四川省绵阳市2022届高三第二次诊断性测试试题 数学(文)【含解析

四川省绵阳市2020届高三第二次诊断性测试试题

数学（文）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设全集{}|0U x x =>，{}2|1x M x e e =<<，则U C M =（ ）

A. ()1,2

B. ()2,+∞

C. (][)0,12,+∞

D. [)2,+∞

【答案】D

【解析】

【分析】 先确定集合M 的元素，再由补集定义求解．

【详解】由题意2{|1}{|02}x M x e e x x =<<=<<，∴{|2}U C M x x =≥．

故选：D ．

【点睛】本题考查补集的运算，解题时需确定集合的元素后才能进行集合的运算．本题还考查了指数函数的单调性．

2.已知i 为虚数单位，复数z 满足12z i i ?=+，则z =（ ）

A. 2i -

B. 2i +

C. 12i -

D. 2i - 【答案】A

【解析】

【分析】

由除法计算出复数z ． 【详解】由题意122i z i i

+=

=-． 故选：A ．

【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题．

3.已知高一（1）班有学生45人，高一（2）班有50人，高一（3）班有55人，现在要用分层抽样的方法从这三个班中抽30人参加学校“遵纪守法好公民”知识测评，则高一（2）班被抽出的人数为（ ）

A. 10

B. 12

C. 13

D. 15 【答案】A

【解析】

【分析】

分层抽样是按比例抽取人数．

【详解】设高一（2）被抽取x 人，则

5030455055x =++，解得10x =． 故选：A ．

【点睛】本题考查分层抽样，属于基础题．

4.已知向量()1,2a =，()1,b x =-，若//a b ，则b =（ ） 5 B. 52 5 D. 5

【答案】C

【解析】

【分析】

根据向量平行的坐标运算计算出x ，再由模的坐标表示求模．

【详解】∵//a b ，∴12(1)0x ?-?-=，2x =-，∴22(1)(2)5b =

-+-=． 故选：C ．

【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，考查向量模的坐标表示．属于基础题．

5.已知α为任意角，则“1cos 23α=

”是“3sin 3α=”的（ ） A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要 【答案】B

【解析】

分析】 说明命题1cos 23α=?3sin α=和3sin α=?1cos 23α=是否为真即可． 【详解】21cos 212sin 3a α=-=，则3sin α=，因此“1cos 23α=”是“3sin 3

α=”的必要不充

分条件．

故选：B ．

【点睛】本题考查充分必要条件的判断，只要命题p q ?为真，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．

6.已知()2,0M ，P 是圆N ：22

4320x x y ++-=上一动点，线段MP 的垂直平分线交NP 于点Q ，则动点Q 的轨迹方程为（ ） A. 22

195

x y += B. 22159x y -= C. 13? ,? 10a k c =-= D. 22195

x y -= 【答案】A

【解析】

【分析】 利用6QM QN QP QN PN +=+==，确定M 点轨迹是椭圆，从而易求得其方程．

【详解】由题意圆标准方程为22

(2)36x y ++=，圆心为(2,0)N -，半径为6，

∵线段MP 的垂直平分线交NP 于点Q ，∴QP QM =， ∴6QM QN QP QN PN +=+==4MN >=，

∴Q 点轨迹是以,M N 为焦点，长轴长为6的椭圆，

∴3,2a c ==，225b a c -= ∴其轨迹方程为22

195

x y +=． 故选：A ．

【点睛】本题考查用椭圆的定义求轨迹方程，属于基础题．根据椭圆定义确定动点轨迹是椭圆，然后求出,a b 得标准方程，要注意所求轨迹方程是不是圆锥曲线的标准方程．

7.已知某产品的销售额y 与广告费用x 之间的关系如下表： x （单位：万元） 0 1

2 3 4 y （单位：万元） 10

15 m

30 35 若根据表中的数据用最小二乘法求得y 对x 的回归直线方程为 6.59y x =+，则下列说法中错误的是

（ ）

A. 产品的销售额与广告费用成正相关

B. 该回归直线过点()2,22

C. 当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元

D. m 的值是20

【答案】C

【解析】

【分析】

根据回归直线方程中x 系数为正，说明两者是正相关，求出x 后，再由回归方程求出y ，然后再求得m ，同样利用回归方程可计算出10x =时的预估值．

【详解】因为回归直线方程中x 系数为6.5＞0，因此，产品的销售额与广告费用成正相关，A 正确； 又0123425

x ++++==，∴ 6.52922y =?+=，回归直线一定过点(2,22)，B 正确； 10x =时， 6.510974y =?+=，说明广告费用为10万元时，销售额估计为74万元，不是一定为74万元，C 错误； 由10153035225m y ++++=

=，得20m =，D 正确． 故选：C ．

【点睛】本题考查回归直线方程，回归直线方程中x 系数的正负说明两变量间正负相关性，回归直线一定过中心点(,)x y ，回归直线方程中计算的值是预估值，不是确定值．

8.甲、乙、丙三位客人在参加中国（绵阳）科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为（ ）

A . 18

B. 14

C. 38

D. 12

【答案】B

【解析】

【分析】

可用列举法写出三人选择景点的各种情形．然后计数后可概率．

【详解】两景点用1，2表示，三人选择景点的各种情形为：甲1乙1丙1 ，甲1乙1丙2 ，甲1乙2丙1 ，甲2乙1丙1 ，甲2乙2丙1 ，甲2乙1丙2 ，甲1乙2丙2 ，甲2乙2丙2 共8种，其中三人去

同一景点的有甲1乙1丙1 和甲2乙2丙2两种，所以概率为2

184P ==．

故选：B ．

【点睛】本题考查古典概型，解题时可用列举法写出所有的基本事件．

9.双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的右焦点为F ，过F 作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于A ，B 两点，若四边形OAFB （O 为坐标原点）的面积为bc ，则双曲线的离心率为（ ） 2

B. 2 3 D. 3 【答案】B

【解析】

【分析】

把四边形OAFB 面积用,,a b c 表示出来，它等于bc ，变形后可求得离心率．

【详解】由题意(c,0)F ，渐近线方程为b y x a =±，不妨设AF 方程为()b y x c a

=--， 由()b y x c a b y x a ?=--????=??，得22c x bc y a ?=????=??，即(,)22c bc A a ，同理(,)22c bc B a -， ∴21(2)222OAFB bc bc S c a a =???=，由题意22bc bc a

=，∴2c a =． 故选：B ．

【点睛】本题考查求双曲线的离心率．求离心率关键是找到关于,,a b c 的一个等式，本题中四边形OAFB 的面积是bc 就是这个等式，因此只要按部就班地求出其面积即可得．

10.已知圆C ：22280x y x +--=，直线l 经过点()2,2M ，且将圆C 及其内部区域分为两部分，则当这两部分的面积之差的绝对值最大时，直线l 的方程为（ ）

A. 220x y

B. 260x y +-=

C. 220x y --=

D. 260x y +-= 【答案】D

【解析】

【分析】

如图，设设AOB θ∠=(0)θπ<≤，求出直线l 分圆所成两部分面积之差的绝对值9(sin )S πθθ=-+，利用导数确定函数的单调性，确定出当θ最小时S 最大，由圆的性质知θ最小时，CM AB ⊥，从而可求得直线方程．

【详解】圆C 标准方程为22

(1)9x y -+=，圆心为(1,0)C ，半径为3r =，

直线l 交圆于,A B 两点，设AOB θ∠=(0)θπ<≤，如图，则直线l 分圆所成两部分中较小部分面积为

22111sin 22S r r θθ=-，较大部分面积为22211(2)sin 22

S r r πθθ=-+， ∴这两部分面积之差的绝对值为22221sin 9(sin )S S S r r r πθθπθθ=-=-+=-+，

'9(1cos )0S θ=-+≤，∴9(sin )S πθθ=-+是减函数，θ最小时，S 最大．

在CAB ?中，2222218cos 218r AB

AB r θ--==，∴AB 最小时，cos θ最大，从而θ最小．

∵AB 经过点M ，∴由圆的性质知当CM AB ⊥时，AB 取得最小值.此时112AB CM k k =-

=-，∴直线l 方程为12(2)2

y x -=-

-，即260x y +-=． 故选：D ． 【点睛】本题考查直线与圆相交问题，解题关键是引入AOB θ=∠，借助于扇形面积公式用θ表示出两个弓形面积之差绝对值，再利用导数确定这个绝对值最大时的θ值，从而确定直线l 的位置，求得其方程．本题考查了函数思想的应用．

11.已知()f x 为偶函数，且当0x ≥时，()31cos sin 3

x x x f x x =-+，则满足不等式()()212log log 21f m f m f ??+< ???

的实数m 的取值范围为（ ）

A. 1,22?? ???

B. ()0,2

C. ()10,1,22?

? ??? D. ()2,+∞

【答案】A

【解析】

【分析】

由偶函数性质把不等式()()212

log log 21f m f m f ?

?+< ???化为2(log )(1)f m f <，由导数确定函数()f x 在[0,)+∞上的单调性，利用单调性解不等式．

【详解】∵()f x 是偶函数，∴12222

(log )(log )(log )(log )f m f m f m f m =-==，则不等式

()()212log log 21f m f m f ??+< ???可化为22(log )2(1)f m f <，即2(log )(1)f m f <， 0x ≥时，31()cos sin 3

f x x x x x =-+，2'()cos sin cos (sin )f x x x x x x x x x =--+=-， 令()sin

g x x x =-，则'()1cos 0g x x =-≥，∴()g x 是R 上的增函数，∴当0x >时，()(0)0g x g >=， ∴0x ≥时，'()0f x ≥，∴()f x 在[0,)+∞上是增函数， ∴由2(log )(1)f m f <得2log 1m <，即21log 1m -<<，

122m <<． 故选：A ．

【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查解对数不等式．此各种类型不等式的解法是：本题这种类型的不等式有两种，一种是奇函数，不等式为12()()0f x f x +>，转化为12()()f x f x >-，一种是偶函数，不等式为12()()f x f x >，转化为12()()f x f x >，然后由单调性去函数符号“f ”．

12.函数()()()221log 2a a f x ax x =--+在区间10,a

??????上恰有一个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A. 11,32?? ??? B. (][)1,23,+∞ C. ()[)1,23,+∞ D. [)2,3

【答案】D

【解析】

【分析】 由零点存在定理1

(0)()0f f a <得23a <<，但还要验证此时在1(0,)a

上是否只有一个零点，然后讨论

(0)0 f=和

1 ()0 f

a

=

两种情形是否符合题意．

【详解】（1）若由

1

(0)()0

f f

a

<得(1log2)(1log3)0

a a

--<，

lg2lg3

(1)(1)0

lg lg

a a

--<，

(lg lg2)(lg lg3)0

a a

--<，lg2lg lg3

a

<<，∴23

a

<<．

设2

()(21)

g x ax

=-，()log(2)

a

h x ax

=+，∵23

a

<<，∴()

h x在定义域内是增函数，

作出()

g x，()

h x的示意图，如图．

1

(0)()1

g g

a

==，(0)log21

a

h=<，

1

()log31

a

h

a

=>，∴()

g x与()

h x的图象在

1

[0,]

a

上只有一个交点，即()

f x在

1

[0,]

a

上只有一个零点，符合题意．

（2）若(0)0

f=，则1log20

a

-=，2

a=．如（1）中示意图，2

()log(22)

h x x

=+是增函数，只是

(0)(0)1

h g

==，而

11

()(0)1()

h h g

a a

>==，∴()

g x与()

h x的图象在

1

[0,]

a

上只有一个交点，即()

f x在

1

[0,]

a

上只有一个零点，符合题意．

（3）若

1

()0

f

a

=，则1log30

a

-=，3

a=，如（1）中示意图，3

()log(32)

h x x

=+是增函数，此时

11

()()1

h g

a a

==，但(0)1

g=，而

3

(0)log21(0)

h g

=<=，因此在

1

(0,)

2a

上()

g x与()

h x的图象还有一个交点，即()

f x在

1

[0,]

a

上有两个零点，不合题意．

综上，a的取值范围是[2,3)．

故选：D．

【点睛】本题考查函数零点分布问题．()

f x在闭区间[,]

m n上只有一个零点，首先由零点存在定理

()()0

f m f n<确定参数范围，但是此种情形下必须验证在(,)

m n上是否是一个零点，零点存在定理只说明有零点，没有说明有几个零点．其次分别讨论()0

f m=和()0

f n=两种情形是否满足题意．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.直线l ：()110ax a y -+-=与直线4630x y -+=平行，则实数a 的值是______.

【答案】2.

【解析】

【分析】

由两直线平行的条件判断． 【详解】由题意(1)14

63a a -+-=≠-，解得2a =． 故答案为：2．

【点睛】本题考查两直线平行的充要条件，两直线1110A x B y C ++=和2220A x B y C ++=平行，条件12210A B A B -=是必要条件，不是充分条件，还必须有1221

0AC A C -≠或12210B C B C -≠，但在2220A B C ≠时，两直线平行的充要条件是111222

A B C A B C =≠． 14.某同学在最近的五次模拟考试中，其数学成绩的茎叶图如图所示，则该同学这五次数学成绩的方差是______.

【答案】30.8.

【解析】

【分析】

写出茎叶图中的5个数据，计算均值后再计算方差．

【详解】五个数据分别是：110，114，119，121，126，其平均值为1101141191211261185x ++++=

=， 方差为2222221[(110118)(114118)(119118)(121118)(126118)]5s =-+-+-+-+-30.8=

故答案为：30.8

【点睛】本题考查茎叶图，考查方差的计算．读懂茎叶图是解题基础．

15.函数()sin 0,2y x πω?ω???=+><

???

的图象如图所示，则()f x 在区间[],ππ-上的零点之和为______.

【答案】23

π. 【解析】

【分析】

先求出周期，确定ω，再由点(

,1)6π确定?，得函数解析式，然后可求出[,]-ππ上的所有零点． 【详解】由题意411()3126T πππ=?-=，∴22πωπ==，又sin(2)16

π??+=且2π?<，∴6π=?， ∴()sin(2)6

f x x π=+． 由sin(2)06

x π+=得26x k ππ+=，212k x ππ=-，k Z ∈， 在[,]-ππ内有：7511,,,12121212

ππππ--，它们的和为23π． 【点睛】本题考查三角函数的零点，由三角函数图象求出函数解析式，然后解方程()0f x =得出零点，就可确定在已知范围内的零点．本题也可用对称性求解，由函数周期是π，区间[,]-ππ含有两个周期，而区间端点不是函数零点，因此()f x 在[,]-ππ上有4个零点，它们关于直线6x π=

对称，由此

可得4个零点的和． 16.过点()1,0M -的直线l 与抛物线C ：2

4y x =交于A ，B 两点（A 在M ，B 之间），F 是抛物线C 的焦点，若4MBF MAF S S ??=，则ABF ?的面积为______.

【答案】3.

【解析】

【分析】

不妨设,A B 在第一象限且由设1122(,),(,)A x y B x y ，由4MBF MAF S S ??=，得

2111422MF y MF y =?，从而214y y =．由,,A B M 共线及,A B 在抛物线上，可求得12,y y ．

【详解】不妨设,A B 在第一象限，如图，设1122(,),(,)A x y B x y ，由题意(1,0)F ，

∵4MBF MAF S S ??=，∴2111422

MF y MF y =?，∴214y y =．

又,,M A B 共线，∴121211y y

x x =++，即122212111144

y y y y =++，把214y y =代入得： 112211414114

y y y y =++，显然10y ≠，解得11y =，∴24y =，

∴12112

MAF S ?=??=，4MBF S ?=，∴413FAB MBF MAF S S S ???=-=-=． 故答案为：3．

【点睛】本题考查直线与抛物线相交的面积问题．解题关键是善于发现MAF ?和MBF ?有共同的底MF ，从而由面积比得出,A B 两点的纵坐标比，再由,,M A B 共线及,A B 在抛物线上，求得,A B 的纵坐标，从而得三角形面积．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.每年的4月23日为“世界读书日”，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查.该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生（其中男生45名），统计了每个学生一个月的阅读时间，其阅读时间t （小时）的频率分布直方图如图所示：

（1）求样本学生一个月阅读时间t 的中位数m .

（2）已知样本中阅读时间低于m 的女生有30名，请根据题目信息完成下面的22?列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关.

22?列联表 男

女 总计 t m ≥

总计

附表： ()20P K k ≥

0.15 0.10 0.05 0k

2.072 2.706

3.841

其中：()()()()()

2

2n ad bc K a b c d a c b d -=++++. 【答案】（1）10；（2）不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关.

【解析】

【分析】

（1）频率为0.5对应的点的横坐标为中位数；

（2）100名学生中男生45名，女生55名，由频率分布直方图知，阅读时长大于等于m 的人数为50人，小于m 的也有50人，阅读时间低于m 的女生有30名，这样可得列联表中的各数，得列联表，依据2K 公式计算2K ，对照附表可得结论．

【详解】（1）由题意得，直方图中第一组，第二组的频率之和为 0.0450.0650.5?+?=.

所以阅读时间的中位数10m =.

（2）由题意得，男生人数为45人，因此女生人数为55人，

由频率分布直方图知，阅读时长大于等于m 的人数为1000.550?=人，

故列联表补充如下：

男 女 总计

t m ≥ 25

25 50

30 50 总计

45 55 100

2K 的观测值()2

100253025201005050455599k ??-?==??? 1.01 2.706≈<，所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关.

【点睛】本题考查频率分布直方图，考查独立性检验．正确认识频率分布直方图是解题基础．

18.已知等差数列{}n a 的公差2d =，30a >，且33-4a 与7a 的等比中项.数列{}n b 的通项公式为32n a n b +=.

（1）求数列{}n b 的通项公式；

（2）记)*n n n c a b n N =∈，求数列{}n c 的前n 项和n S .

【答案】（1）222n n b -=；（2）2241n n S n n =+--.

【解析】

【分析】

（1）由等差数列的通项公式表示出47,a a ，由等比中项定义求得1a ，注意30a >可确定只有一解，从而中得n a ，也即得n b ；

（2）由（1）得1252n n c n -=-+，用分组求和法可求得n S ．

【详解】（1）由题意得41136a a d a =+=+，711612a a d a =+=+.

∴(()()21133612a a -=+?+，解得13a =-或115a =-.

又31220a a =+?>，得14a >-，故13a =-.

∴()32125n a n n =-+?-=-.

∴32222n a n n b +-==.

（2）由（1）可知，1252n n n n c a b n -==-+.

12n n S c c c =+++

()123112512n

n -=--+++-+????-

()325212

n n n -+-=+- 2241n n n =+--.

【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等比中项的定义，考查分组求和法以及等差数列和等比数列前n 项和公式，掌握等差数列与等比数列的通项公式和前n 项和公式是解题基础．

19.在ABC ?中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，

c .已知()()()sin sin sin sin A B a b c C B +-=+. （1）求A ；

（2）若D 为BC 边上一点，且AD BC ⊥，23BC =，求sin B .

【答案】（1）23A π=

；（2）12. 【解析】

【分析】

（1）由正弦定理把角的关系转化为边的关系，再由余弦定理可求得A ；

（2）把ABC ?的面积用两种方法表示建立AD 与三角形各边的关系，由23BC =，即即23AD =代入可得23a bc =，再代入余弦定理2222cos a b c bc A =+-中可求得b c =，从而可得6B C π==，于是得sin B 的值．

【详解】（1）ABC ?中，由正弦定理得

()()()a b a b c c b +-=+，即222a b c bc =++. 由余弦定理得2221cos 22

b c a A bc +-==-， 结合0A π<<，可知23

A π=. （2）在ABC ?中，11sin 22ABC S A

B A

C BAC BC A

D ?=

?∠=?3a AD =?.

由已知23BC AD =，可得23AD =.

在ABC ?中，由余弦定理得2222cos120a b c bc =+-?，

即223bc b c bc =++，整理得()20b c -=，即b c =， ∴6A B π

==. ∴1sin sin 62

B π

==. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，第（2）问解题关键是把三角形面积用两种方法表示而建立等式：11sin 22

ABC S bc A BC AD ?==?． 20.已知椭圆C ：2

212

x y +=，动直线l 过定点()2,0且交椭圆C 于A ，B 两点（A ，B 不在x 轴上）. （1）若线段AB 中点Q 的纵坐标是23

-，求直线l 的方程； （2）记A 点关于x 轴的对称点为M ，若点(),0N n 满足MN NB λ=，求n 的值.

【答案】（1）220x y --=；（2）1n =.

【解析】

【分析】

（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB ：2x ty =+，直线方程与椭圆方程联立消元得y 的二次方

程，由判别式得t 的取舍范围，由韦达定理得1212,y y y y +，利用AB 中点纵坐标是23-

可求得t ，只要满足>0?即可；

（2）由题意()11,M x y -，MN NB λ=，说明M ，N ，B 三点共线，即MN MB k k =.这样可求出n ，化为只含12,y y 的式子后代入（1）中的1212,y y y y +就可求得n ．

【详解】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB ：2x ty =+.

由22222

x ty x y =+??+=?消去x 得()222420t y ty +++=. 220t ?=->，解得2t >2t <-由韦达定理得12242

t y y t -+=+，12222y y t =+.①

∵AB 中点Q 的纵坐标是23-

， ∴1243

y y +=-，代入①解得1t =或2t =. 又2t >2t <-2t =.

∴直线l 的方程为220x y --=.

（2）由题意得()11,M x y -，

由MN NB λ=，知M ，N ，B 三点共线，

即MN MB k k =.

∴()()121121

0y y y n x x x ----=--， 即121121

y y y n x x x +=--， 解得()121121

y x x n x y y -=++. 将112x ty =+，222x ty =+，代入得121222ty y n y y =

++.② 由①有12242

t y y t -+=+，12222y y t =+.③ 将③代入②得到1n =.

【点睛】本题考查直线与椭圆相交问题，解题方法是“设而不求”的思想方法，解题时注意体会．

21.已知函数()212ln 2

x f x ax x =+-，其中a R ∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；

（2）若3a ≥，记函数()f x 的两个极值点为1x ，2x （其中21x x >），求()()21f x f x -的最大值.

【答案】（1）当22a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当22a >函数()f x 在280,2a a ?- ???和282a a ??++∞ ? ???上单调递增，在228822a a a a ??--+- ? ???

上单调递减； （2）32ln 22

-.

【解析】

【分析】

（1）求出导函数'()f x ，由'()0f x >得增区间，由'()0f x <得减区间，注意题中函数定义域是(0,)+∞，因此对二次三项式28x ax -+分类情况为第一类：0a ≤或0?≤，第二类0a >且>0?．

（2）与极值点有关的问题，不是直接代入极值点，而是用12,x x 表示极值点，由12,x x 是方程220x ax -+=的解，得12x x a +=，

122x x =.2212221()()2ln 2f x f x x x ax -=+-21111(2ln )2x x ax -+-()()2222121112ln 2x x x a x x x =+---2222112ln 2x x x x -=-22221112

2ln x x x x x x -=-2211122ln x x x x x x =-+.不妨设12x x <，引入变量21x t x =，则1t >，21()()f x f x -就转化为t 的函数，由3a ≥求得t 的范围，由导数知识可得所求最大值．

【详解】（1）()()2'220x ax x a x x x

f x -+=+-=>. 令()2

2g x x ax =-+，则28a ?=-. ①当0a ≤或0?≤，即22a ≤时，得()'0f x ≥恒成立，

∴()f x 在()0,∞+上单调递增.

②当00a >???>?，即22a > 由()'0f x >，得2802a a x -<<或282

a a x ++>； 由()'0f x<2288a a a a x --+-<<∴函数()f x 在280,2a a ?- ???和28,2a a ??+++∞ ? ???

上单调递增， 在228822a a a a ?-+- ???

上单调递减. 综上所述，当22a ≤()f x 在()0,∞+上单调递增；

当22a >()f x 在280,2a a ?- ???和28,2a a ??+++∞ ? ???

上单调递增， 在2288a a a a --+-??

上单调递减. （2）由（1）得，当22a >()f x 有两极值点1x ，2x （其中21x x >）.

则1x ，2x 为()2

20x a g x x =-+=的两根， ∴12x x a +=，122x x =.

()()()()222212121112ln

2x f x f x x x a x x x -=+--- 22222212211112

2ln 2ln 2x x x x x x x x x x --=-=- 221112

2ln x x x x x x =-+. 令()211x t t x =

>， 则()()()211

2ln f x f x h t t t t

-==-+. 由3a ≥，得()2

2121219222

x x a t x x t +==++≥， 即22520t t -+≥，解得2t ≥.

∵()()22222121211'0t t t t t t t h t ---+-=--==<， ∴()h t 在[)2,+∞上单调递减，

∴()()max 322ln 22

h t h ==-. 即()()21f x f x -的最大值为32ln 22-

. 【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，函数的极值点以及与极值点有关的最值．在求单调区间时要注意分类讨论．在研究极值点有关的最值问题时，常常设极值点为12,x x ，由极值点的定义得出函数中参数

与12,x x 的关系，即用12,x x 表示参数，并代入待求（证）式，同时设2

1

x t x =

（本题），可把待求（证）式转化为t 的函数式，从而再利用导数的知识确定这个函数得出结论．这类题难度较大，对学生的思维能力、推理论证能力、转化与化归能力要求较高．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题记分. [选修4-4：坐标系与参数方程]

22.在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x r y r ?

?=+??=?

（0r >，?为参数），以坐标原点O 为极

点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 经过点2,3P π?? ???

，曲线2C 的直角坐标方程为22

1x y -=.

（1）求曲线1C 的普通方程，曲线2C 的极坐标方程；

（2）若()1,A ρα，2,6B πρα??- ???是曲线2C 上两点，当0,4πα??∈ ???

时，求2211OA OB +的取值范围.

【答案】（1）()2

213x y -+=，2

cos 21ρθ=；（2）33?. 【解析】 【分析】

（1）由2

2

cos sin 1??+=消元后得普通方程，由cos sin x y ρθ

ρθ

=??

=?代入直角坐标方程可得极坐标方程；

（2）直接把,A B 两点的极坐标代入曲线2C 的极坐标方程，得221

2

,ρρ，这样2

2

11OA

OB

+

就可转化为三

角函数式，利用三角函数知识可得取值范围．

【详解】（1）将1C 的参数方程化为普通方程为()2

221x y r -+=. 由cos x ρθ=，sin y ρθ=， 得点2,

3P π?

? ???

的直角坐标为(3，代入1C ，得2

3r =， ∴曲线1C 的普通方程为()2

213x y -+=.

2C 可化为2222cos sin 1ρθρθ-=，即()222cos sin 1ρθθ-=，

∴曲线2C 的极坐标方程为2cos 21ρθ=.

（2）将点()1,A ρα，2,6B πρα?

?- ???

代入曲线2C 的极坐标方程， 得21cos 21ρα=，22cos 213πρα??-= ??

?， ∴22222111

cos 2cos 1123OA OB πααρρ??=++-+= ??? 33cos 223223πααα??==+ ??

?. 由已知0,4πα?

?∈ ???，可得52,336πππα??+∈ ???

， 332332πα???+∈ ? ???. 所以2211OA OB +的取值范围是33?.

【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查参数方程与普通方程的互化．消元法和公式法是解决此类问题的常用方法．

[选修4-5：不等式选讲]

23.已知关于x 的不等式12

121log x x a +--≤，其中0a >.

（1）当4a =时，求不等式的解集；

（2）若该不等式对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.

【答案】（1）2|43x x x ??≤-

≥????或；（2）204a <≤【解析】

【分析】

（1）用分类讨论的方法去绝对值符号后再解不等式，最后要合并（求并集）；

（2）设()121f x x x =+--，同样用分类讨论去绝对值符号化函数为分段函数，求得()f x 的最大值，解相应不等式可得a 的范围．

【详解】（1）由4a =时，12

log 2a =-.原不等式化为1212x x +--≤-，

当

1

2

x≥时，()

1212

x x

+--≤-，解得4

x≥，综合得4

x≥；

当

1

1

2

x

-<<时，1212

x x

++-≤-，解得

2

3

x≤-，综合得

2

1

3

x

-<≤-；

当1

x≤-时，()1212

x x

-++-≤-，解得0

x≤，综合得1

x≤-.

∴不等式的解集为

2

|4

3

x x x

??

≤-≥

??

??

或.

（2）设函数()

2,1

1

1213,1

2

1

2,

2

x x

f x x x x x

x x

?

?-<-

?

?

=+--=-≤<

?

?

?

-+≥

??

，

画图可知，函数()

f x的最大值为

3

2

.

由1

2

3

log

2

a

≤，解得2

0a

<≤

【点睛】本题考查解含绝对值的不等式，解题方法是根据绝对值定义去掉绝对值符号，用分类讨论的方法分段解不等式．

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