大学物理电子教案之第7章稳恒磁场 - 图文

第7章 稳恒磁场

本章要点：1. 磁场 磁感强度2. 毕奥—萨伐尔定律及其应用3. 磁通量 磁场的高斯定理4. 安培环路定理极其应用

前面我们研究了相对于观察者静止的电荷所激发的电场的性质与作用规律。从本章起我们看到，在运动电荷周围，不仅存在着电场而且还存在着磁场。磁场和电场一样也是物质的一种形态。1820年，丹麦的奥斯特发现了电流的磁效应，当电流通过导线时，引起导线近旁的小磁针偏转，开拓了电磁学研究的新纪元，打开了电应用的新领域。1837年惠斯通、莫尔斯发明了电动机，1876年美国的贝尔发明了电话。??迄今，无论科学技术、工程应用、人类生活都与电磁学有着密切关系。电磁学给人们开辟了一条广阔的认识自然、征服自然的道路。

7.1 磁场 磁感强度

磁现象的发现要比电现象早得多。早在公元前人们知道磁石（Fe3O4)能吸引铁。十一世纪我国发明了指南针。但是，直到十九世纪，发现了电流的磁场和磁场对电流的作用以后，人们才逐渐认识到磁现象和电现象的本质以及它们之间的联系，并扩大了磁现象的应用范围。到二十世纪初，由于科学技术的进步和原子结构理论的建立和发展，人们进一步认识到磁现象起源于运动电荷，磁场也是物质的一种形式，磁力是运动电荷之间除静电力以外的相互作用力。

7.1.1 基本磁现象 磁场

无论是天然磁石或是人工磁铁都有吸引铁、钴、镍等物质的性质，这种性质叫做磁性。条形磁铁及其它任何形状的磁铁都有两个磁性最强的区域，叫做磁极。将一条形磁铁悬挂起来，其中指北的一极是北极(用N表示)，指南的一极是南极(用S表示)。实验指出，极性相同的磁极相互排斥，极性相反的磁极相互吸引。

在相当长的一段时间内，人们一直把磁现象和电现象看成彼此独立无关的两类现象。直到1820年，奥斯特首先发现了电流的磁效应。后来安培发现放在磁铁附近的载流导线或载流线圈，也要受到力的作用而发生运动。进一步的实验还发现，磁铁与磁铁之间，电流与磁铁之间，以及电流与电流之间都有磁相互作用。上述实验现象 导致了人们对“磁性本源”的研究，使人们进一步认识到磁现象起源于电荷的运动，磁现象和电现象之间有着密切的联系。主要表现在：

1. 通过电流的导线(也叫载流导线)附近的磁针，会受到力的作用而偏转(图7-1)。 2. 放在蹄形磁铁两极间的载流导线，也会受力而运动(图7-2)。

3. 载流导线之间也有相互作用力。当两平行载流直导线的电流方向相同时，它们相互吸引；电流方向相反时，则相互排斥(图7-3)。

4. 通过磁极间的运动电荷也受到力的作用。如电子射线管，当阴极和阳极分别接到高压电源的正极和负极上时，电子流通过狭缝形成一束电子射线。如果我们在电子射线管外面放一块磁铁，可以看到电子射线的路径发生弯曲。

由于电流是大量电荷作定向运动形成的，所以，上述一系列事实说明，在运动电荷周围空间存在着磁场；在磁场中的运动电荷要受到磁场力(简称磁力)的作用。

磁场不仅对运动电荷或载流导线有力的作用，它和电场一样，也具有能量。这正是磁场物质性的表现。

7.1.2 磁感应强度

在静电学中，我们利用电场对静止电荷有电场力作用这一表现，引入电场强度E来定量地描述电场的性质。与此类似，我们利用磁场对运动电荷有磁力作用这一表现，引入磁感应强度B来定量地描述磁场的性质。其中B的方向表示磁场的方向，B的大小表示磁场的强弱。

运动电荷在磁场中的受力情况，如图7-4所示。 v∥B F = 0 v⊥B F = Fmax （a） （b） 图7-4 运动的带电粒子在磁场中的受力情况 由大量实验可以得出如下结果：

1．运动电荷在磁场中所受的磁力随电荷的运动方向与磁场方向之间的夹角的改变而变化。当电荷运动方向与磁场方向一致时，它不受磁力作用[图7-4(a)]。而当电荷运动方向与磁场方向垂直时，它所受磁力最大，用Fmax表示[图7-4(b)]。

2．磁力的大小正比于运动电荷的电量，即F∝q。如果电荷是负的，它所受力的方向与正电荷相反。

3．磁力的大小正比于运动电荷的速率，即F∝v。

4．作用在运动电荷上的磁力F的方向总是与电荷的运动方向垂直，即F⊥v。 由上述实验结果可以看出，运动电荷在磁场中受的力有两种特殊情况：当电荷运动方向

与磁场方向一致时，F = 0；当电荷运动方向垂直于磁场方向时，F?Fmax。根据这两种情况，我们可以定义磁感应强度B (简称磁感强度)的方向和大小如下：

在磁场中某点，若正电荷的运动方向与在该点的小磁针N极的指向相同或相反时，它所受的磁力为零，我们把这个小磁针N极的指向方向规定为该点的磁感强度B的方向。 当正电荷的运动方向与磁场方向垂直时，它所受的最大磁力Fmax与电荷的电q和速度v的大小的乘积成正比，但对磁场中某一定点来说，比值Fmaxqv是一定的。对于磁场中不同

位置，这个比值有不同的确定值。我们把这个比值规定为磁场中某点的磁感强度B的大小，即

B=Fmax (7-1) qv磁感强度B的单位，取决于F、q和v的单位，在国际单位制中，F的单位是牛顿(N)，q的单位是库仑(C)，v的单位是米／秒(m?s?1)，则B的单位是特斯拉，简称为特，符号为T。所以

1T?1N?C?1?m?1?s?1N?A?1?m?1。

应当指出，如果磁场中某一区域内各点B的方向一致、大小相等，那么，该区域内的磁场就叫均匀磁场。不符合上述情况的磁场就是非均匀磁场。长直螺线管内中部的磁场是常见的均匀磁场。

地球的磁场只有0.5?10?4T，一般永磁体的磁场约为10?2T。而大型电磁铁能产生2T的磁场，目前已获得的最强磁场是31T。

7.2 毕奥—萨伐尔定律

在静电场中，计算带电体在某点产生的电场强度E时，先把带电体分割成许多电荷元dq，求出每个电荷元在该点产生的电场强度dE，然后根据迭加原理把带电体上所有电荷元在同一点产生的dE迭加(即求定积分)，从而得到带电体在该点产生的电场强度E。与此类似，磁场也满足迭加原理，要计算任意载流导线在某点产生的磁感强度B，可先把载流导线分割成许多电流元Idl(电流元是矢量，它的方向是该电流元的电流方向)，求出每个电流元在该点产生的磁感强度dB，然后把该载流导线的所有电流元在同一点产生的dB迭加，从而得到载流导线在该点产生的磁感强度B。因为不存在孤立的电流元，所以电流元的磁感强度公式不可能直接从实验得到。历史上，毕奥和萨伐尔两人首先用实验方法得到关于载有稳恒电流的长直导线的磁感应强度经验公式(B∝到如下定律：

I)等，再由拉普拉斯通过分析经验公式而得r7.2.1 毕奥—萨伐尔定律

稳恒电流的电流元Idl在真空中某点P所产生的磁感强度dB的大小，与电流元的大小Idl成正比，与电流元Idl和由电流元到P点的矢径r间的夹角θ ［也用（Idl.r)表示 ］的正弦成正比，而与电流元到P点的距离r的平方成反比(图7-5)，即 dB?kIdlsinθ r2式中比例系数k决定于单位制的选择，在国际单位制中，k正好等于10?7N?A?2，

为了使从毕奥—萨伐尔定律导出的一些重要公式中不出现4?因子而令k??7?0?4?k?4??10N?A?2 ，叫做真空中的磁导率。

?0，式中4?

于是上式写成

图7-5 毕奥—萨伐尔定律—电流元所产生的磁感强度

?0Idlsinθ (7-2)

4?r2dB的方向垂直于Idl和r所组成的平面，并沿矢积Idl×r的指向，即由Idl经小于180°角转向r的右手螺进方向。若用矢量式表示，毕奥—萨伐尔定律可写成

?Idl?r0 dB?0 （7-3）

4?r2式中r0为r的单位矢量，毕奥—萨伐尔定律虽然不能由实验直接验证，但由这一定律出发

dB?而得出的一些结果都很好地和实验符合。

7.2.2 毕奥—萨伐尔定律的应用

要确定任意载有稳恒电流的导线在某点的磁感强度，根据磁场满足迭加原理，由式(7-3)对整个载流导线积分，即得

B??dB??L?0Idl?r0 (7-4)

L4?r2值得注意的是，上式中每一电流元在给定点产生的dB方向一般不相同，所以上式是矢量积

分式。由于一般定积分的含意是代数和，所以求式(7-4)的积分时，应先分析各电流元在给定点所产生的dB的方向是否沿同一直线。如果是沿同一直线，则式(7-4)的矢量积分转化为一般积分，即

B??dB??L?0Idlsinθ (7-5)

L4?r2如果各个dB方向不是沿同一直线，应先求dB在各坐标轴上的分量式(例如dBx,dBy,dBz)，对它们积分后，即得B的各分量(例如Bx?矢量(B?Bxi?Byj?Bzk)。

下面应用这种方法讨论几种典型载流导线所产生的磁场。

1．载流直导线的磁场

?L最后再求出BdBx,By??dBy,Bz??dBz?)，

LL设有一长为L的载流直导线，放在真空中，导线中电流为I，现计算邻近该直线电流的一点P处的磁感强度B。

如图7-6所示，在直导线上任取一电流元Idl， 根据毕奥—萨伐尔定律，电流元在给定点P所产生 的磁感强度大小为

dB??0Idlsinα

4?r2dB的方向垂直于电流元Idl与矢径r所决定的平面，

指向如图7-6所示(垂直于xoy平面，沿z轴负向)。 由于导线上各个电流元在P点所产生的dB方向相同， 因此P点的总磁感强度等于各电流元所产生dB的代 数和，用积分表示，有

B??dB??

图7-6 计算直线电流的B分布 ?0Idlsin?

LL4?r2进行积分运算时，应首先把dl、r、?等变量，用同一参变量表示。现在取矢径r与P

点到直线电流的垂线PO之间的夹角β 为参变量。取O点为原点，从O到Idl处的距离为l并以a表示PO的长度。从图中可以看出

sinα?cosβ,r?asecβ，l?atgβ 从而 dl?asec2βd?

把以上各关系式代入前式中，并按图中所示，取积分下限β1，上限为β2，得

?2?0I?2?0I?0I B?cos?d??sin???sin?2?sin?1? (7-6) ?14?a??14?a4?a式中β1是从PO转到电流起点与P点连线的夹角；β2是从PO转到电流终点与P点连线的夹角。当β角的旋转方向与电流方向相同时,β取正值；当β角的旋转方向与电流的方向相反时，β取负值。图7-6中的β1和β2均为正值。

如果载流导线是一无限长的直导线，那么可认为?1?? B??,???，所以

222?0I (7-7) 2?a上式是无限长载流直导线的磁感强度，它与毕奥—萨伐尔的早期实验结果是一致的。

2．圆形电流的磁场

设在真空中，有一半径为R的圆形载流导线， 通过的电流为I，计算通过圆心并垂直于圆形导线 所在平面的轴线上任意点P的磁感强度B (图7-7)。

在圆上任取一电流元Idl，它在P点产生的磁 感强度的大小为dB，由毕奥—萨伐尔定律得

dB?μ0Idlsinθ

4πr2π，上式可写成

2图7-7 计算圆电流轴线上的B

由于Idl与r垂直，所以θ?

dB??0Idl

4?r2dB的方向垂直于电流元Idl和矢径r所组成的平面，由于圆形导线上各电流元在P点所产生的磁感强度的方向不同，因此把dB分解成两个分量：平行于X轴的分量dB//和垂直于X轴的分量dB?。在圆形导线上，由于同一直径两端的两电流元在P点产生的磁感强度对X轴是对称的，所以它们的垂直分量dB?互相抵消，于是整个圆形电流的所有电流元在P点产生的磁感强度的垂直分量dB?两两相消，所以迭加的结果只有平行于X轴的分量dB//，即

B?B//??dBsin???L?0Idlsin?

L4?r2式中sin??R，对于给定点P、r、I和R都是常量，所以

r B??0IR2?R?0IR2dl?　　 （7-8）

4?r3?02(R2?x2)32B的方向垂直于圆形导线所在平面，并与圆形电流组成右手螺旋关系。

上式中令x = 0，得到圆心处的磁感强度为 B? (7-9)

2R在轴线上，远离圆心即(x?R)处的磁感强度为

?0I?0IS

2x2?x3式中S??R2为圆形导线所包围面积，Pm?ISn，n为面积S法线方向的单位矢量，它

B?3?0IR2?的方向和圆电流垂直轴线上的磁感强度的方向一样，与圆电流成右手螺旋关系，则上式可改写成矢量式

B??0Pm (7-10) 2?x3上式与电偶极子沿轴线上的电场强度公式相似，只是把电场强度E换成磁感强度B，系数

2??0

1

换成

?0，而电矩Pe换成Pm。由此可见Pm应叫做载流圆形线圈的磁矩。式(7-10)可2?推广到一般平面载流线圈。若平面线圈共有N匝，每匝包围面积为S，通有电流为I，线圈平面的法线单位矢量方向的指向与线圈中的电流方向成右旋关系，那么该线圈的磁矩为

Pm?NISn (7-11) 例7-1 真空中，一无限长载流导线，AB、DE部分平直，中间弯曲部分为半径R＝4.00cm的半圆环，各部分均在同一平面内，如图7-8所示。若通以电流I＝20.0A，求半圆环的圆心O处的磁感强度。

解 由磁场迭加原理，O点处的磁感强度B是由AB、BCD和DE三部分电流产生的磁感强度的叠加。

AB部分为“半无限长”直线电流，在O点产生的B1大小为

?0I?sinβ2?sinβ1? 4?R?因 β1??,β2?0

B1?2故

?0I4??10?7?20.0B1???5.00?10?5T ?24?R4??4.00?10B1的方向垂直纸面向里。同理，DE部分在O点产生的B2的大小与方向均与B1相同， 即 B2??0I?5.00?10?5T 4?RBCD部分在O点产生的B3要用积分计算 ：B3?dB

其中dB为半圆环上任一电流元Idl在O点产生的磁感强度，其大小为

?dB=μ0Idlsinθ

4πR2?Idl因 θ?π，故 dB?02

24?RdB的方向垂直纸面向里。半圆环上各电流元在O点产生dB方向都相同，则

B3??dB???R0?0Idl?0I4??10?7?20.0??1.57?10?4T ??224?4.00?104?R4R因B1、B2、B3的方向都相同，所以O点处总的磁感强度B的大小为

B?B1?B2?B3?5.00?10?5?5.00?10?5?1.57?10?4?2.57?10?4T

B的方向垂直纸面向里。

7.3 磁场的高斯定理

7.3.1 磁感线

为了形象化的描述磁场分布情况，我们像在电场中用电场线来描述电场的分布那样，用磁感应线简称B线来表示磁场的分布。为此，我们规定：

1. 磁感应线上任一点的切线方向与该点的磁感应强度B的方向一致；

2. 磁感应线的密度表示B的大小。即通过某点处垂直于B的单位面积上的磁感应线条数等于该点处B的大小。因此，B大的地方，磁感应线就密集；B小的地方，磁感应线就稀疏。

实验上可以利用细铁粉在磁场中的取向来显示磁感应线的分布。图7-9给出了几种不同形状的电流所产生的磁场的磁感应线示意图。

(a)直电流的磁感应线 (b)圆电流的磁感应线 (c)螺线管电流的磁感应线

图7-9 几种不同形状的电流所产生的磁场的磁感应线

从磁感应线的图示，可得到磁感应线的重要性质：(1)任何磁场的磁感应线都是环绕电流的无头无尾的闭合线。这是磁感应线与电场线的根本不同点。它说明任何磁场都是涡旋场。

(2)每条磁感应线都与形成磁场的电流回路互相套合着。磁感应线的回转方向与电流的方向之间关系遵从右手螺旋法则。(3)磁场中每一点都只有一个磁场方向，因此任何两条磁感应线都不会相交。磁感应线的这一特性和电场线是一样的。

7.3.2 磁通量 磁场的高斯定理

通过磁场中任一曲面的磁感应线 (B线)总条数，称为通过该曲面的磁通量，简称B通量，用Φm表示。磁通量是标量，但它可有正、负之分。磁通量Φm的计算方法与电通量Φe 的计算方法类似。如图7-10所示，在磁场中任一给定曲面S上取面积元dS，若dS的法线n的方向与该处磁感应强度B的夹角为θ ，则通过面积元dS的磁通量为

dΦm?B?dS?BcosθdS (7-12) 式中，dS是面积元矢量，其大小等于dS，其方向沿法线n的方向。 通过整个曲面S的磁通量等于通过此面积上所有面积元磁通量的代数和，即

Φm??dΦm??B?dS??BcosθdS (7-13)

SSS在国际单位制中，磁通量的单位是韦伯，符号为Wb，

1Wb?1T?m2

对闭合曲面来说，规定取垂直于曲面向外的指向为法线

于是磁感应线从闭合曲面穿出时的磁通量为正n的正方向。值(θ?π2)，磁感应线穿入闭合曲面时的磁通量为负值

图7-10

（θ?π)。由于磁感应线是无头无尾的闭合线，所以穿入2闭合曲面的磁感应线数必然等于穿出闭合曲面的磁感应线数。因此，通过磁场中任一闭合曲面的总磁通量是恒等于零。这一结论称作磁场中的高斯定理。即

??SB?dS?0 (7-14)

上式与静电场中的高斯定理相对应，但两者有本质上的区别。在静电场中，由于自然界有独立存在的自由电荷，所以通过某一闭合曲面的电通量可以不为零，其中??SD?dS??qi，说明静电场是有源场。在磁场中，因自然界没有单独存在的磁极，所以通过任一闭合面的磁通量必恒等于零，即??B?dS?0，说明磁场是无源场，或者说是涡旋场。

S例7-2 如图7-11所示，磁感应强度为B = 2T

的均匀磁场，方向沿y轴正向。闭合面是一底面为直角三角形的三棱柱面。规定封闭曲面各处的法线方向垂直曲面向外。求通过： （1）befc面的磁通量； （2）aefd面的磁通量； （3）整个闭合面的磁通量

解 （1）通过befc面的磁通量为

Φm??B?dS=?BdScos90o?0

S

图7-11

（2）通过aefd面的磁通量为

Φm??B?dS=?BdScosα?BSabcdS　 = 2T?0.4m×0.3m　 = 0.24Wb

（3）对整个闭合面而言，面上各点的正法线指向规定向外为正， 磁感线从abcd面穿入，则通过abcd面的磁通量为负，

Φm1??B?dS=?BdScosπ??BSabcdS　 = ?2T?0.4m×0.3m　 =?0.24Wb

而通过aefd面的磁通量是穿出的，磁通量为正，由（2）得：Φm2= 0.24Wb 通过其他三个面的磁通量均为零。所以通过整个闭合面的磁通量为

Φm??B?dS = －0.24Wb＋0.24WbS

　 = 0例7-3 真空中一无限长直导线CD，通以电流I＝10.0A，若一矩形EFHG与CD共面，如图7-12所示。其中a = d =10.0cm，b＝20.0cm。求通过矩形EFGH面积S的磁通量。 解 由于无限长直线电流在面积S上各点所产生的磁感强度B的大小随r不同而不同，所以计算通过S面的磁通量B时要用积分。为了便于运算，可将矩形面积S划分成无限多与直导线CD平行的细长条面积元dS = bdr，设其中某一面积元dS与CD相距r，dS上各点B的大小视为相等，B的方向垂直纸面向里。取dS的方向(也就是矩形面积的法线方向)也垂直纸面向里，则

Φm??B?dS=?BdScos0o??BdSSSS　　??　 =a?dd0.1?0.1μ0IμIbbdr?0lnr0.12πr2πμ0Ibln22π　　?2.77?10?7Wb

图7-12

7.4安培环路定理

静电场中的电场线不是闭合曲线，电场强度沿任意闭合路径的环流恒等于零，即

??lE?dl?0。这是静电场的一个重要特征。但是在磁场中，磁感应线都是环绕电流的闭合

曲线，因而可预见磁感强度的环流??B?dl不一定为零：如果积分路径是沿某一条磁感应线，

ldl都是大于零，所以 则在每一线段元上的B·

??lB?dl?0。这种环流可以不等于零的场叫

做涡旋场。磁场是一种涡旋场，这一性质决定了在磁场中不能引入类似电势的概念。

在真空中，各点磁感强度B的大小和方向与产生该磁场的电流分布有关。可以预见环流??B?dl的值也与场源电流的分布有关。下面的定理将给出它们之间十分简单的定量关

l系。

7.4.1 安培环路定理

为简单起见，下面从特例计算环流??B?dl的值，然后引入定理。

l设真空中有一长直载流导线，它所形成的磁场的磁感应线是一组以导线为轴线的同轴圆(图7-13)，即圆心在导线上，圆所在的平面与导线垂直。在垂直于长直载流导线的平面内，任取一条以载流导线为圆心半径为 r的圆形环路 l 作为积分的闭合路径。

图7-13 图7-14

?0I则在这圆周路径上的磁感强度的大小为B?，其方向与圆周相切。如果积分路径的绕行

2?r方向与该条磁感应线方向相同，也就是积分路径的绕行方向与包围的电流成右螺旋关系，则B与dl间的夹角处处为零，于是

??B?dl???l?0I?0I?0Icos00dl??dl??l2?r2?r2?r l2?r所以

??B?dl= μ0I (7-15a)

l上式说明磁感强度B的环流等于闭合路径所包围的电流与真空磁导率的乘积，而与积分路

径的圆半径r无关。

如果保持积分路径的绕行方向不变，而改变上述电流的方向，由于每个线元dl与B的夹角θ?π，则

B?dl?Bcosθdl??Bdl?0 所以β

??B?dl=－μ0I =μ0（－I） (7-15b)

l上式说明积分路径的绕行方向与所包围的电流方向成左旋关系，可认为对路径讲，该电流是

负值。

(7-15a)、(7-15b)两式虽从特例得出，但可证明(从略)：对于任意形状的载流导线以及任意形状的闭合路径，该两式仍成立。应指出，当电流未穿过以闭合路径为周界的任意曲面时，路径上各点的磁感强度虽不为零，但磁感强度沿该闭合路径的环流为零，即

??B?dl=0 (7-15c)

l，2??n)的载流导线穿过以闭合路径l为周界 在一般情况下，设有n根电流为Ii(i?1的任意曲面，m根电流为Ij(j?1利用(7-15a)、(7-15b)、，2??m)的载流导线未穿过该曲面，

(7-15c)并根据磁场的迭加原理，可得到该闭合路径的环流

??lB?dl??0?Ii

i?1n式中B是由Ii(i?1，2??n)、Ij(j?1，2??m)共（n+m）个电流共同产生的。由此总结出真空中的安培环路定理如下：

在稳恒磁场中，磁感强度B沿任何闭合路径的线积分 ，等于这闭合路径所包围的各个电流之代数和的μ0倍。其数学表达式为

??B?dll??0?Ii (7-16)

i?1它指出：在真空中磁感强度沿任意闭合路径的环流等于穿过以该闭合路径为周界的任意

曲面的各电流的代数和与真空磁导率μ0的乘积，而与未穿过该曲面的电流无关。应当指出：未穿过以闭合路径为周界的任意曲面的电流虽对磁感强度沿该闭合路径的环流无贡献，但这些电流对路径上各点磁感强度的贡献是不容忽视的。

在图7-14中，电流I1、I2穿过闭合路径l所包围的曲面，I1与l成右旋关系，I1取正值；I2与l成左旋关系，I2取负值。I3未穿过闭合路径l所包围的曲面，所以对B的环流无贡献。于是磁感强度B沿该闭合路径的环流为

??B?dl??(Il01?I2)

l安培环路定理反映了磁场的基本规律。和静电场的环路定理??E?dl?0相比较，稳恒磁场中B的环流??B?dl?0，说明稳恒磁场的性质和静电场不同，静电场是保守场，稳恒

l磁场是非保守场。

安培环路定理对于研究稳恒磁场有重要意义。下面只应用安培环路定理计算几种特殊分布的稳恒电流所产生的磁场的磁感强度。

7.4.2 安培环路定理的应用

安培环路定理是一个普遍定理，但要用它直接计算磁感强度，只限于电流分布具有某种对称性，即利用安培环路定理求磁场的前提条件是：如果在某个载流导体的稳恒磁场中，可以找到一条闭合环路 l ，该环路上的磁感强度B大小处处相等，B的方向和环路的绕行方向也处处同向，这样利用安培环路定理求磁感强度B的问题，就转化为求环路长度，以及求环路所包围的电流代数和的问题，即

??ldl所以，利用安培环路定理求磁场的适用范围是，在磁场中能否找到上述的环路。这取决于该磁场分布的对称性，而磁场分布的对称性又来源于电流分布的对称性。应用安培环路定理，计算一些具有一定对称性的电流分布的磁感应强度十分方便。计算时，首先用磁场叠加原理对载流体的磁场作对称性分析；然后根据磁场的对称性和特征，设法找到满足上述条件的积分路径（使Ｂ可提到积分号外）；最后利用定理公式求磁感强度。举例说明如下：

1.长直载流螺线管内的磁场

设螺线管长l，直径为Ｄ，且l?D；导线均匀密绕在管的圆柱面上，单位长度上的匝

l??B?dl?B??ldl??0?Ii ?　　B?i?1?0?Iii数为n；导线中的电流强度为Ｉ。

（a） （b）

图7-15

用磁场叠加原理作对称性分析：可将长直密绕载流螺线管看作由无穷多个共轴的载流圆环构成，其周围磁场是各匝圆电流所激发磁场的叠加结果。在长直载流螺线管的中部任选一点P，在P点两侧对称性地选择两匝圆电流，由圆电流的磁场分布可知，二者磁场叠加的结果，磁感强度B的方向与螺线管的轴线方向平行。如图7-15（a）所示。

由于且l?D，则长直螺线管可以看成无限长，因此在P点两侧可以找到无穷多匝对称的圆电流，它们在P点的磁场迭加结果与图7-15（a）相似。由于P点是任选的，因此可以推知长直载流螺线管内各点磁场的方向均沿轴线方向。磁场分布如图7-15（b）所示。

从图7-15可以看出，在管内的中央部分，磁场是均匀的，其方向与轴线平行，并可按右手螺旋法则判定其指向；而在管的中央部分外侧，磁场很微弱，可忽略不计，即 B = 0 。据此，选择如图7-15（b）所示的过管内任意场点P的一矩形闭合曲线abcda为积分路径l 。

dl）则环路ab段的dl方向与磁场B的方向一致，即（B，= 0°，故在ab段上，B?dl?Bdl；在环路cd段上，B = 0，则B?dl?0；在环路bc段和da段上，管内部分B与dl垂直，管

外部分B= 0，都有B?dl?0，因此，沿此闭合路径 l，磁感强度B的环流为：

??lB?dl??abB?dl??bcB?dl??cdB?dl??daB?dl=?abBdl=Bab

螺线管上每单位长度有n匝线圈，通过每匝的电流是I，则闭合路径所围绕的总电流为n·ab ·I，根据右手螺旋法则，其方向是正的。由安培环路定理Bab = μ0 nab I 故得 B = μ0 n I

螺线管为在实验上建立一已知的均匀磁场提供了一种方法，正如平行板电容器提供了建立均匀电场的方法一样。

2.环形载流螺线管（常称螺绕环）内外的磁场

均匀密绕在环形管上的圆形线圈叫做环形螺线管，设总匝数为N (图7-16a、b)。通有电流I时，由于线圈绕得很密，所以每一匝线圈相当于一个圆形电流。

下面根据对称性，分析环形螺线管的磁场分布。对于如图7-16（a）所示的均匀密绕螺绕环，由于整个电流的分布具有中心轴对称性，因而磁场的分布也应具有轴对称性，且不论在螺线管内还是螺线管外，磁场的分布都是轴对称。由于磁感应线总是闭合曲线，所以所有磁感应线只能是圆心在轴线上，并与环面平行的同轴圆。

将通有电流I的矩形螺绕环沿直径切开，其剖面图如图7-16（b）在环内作一个半径为r的环路l，绕行方向如图7-16（b）所示。环路上各点的磁感强度大小相等，方向由右手螺旋法可知，与环路绕行方向一致。磁感强度B沿此环路的环流为

??lB?dl???lBcos0?dl?B??ldl?B2πr

（a） 图7-16 （b）

环路内包围电流的代数和为N I。根据安培环路定理，有：

B2π r = μ0 N I ?NI得 B?0 （R1＜ r＜ R2） 　2?r可见，螺绕环内任意点处的磁感应强度随到环心的距离而变，即螺绕环内的磁场是不均匀的。

用R表示螺绕环的平均半径，当R?R2?R1时，可近似认为环内任一与环共轴的同心圆的半径r≈R，则上式可变换为

B??0NI=?0nI （R1＜ r＜ R2）

2πR式中，n = N／2π R为环上单位长度所绕的匝数。因此，当螺绕环的平均半径比环的内外半径之差大得多时，管内的磁场可视为均匀的，计算公式与长螺线管相同。

根据同样的分析，在管的外部，也选取与环共轴的圆L（半径为r′）作积分路径，则

??B?dl?B2πr?。因为L所围电流强度代数和为零，由安培环路定理，有：B2π r′ = 0，所

l以 B = 0

即对均匀密绕螺绕环，由于环上的线圈绕得很密，则磁场几乎全部集中于管内，在环的外部空间，磁感强度处处为零。

3.长直载流圆柱体的磁场

在利用毕奥——萨伐尔定律计算无限长载流直导线的磁感强度，得出式(7-7)时，认为载流导线很细，但是当a→0时，该式失效。实际上，导线都有一定的半径，尤其在考察导线内的磁场分布时，就不得不把导体看成圆柱体了。对于稳恒电流，在导线的横截面上，电流I是均匀分布的。

长直圆柱体中的电流分布对称于圆柱的轴线，所以圆柱内、外的磁感强度也应对轴线对称。又因磁感应线总是闭合曲线，于是长直载流圆柱体内、外的磁感应线分布，只能是圆心在轴线上，并与轴线垂直的同轴圆。也就是说：磁场中各点的磁感强度方向与通过该点的同轴圆相切。由于

同一磁感应线上各点到轴线的距离相等，根据轴

图7-17 对称，同一磁感应线上各点磁感强度的大小相等。

现在我们来计算半径为R的长直载流圆柱内、外，距轴线为r的P点的磁感强度。 将长直载流圆柱体分割成许多截面为dS的无限长直线电流，每一直线电流的磁感应强度都分布在垂直于导体的平面内。如图7-17所示，过场点P取垂直于导体的平面，点O是导体轴线与此平面的交点。在此平面内的导体截面上取关于OP对称分布的一对面元dS和

dS′，设dB和dB′ 分别是以dS和dS′为截面的无限长电流dI和dI′在P点产生的磁感应强度。不难看出，它们的合矢量dB + dB′ 应沿以O为圆心、OP = r为半径、位于和导体垂直的平面内的圆L的切线，指向与电流方向成右螺旋关系。选择通过P点的同轴圆L作为积分的闭合路径，则

??B?dl???Bdl?B??ldl?2?rB

ll对导体内部的点P，r＜R，L所围的电流I??I?r2?r2I，由安培环路定理，有：

?R2R222?rB??0r2I

R得 B??0rI （r＜R） 2?R2上式表明，在导体内部，B与r成正比。

对导体外部的点P，r＞R，L所围的电流即圆柱体上的总电流I，由安培环路定理有

2?rB??0I

得 B??0I （r＞R） 2?r该式表明，在导体内部，B与r成反比。即长直载流圆柱体外部磁场B的分布与一无限长载流直导线的磁场的B分布相同。

对圆柱体表面上的点，r = R，从以上两式都能得到：B??0I。 2?R图7-17给出了长直载流圆柱体的磁场B随r变化的曲线。

*7.5 磁场对电流的作用

前面我们讨论了稳恒电流所产生的磁场，这只是电流和磁场之间相互关系中的一个侧面。本节我们简单讨论一下问题的另一个侧面，即磁场对电流的作用。主要内容有：磁场对载流导线作用力的基本规律——安培定律；磁场对载流线圈作用的磁力矩；磁场对运动电荷的作用力——洛仑兹力。

7.5.1 磁场对载流导线的作用力

载流导线放在磁场中时，将受到磁力的作用。安培最早用实验方法，研究了电流和电流之间的磁力的作用，从而总结出载流导线上一小段电流元所受磁力的基本规律，称为安培定律。其内容如下：

放在磁场中某点处的电流元Idl，所受到的磁场作用力dF的大小和该点处的磁感强度B的大小、电流元的大小以及电流元Idl和磁感强度B所成的角θ [或用(Idl，B)表示]的正弦成正比，即dF = kBIdlsinθ dF的方向与矢积Idl × B的方向相同 (图7-18)。

式中的比例系数k的量值取决于式中各量的单位。在国际单位制中，B的单位用特斯拉(T )，I的单位用安培(A)，d l的单位用米(m)，dF的单位用牛顿(N)，则k =1，安培定律的表达式可简化为 dF = BIdlsinθ ，写成矢量表达式，即

dF = Id l × B （7-17） 载流导线在磁场中所受的磁力，通常也叫安培力。式(7-17)表达的规律叫做安培定律。 因为安培定律给出的是载流导线上一个电流元所受的磁力，所以它不能直接用实验进行验证。但是，任何有限长的载流导线L在磁场中所受的磁力F，应等于导线L上各个电流元所受磁力dF的矢量和，即

F?dF???LIdl?B (7-18)

对于一些具体的载流导线，理论计算的结果和实验测量的结果是相符的。这就间接证明了安培定律的正确性。

图7-19

图7-18

式(7-18)是一个矢量积分。如果导线上各个电流元所受的磁力dF的方向都相同，则矢量积分可直接化为标量积分。例如，长为L的一段载流直导线，放在均匀磁场B中，如图7-19所示。根据矢积的右手螺旋法则，可以判断导线上各个电流元所受磁力dF的方向都是垂直纸面向外的。所以整个载流直导线所受的磁力F的大小为

F??dF??IBsinθdl

L其中θ 为电流I的方向与磁场B的方向之间的夹角。F的方向与dF的方向相同，即垂直于纸面向外。

由式(7-18)可以看出，当直导线与磁场平行时(即θ?0或π)，F = 0，即载流导线不受磁力作用；当直导线与磁场垂直时（θ?π)，载流导线所受磁力最大，其值为F = BIL；如果2载流导线上各个电流元所受磁力dF的方向各不相同，式(7-18)的矢量积分不能直接计算。这时应选取适当的坐标系，先将dF沿各坐标分解成分量，然后对各个分量进行标量积分：

Fx??dFx，Fy??dFy ，Fz??dFz，最后再求出合力。

LLL例7-4 如图7-20所示，载流长直导线L1通有电流I1?2.0A，另一载流直导线L2与L1

共面且正交，长为L2?40cm，通电流I2?3.0A。L2的左端与L1相距d＝20 cm，求导线L2所受的磁场力。 ．

解 长直载流导线L1所产生的磁感强度B在L2处的方向虽都是垂直图面向内，但它的大小沿L2逐点不同。要计算L2所受的力，先要在L2上距L1为x处任意取一线段元dx，在电流元I2dx的微小范围内，B可看作恒量，它的大小为 B?μ0I1 2πx显然任一电流元I2dx都与磁感强度B垂直，即θ?π，所以电流元受力的大小

2μIdF?I2Bdxsinπ?01I2dx

22πx根据矢积Idl × B的方向可知，电流元受力的方向垂直L2沿图面向上。由于所有电流元受力方向都相同，所以整根L2所受的力F是各电流元受力大小的和，可用标量积分直接计算

dF??dFLμ0I1Idxd2πx2

μ0I1I2d?L2dx　　?2π?dxμIId?L2　　?012ln2πd　　??d?L2μd?L2 ?02I1I2ln4πd0.6?1.32?10?6N 0.2导体L2受力的方向和电流元受力方向一样，也是垂直L2沿图面向上。

代入题设数据后得 F?10?7?2?2?2?ln图7-20

7.5.2 磁场对载流线圈的作用力矩

一个刚性载流线圈放在磁场中往往要受力矩的作用，因而发生转动。这种情况在电磁仪表和电动机中经常用到。下面我们利用安培定律讨论均匀磁场对平面载流线圈作用的磁力矩。

如图7-21所示，在磁感应强度为B的均匀磁场中，有一刚性的载流线圈abcd，边长分别为L1和L2，通有电流I。设线圈平面的法线n的方向 (由电流I的方向，按右手螺旋法则定出) 与磁感应强度B的方向所成的夹角为φ。ab和cd两边与B垂直。由图可见，线圈

π?平面与B的夹角θ????φ?。 ?2?根据安培定律，导线bc和da所受磁场的作用力

分别为F1和F2，其大小

F1?IBl1sinθ，F2?IBL1sin?π?θ??IBL1sinθ

F1和F2大小相等，方向相反，又都在过bc和da中点 的同一直线上。所以它们的合力为零，对线圈不产生 力矩。

导线ab和cd所受磁场的作用力分别为F3和F4， 根据安培定律，它们的大小为

F3?F4?IBL2

图7-21

F3和F4大小相等，方向相反，虽然合力为零，但因它们不在同一直线上，而形成一力偶，其力臂为

L1cosθ?L1cosπ?φ?L1sinφ

2因此，均匀磁场作用在矩形线圈上的力矩M的大小为

M?F3L1sinφ?IBL1L2sinφ?IBSsinφ （7-19） 式中，S = L1L2为矩形线圈的面积。M的方向为沿ac中点和bd中点的联线向上。

如果线圈有N匝，则线圈所受力矩为一匝时的N倍，即

??M?NIBSsinφ?PmBsinφ

式中，Pm =NIS为载流线圈磁矩的大小，Pm的方向就是载流线圈平面的法线n的方向。所以上式可以写成矢量形式，即

M = Pm×B （7-20） 式(7-19)和式(7-20)虽然是由矩形载流线圈推导出来的，但可以证明，在均匀磁场中对于任意形状的载流平面线圈所受的磁力矩，上述二式都是普遍适用的。

总之，任何一个载流平面线圈在均匀磁场中，虽然所受磁力的合力为零，但它还受一个磁力矩的作用。这个磁力矩M总是力图使线圈的磁矩Pm转到磁场B的方向上来。当φ = π，

2即线圈磁矩Pm与磁场方向垂直，或者说线圈平面与磁场方向平行时，线圈所受磁力矩最大，即

Mmax?PmB 由此也可以得到磁感强度B的大小的又一个定义式，即

B?Mmax Pm当φ = 0即线圈磁矩Pm与磁场方向一致时，磁力矩M = 0，此时线圈处于稳定平衡状态；当φ = π 时，载流线圈所受的磁力矩为零，此时线圈处于非稳定平衡状态。

7.5.3 磁场对运动电荷的作用力

带电粒子在磁场中运动时，受到磁场的作用力，这种磁场对运动电荷的作用力叫做洛仑兹力。

实验发现，运动的带电粒子在磁场中某点所受到的洛仑兹力f的大小，与粒子所带电量q的量值、粒子运动速度v的大小、该点处磁感强度B的大小以及B与v之间夹角θ的正弦成正比。在国际单位制中，洛仑兹力f的大小为

f?qvBsinθ (7-21) 洛仑兹力f的方向垂直于v和B构成的平面，其指向按右手螺旋法则由矢积v×B的方向以及q的正负来确定：对于正电荷(q>0)，f的方向与矢积v×B的方向相同；对于负 电荷(q<0) ，f的方向与矢积v×B的方向相反，如图7-22所示。 洛仑兹力f的矢量式为

f = qv×B (7-22) 注意，式中的q本身有正负之别，这由运动粒子所带 电荷的电性决定。

当电荷运动方向平行于磁场时，v与B之间的夹 角θ?0或θ = π ，则洛仑兹力f = 0。

当电荷运动方向垂直于磁场时，v与B的夹角

θ?π，则运动电荷所受的洛仑兹力最大，

2f?fmax?qvB。

图7-22

这正是7.1.2中定义磁感强度B的大小时引用过的情况。

由于运动电荷在磁场中所受的洛仑兹力的方向始终与运动电荷的速度垂直，所以洛仑兹力只能改变运动电荷的速度方向，不能改变运动电荷速度的大小。也就是说洛仑兹力只能使运动电荷的运动路径发生弯曲，但对运动电荷不作功。

7.5.4 霍耳效应

将通有电流I的金属板（或半导体板）置于磁感强度为B的均匀磁场中，磁场的方向和电流方向垂直如图7-23所示，在金属板的第三对表面间就显示出横向电势差，这一现象称为霍耳效应。UH则称为霍耳电势差。

实验测定，霍耳电势差的大小和电流I及磁感强度B成正比，而与板的厚度d成反比。 这种现象可用载流子受到洛仑兹力来解释。

设一导体薄片宽为l、厚为d，把它放在磁感强度为B的均匀磁场中，通以电流I，方向如图7-23所示。如果载流子（金属导体中为电子）作宏观定向运动的平均速度为v(也叫平均漂移速度，与I的方向相反)，则每个载流子受到的平均洛仑兹力Fm的大小为 Fm = qvB，它的方向为矢积qv × B的方向。即图7-23（b）中宽度l向下的方向。在洛仑兹力作用下，使正载流子聚集于上表面，下表面因缺少正载流子而积累等量异号的负电荷。随着电荷的积累，在两表面之间出现电场强度为EH的横向电场，使载流子受到与洛仑兹力方向相反的电场力Fe (=qEH)的作用。达到动态平衡时，两力方向相反而大小相等。于是有

qvB?qEH 所以 EH?vB （a） （b） 图7-23 霍耳效应

由于半导体内各处，载流子的平均漂移速度相等。而且磁场是均匀磁场，所以动态平衡时，半导体内出现的横向电场是均匀电场。于是霍尔电压为 UH?EH?l?vlB，由于电流 I?nqvs?nqvld，n为载流子密度，上面两式消去v，即得

UH?1IB 或写成 UH?RHIB (7-23)

dnqd式中RH?1叫做材料的霍尔系数。霍尔系数越大的材料，霍尔效应越显著。霍尔系数与载

nq流子密度n成反比。在金属导体中，自由电子的浓度大，故金属导体的霍耳系数很小，相应的霍耳电势差也就很弱，即霍耳效应不明显。而半导体的载流子密度远比金属导体的小，故半导体的霍耳系数比金属导体大得多，所以半导体的霍尔效应比金属导体明显得多。如果载流子是负电荷(则q?0)，霍尔系数是负值，则霍尔电压也是负值。因此可根据霍尔电压的正、负判断导电材料中的载流子是正的还是负的。

在电流、磁场均相同的前提下，应特别注意：P型半导体和N型半导体的霍耳电势差正负不同。霍耳系数与材料性质有关。表7-1 列出了几种材料的霍耳系数

表7-1几种材料的霍耳系数

物 质 锂 钠 钾 铯 铜 银 金 化学名称 霍耳系数 -1.7 -2.5 -4.2 -7.8 -0.55 -0.84 物 质 铋 镁 锌 铬 铝 锡 化学名称 霍耳系数 2.44 -0.94 0.33 6.5 -0.30 -0.048 Li Na K Cs Cu Ag Be Mg Zn Cr Al Sn -0.72 铊 0.12 Au Tl 用半导体做成反映霍尔效应的器件叫做霍尔元件。它已广泛应用于科学研究和生产技术上。例如可用霍尔元件做成测量磁感强度的仪器——高斯计。

利用霍耳效应，可实现磁流体发电。它是目前许多国家都在积极研制的一项高新技术。

7.5.5 介质中的磁场

在实际的磁场中，一般都存在各种不同的实物性物质，放在磁场中的任何物质都要和磁场发生相互作用，所以人们把放在磁场中的任何物质统称为磁介质。

1.磁介质

放在静电场中的电介质要被电场极化，极化了的电介质会产生附加电场，从而对原电场产生影响。与此类似，放在磁场中的磁介质要被磁场磁化，磁化了的磁介质也会产生附加磁场，从而对原磁场产生影响。

实验表明，不同的磁介质对磁场的影响不同。如果在真空中某点磁感强度为B0，放入磁介质后，因磁介质被磁化而在该点产生的附加磁感强度为B′。那么该点的磁感强度B应是这两个磁感强度的矢量和，即

B = B0 + B′ (7-24) 在磁介质内任一点，附加磁感强度B′的方向随磁介质而异，如果B′的方向与B0的方向相同，使得B＞B0，这种磁介质叫做顺磁质，如铝、氧、锰等。还有一些磁介质，在磁介质内部任一点，B′的方向与B0的方向相反，使得B＜B0，这种磁介质叫做抗磁质，如铜、铋、氢等。无论是顺磁质还是抗磁质，附加的磁感强度B′都比B0小得多(不大于十万分之几)，它对原来的磁场的影响比较弱。所以，顺磁质和抗磁质统称为弱磁质。另一类磁介质，在磁介质内部任一点的附加磁感强度B′的方向与顺磁质一样，也和B0的方向相同，但B′的值却比B0大得多，即B??B0，从而使磁场显著增强，例如铁、钴、镍等就属于这种情况，人们把这类磁介质叫做铁磁质或强磁质。

为反映各种磁介质对外磁场影响的程度，常用磁介质的磁导率来描述。

2. 相对磁导率和磁导率

以载流长直螺线管为例来讨论磁介质对外磁场的影响。设螺线管中的电流为I，单位长度的匝数为n，则电流在螺线管内产生的磁感强度B0的大小为

B0??0nI (7-25)

如果在长直螺线管内充满某种均匀的各向同性磁介质，则由于磁介质的磁化而产生附加磁感强度B′，使螺线管内的磁介质中的磁感强度变为B，B和B0大小的比为

B??r (7-26)

B0 比值?r是决定磁介质磁性的纯数。叫做该磁介质的相对磁导率，它的大小表征了磁介质对外磁场影响的程度。比较(7-25)、(7-26)两式得

B??0?rnI 或 B??nI (7-27) 式中???0?r，μ叫做磁介质的磁导率。在国际单位制中，磁介质的磁导率μ的单位和真空磁导率的单位相同，即牛顿?安培?2，或N·A-2。

对于顺磁质，?r＞1，对于抗磁质，?r＜1，事实上，大多数顺磁质和一切抗磁质的相对磁导率?r是与1相差极微的常数，说明这些物质对外磁场影响甚微，因而有时可忽略它们的影响。至于铁磁质，它们的相对磁导率?r远大于1，并且随着外磁场的强弱而变化。 磁介质的磁化是物体的一个重要属性。它与物质微观结构分不开，下面介绍弱磁物质的磁化的微观机理。

3. 顺磁质与抗磁质的磁化机理

从物质结构看，任何物质分子中的每个电子，除绕原子核作轨道运动外，还有自旋运动，这些运动都要产生磁场。如果把分子当作一个整体，每一个分子中各个运动电子所产生的磁场的总和，相当于—个等效圆形电流所产生的磁场。这一等效圆形电流叫做分子电流。每种分子的分子电流的磁矩Pm具有确定的量值，叫做分子磁矩。

在顺磁质中，每个分子的分子磁矩Pm不为零，当没有外磁场时，由于分子的热运动，每个分子磁矩的取向是无序的。因此在一个宏观的体积元中，所有分子磁矩的矢量和ΣPm为零。也就是说：当无外磁场时，磁介质不呈磁性。当有外磁场时，各分子磁矩都要受到磁力矩的作用。在磁力矩作用下，所有分子磁矩Pm将力图转到外磁场方向，但由于分子热运动的影响，分子磁矩沿外磁场方向的排列只是略占优势。因此在宏观的体积元中，各分子磁矩的矢量和ΣPm不为零。即合成—个沿外磁场方向的合磁矩。这样，在磁介质内，分子电流产生了一个沿外磁场方向的附加磁感强度B′，于是，顺磁质内的磁感强度B的大小增强为 B = B0 + B′，这就是顺磁质的磁化效应。 在抗磁质中，虽然组成分子的每个电子的磁矩不为零，但每个分子的所有分子磁矩正好相互抵消。也就是说：抗磁质的分子磁矩为零，即Pm = 0。所以当无外磁场时，磁介质不呈现磁性。当抗磁质放人外磁场中时，由于外磁场穿过每个抗磁质分子的磁通量增加，无论分子中各电子原来的磁矩方向怎样，根据中学里已学过的电磁感应知识，分子中每个运动着的电子将感应出—个与外磁场方向相反的附加磁场，来反抗穿过该分子的磁通量的增加。这—附加磁场可看作是由分子的附加等效圆形电流所产生的，其磁矩为?Pm，叫做分子的附加磁矩。由于原子、分子中电子运动的特点一一电子不易与外界交换能量，磁场稳定后，已产生的附加等效圆形电流将继续下去，因而在外磁场中的抗磁质内，由所有分子的附加磁矩产生

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