初中数学：实际问题与二次函数 - 详解与练习（含答案）

初中数学专项训练：实际问题与二次函数

一、利用函数求图形面积的最值问题 一、围成图形面积的最值

1、 只围二边的矩形的面积最值问题 例1、 如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。 (1)设矩形的一边长为x（米），面积为y（平方米），求y关于x的函数关系式； (2)当x为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？ 分析：关键是用含x的代数式表示出矩形的长与宽。 解：（1）设矩形的长为x（米），则宽为（18- x）（米），

根据题意，得：y?x(18?x)??x2?18x； 又∵??x＞0,?0＜x＜18

?18?x＞0（2）∵y?x(18?x)??x2?18x中，a= -1＜0，∴y有最大值，

b184ac?b20?182???9时，ymax?即当x????81 2a2?(?1)4a4?(?1)故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。

点评：在回扣问题实际时，一定注意不要遗漏了单位。

2、 只围三边的矩形的面积最值 例2、 如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。问如何围，才能使养

鸡场的面积最大？

分析：关键是明确问题中的变量是哪两个，并能准确布列出函数关系式 解：设养鸡场的长为x（米），面积为y（平方米），则宽为（

根据题意，得：y?x(50?x）（米）， 250?x1)??x2?25x； 22?x＞0?又∵?50?x,?0＜x＜50

＞0??2∵y?x(50?x11)??x2?25x中，a=?＜0，∴y有最大值， 222b即当x????2a2512?(?)2?25时，ymax4ac?b20?252625???

14a24?(?)2625平方米。 2故当x=25米时，养鸡场的面积最大，养鸡场最大面积为

点评：如果设养鸡场的宽为x，上述函数关系式如何变化？请读者自己完成。

3、 围成正方形的面积最值 例3、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．

2

(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?

2

(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由． （1）解：设剪成两段后其中一段为xcm，则另一段为（20-x）cm

20?x2)?17 解得： x1?16,x2?4 4当x1?16时，20-x=4；当x2?4时，20-x=16

由题意得： ()?(2x4答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是16厘米、4厘米。

（2）不能。理由是：设第一个正方形的边长为xcm，则第二个正方形的边长为围成两个正方形的面积为ycm，

根据题意，得：y?x2?(5?x)2?2x2?10x?25，

∵y?x2?(5?x)2?2x2?10x?25中，a= 2＞0，∴y有最小值，

2

20?4x?(5?x)cm，4b?1054ac?b24?2?25?10225???时，ymin???即当x??=12.5＞12,2a2?224a4?22故两个正方形面积的和不可能是12cm.

练习1、如图，正方形EFGH的顶点在边长为a的正方形ABCD的边上，若AE=x，正方形EFGH的面积为y.

(1)求出y与x之间的函数关系式；

(2)正方形EFGH有没有最大面积？若有，试确定E点位置；若没有，说明理由.

2

二、利用二次函数解决抛物线形建筑物问题

例题1 如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是 .

图（1） 图

【解析】试题分析：由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，可设此函数解

2

析式为：y=ax，利用待定系数法求解. 试题解析：设此函数解析式为：y=ax，a1则-2=4a 即得a=-2y=-12x. 20； 那么（2，-2）应在此函数解析式上．

112， 那么y=-x． 22考点：根据实际问题列二次函数关系式.

练习1

某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，抛物线形状如图（1）所示.图（2）建立直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与

2水平距离x（米）之间的关系是y??x?2x?5.请回答下列问题： 4(1)柱子OA的高度是多少米？

(2)喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？

(3)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落在池外？

2．一座桥如图，桥下水面宽度AB是20米，高CD是4米.要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米.

（1）如图1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系. ①求抛物线的解析式；

②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米? （2）如图2，若把桥看做是圆的一部分.

①求圆的半径；②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米?

三、利用抛物线解决最大利润问题

例题1 某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看做一次函数：y＝－10x＋500.

（1）设李明每月获得利润为w(元)，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（6分） （2）如果李明想要每月获得2 000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3分）

（3）物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2 000元，那么他每月的成本最少需要多少元？(成本＝进价×销售量) （3分） 答案：（1）35；（2）30或40；（3）3600. 【解析】 试题分析：（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，根据利润=（定价-进价）×销售量，从而列出关系式；（2）令w=2000，然后解一元二次方程，从而求出销售单价；（3）根据函数解析式，利用一次函数的性质求出最低成本即可．

试题解析：（1）由题意得出： W??x?20?y??x?20???10x?500???10x2?700x?10000， ∵a??10<0， ?b?35， 2a∴当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润．

（2）由题意，得：?10x2?700x?10000?2000， 解这个方程得：x1=30，x2=40．

∴李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元． （3）∵a??10<0，∴抛物线开口向下. ∴当30≤x≤40时，W≥2000. ∵x≤32，∴当30≤x≤32时，W≥2000. 设成本为P（元），由题意，得：P?20??10x?500???200x?10000，

∵k=?200＜0，∴P随x的增大而减小． ∴当x=32时，P最小=3600．

答：想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元． 考点：二次函数的应用．

练习1．某玩具批发商销售每只进价为40元的玩具，市场调查发现，若以每只50元的价格销售，平均每天销售90只，单价每提高1元，平均每天就少销售3只．

（1）平均每天的销售量y(只)与销售价x(元／只)之间的函数关系式为 ； （2）求该批发商平均每天的销售利润W(元)与销售只x(元／只)之间的函数关系式；

（3）物价部门规定每只售价不得高于55元，当每只玩具的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少元

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