北京市丰台区2021届新高考第一次适应性考试数学试题含解析

北京市丰台区2021届新高考第一次适应性考试数学试题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设i 为虚数单位，z 为复数，若

z i z +为实数m ，则m =（ ） A ．1-

B ．0

C ．1

D ．2 【答案】B

【解析】

【分析】

可设(,)z a bi a b R =+∈，将

z i z +化简，

a b i +

由复数为实数，0b =，解方程即可求解

【详解】

设(,)z a bi a b R =+∈

，则

)22a b i z a bi i i i z a bi a b +-+=+=+=+

+.

00b a =?=，所以0m =.

故选：B

【点睛】

本题考查复数的模长、除法运算，由复数的类型求解对应参数，属于基础题

2．已知数列{}n a 是公比为2的正项等比数列，若m a 、n a 满足21024n m n a a a <<，则()21m n -+的最小值为（ ）

A ．3

B ．5

C ．6

D ．10 【答案】B

【解析】

【分析】

利用等比数列的通项公式和指数幂的运算法则、指数函数的单调性求得110m n <-<再根据此范围求()21m n -+的最小值．

【详解】

Q 数列{}n a 是公比为2的正项等比数列，m a 、n a 满足21024n m n a a a <<，

由等比数列的通项公式得11111122210242n m n a a a ---?

10222m n -∴<<，可得110m n <-<，且m 、n 都是正整数，

求()21m n -+的最小值即求在110m n <-<，且m 、n 都是正整数范围下求1m -最小值和n 的最小值，

讨论m 、n 取值.

∴当3m =且1n =时，()21m n -+的最小值为()2

3115-+=.

故选：B ．

【点睛】

本题考查等比数列的通项公式和指数幂的运算法则、指数函数性质等基础知识，考查数学运算求解能力和分类讨论思想，是中等题． 3．已知向量(1,2),(3,1)a b =-=-r r ，则（ ）

A ．a r ∥b r

B ．a r ⊥b r

C ．a r ∥(a b -r r )

D ．a r ⊥( a b -r r )

【答案】D

【解析】

【分析】 由题意利用两个向量坐标形式的运算法则，两个向量平行、垂直的性质，得出结论.

【详解】

∵向量a =r （1，﹣2），b =r （3，﹣1），∴a r 和b r 的坐标对应不成比例，故a r 、b r 不平行，故排除A ； 显然，a r ?b =r 3+2≠0，故a r 、b r

不垂直，故排除B ； ∴a b -=r r （﹣2，﹣1），显然，a r 和a b -r r 的坐标对应不成比例，故a r 和a b -r r 不平行，故排除C ；

∴a r ?（a b -r r ）＝﹣2+2＝0，故 a r ⊥（a b -r r ），故D 正确，

故选：D.

【点睛】

本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量平行、垂直的性质，属于基础题.

4．已知集合A={x|–11}，则A ∪B=

A ．（–1，1）

B ．（1，2）

C ．（–1，+∞）

D ．（1，+∞） 【答案】C

【解析】

【分析】

根据并集的求法直接求出结果.

【详解】

∵{|12},{|1}A x x B x =-<<=> ，

∴(1,)A B =-+∞U ，

故选C.

【点睛】

考查并集的求法，属于基础题.

5．在直三棱柱111ABC A B C -中，己知AB BC ⊥，2AB BC ==，122CC =，则异面直线1AC 与11A B 所成的角为（ ）

A ．30?

B ．45?

C ．60?

D ．90? 【答案】C

【解析】

【分析】

由条件可看出11AB A B P ，则1BAC ∠为异面直线1AC 与11A B 所成的角，可证得三角形1BAC 中，1AB BC ⊥，解得1tan BAC ∠，从而得出异面直线1AC 与11A B 所成的角．

【详解】

连接1AC ，1BC ，如图：

又11AB A B P ，则1BAC ∠为异面直线1AC 与11A B 所成的角.

因为AB BC ⊥，且三棱柱为直三棱柱，∴1AB CC ⊥，

∴AB ⊥面11BCC B ， ∴1AB BC ⊥，

又2AB BC ==，122CC =()22122223BC =

+=， ∴1tan 3BAC ∠=160BAC ∠=?.

故选C

【点睛】

考查直三棱柱的定义，线面垂直的性质，考查了异面直线所成角的概念及求法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．

6．某地区高考改革，实行“3+2+1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有（ ）

A ．8种

B ．12种

C ．16种

D ．20种

【答案】C

【解析】

【分析】 分两类进行讨论：物理和历史只选一门；物理和历史都选，分别求出两种情况对应的组合数，即可求出结果.

【详解】

若一名学生只选物理和历史中的一门，则有122412C C =种组合；

若一名学生物理和历史都选，则有144C =种组合；

因此共有12416+=种组合.

故选C

【点睛】

本题主要考查两个计数原理，熟记其计数原理的概念，即可求出结果，属于常考题型.

7．复数21i z i =

-（i 为虚数单位），则z 等于（ ）

A ．3

B ．

C ．2

D

【答案】D

【解析】

【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简z ，从而求得z ，然后直接利用复数模的公式求解.

【详解】 ()()()

()21211111i i i z i i i i i i +===+=-+--+，

所以1z i =--，z =，

故选：D.

【点睛】

该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘除运算，复数的共轭复数，复数的模，属于基础题目.

8．已知函数2()sin

cos 444f x x x x πππ=，则(1)(2)...(2020)f f f +++的值等于（ ） A ．2018

B ．1009

C ．1010

D ．2020 【答案】C

【解析】

【分析】

首先，根据二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，根据所求函数的周期性，得到其周期为4，然后借助于三角函数的周期性确定其值即可．

【详解】

解：

2()sin cos 444f x x x x π

π

π

=．

1(1cos )222

x x ππ=- 1sin()262

x ππ=-++， 1()sin()262

f x x ππ∴=-++， ()f x ∴的周期为

242T ππ==， (

)1f ，()21f =， (

)3f =，()40f =， ()()()()12342f f f f +++=．

()()()122020f f f ∴+++L

()()()()5051234f f f f =?+++????

5052=?

1010=．

故选：C

【点睛】

本题重点考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变换等知识，掌握辅助角公式化简函数解析式是解题的关键，属于中档题．

9

．下列与函数y =定义域和单调性都相同的函数是（ ） A ．2log 2x y = B ．21log 2x y ??= ??? C ．21log y x = D ．1

4

y x = 【答案】C

【解析】

【分析】

分析函数y =

的定义域和单调性，然后对选项逐一分析函数的定义域、单调性，由此确定正确选项. 【详解】

函数y =的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为减函数. A 选项，2log 2x y =的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为增函数，不符合.

B 选项，21log 2x y ??= ???

的定义域为R ，不符合. C 选项，2

1log y x =的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为减函数，符合. D 选项，1

4y x =的定义域为[)0,+∞，不符合.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查函数的定义域和单调性，属于基础题. 10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且282,10a a =-=，则9S =（ ） A ．45

B ．42

C ．25

D ．36 【答案】D

【解析】

【分析】

由等差数列的性质可知1928a a a a +=+,进而代入等差数列的前n 项和的公式即可.

【详解】

由题,192899()9()9(210)36222

a a a a S ++?-+=

===. 故选:D

【点睛】

本题考查等差数列的性质,考查等差数列的前n 项和. 11．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线222212

x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为（ ）

A

．y x = B

．y = C

．2y x =±

D

．y = 【答案】A

【解析】

【分析】

由题意可得222222a b a b -=+，即223a b =，代入双曲线的渐近线方程可得答案.

【详解】 依题意椭圆22221(a b 0)x y a b +=>>与双曲线22221(a 0,b 0)2x y a b -=>>即22

221(a 0,b 022)x y a b -=>>的焦点相同，可得：22221122

a b a b -=+， 即223a b =，∴33

b a =，可得3232

a =, 双曲线的渐近线方程为：22

33

x y x a ±=±=, 故选：A ．

【点睛】

本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．

12．函数()x

f x e ax =+（0a <）的图像可以是（ ） A ． B ．

C ．

D ．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据()0,0x f x <>，可排除,A D ，然后采用导数，判断原函数的单调性，可得结果.

【详解】

由题可知：0a <，

所以当0x <时，()0f x >，

又()'x f x e a =+，

令()'0f

x >，则()ln x a >- 令()'

0f x <，则()ln x a <- 所以函数()f x 在()(),ln a -∞-单调递减

在()()

ln ,a -+∞单调递增，

故选：B

【点睛】

本题考查函数的图像，可从以下指标进行观察：（1）定义域；（2）奇偶性；（3）特殊值；（4）单调性；（5）值域，属基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．4()(2)x y x y -+的展开式中，32x y 的系数为____________.

【答案】16

【解析】

【分析】

要得到32x y 的系数，只要求出二项式4(2)x y +中22x y 的系数减去3x y 的系数的2倍即可 【详解】

32x y 的系数为2

2144C 2C 216?-?=.

故答案为：16

【点睛】

此题考查二项式的系数，属于基础题.

14．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金．若

随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则D （ξ1）＝_____，E （ξ1）﹣E （ξ2）＝_____．

【答案】2 0.2

【解析】

【分析】

分别求出随机变量ξ1和ξ2的分布列，根据期望和方差公式计算得解.

【详解】

设a ，b ∈{1，2，1，4，5}，则p （ξ1＝a ）1=

，其ξ1分布列为：

E （ξ1）15

=

?（1+2+1+4+5）＝1． D （ξ1）15=?[（1﹣1）2+（2﹣1）2+（1﹣1）2+（4﹣1）2+（5﹣1）2]＝2． ξ2＝1.4|a ﹣b|的可能取值分别为：1.4，2.3，4.2，5.6，

P （ξ2＝1.4）25425=

=e，P （ξ2＝2.3）253310==e，P （ξ2＝4.2）252210==e，P （ξ2＝5.6）251110==e，可得分布列．

E （ξ2）＝1.45?+2.310?+4.210

?+5.610?=2.3． ∴E （ξ1）﹣E （ξ2）＝0.2．

故答案为：2，0.2．

【点睛】

此题考查随机变量及其分布，关键在于准确求出随机变量取值的概率，根据公式准确计算期望和方差. 15．已知函数()244f x x x =--.若()1f x <在区间()1,2m m --上恒成立.则实数m 的取值范围是__________．

【答案】10,3??????

【解析】

【分析】

首先解不等式()1f x <，再由()1f x <在区间()1,2m m --上恒成立，即()()1,21,5m m --?-得到不等组，解得即可.

【详解】

解：()244f x x x =--Q 且()1f x <，即2441x x --<解得15x -<<，即()1,5x ∈-

因为()1f x <在区间()1,2m m --上恒成立，()()1,21,5m m ∴--?-

111225m m m m -≤-??∴-<-??-≤?

解得103x ≤<即10,3x ??∈???? 故答案为：10,3??????

【点睛】

本题考查一元二次不等式及函数的综合问题，属于基础题.

16．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线

22

22

1

x y

a b

-=（0

a>，0

b>）的离心率为

5

4

，则该双曲线的渐

近线方程为________.

【答案】

3

4 y x =?

【解析】【分析】

利用

222

5

1

4

c b

a a

??????

=+=

? ? ?

??????

，解出

b

a

，即可求出双曲线的渐近线方程.

【详解】

Q

222

5

1

4

c b

a a

??????

=+=

? ? ?

??????

，且0

a>，0

b>，

∴

3

4 b

a

=，

∴该双曲线的渐近线方程为：

3

4

y x =?.

故答案为：

3

4

y x =?.

【点睛】

本题考查了双曲线离心率与渐近线方程，考查了双曲线基本量的关系，考查了运算能力，属于基础题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．某房地产开发商在其开发的某小区前修建了一个弓形景观湖．如图，该弓形所在的圆是以AB为直径的圆，且300

AB=米，景观湖边界CD与AB平行且它们间的距离为502米．开发商计划从A点出发建一座景观桥（假定建成的景观桥的桥面与地面和水面均平行），桥面在湖面上的部分记作PQ．设2

AOPθ

∠=．

（1）用θ表示线段,

PQ并确定sin2θ的范围；

（2）为了使小区居民可以充分地欣赏湖景，所以要将PQ的长度设计到最长，求PQ的最大值．

【答案】（1）

502

300sin

cos

PQθ

θ

-

＝，

2

sin21

3

θ

<≤；（2）6.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/zf1e.html