高中数学必修二《圆的标准方程》优秀教学设计

人教A版必修2

4.1.1 圆的标准方程

1 教学目标

（1）知识与技能

在平面直角坐标系中探索圆的方程，掌握圆的标准方程，会判断点与圆的位置关系，能根据条件求圆的标准方程。

（2）过程与方法

通过设置问题情境，让学生经历从几何到代数，从代数到几何解决问题的过程，强调图形在解决问题中的辅助作用，提高学生分析问题，解决问题的能力。

（3）情感态度价值观

通过对问题的探索，培养学生良好的学习习惯，增强学生主动探究知识、合作交流的意识，使学生获得成功的体验，增强数学学习的兴趣和信心。

2 教学重点

推导圆的标准方程，掌握圆的标准方程

3 教学难点

圆的标准方程的应用，根据不同的条件求圆的标准方程。

4 教材分析

本章在前一章的基础之上，在直角坐标系中建立圆的方程，其本质是用代数的方法研究图形，体现数形结合的重要思想方法，为日后进一步学习圆锥曲线，导数等奠定基础。因此，本章第一节的内容设计紧扣数与形的结合，强调图形在分析问题中的辅助作用，同时也要学会将几何问题代数化，用代数处理几何问题。

5 学情分析

学生已经学习了直线与方程，知道了在平面直角坐标系中直线可以用方程表示，并通过方程研究直线，为本节课做了准备，提供了基础，本节内容仅仅是这个过程的一个延续。本教学设计适合中等水平的学生学习。

6 教学方法与辅助手段

（1）以问题为载体，以任务为驱动式教学，突出类比学习，数形结合思想解决问题的思维过程

（2）多媒体课件和几何画板软件辅助教学

7 教学过程

7.1 问题情境引入

我们知道，在平面直角坐标系内确定一条直线的几何要素-----直线上的一点和直线的倾斜角，其代数含义是这个点的坐标以及这条直线的斜率，进而建立了直线的代数方程，通过方程研究直线，用代数的知识和方法去解决直线的问题。

类似地，我们可不可以用同样的方法建立圆的方程呢？回顾圆的定义，提出具体探究任务。

【运用几何画板，让学生形象感知圆的轨迹的形成过程，再次强化圆的几何特征，为建立圆的代数方程指明方向】

7.2 学习任务一：探索圆的标准方程

问题情境1 在平面直角坐标系中，已知圆心C(a，b),半径等于r,试写出圆的方程

学生活动：给予充分时间让学生尝试建立圆的方程，先独立思考完成，然后小组内交流

结果，预设解法是利用两点间距离公式，有可能直接带着根号，有可能会两边平方进行整理，最后教师将学生解决问题的情况在展示台上展示反馈。

知识建构：几何 代数 几何

得到圆的方程

222（x-a ）（y-b ）r +=，若点M(x, y)在圆上，由前面讨论可知，点M 的坐标适合方程；反之，若点M(x, y)的坐标适合方程，这就说明点 M 与圆心的距离是 r ，即点M 在圆心为C (a, b)，半径为r 的圆上。我们把这个方程称为圆心为C(a, b)，半径长为r 的圆的方程，把它叫做圆的标准方程。

7.3 评测练习一

练习1.说出下列圆的圆心及半径，并画出它们的图形

(1) 22x y

4+= (2) 22(x+1)y 1+=

练习2.写出下列圆的方程

(1)圆心在原点，半径为3;

(2)圆心在(-3，4),；

(3)圆心在（-1，2），与x 轴相切.

学生活动：

（1）练习1个别提问交流，几何画板作图，突出方程所反映的图形特征

（2）练习2先由学生独立完成，预设第（3）小问学生会问难，由小组内交流讨论，最后教师在展示台展示学生的解决方案，突出学生从几何特征发现代数特点的思维过程的展示和交流，如与x 轴相切的圆，半径长有什么特点等。

【运用几何画板画出每一方程所对应的圆，充分经历从几何到代数，从代数到几何的研究思路】

建立圆的方程是最基本的代数化，随着学习的深入，我们还要将圆的各种特征进行代数化，比如点与圆的位置关系等。

7.4 学习任务二：判断点与圆的位置关系，

问题情境3：得到圆的标准方程之后，我们会利用圆的方程解决更多关于圆的问题，我们先以点与圆的位置关系为出发点，继续思考：

比如：如何判断下列各点和圆

22

（x-2）（y+3）25+=的位置关系. 123(4,5),(6,1),(2,2)M M M -

学生活动：独立完成然后个别提问交流

预设解法一：根据方程得出圆心坐标，由两点间距离公式求出各点与圆心的距离再和半径做比较

预设解法二：直接将点的坐标代入方程，与半径的平方25做比较

【运用几何画板演示动态的变化过程，重在利用代数结果解释几何关系，这也是学生思维比较薄弱的地方，强化从代数结果中分析几何的特征和性质的意识和能力】

知识建构：代数 几何

222（x-a ）（y-b ）r += 点在圆上 222（x-a ）（y-b ）r +> 点在圆外

222（x-a ）（y-b ）r +< 点在圆内

7.5 学习任务三：圆的标准方程的应用—求三角形ABC 的外接圆的方程

问题情境4：△ABC 的三个顶点的坐标分别是A(5, 1)，B(7, －3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程.

我们刚建立了圆的标准方程，回过头来看，我们要求解△ABC 的外接圆方程，需要解决什么问题？

学生活动：充分发现学生在解决问题中的闪光点，进行交流，必要时要利用几何画板作图，展示台展示等。

预设解法一：代数方法确定a,b,r ，难点在于解方程组，如何优化解法顺利求解

预设解法二：我们解决几何问题，要分析几何对象的几何特征，分析三角形的外接圆圆心具有什么特征，进而确定圆心位置，然后利用距离公式求出半径大小。

代数 几何

【运用几何画板作图，一方面强调图形在分析问题中的辅助作用，另一方面加强数形结合，充分挖掘几何图形的特征，使其代数化顺利进行】

7.6 评测练习二

练习3.已知两点12(4,9),(6,3)P P ，以线段12P P 为直径的圆的方程是 ，

并判断点(6,9),(3,3),(5,3)M N Q 中，点 在圆上，点 圆内，点 在圆外；

练习4.已知AOB ?的顶点坐标分别是A(4,0),B(0,3),O(0,0)，则AOB ?外接圆的方程是 .

学生活动：课堂内独立完成测评，预设到各种层次的学生的学习，在既定时间内估计大多数能完成练习3，小部分能完成练习4。

7.7 小结

(1)牢记: 圆的标准方程

222（x-a ）（y-b ）r += 点与圆的位置关系

(2)明确：代数角度------三个条件a 、b 、r 确定一个圆

几何角度------ 圆心位置和半径确定一个圆

(3)方法：①代数法（解方程组）

②数形结合法

7.8 板书设计

主干知识板块

课题：4.1.1 圆的标准方程

（1） 基本思路 （3） 点与圆的位置关系

圆心、半径 （形） 圆（形） （4） 圆的标准方程的应用 求三角形外接圆的方程 222

（x-a ）（y-b ）r +=

（a,b ） r （数） 圆的方程 a,b,r

（2）圆的标准方程

222（x-a ）（y-b ）r += 联立三个方程

A,B,C 三个点在圆上

8 教学反思

（1）以问题为载体，以解决问题为驱动，对培养学生的学习能力有很大的帮助，而且能让学生之间的思维产生碰撞，相互学习，相互促进。

（2）与传统的教学相比，现在的教学变得更加多元化，而现代教育技术早已经融入教学中。除了熟练掌握技术手段之外，还必须深刻理解和体会教育的本质，充分挖掘教材，找准信息技术与数学结合的契机，选择适当的切入点，才能实现现代教育技术下的优质课堂。本节课是第一次正式研究曲线方程，利用几何画板，实现数与形的交互，在思维碰撞处，真正把数与形结合的思想落到实处，在强调图形在解决问题中的辅助作用的同时，也增强了教学效果。

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