9?16?25P-2

P?-2

???xy=0cov(x,y)?　?xy=?DxDy?7 8.P?2

^?1与?2均是未知参数的无偏估计?E(?2)?E(?2)?E???分析:D(?1)?E(?1)?(E?1)?E(?1)?D(?1)?E(?1)2D(?2)?E(?2)?(E?2)?E(?2)?D(?2)?E(?2)　　　　　　　　　　　　　　　　E(?1)?E(?2)10.高,小,变大

^^^^2^2^2^^^^2^2^2^^^^^^?^^^???D(?1)?D(?2)??2更有效????二.解:A1:甲河流泛滥　　　　A2:乙河流泛滥　　　B:某地区受灾?????? P(A1)=0.1??(1)??P(B)?0.1?0.2?0.03?0.27?P(A2)=0.2?P(AA)?0.03?12???A2P(A1A2)P()=0.3??0.3??A1P(A1)????

P(B)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)-P(A1A2)(2)P(A1P(A1A2)0.03)???0.15 A2P(A2)0.2 4

三.解:设Ai?敌机中了弹　　　　B?敌机被击落P(BBB)?0.2,P()?0.6,P()?1A1A2A333BBiP(B)??P(Ai)*P()??C3*(0.3)i(0.7)3?i*P()?0.2286

AiAii?1i?1P(A2)?BP(A2)*P(P(B)B)A2?0.496四、解：由密度函数的性质及数学期望的定义，有

①

??0f(x)?1?cx?f(x)?23??0c 即

??0kxdx?1?ckx2dx?23??0c???

c?1k?2

②由①知x的密度函数为当x?0时 F?x??0； 当0?x?1时 F?x??当x?1时 F?x??f(x)??x?2x0?x?10其他??f?t?dt??1x02tdt?x2

?x??f?t?dt??02xdx?1

?F?x?x?0?0???x2??x?1

?1x?1?42五、由（x、y）联合密度的性质有： ①．

???????x,y?dxdy?1 即?2?0kx?2?y?dxdy?1?k?????1 36?1?x?2?y?2?x?4,,0?y?2②． 由①可求出（x，y）的联合密度：f?x,y???36

其他?0?fX?x???f?x,y?dy????11x?2?y?dy?x ?0?y?2? 03662411fY?y???f?x,y?dx??x?2?y?dx??2?y? ?2?x?4?

??2366

5

?1?x0?y?2?fX?x??6 fY?y??其他??0?f?x,y??fX?x??fY?y? 故x, y 相互独立。

③． 由②知?x,y?相互独立。

1???2?y?2?x?4 ?6其他?0???xy?0

六、略

七、解：令x为一年内死亡人数，题中10000人投标，每人每年死亡率0.006且每人每年死亡相互独立，故x~ N（10000*0.006，10000*0.006*0.994）即x~ N（60，59.64）

设A：保险公司一年内的利润不少于60000元。即A：10000*12-1000x?60000?x?60

?60?60?P?A??P{x?60}??0?60???0??????0?0??0.5

?59.64??该保险公司一年的利润不少于60000元的概率为0.5

概率论与数理统计复习题（二）

本复习题中可能用到的分位数：

t0.95(8)?1.8595，t0.95(9)?1.8331，t0.975(8)?2.306，t0.975(9)?2.2662。 一、填空题（本题满分15分，每小题3分）

1、设事件A,B互不相容，且P(A)?p,P(B)?q,则P(AB)? 。

???2、设随机变量X的分布函数为：F(x)?????0x??1

0.3?1?x?10.61?x?21x?2

则随机变量X的分布列为 。

3、设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(1,2)和N(0,1)，则

P(X?Y?1)= 。

4、若随机变量X服从[?1,b]上的均匀分布，且有切比雪夫不等式P(X?1??)?2,则3b? ,?? 。

二、单项选择题（本题满分15分，每小题3分）

6

1、设P(AB)?0,则有（ ）。

(A) A和B互不相容； (B) A和B相互独立； (C) P(A)?0或P(B)?0； (D) P(A?B)?P(A)。 2、设离散型随机变量X的分布律为：P(X?k)?b?(k?1,2（ ）。 (A)

k),且b?0，则?为

11；(B) ；(C) b?1；(D) 大于零的任意实数。 b?1b?13、设随机变量X和Y相互独立，方差分别为6和3，则D(2X?Y)=（ ）。 (A) 9；(B) 15；(C) 21；(D) 27。

4、对于给定的正数?，0???1，设u?，??(n)，t?(n)，F?(n1,n2)分别是N(0,1)，

2?2(n)，t(n)，F(n1,n2)分布的下?分位数，则下面结论中不正确的是（ ） ．．．

（A）u???u1??； （B）?1??(n)????(n)； （C）t?(n)??t1??(n)； （D）F1??(n1,n2)?221

F?(n2,n1)5、设(X1,X2,?,Xn)(n?3)为来自总体X的一简单随机样本，则下列估计量中不是总．．体期望?的无偏估计量有（ ）。

(A)X； (B)X1?X2???Xn； (C)0.1?(6X1?4X2)； (D)X1?X2?X3。

三、（本题满分12分）

人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化。现在假设人们经分析估计利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%，根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，求该支股票将上涨的概率。 四、（本题满分12分）

A?,x?1?2 设随机变量X的分布密度函数为f(x)??1?x

? 0, x?1? 试求：

（1）常数A；

（2）X落在(?11,)内的概率； 22 7

（3）X的分布函数F(x)

五、（本题满分10分）

为估计一分钟一次广告的平均费用，随机抽取了100个电台作为样本，计算得样本的平均值x?90.5元，样本标准差为44.5元，在广告费用X的分布未知时，试求平均广告费95.45%的置信区间。

｛解答：由于X的样本容量较大，故认为X近似服从正态分布，临界值??2，

s44.5s44.5x???90.5?2??81.6 ，x???90.5?2??99.4

1010nn于是一分钟一次平均广告费95.45%的置信区间为[81.6，99.4]｝

六、（本题满分12分）

设(X1,X2,?,Xn)为来自总体X的一个样本，X服从指数分布，其密度函数为

??e??x,x?0，其中??0为未知参数，试求?的矩估计量和极大似然估计量。 f(x;?)??x?0?0,

七、（本题满分12分）

设某市青少年犯罪的年龄构成服从正态分布，今随机抽取9名罪犯，其年龄如下：22，17，19，25，25，18，16，23，24，试以95%的概率估计犯罪青少年年龄的置信区间。

概率论与数理统计复习题(二)参考解答

一、 填空题:

1、

分析:

P(AB)=1-p-q

P(AB )=P(A?B )=1-P(A+B)=1-[P(A)+P(B)-P(AB)] ?? A ,B互不相容? P(AB)=0??? P(AB)=1-p-q

P(A)=p, P(B)=q???2、 x P -1 0.3 1 0.3 2 0.4 分析:依离散型随机变量的分布函数可得. 3、P?x?y?1?=0.5

8

?1?1?分析: y~N(0,1)??x+y～N(1,3)?P{x+y?1}=F(1)= ?()= ?(0)=0.5

3x,y相互独立??4、b=3,

x~N(1,2)?=2

分析:

?b?1?b-1(b?1)2?1x服从[-1,b]上的均匀分布?Ex= ,Dx???2212??2?Dx??(b?1)由切比雪夫不等式 P{x?Ex??}?1?2????Dx1???Ex?1,?12???2??212?3?? 题中已知: P{x-1??}??1???33???????1??3??b?3 ????2?二.单项选择题

1. D

分析: (A)中,A和B互不相容?P(AB)=0,但不能反推; (B)中,P(AB)=P(A)·P(B)?A、B相互独立; (C)中,P(A)=0或P(B)=0与P(AB)=0无关; (D)中,2. A

分析:由分布律的性质可知:0

P(A?B)?P(AB)?P(A)???P(A-B)=P(A)

P(AB)?0????P?x?k?=1即?b?k?1k?1k=1;

由等比数列求和可知:

3. D

分析:

b?1=1??= 1??b?1D(2x-y)=D(2x)+Dy-2cov(2x,y)=4D(x)+Dy-4cov(x,y)?? x,y相互独立?cov(x,y)=0??D(2x-y)=27 Dx=6 Dy=3??4. B

分析:由各对应分布的分位数性质可得. 5. B

分析: (A)x 显然为总体期望?的无偏估计

(B)E(x1+x2+…+xn)=Ex1+Ex2+…+Exn=n? 显然不是总体期望?的无偏估计;

9

(C)E[0.1?(6x1+4x2)]=E(0.6x1+0.4x2)=0.6Ex1+0.4Ex2

=0.6?+0.4?=?

(D)E(x1+x2-x3)=Ex1+Ex2+Ex3=?+?-?=? 三.解答:设A为事件〝利率下调〞,那么A即为〝利率不变〞, 记B为事件〝股票价格上涨〞,由题设P(A)=60% P(A)=40% P(BA)=80% P(BA)=40%

于是 P(B)=P(AB)+P(AB)=P(A)·P(BA)+ P(A)·P(BA)= 60%?80%+40%?40%=64% 四.解:由密度函数的性质. 1)

?=

????f(x)dx=1???1??f(x)dx+?f(x)dx+??111??f(x)dx=1??1A1?x2?1dx=1?A

1 ?121?212)

??dx=1arcsinx2=1(?+?)=1

??663?11?x22x落在(

1

?111,?)内的概率为. 2233)x<-1时 F(x)=0 -1?x<1时 F(x)=

?x??f(t)dt??xdt?1?1?t211?1?arcsint11?arcsinx

?12??x x?1时 F(x)=

?x??f(t)dt??1?1?1?x2dx?1

??0?1?F(x)=?

2???1x??1?1?x?1x?1

五.解答题见资料

??e??x,x?0六.解:x服从指数分布,其密度函数为f(x,?)=?

0,x?0?

10

??Ex=

??0x??e??x=????0??xxd(e)=?xe??x??????xedx=1 0+0??

Ex=X?

???=

1X为

?的矩估计量

极大似然估计: L( ln?)=?en??(x1?x2?...?xn)L(?)?nln???(x1?x2?...?xn)

?lnL(?)n11??(x1?x2?...?xn)?0??(x1?x2?...xn)?X令????n

???=

1X为

?的极大似然估计量

七.解:设x为青少年犯罪的年龄,依题中各样本值知:

22?17?19?25?25?18?16?23?24522100X??21,S?,S?982

由于?未知,故适用 T?2

X??, 得置信区间为

Sn?5252??ss???2,21?2.306?2??X?t(8)?,X?t(8)?即21?2.306?0.9750.975??33?nn????????

所求犯罪青少年年龄的置信区间为(18.44,23.56)

概率论与数理统计复习题（三） 一.选择题（18分，每题3分）

1．设A,B为随机事件，且P(B|A)?1，则必有

(A)A是必然事件；(B)P(B|A)?0；(C)A?B； (D)A?B.

2．口袋中有6只红球，4只白球，任取1球，记住颜色后再放入口袋。共进

11

行4次，记X为红球出现的次数，则X的数学期望E(X)?

42?616244； (B)； (C)； (D). (A)101010103．设随机变量X的分布密度函数和分布函数为f(x)和F(x), 且f(x)为偶函数, 则对任意实数a,有

(A) F(?a)?aa1??f(x)dx (B) F(?a)?1??f(x)dx

020(C) F(?a)?F(a) (D) F(?a)?2F(a)?1

4．设随机变量X和Y相互独立, 且都服从(0,1)区间上的均匀分布, 则仍服从

均匀分布的随机变量是

(A)Z?X?Y (B)Z?X?Y (C)(X,Y) (D)(X,Y2)

5．已知随机变量X和Y都服从正态分布:X~N(?,4),Y~N(?,3), 设

22p1?(X???4),p2?P(Y???3), 则 (A) 只对?的某些值,有p1?p2 (B) 对任意实数?,有p1?p2 (C) 对任意实数?,有p1?p2 (D) 对任意实数?,有p1?p2

6．设X~N(?,?),?未知，则?的置信度为95%的置信区间为

22(A)(X??nt0.025) (B)(X?SnSnt0.025)

(C)(X??nt0.05) (D)(X?t0.05)

二. 填空题（21分，每题3分）

1． 已知随机事件A，B有概率P(A)?0.7，P(B)?0.8，条件概率P(B|A)?0.6，则

P(A?B)? ．

2. 已知随机变量(X,Y)的联合分布密度函数如下, 则常数K?

?Ky(1?x),0?x?1,0?y?x; f(x,y)??0,其它。?

12

3 某人射击直到中靶为止,已知每次射击中靶的概率为0.75. 则射击次数的数 学期望与方差分别为E(X)= ,D(X)

4. 已知二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示概率

P(X?a,Y?b)? .

?1?kX1?3X2?(2?2k)X3是?的无偏 5. 设X1,X2,X3是取自N(?,1)的样本，?估计量则常数k?

6．设（X1,X2,?,X6）是来自正态分布N(0,1)的样本，

Y?(?Xi)?(?Xi)2

2i?1i?436当c＝ 时， cY服从?分布，E(?)＝ . 7．设离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为

22(X,Y) (1,0) (1,1) (2,0) (2,1)

P 0.4 0.2 a b

若E(XY)?0.8，则cov(X,Y)? .

三. 计算题 （54分，每题9分）

1．某种产品分正品和次品，次品不许出厂。出厂的产品n件装一箱，并以箱为单位出售。由于疏忽，有一批产品未经检验就直接装箱出厂，某客户打开其中的一箱，从中任意取出一件，求：

（1）取出的是件正品的概率； （2）这一箱里没有次品的概率 2．设二维随机变量（X,Y）在区域 G?{(x,y)|0?x?1,|y|?x} 上服从

均匀分布。求：边缘密度函数fX(x),fY(y).

4；0.1，9；0）3．已知随机变量(X,Y)~N(0.5，，Z?2X?Y， Z)，相关系数?XZ 试求：方差D(Z)，协方差COV(X，4．学校某课程的考试，成绩分优秀，合格，不合格三种，优秀者得3分，合格者得2分，不

合格者得1分。根据以往的统计，每批参加考试的学生中考得优秀、合格、不合格的，各占20％、70％、10％。现有100位学生参加考试，试用中心极限定理估计100位学生考试的总分在180至200分之间的概率。

13

（?(1.856)?0.9680） 5．设X1,X2,,Xn是取自总体X的一个样本，总体

??1???x X~f(x,?)????0,,x?(0,1)x?(0,1) ，(??0)。

?试求：(1) 未知参数?的矩估计量?；(2) 未知参数?的极大似然估计量?L；

(3) E(X)的极大似然估计量.

2??)，在5次独立的测试中，测得数 6．某种产品的一项质量指标X~N(?，据（单位：cm） 1.23 1.22 1.20 1.26 1.23试检验（??0.05） （1） 可否认为该指标的数学期望??1.23cm？

（2） 若指标的标准差??0.015，是否可认为这次测试的标准差显著偏大？

附 分布数值表

2?(1.45)?0.926,?(1.62)?0.9474,?(1.30)?0.9032,?(2.33)?0.99 t0.025(4)?2.7764,t0.025(5)?2.5706,t0.05(4)?2.1318,t0.05(5)?2.0150

?02.025(4)?11.143,?02.975(4)?0.484,?02.05(4)?9.488,?02.95(4)?0.711

概率论与数理统计复习题（三）答案

一. 选择题（18分，每题3分）

c b a c d b

二. 填空题（21分，每题3分）

1． 0.62； 2． 24； 3． 4/3 9/4 4． 1?F(a,b)?F(a,??)?F(??,b)；

5． 4 ； 6． 1/3 2； 7． 0,1 三. 计算题（54分，每题9分）

1． 解：令 A={取出为正品}， Bt={箱子中有t个正品}，t?0,1,2,?,n . 由已知条件，P(Bt)?1t，P(ABt)?,t?0,1,2,?,n， n?1nn11n1t?（1）由全概率公式，P(A)??P(Bt)P(ABt)?, ?n?1nt?02t?0 14

（2）由Bayes公式，P(BnA)?P(Bn)P(ABn)P(A)?1.

2(n?1)2. 解： fX(x)???2x?00?x?1其他

?1?y?fY(y)??1?y?0??1?y?00?y?1 其他3．解：E(Z)?0.9 D(Z)?25

cov(X,Z)?8

?XZ?4 54．解：设Xi为第I位学生的得分(i?1,2,?100)，则总得分X??Xi?1100i

E(Xi)?1.9 D(Xi)?0.29 E(X)?100?1.9?19 D(X)?100?0.29

P(180?X?200)??(200?19029180?190)??()

29?2?(1.856)?1?0.936

?X5．解：（1） 矩估计量 ????1?X? （2） 极大似然估计量 ?L????? ?22?n2????lnXi??i?1?2n

?(X)??（3） E(X)的极大似然估计量 E2?L??L?2?n2n2?2(?lnXi)2i?1n

7. 解：（1）假设 H0:??1.23;H1:??1.23. 当H0为真，检验统计量 T?X??0S/n~t(n?1)

15

t?(n?1)?t0.025(4)?2.7764 ， 拒绝域 W?(??,?2.7764]?[2.7764,??)

2 x?1.246,s?0.0288， [ x?1.23,s?0.0224 ]

2222T0?1.242?W，接受H0. [ T0?3.571?W，拒绝H0 ]

2222（2）假设 H0:??0.015;H1:??0.015.

当H0为真，检验统计量 ??2(n?1)S22?0~?2(n?1)

22??(n?1)??0.05(4)?9.488， 拒绝域 W?[9.488,??).

?02?14.86?W，拒绝H0 .

概率论与数理统计复习题（四） 一．判断题（10分，每题2分）

1. 在古典概型的随机试验中，P(A)?0当且仅当A是不可能事件 ( ) 2．连续型随机变量的密度函数f(x)与其分布函数F(x)相互唯一确定 ( ) 3．若随机变量X与Y独立，且都服从p?0.1的 (0，1) 分布，则X?Y ( ) 4．设X为离散型随机变量, 且存在正数k使得P(X?k)?0，则X的数学期望

E(X)未必存在( )

5．在一个确定的假设检验中，当样本容量确定时, 犯第一类错误的概率与犯第

二类错误的概率不能同时减少 ( ) 二．选择题（15分，每题3分）

1. 设每次试验成功的概率为p(0?p?1)，重复进行试验直到第n次才取

得r(1?r?n) 次成功的概率为 . (a) Cn?1p(1?p)(c) Cn?1pr?1r?1r?1rn?r； (b) Cnp(1?p)rrn?r；

(1?p)n?r?1； (d) pr(1?p)n?r.

2. 离散型随机变量X的分布函数为F(x)，则P(X?xk)? . (ａ) P(xk?1?X?xk)； (ｂ) F(xk?1)?F(xk?1)；

16

(ｃ) P(xk?1?X?xk?1)； (ｄ) F(xk)?F(xk?1). 3. 设随机变量X服从指数分布，则随机变量Y?max(X,2003)的分布函 数 .

(ａ) 是连续函数； (ｂ) 恰好有一个间断点； (ｃ) 是阶梯函数； (ｄ) 至少有两个间断点.

4. 设随机变量(X,Y)的方差D(X)?4,D(Y)?1,相关系数?XY?0.6,则

方差D(3X?2Y)? .

(ａ) 40； (ｂ) 34； (ｃ) 25.6； (ｄ) 17.6

5. 设(X1,X2,?,Xn)为总体N(1,2)的一个样本，X为样本均值，则下列结论中正

确的是 .

21n~t(n)； (ｂ) ?(Xi?1)2~F(n,1)； (ａ)

4i?12/nX?11n~N(0,1)； (ｄ) ?(Xi?1)2~?2(n). (ｃ)

4i?12/nX?1二. 填空题（28分，每题4分）

1. 一批电子元件共有100个, 次品率为0.05. 连续两次不放回地从中任取

一个, 则第二次才取到正品的概率为 2. 设连续随机变量的密度函数为f(x)，则随机变量Y?3e的概率密度函数

为fY(y)?

3. 设X为总体X~N(3,4)中抽取的样本(X1,X2,X3,X4)的均值, 则

XP(?1?X?5)＝ .

4. 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为

f(x,y)???1,?0,y?x,0?x?1;其他

则条件密度函数为,当 时 ,fYX(yx)?

5. 设X~t(m),则随机变量Y?X服从的分布为 ( 需写出自由度 ) 6. 设某种保险丝熔化时间X~N(?,?)（单位：秒），取n?16的样本，得

22 17

样本均值和方差分别为X?15,S?0.36，则?的置信度为95%的单侧 置信区间上限为

7. 设X的分布律为

X 1 2 3

2P ?2 2?(1??) (1??)2

已知一个样本值(x1,x2,x3)?(1,2,1)，则参数的极大似然估计值 为

三. 计算题（40分，每题8分）

1. 已知一批产品中96 %是合格品. 检查产品时，一合格品被误认为是次品的 概率是0.02；一次品被误认为是合格品的概率是0.05．求在被检查后认 为是合格品的产品确实是合格品的概率 2．设随机变量X与Y相互独立，X，Y分别服从参数为?,?(???)的指数 分布，试求Z?3X?2Y的密度函数fZ(z).

3．某商店出售某种贵重商品. 根据经验，该商品每周销售量服从参数为??1 的泊松分布. 假定各周的销售量是相互独立的. 用中心极限定理计算该商店一年内（52周）售出该商品件数在50件到70件之间的概率. 4. 总体X~N(?,?)，(X1,X2,?,Xn)为总体X的一个样本.

求常数 k , 使k2?i?1nXi?X为? 的无偏估计量.

25．（1） 根据长期的经验，某工厂生产的特种金属丝的折断力X~N(?,?)

（单位：kg）. 已知??8 kg， 现从该厂生产的一大批特种金属丝中 随机抽取10个样品，测得样本均值x?575.2 kg. 问这批特种金属丝的 平均折断力可否认为是570 kg ？ （??5%）

（2） 已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布N(?,0.048). 某日抽取

5个样品，测得其纤度为: 1.31， 1.55， 1.34， 1.40， 1.45 . 问 这天的纤度的总体方差是否正常？试用??10%作假设检验. 四. 证明题（7分）

设随机变量X,Y,Z相互独立且服从同一贝努利分布B(1,p). 试证明随机变量

2 18

X?Y与Z相互独立.

附表： 标准正态分布数值表 ?分布数值表 t分布数值表

2?(0.28)?0.6103 ?0.05(4)?9.488 t0.025(15)?2.1315 2?(1.96)?0.975 ?0.95(4)?0.711 t0.05(15)?1.7531 2?(2.0)?0.9772 ?0.05(5)?11.071 t0.025(16)?2.1199 2?(2.5)?0.9938 ?0.95(5)?1.145 t0.05(16)?1.7459

2

概率论与数理统计复习题（四）参考答案

一. 判断题（10分，每题2分） 是 非 非 非 是 . 二. 选择题（15分，每题3分） （ａ）（ｄ）（ｂ）（ｃ）（ｄ）. 三. 填空题（28分，每题4分）

?1yf[ln(y/3)])1.1/22 ； 2. fY(y)??0??1/(2x)4. 当0?x?1时fYX(yx)???0y?0 ； 3.0.9772 ； y?0；

?x?y?x其他5. F(1,m) 6. 上限为 15.263 . 7. 5 / 6 .

四. 计算题（40分，每题8分）

1. A 被查后认为是合格品的事件，B 抽查的产品为合格品的事件. (2分)

P(A)?P(B)P(AB)?P(B)P(AB)?0.96?0.98?0.04?0.05?0.9428， (4分)

P(BA)?P(B)P(AB)/P(A)?0.9408/0.9428?0.998. (2分) ??e??x2. fX(x)???0分)

??e??y fY(y)??其他?0x?0y?0 (1其他z?0时，FZ(z)?0，从而 fZ(z)?0； (1分) z?0时， fZ(z)??所以

12??????z/30fX(x)fY[(z?3x)/2]dx (2分)

12??e??x??[(z?x)/2]dx???(e??z/3?e??z/2) (2分)

3??2? 19

???(e??z/3?e??z/2),? fZ(z)??3??2???0,???(e??z/2?e??z/3),?[ fZ(z)??2??3???0,z?0z?0z?0z?0

] (2分)

3. 设 Xi为第i周的销售量, i?1,2,?,52 Xi~P(1) (1分)

则一年的销售量为 Y??Xi?152i，E(Y)?52, D(Y)?52. (2分)

由独立同分布的中心极限定理，所求概率为

?????? P(50?Y?70)?P??2?Y?52?18????18????2??1 (4分)

??????5252??52?52??52???(2.50)??(0.28)?1?0.9938?0.6103?1?0.6041. (1分)

4. 注意到

Xi?X?1??X1?X2??(n?1)Xi???Xn?nn?12E(Xi?X)?0,D(Xi?X)??n?n?12?Xi?X~N?0,??z2????n?n?122?1nE(|Xi?X|)??|z|edz??n?12??n?2???(2分)(1分)0z1en?12??nn?z2n?122?ndz?2n?1?2?nn?令n?1??(3分)

??k?E?k|X?X|??i????i?1??i?1k?

n2??kn2E|Xi?X|????2n(n?1)（2分）5. (1) 要检验的假设为 H0:??570,H1:??570 (1分)

20

解E??k?1?x3kpk?(?2)?0.4?0?0.3?2?0.3??0.2E(??E?)3???(xk?13k?E?)3pk?[?2?(?0.2)]3?0.4 + (0 ??0.2)3 ?0.3 ??(2?0.2)3? 0.3 17：

??0.864.

一个零件的重量是随机变量?i,E?i?10(克),D?i?1.试用中心极限定理求一盒同型号零件(100个)的重量大于1020克的概率的近似值(设各个零件的重量相互独立)(已知F0,1(2) ??0.97725,F0,1(0.2) ? 0.5793,F0,1(20) ? 1 ). 解?i表示第i个零件的重量,则E?i? 10,D?i? 1( i?? 1,2,…,100 )记??100i?1??i则E? ? 1000,D? ? 100,D??10???10001020?1000?P???1020??P???10?10????1000????1000??P??2??1?P??2??10??10? 18:

?1?F0,1(2) ? 1?0.97725 ? 0.02275.设总体X~N(?, 0.09)现获得6个观察值:15.1 , 15.2 , 14.8 , 14.9 , 15.1 , 14.6 求总体均值?的98%的置信区间. (注:u0.99?2.33,u0.975?1.96,u0.995?2.57,u0.95?1.64).

26

解1???0.98,u0.99?2.33?2?0.01,1??2?0.99,n?6?0.31?u0.99??2.33?0.285,X?62.45n?xi?16i?14.95??的98%的置信区间为: 19:

(14.5?0.285,14.95?0.285)?(14.665,15.25). (1)设总体X服从区间[a, 8]上的均匀分布,求a的矩估计量.(2)设总体X服从区间[3, b]上的均匀分布,求b的矩估 计量.

解(1)?E(X)??a?2X?8.(2)?E(X)? a?8得a?2EX?823?b得b?2EX?32 ?b?2X?3. 20：

我国出口的凤尾鱼罐头,标准规格是每罐净重250克,依倨以往经验,标准差是3克,现在某食品厂生产一批供出口用的这种罐头,从中抽取100罐进行检验,得其平均净重是251克.按显著性水平???0.05,问该批罐头是否合乎出口标准.据经验每罐净重X服从正态分布N(?,?2). (已知u0.95?1.65).

27

解问题为?? 0.05,要检验假设H0:??250;H1:??250(?已知)x??0251?250u???3.33.?n3100由于u?3.33?1.65?u0.95?u1??,故拒绝H0,即认为罐头的净重偏高. 注:用双侧检验H0:??250;H1:??250也可.X~N(a,?2 21：证明题：

),X1,Xi2,?,Xn为X的一个样本,试证?E?明??i ??1n?X?X?2????n?1??2.??

?n?2解E??Xi?X???E??Xi?a???X?a?2????i?1??n?n?22?E??Xi?a??2?X?a??Xi?a??n?X?a?????i?1?i?1??n?n???122?????Xi?a??2n?X?a?Xi?a?n?X?a???n????i?1??i?1????n?22?E??Xi?a??n?X?a???n?2?nE?X?a?2?i?1????2?n??n

?2n??n?1??2. 复习题（六）答案与评分标准

一．填空题（2??14?28?）

1．已知P(A)?1111,P(BA)?,P(AB)?,则P(A?B)? 。

34322．有零件8件，其中5件为正品，3件为次品。从中任取4件，取出的零件中有2件正品

2242件次品的概率为C5?C3C8?3；

7 28

3．抛掷均匀的硬币，直到出现正面向上为止，则抛掷次数X的概率分布为

P(X?k)?0.5?0.5k?1?0.5k,k?1,2,?，X服从分布G(0.5)。

?c?, x?14．设随机变量X的密度函数为p(x)??x2 ，则常数c? 1 ，X的分布函数

??0, x?1??0, x?1。 F(x)??11?, x?1?x??2x, 0?x?125．设随机变量X的密度函数为pX(x)?? ，则随机变量Y?X的密度函

?0, 其他数pY(y)???1, 0?y?1。

?0, 其它 6．已知(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)，且a?b,c?d，则P(a?X?b,c?Y?d)?

F(b,d)?F(b,c)?F(a,d)?F(a,c)。

7．设X~N(1,2)，Y~N(3,4)，且X和Y相互独立，则Z?2X?Y的密度函数

pZ(z)?126?e?(z?5)224,???z???。

28．(X,Y)~N(1,0,4,9,0.5)，则Y~N(0,9)，E[(X?Y)]? 8 。 9．设(X,Y)的联合概率分布为

Y X 0 1

则X的概率分布为

29

0 0.1 0.8 1 0.1 0 0 0.2 1 0.8 X P 相关系数?XY??2。 31n10．设随机变量X1,X2?,Xn独立同分布, EX1??, DX1?8,记Yn??Xi，则用

ni?1切比雪夫不等式估计P(Yn???2)?1?2。 n二．简答题（6?）

叙述数学期望和方差的定义（离散型），并且说明它们分别描述什么？

（2分） ?xp绝对收敛，则EX??xp。

iiiii?1i?1??数学期望：

EX描述X取值的平均。（1分）

2方差： E(X?EX)存在，则DX?E(X?EX)（2分）

2（1分） DX描述X相对于EX的偏差。

三．分析判断题（判断结论是否正确，并说明理由，5??2?10?）

1．设随机变量X的分布函数为F(x)，a?b，则P(a?X?b)?F(b)?F(a)。 不一定正确。（2分）

如X为连续型随机变量，则P(a?X?b)?F(b)?F(a)；如X为离散型随机变量，且。（3分） P(X?a)?0，则P(a?X?b)?F(b)?F(a)（或举反例）2．若随机变量X和Y不相关，则D(X?Y)?DX。 正确。（2分）

D(X?Y)?DX?DY?2Cov(X,Y)(1分）?DX?DY（1分)?DX（1分）.

四．计算题（10??10??18??8??10??56?）

1．（4??3??3??10?）进行4次独立试验，在每次试验中A出现的概率均为0.3。如果A不出现，则B也不出现；如果A出现一次，则B出现的概率为0.6；如果A出现不少于两

30

次，则B出现的概率为1。试求：

（1）4次独立试验中A出现 i 次的概率(0?i?4)； （2）B出现的概率；

（3）在B出现的情况下，A出现一次的概率。 记X为4次独立试验中A出现的次数， （1）P(X?i)?C40.30.7ii4?i, i?0,1,2,3,4;（4分）

（2）P(B)??P(X?i)P(B|X?i)（1分）

i?04 ?C?0.3?0.7?0.6?143ii4?iC0.3?0.7（1分） ?4i?24 ?0.59526（1分）

1?0.3?0.73?0.6P(X?1)P(B|X?1)C4??0.4149（3分） （3）P(X?1|B)?P(B)0.595262．（5??5??10?）向某一个目标发射炮弹，设弹着点到目标的距离X（单位：米）的密度

函数为

x?1?2500?,x?0 ， p(x)??1250xe?0,x?0?2如果弹着点距离目标不超过50米时，即可摧毁目标。 求：（1）发射一枚炮弹，摧毁目标的概率；

（2）至少应发射多少枚炮弹，才能使摧毁目标的概率大于0.95？

（1）p?P(X?50)??500?1xe2500dx?1?e?1（5分） 1250x2（2）设至少发射n枚炮弹，则 1?e?n?0.95，（3分） n?3（2分）

3．（6??3?18?）设二维随机向量(X,Y)的联合密度函数为

31

?C,0?x?1,x2?y?x p(x,y)??，

其他?0,试求：（1）常数C；

（2）边际密度函数pX(x),pY(y)，并讨论X和Y的独立性； （3）P(2Y?X) 。

（1）C?dx?2dy?1（3分）

0x1x C?6 （3分）

??6(x?x2), 0?x?1?6(y?y), 0?y?1（2）pX(x)?? （2分）pY(y)??（2分）

0, 其它???0, 其它 不独立（2分）

120x2x2（3）P(2Y?X)?? dx?6dy（4分）1（2分） 84．（8?）如果你提前s分钟赴约，花费为cs（单位：元）；如果迟到s 分钟，花费为ks（单

?位：元）。假设从现在的位置到赴约地点所用的时间X~U[10,30]（单位：分钟）。欲使平均花费最小，确定应该提前离开的时间。 设赴约前t分钟离开，则花费 C?f(X)??30?c(t?X),X?t，(3分)

?k(X?t),X?tEC?Ef(X)??f(x)p(x)dx

10

3011ck??c(t?x)dx??k(x?t)dx?(?)t2?(10c?30k)t?(50c?450k)（3分） 10t20202210c?30k（2分） EC最小，t*?c?kt5．（10?）已知红黄两种番茄杂交的第二代结红果的植株与结黄果的植株的比率为3:1。现

32

种植杂交种400株，试求结黄果植株介于83到117之间的概率。 记X为结黄果植株数，则X~B(400,)（3分），

14?117?400?0.25??83?400?0.25?P(87?X?117)????????????（4分）

?400?0.25?0.75??400?0.25?0.75?

?2??1.96??1?0.95（3分） 参考数据：

?(1.65)?0.95,?(1.69)?0.954, ?(1.96)?0.975.

复习题七

一、 单项选择（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，并将答案其代码填

入题干后的括号内，每题2分，共20分） 1.设随机事件A,B互斥，则P(A?B)=（ ） A 1?P(A)?P(B) B 1?P(A) C P(A)?P(B) D P(A)P(B)

2.设P(A) =0.6，P(B) =0.3，P(AB) =0.1，则P(B?A) =（ ）

A 0.3 B 0.2 C 0.5 D 0.4

3.甲、乙、丙三人各自独立地向某一目标射击一次，三人的命中率分别为0.5，0.6和0.7，则至多有两人击中目标的概率为 （ ） A 0.09 B 0.21 C 0.44 D 0.79

4.已知随机变量X~B(n,p)，且已知E(X) =6，D(X) =2则P(X?1) =（ ）

?1??2??2?A 1??? B ?? C 1??? D ?3??3??3?999?1?

???3?95.已知随机变量X和Y相互独立,且都服从参数为λ的泊松分布，则X+Y与2X的关系是 A数学期望相等 B 相同的分布 C 方差相等 D以上均不成立

6.设随机变量X服从N(μ,1),φ(x)为标准正态分布的分布函数, P(X≤μ)= A φ(μ) B 0.5 Cφ(1) D 1-φ(μ) 7.设随机变量X的分布列为:

X P 0 0.1 1 0.3 2 0.4 3 0.2 设F(X)为其分布函数,则F(2)= A 0.2 B 0.4 C 0.8 D1

33

28.设X1?X2为取自总体的X的样本, E(X)??,D(X)??,则以下结论正确的一个是

( ) A

?i?1nXi是?的无偏估计量 BX是?的无偏估计

2

222

C Xi是? 的无偏估计 D X是?的无偏估计

9.设总体X~ N??,??，?22未知，如需通过样本 X1，, Xn检验假设

?H0??0:?1，

需用的检验统计量是（ ）

Ａ T?X??X??X??X?? Ｂ T? Ｃ T? Ｄ T?

SSn?n?n?12１０.一元线性回归模型Yi?a?bxi??i，?i~N0,?且相互独立，那么Yi～（ ）

??A N0,??2? B N?0,1? C N?a?b,1? D N?a?b,??

2i二、填空题（每空2分，共20分）

1．有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在这两批种子中随机各地抽取1粒，则这两粒种子都能发芽的概率是＿＿＿，这两粒种子仲恰好有１粒发芽的概率是＿＿＿。 ２.设离散型随即变量Ｘ的分布律为ｐ（Ｘ＝ｋ）＝＝＿＿＿．Ｐ（Ｘ＜３）＝＿＿＿。 ３.若随机变量X~N?,?从＿＿＿分布。

４.设X1……Xi为取自N?,?c，ｋ＝１，２，……５，则ｃ

??kk?1?2X????，则随机变量Y?X??服从＿＿＿分布，而Z????服

?????2?总体的样本，X为样本均值，已知k?X???服从?22分

布，则ｋ的值应是＿＿＿，其自由度应该是＿＿＿。

５.假设检验中，犯第一类错误的概率为＿＿＿＿＿＿犯第二类错误的概率为＿＿＿＿＿。 三.判断题（认为对的，再题后的括号内打“√”，认为错的打“×”。每小题2分，共十分） 1.若事件A,B的概率满足P?A??P?B?.则必有A?B ( ) 2.若事件A、B互斥，则P(AB)=0.反之亦然。 （ ） 3.若随机变量X~N?0,1?,则随机变量Y??X??~N??,??.( ) 4、随机变量X,Y相互独立的充要条件是它们的相关系数

?xy=0 ( )

25、或?为未知总体X的方差，nS21n222limESn(X?X)=?i 为样本方差，则有=?

n??ni?134

( )

四、计算题（每小题8分，共40分）

1、设一个袋子里装了1－５号的五只球，今从中任意地取出３只球，以Ｘ表示取出的三只球中的最小号码，求：（１）Ｘ的分布律；（２）E(X)和D(X).

1?x2?6x?9exp() ，如果Ｙ的密2、已知连续性随机变量Ｘ的密度函数为f(x)?66??x2?6x?9) , (??度函数为g(x)?C?x?exp(6?x??) ，试求常Ｃ和Ｅ(Ｙ)

???x??1,0?x?13、设总体X的概率密度函数为：p(xi,?)?? (?>0,未知) 试求未知

0,其他?参数? 的矩阵计量。

24、设某次考试的考生成绩X服从N(?,?) , ?,? 均未知，从中随机地抽取25名

2考生的成绩，计算得到平均成绩x=67.5 分 ，标准差s=10.5 分 ，试问在显著性水平?=0.05 下，是否可以认为全体考生的平均成绩为70分？

(t0.05(25)=1.708, t0.025 (25)=2.0595, t0.05(24)=1.711, t0.025 (24)=2.064) 5、已知：n=6,

?xi?1ni=426,

?xi?1n2i=30268,

?yi?1ni=21,

?xyii?1ni=1481,

?yi?1n2i=79.

试计算相关系数，确定y关于x的回归直线方程。

五、证明题（每小题5分，共10分）

1、对于任意的常数C，试证明：E(X?C)?D(X). 2、设总体X服从f(n) 分布，证明：X服从F(1,n)分布.

复习题（七）参考答案及评分标准

（2010）

一、单项选择题（每小题2分，共20分）

1、A 2、B 3、D 4、C 5、A 6、B 7、C 8、D 9、A 10、D 二．填空题（每空处两分，共20分） 1. 0.56 0.38 2. 6/5 4/5 3.N(0, 1) 分布（标准正态分布） ?(1)分布 4. ?/? 1

5. ??p(拒绝HO|HO为真） ?=P(接受HO|HO为假） 三、判断题（每小题2分，共10分）

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