工程数学(线性代数与概率统计)答案(1章)

工程数学(线性代数与概率统计) 湖南科学技术出版社 作者: 周勇 朱砾 骆先南 谢清明 刘韶跃,出版社：湖南科学技术出版社

工程数学（线性代数与概率统计）

习题一

一、 1.

2 1x 1xaa

22

2

12

2 2 1 ( 1) 5；

2.

1x x 1bb

2

(x 1)(x x 1) x

22

x x 1；

32

3. ab

2

ab

2

1119a0d213

1

4 5 32 27 8 15 36 5 50

c 0,(第一行与第三行对应成03

2 1 8 27 6 6 6 18。 1

比例）

4.380

5.b01

6.32

二．求逆序数 1. 3

2

4

2

2

1

1

0

5

0

即 5 即 5

2. 4

3

3

2

1

0

2

0

3. n(n 1)

(n 2)

2

1

1

0

(n 1)

即 (n 1) (n 2) 2 1

n(n 1)

2

1

4.

0

3

1

(2n 1)

n 1

(2n)

n 1

(2n 2)

n 2

4

1

2

0

[1 2 (n 1)] [(n 1) (n 2) 2 1] 2*

n(n 1)

2

三．四阶行列式中含有a11a23的项为 a11a23a32a44 a11a23a34a42 四．计算行列式值

工程数学(线性代数与概率统计) 湖南科学技术出版社 作者: 周勇 朱砾 骆先南 谢清明 刘韶跃,出版社：湖南科学技术出版社

41251

2021

40 72 151

2021

42

r1 7r41

0201

90171

452857 0

1.

10

2r1 4r210r3 10r207

20r3 15r407

2.0111

1011

1101

1110

c1 c2 c3 c4

3333

1011

1101

1110 3

1011

1101

1110 3

1000

1 100

10 10

100 1

3

abac cdcf1b 10

01c 1

c 1

1d

aede ef001d

a

10

1d

1

adfbce1

1

1 11b

1

1 4abcdef 1

1c 1

1

1c 1

01 d

3.bd

bfa

4.

100

按第一行展开a 10

1 0d

ab

c 1

1d

(ab 1)(cd 1) ad

5.

a b c2b2ca 2b2c

2ab a c2c

2ab a c2c

2a2bc a b2a2bc a b

b 00

2ab a c2c

2a2bc a b

c 00

2ab a c2c

2a2bc a b

其中

工程数学(线性代数与概率统计) 湖南科学技术出版社 作者: 周勇 朱砾 骆先南 谢清明 刘韶跃,出版社：湖南科学技术出版社

a2a2aa2a2aa02aa2bb a c2b 2bb2b 2ba2b 2b2c2cc a b2c2cc a b2c

0c a b2c

a2a2a

a

2a0

a

2a0

2bb2b 2bb0 2bb0 (a c)a2a2c

2cc2c

2ca2c

2c

b2c

c a b

122

abc2

12 (a b)a2a (a c)

a2a

2

21

2b

b

2c

c a b

5abc 3ab(a b) (a c)(a2

ab 3ac)

其余同法可求。

方法2: a b c2a2a2bb a c2b2c2cc a b

(a b c)

b a c2bb2b2bb a c2c

c a b

2a

22c

c a b

2a

2c

2c

22 40r2 2r1 22 406.

4 13503 5531 2 3

r3

32r1

04 8 3 270

2051r4 r1

0211122 2 100 02

22 2

2

22 27.223 2ri r2(i 2)001 0 2 (n 2)!

2

2

2

n

n 2

8.

a0 01a0 000a0a 00

0a 000

0 按第一行展开a ( 1)

n 1

00 a000 a0001

a

0

a

n 11

an

( 1)

n 1

( 1)n

a

n 2

an

a

n 2

五．证明下列等式

02ac2b0

c a b

0000 0a0

n 1

工程数学(线性代数与概率统计) 湖南科学技术出版社 作者: 周勇 朱砾 骆先南 谢清明 刘韶跃,出版社：湖南科学技术出版社

1.

a

2

aba bb

2

2

0a(b a)a bb a2b22

r2 2ar30

a(b a)b ab a

22

3

2a2br1 ar32a2(b a) (a b)

1

1

1

1

1

1

1

1

1

a

2(a 1)2(a 2)2(a 3)2a

22a 1(a 2)2(a 3)22(b 1)2(b 2)2(b 3)22b 1(b 2)2(b 3)22.

bc2(c 1)2(c 2)2(c 3)2c22 cb1

c22c 1(c 2)2(c 3)2

d

2

(d 1)2

(d 2)

2

(d 3)

2

d

2

2d 1

(d 2)2

(d 3)

2

a

2

2a 14a 46a 9a2

2a 123c3 c1b22b 14b 46b 9c2c2

3 2b2b 123c4 c1c2

2c 14c 46c 9c2

2c 123

4 2c2c

0d

2

2d 1

4d 4

6d 9d

2

2d 1

2

3

3.

x 10 00x 10 0

x 1 000x 1 D0x 00n

0 按第一行展开

x

00x 000 x 1000 anan 1

an 2

a2

x a1

an 1

an 2

an 3

0 10 000x 1 00 00x 00 xDn 1 an ( 1)

n 1 1

( 1)

n 2

xDn 1 an

000 x 1an

an 2

an 3

a2

x a1

同理 Dk 1 xDk ak 1，返回代入得

Dn xDn 1 an x(xDn 2 an 1) an

n x a 1

1x

n an 1x an

六、计算下列各式

1. 设x3

1,x2,x3为方程x px q 0的三个根， 则由三次方程根的性质

ax3

bx

2

cx d 0

x1 x2 x3 b/a, x1x2x3 d/a，

000000 x 1a2

x a1

工程数学(线性代数与概率统计) 湖南科学技术出版社 作者: 周勇 朱砾 骆先南 谢清明 刘韶跃,出版社：湖南科学技术出版社

x1x2 x2x3 x1x3 c/a

得x3 px q 0的三个根满足：x1 x2 x3 0,x1x2x3 q

x1

x2x1x3

x2 x1 x2 x3 3x1x2x3 p(x1 x2 x3) 3q 3x1x2x3 0。 3

3

3

所以x3

x2

x3x1x

x102. f(x)

1x2323x2中x3的系数为-1.

1

12x

a

bcd3.求D

cbdadbca的A14 A24 A34 A44的值，

a

b

dc

a

bc1Abd114 A24 A34 A44

cdbc1 0

a

b

d

1xa a4.求D

ax a 的An1 An2 Ann的值，

a

a

xxa aax aa

x aa

0An1 An2 Ann

ri arn(i n) aa xa01

1

1

1

1

七.计算行列式值 1.

0 x a 0 1

0000

(x a)n 1

x a01

1

工程数学(线性代数与概率统计) 湖南科学技术出版社 作者: 周勇 朱砾 骆先南 谢清明 刘韶跃,出版社：湖南科学技术出版社

n

x1 mDn

x1 x1

x2x2 m x2

xnxn xn m

n

x

i 1n

i

m m

x2x2 m

xnxn xn m

c1

j 2

cj

x

i 1n

i

x

i

m

x2

i 1

n

x

i

m

x2 xn

i 1

n

ri r1(i 2, ,n)

0 m 0 ( xi m)( m)

n 1

i 1

m

2.

123 n 1n121 10 001

1Dn 0

2 2 00各行提出公因子

（n 1!0

1

0

n 11 n

n

n

n

k k k

2n 1nk 1

k 2

k 3

10 00cj cj 1(j n 1, ,1)（n 1!

00 1 00

1

n

（n 1）!( 1)

n 1

k ( 1)

n 1

(n 1)nn 1(n k 1

2n 1）! ( 1)1)!

2

3.

3 n 10 0 1 0 0

1

n00 1

工程数学(线性代数与概率统计) 湖南科学技术出版社 作者: 周勇 朱砾 骆先南 谢清明 刘韶跃,出版社：湖南科学技术出版社

a

D2n

c

a

ac

bd

b

d

b

a

bd

d

d

2n 1

2n 1

00a

a

bd

b

按第一行展开a

c0

c b( 1)c ccac

bd

d0

2n 1

adD

2n 2

bcD

,同理D2n 2 (ad bc)D2n 4，…，D2 2n 2

ad bc，

n

所以D2n (ad bc)

4.

a1

Dn

1 11 0 0

1a2 0

an11 a2

11 a1 a1 a1

11 1 an

1a2 0

an1

ri r1(i 2, ,n)

a1 a1 a1

1a2 0

an1

八．克莱姆法则解方程 x 2y z 0

1. 2x y z 1 x y 2z 3

解：

1D 2

1

2 1 1

1

2 1 1

1

1013

112 1 1

01 12 3

1 8D1 12

3

1 4D2 22

1 4D3 22

1

1

工程数学(线性代数与概率统计) 湖南科学技术出版社 作者: 周勇 朱砾 骆先南 谢清明 刘韶跃,出版社：湖南科学技术出版社

即x 1/2,y 1/2,z 3/2； x1 2x2 3x3 4x4 4

x2 x3 x4 3

2.

x4 1 x1 3x2

7x2 3x3 x4 3

解：

1D

0101D2

0101D4

010 213 74 31 3 213 7

3 1033 1033 103

4111 41114 31 3

0，x1 8,x2 3,x3 6,x4 0 48D3

1010

16， D1

4 31 3 213 7

213 74 31 3

3 103 4111

96 4111

128

x1 x2 x3 0

九．参数 , 取值使 x1 x2 x3 0有非零解，

x 2 x x 0

23 1

当D 1

1

11

1 ( 1) 0即 0或 1时，方程组有非零解。 1

2

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/zfch.html