湖北省黄冈中学高考数学压轴题精编精解（五）

湖北省黄冈中学高考数学压轴题精编精解五 41．已知数列

的首项（1）证明：（2）设

的首项，

（

（a是常数，且

）。

），

（

），数列

从第2项起是以2为公比的等比数列；

的前n项和，且

的最小项。

上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1。

是等比数列，求实数a的值；

为数列

（3）当a>0时，求数列42．已知抛物线C：

（1）求抛物线C的方程；

（2）若过焦点F的直线交抛物线于M、N两点，M在第一象限，且|MF|=2|NF|，求直线MN的方程； （3）求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题．

例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥 的体积”．求出体积

后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为

，求所有侧面面积之和的最小值”．

，求侧棱长”；

也可以是“若正四棱锥的体积为

现有正确命题：过点的直线交抛物线C：于P、Q两点，设点P关于x轴的

对称点为R，则直线RQ必过焦点F。

试给出上述命题的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题。

43．已知函数f(x)= (I)写出

，

的值;

，设正项数列满足=l，．

(Ⅱ)试比较与的大小，并说明理由；

(Ⅲ)设数列满足=－，记Sn=．证明：当n≥2时,Sn＜(2n－1)．

44．已知函数f(x)=x3－3ax(a∈R)． (I)当a=l时，求f(x)的极小值；

(Ⅱ)若直线菇x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f(x)的切线，求a的取值 范围；

(Ⅲ)设g(x)=|f(x)|，x∈[－l，1]，求g(x)的最大值F(a)的解析式． 45．在平面直角坐标系中，已知三个点列{An}，{Bn}，{Cn}，其中

线上

，满足向量

与向量共线，且点（B，n）在方向向量为（1，6）的

（1）试用a与n表示；

（2）若a6与a7两项中至少有一项是an的最小值，试求a的取值范围。 46．已知

（1）求轨迹E的方程；

（2）若直线l过点F2且与轨迹E交于P、Q两点. （i）无论直线l绕点F2怎样转动，在x轴上总存在定点

，使

恒成立，求实数m的值.

，记点P的轨迹为E.

（ii）过P、Q作直线47．设x1、 （1）若 （2）若 （3）若48{an}

（1）求{an}的通项an;

．

已

的垂线PA、OB，垂足分别为A、B，记

的两个极值点.

，求函数f(x)的解析式；

的最大值；

，求证：

知

，

成等差数列.

，求λ的取值范围.

若

数

列

（2）设 若{bn}的前n项和是Sn，且

49．点P在以为焦点的双曲线上，已知，

，O为坐标原点．

（Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）过点P作直线分别与双曲线渐近线相交于双曲线E的方程； （Ⅲ）若过点

（

两点，且，，求

为非零常数）的直线与（2）中双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、

N，且（为非零常数），问在轴上是否存在定点G，使？若存在，

求出所有这种定点G的坐标；若不存在，请说明理由． 50.已知函数（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）是否存在的值，使直线值；如果不存在,说明理由． （Ⅲ）如果对于所有

的,都有

成立，求的取值范围．

既是曲线

的切线，又是

的切线；如果存在，求出的

，

，和直线

，又

．

黄冈中学2011年高考数学压轴题汇总

详细解答 41.解：（1）∵∴ 由∵即

得，∴

(n≥2) …………3分 ，，…………4分

，

从第2项起是以2为公比的等比数列。…………5分

（2 …………8分

当n≥2时，

∵是等比数列, ∴(n≥2)是常数，

∴3a+4=0，即（3）由（1）知当

。…………11分 时，

，

所以所以数列

，…………13分

为2a+1，4a，8a-1，16a，32a+7，……

显然最小项是前三项中的一项。????15分

当时，最小项为8a-1；

当时，最小项为4a或8a-1；………16分

当时，最小项为4a；

当时，最小项为4a或2a+1；…………17分

当

42. 解：（1）

时，最小项为2a+1。…………18分

…………4分

（2）设（t>0），则，F(1,0)。 ，…………6分

因为M、F、N共线，则有

所以，解得，…………8分

所以，…………10分

。…………11分

因而，直线MN的方程是（3）“逆向问题”一： ①已知抛物线C：

的焦点为F，过点F的直线交抛物线C于P、Q两点，设点P关于x轴

的对称点为R，则直线RQ必过定点。…………13分

证明：设过F的直线为y=k(x)，，，则

由得，所以，…………14分

，????15分

=

所以直线RQ必过焦点A。????17分 [注：完成此解答最高得6分。] ②过点

，????16分

的直线交抛物线C于P、Q两点，FP与抛物线交于另一点R，则RQ垂直于x轴。

[注：完成此解答最高得6分。] ③已知抛物线C：

，过点B(m,0 )（m>0）的直线交抛物线C于P、Q两点，设点P关于x

轴的对称点为R，则直线RQ必过定点A(-m,0)。 [注：完成此解答最高得7分，其中问题3分。]

“逆向问题”二：已知椭圆C：的焦点为F1(-c,0)，F2(c,0)，过F2的直线交椭圆C于P、Q两

点，设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过定点[注：完成此解答最高得9分，其中问题4分。] “逆向问题”三：已知双曲线C：

。

的焦点为F1(-c,0)，F2(c,0)，过F2的直线交双曲线C于P、Q

两点，设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过定点[注：完成此解答最高得9分，其中问题4分。] 其它解答参照给分。

。

43．(1)（2）因为

，因为所以

所以……………………………… 2分 …………………………………3分

,?????????????????5分

因为所以与同号，………………………………………………6分

因为，

?，即……………………………………………………………………8分

（3）当时，

，??????????????????????????10分

所以

，……………………………………………12分

所以

44．（1）∵当a=1时 当 ∴∴

在

时

，当

上单调递减，在

，令

…………14分

=0，得x=0或x=1………………………2分

时

上单调递增，

的极小值为=-2.………………………………………………………………4分

………………………………………………………………6分

=0对任意的

总不是曲线

的切线，当且仅当-1<-3a,

（2）∵ ∴要使直线

∴ （3）因 ① 当

.…………………………………………………………………………………………8分

在[-1,1]上为偶函数,故只求在 [0,1]上最大值，…………9分

时，

，

在

上单调递增且

,

∴ ② 当i .当

时

，即

，∴.…………………………………………10分

时

，

在

上单调递增，此时

……………………………………………………………………12分

ii. 当

，即

时，

在

上单调递减，在>

上单调递增.

10 当减，故

即时，

.……………………………………14分

在上单调递增，在>上单调递

20当即时，

（ⅰ）当

片 14425\src=\即时，

（ⅱ） 当即时，

综上………………………………………………16分

45．（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分8分,第2小题满分6分 （1）

又∵{Bn}在方向向量为（1，6）的直线上，

（2）∵二次函数是开口向上，对称轴为的抛物线

又因为在a6与a7两项中至少有一项是数列{an}的最小项，

∴对称轴

46．（本题满分14分）本题共2个小题,第1小题满分4分,第2小题满分10分 解：（1）由

知，点P的轨迹E是以F1、F2为焦点的双曲线右支，由

，故轨迹E的方程为

（2）当直线l的斜率存在时，设直线方程为得

，

…………4分

，与双曲线方程联立消y

解得k2 >3 ??????????????????????????????5分

（i）

故得

恒成立，

，

对任意的

∴当m =－1时，MP⊥MQ. 当直线l的斜率不存在时，由

知结论也成立，

综上，当m =－1时，MP⊥MQ. ????????????????????8分

（ii）是双曲线的右准线，……………………………9分

由双曲线定义得：，

方法一：

???10分

，????????????????12分

注意到直线的斜率不存在时，，

综上， ………………………………………………………………14分

方法二：设直线PQ的倾斜角为θ，由于直线PQ与双曲线右支有二个交点，

，过Q作QC⊥PA，垂足为C，则

????12分

由

故： ………………14分

47．（本题满分16分）本题共3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分，第3小题满分6分 解： （1）

………1分

是函数f(x)的两个极值点，

????????????????????????2分

?????????3分

??????????????????????4分

（2）∵x1、x2是 f(x)是两个极值点，∴x1、x2是方程

的两根.

恒成立.

∵△= 4b2 + 12a3， ∴△>0对一切a > 0，

????????6分

由 ??????7分

???????????????? 8分

令

在（0，4）内是增函数；

∴h (a)在（4，6）内是减函数.

∴a = 4时，h(a)有极大值为96，∴b的最大值是

上的最大值是96，

?????????????????????????10分

的两根，

（3）证法一：∵x1、x2是方程

，???????????????????? 12分

???? 14分

??????????????16分

证法二：∵x1、x2是方程

的两根，

.???????????????????? 12分

∵x1 < x < x2，

??????????????????? 14分

?????????????????16分

48．（14分）解：设2，f(a1), f(a2), f(a3),??，f(an),2n+4的公差为d，则 2n+4=2+(n+2－1)d

d=2,??????????（2分）

????????（4分）

（2）

，

49．解：（I）

（II）渐近线为设

，

代入化简

（III）假设在轴上存在定点设

使联立与

的方程得

，

故

由

∴（3）即为

，将（4）代入（1）（2）

有代入（5）得

故在轴上存在定点50．解：（Ⅰ）因为(Ⅱ)因为直线先求直线

使

,所以

。 即

,所以a=－2.

恒过点（0，9）.

,因为

,将点（0，9）代入得

.

.

是y=g(x) 的切线.设切点为

所以切线方程为

当由当当又由当当

时，切线方程为y=9, 当得时，时，

得

时时

时

的切线为的切线为

的切线的切线方程为

时，切线方程为y=12x+9. ，即有

，

是公切线， 或， ，

，不是公切线 ，

综上所述 (Ⅲ).（1）

是两曲线的公切线 得

，当

，不等式恒成立，

.

当时，不等式为，

而

当当（2）由

时，不等式为

时,

得

，

恒成立，则

当时，恒成立，，当时有

设=，

当要使

时

在

，

为增函数，上恒成立，则

也为增函数

由上述过程只要考虑

则当在

时

时

，即.

，在

=时而当

,

时

在

，

时有极大值即

在一定成立

上的

最大值，又综上所述

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