结构力学 - 朱慈勉 - 第7章课后答案全解

结构力学 第7章 位移法习题答案

7-1 试确定图示结构的位移法基本未知量数目，并绘出基本结构。

(a) (b) (c)

EI 2EI EI EI 2EI

1个角位移 3个角位移，1个线位移 4个角位移，3个线位移

(d) (e) (f)

EI EI1=∞ EA

EI1=∞

3个角位移，1个线位移 2个线位移 3个角位移，2个线位移

(g) (h) (i)

k

一个角位移，一个线位移 一个角位移，一个线位移 三个角位移，一个线位移 7-2 试回答：位移法基本未知量选取的原则是什么？为何将这些基本未知位移称为关键位移？是否可以将静定部分的结点位移也选作位移法未知量？

7-3 试说出位移法方程的物理意义，并说明位移法中是如何运用变形协调条件的。

7-4 试回答：若考虑刚架杆件的轴向变形，位移法基本未知量的数目有无变化？如何变化？ 7-5 试用位移法计算图示结构，并绘出其内力图。

(a) A i D i B l l q i C l

解：（1）确定基本未知量和基本结构

有一个角位移未知量，基本结构见图。

4i3iZ1?1 r11 R1p 12ql3i2ii 12ql6 M1图（2）位移法典型方程

Mp图

r11Z1?R1p?0 （3）确定系数并解方程

1r11?8i,R1p??ql2312 ?8iZ1?ql?0

3ql2Z1?24i（4）画M图

1224qlql8721 2ql6 52ql24 (b)

4m A 2EI B 2.5kN/m M图10kN EI D 4m 4m

EI C 解：（1）确定基本未知量

1个角位移未知量，各弯矩图如下

905

（2）位移法典型方程

Mp图

r11Z1?R1p?0 （3）确定系数并解方程

r11? 5EI,R1p??352 5EIZ1?35?02

Z1?14 EI4026（4）画M图

147M图(KN?m)

(c)

A 6m EI B 6m 2EI EI C FP D EA=∞ E EA=∞ F 9m

解：（1）确定基本未知量

一个线位移未知量，各种M图如下

Z1?1 r11 Fp EI2EI EI 272727 M 1图 12 243EI243EI1243EI（2）位移法典型方程

r11Z1?R1p?0

（3）确定系数并解方程

r11?4243EI,RF 1p??p4243EIZ 1?Fp?0

Z1?243 4EI（4）画M图

9 94F9 p2Fp4Fp

M图

(d) E F EA EA a2 A B C D EI1=∞ FF P P

a a 2a a

解：（1）确定基本未知量

一个线位移未知量，各种M图如下

R1p Mp图

2 EA/2a5 4EA/2a5 r11Z1?1M1图 2EA52EA/2a5 2EA/2a5简化 r11M1图

4a5 1a5R1pFpMp图（2）位移法典型方程

3a5Fp

r11Z1?R1p?0

（3）确定系数并解方程

r11?26 EA/a,R1p??Fp55 2EA6Z1?Fp?05a5

Z1?3a

EA 0.6Fp （4）画M图

0.6Fpa 1.2FpFpa M图(e)

EA A l D EA EA B l C FP

解：（1）确定基本未知量

两个线位移未知量，各种M图如下

r21 EAl r11Z1?1?r11?EA?2??1??l?4?2EA4lEA2l r21? M1图

Z2?1 r22 r12?r22?EA?2??1??l?4?EA2l EAlM2图

000 Fp?R1p??Fp R2p?0R1p Mp图（2）位移法典型方程

r11Z1?r12Z2?R1p?0 r21Z1?r22Z2?R2p?0 （3）确定系数并解方程

EA?2?1???,r12?r21? l?4?r11?2EA4l

r?EA?2?22l?1??4??R1p??Fp,R2p?0 代入，解得

Z

1?1?22l2?1?2??EA?FpZ1l2??2?1?2??EA?Fp （4）画M图

1?22 Fp 2?1?2?22?1?2?Fp?1 2?1?2?Fp M图

7-6 试用位移法计算图示结构，并绘出M图。

(a) 10kN/m

A C E F m 6EI=常数 B D

6m 6m 6m 解：（1）确定基本未知量

两个角位移未知量，各种M图如下

223EI3EI12 3EI3EI1 3EI M1图?r11?2EI r121?3EI

2EI321EI3EI3 13 EI?r22?11EI6 1EI3M2图30

?R1p?30 R1p?0 Mp图

（2）位移法典型方程

r11Z1?r12Z2?R1p?0 r21Z1?r22Z2?R2p?0 （3）确定系数并解方程

1r?2EI,r?r?EI1221 113

r22?11EI6R1p?30,R2p?0 代入，解得 Z??15.47,Z12?2.81

（4）画最终弯矩图

35.1619.699.383.2710.311.871.40 (b)

M图

A B EI=常数 D 6m 6m E 6m 10kN/m C 解：（1）确定基本未知量

两个位移未知量，各种M图如下

4i 2i r113i2i r21 4i

i/2M1图

i r12i i r22

M2图

30 30 R1p R2p Mp图

（2）位移法典型方程

r11Z1?r12Z2?R1p?0 r21Z1?r22Z2?R2p?0 （3）确定系数并解方程 r?11i,r?r?0111221

r22??3i4R1p?30KN,R2p??30KN 代入，解得

3011

Z1???,Z2?40?11ii20 （4）画最终弯矩图

75.458.18 34.55 29.09 20.91

M图

(c)

2m A E B 2m 2m 30kN F EI=常数 D 2m 2m

C 解：（1）确定基本未知量

两个位移未知量，各种M图如下

ir114i2i 3i 3i r21

M1图

r12 3i2 3i2 r22 M2图

R1p30KN Mp图

（2）位移法典型方程

R2p

r11Z1?r12Z2?R1p?0 r21Z1?r22Z2?R2p?0 （3）确定系数并解方程

r11?11i,r12?r21??r22?3i2

6i4R1p?0,R2p??30KN 代入，解得

6.31646.316 Z1?,Z2?EIEI （4）求最终弯矩图

4.2112.6325.266.329.47

(d)

l

l 2 l Gqql B D F EI=常数 A l C l E M图

解：（1）确定基本未知量

两个位移未知量，各种M图如下

2EIl3EIl Z1?1r114EIl 3EI l 3EIlr21

M1图

6EIl2 3EIl2r12 3EIl26EIl2Z2? 1 r22 M2图

12ql8 12ql16R1p R2p Mp

（2）位移法典型方程

r11Z1?r12Z2?R1p?0 r21Z1?r22Z2?R2p?0 （3）确定系数并解方程

13EI3EI

,r12?r21?2ll18EIr22?2l1R1p?ql2,R2p??ql16r11? 代入，解得

66ql3211ql4

Z1???,Z2??3600EI3600EI0.315ql2 （4）求最终弯矩图

0.125ql2 0.176ql20.008ql20.055ql20.278ql2 0.231ql2 M图

(e)

20kN 80kN·m 10kN·m 50kN·m A 2EI 8m

B C EI EI 4m 4m 4m 4m D

解：（1）确定基本未知量

两个角位移未知量，各种M图如下

3EI4Z1?1r11EI 1r214 1EI2 M1图1EI2Z2?1

r22 r121 4EI 3EI8

M2图

20 50 2525 2025Mp图 20

（2）位移法典型方程

r11Z1?r12Z2?R1p?0 r21Z1?r22Z2?R2p?0 （3）确定系数并解方程

51EI,r12?r21?EI 447r22?EI8R1p?45KN?m,R2p?0r11? 代入，解得 Z??38.18,Z12?10.91

25.91 （4）求最终弯矩图

3.64 15.91 M图

7-7 试分析以下结构内力的特点，并说明原因。若考虑杆件的轴向变形，结构内力有何变化？

(a) (b) (c)

FP

FP

FP (d) (e) (f)

FP

q

FP

EI1=∞

M EI 7-8 试计算图示具有牵连位移关系的结构，并绘出M图。

对称轴

(a)

A 8m 3EI

20kN B EI1=∞ 3EI E

D EI1=∞ G 3EI C 8m

EI F 6m 解：（1）画出M1,M2,Mp图

r11 93m 2EI92EIr11 4EI81Z1?12 2EIEI 2EI r214EI34EI30r212EI9M图由图可得： r11?1124

EI,r12?r21?EI813 M2图 21r2EI2EI 1EI21EI6Z2?164EI3 3 2EI 1EIr22 1EI61EI18r222EI91 EI21EI6

由图可知： r22?14 EI9 1pR20KN Mp图 R2p

?R1p??20KN R2p?0（2）列方程及解方程组

4 ?112EIZ?EIZ?20?012??813??4EIZ?14EIZ?012?9?3解得：

Z1?83.3811

,Z2??71.47EIEI（3）最终弯矩图

18.53 23.82 23.8235.7411.91 59.56 18.5335.74 11.91 (b)

A 8m B 10kN D M图

C 10kN EI=常数

4m 4m 6m 解：C点绕D点转动，由Cy=1知，Cx? 知

35,C?CD? 44

EI9EI3EI3EI,r31?r13????412832128

4EI4EI93327r22???EI,r23?r32??EI?EI??EI108103240160r11?EI,r12?r21? R1p?10KN?m,R2p?0,R3p??6.25KN 求r33

?MD?0知

273399EIEI?EI?EI?EI??1416040128128128?8r33??0.055EI

8EI3?EIZ?Z?EIZ3?10?012?4128?Z1??17.9/EI?9EI27?EI?Z2?EIZ3?0??Z2?58.5/EI ?Z1?10160?4?Z?285.6/EI?327?3??128EIZ1?160Z2?0.055EIZ3?6.25?0?

(c) D EI C FP EI1=∞

B EI

A a 42EIa2aaa 22解：（1）作出各M图

o瞬心10EIa26EI4EI?2a2a 9EIa2 42EI2 a 6EI2EI?2a2aM1图

?M0?0?r11?a?9EI18EI?2a?3?a3aa?r11??92?18EIa3?

o瞬心PR1p 1Pa4 Mp图

?Ma?0?P??R1p?a?02

PR1p??20（2）列出位移法方程

r11Z1?R1p?0

解得：

Z1?Pa3292?18EI?? （3）最终M图

5Pa92?185Pa92?18 1Pa52Pa4 292?18? ? 22Pa92?18 4Pa92?18M图

q D (d)

A EI1=∞ B EI C k = 4 EI 3 l l l l 2 2 解：基本结构选取如图所示。

作出M1及Mp图如下。

9EI2l28EIl2 Z1?110EIl2r11M1图12ql1212ql8

12ql12

Mp图

29EI?10EI8EI??10EI9EI?r11??2?2?l??2?2?l/2?3

l?2l?l?l?l17?1?R1p???ql?ql2/l???ql

1212?2?由位移法方程得出：

7ql4r11Z1?R1p?0?Z1?

348EI作出最终M图

852ql3485ql2768 412ql34812ql8M图

7-9 试不经计算迅速画出图示结构的弯矩图形。

(a) B

(b)

A C 题7-9图

7-10 试计算图示有剪力静定杆的刚架，并绘出M图。

A a

qa D B EI=常数 a

qa F C q E a q G a A θA C B B′

?yB

解：（1）画出M1,M2,Mp图

3iZ1?r1 11r12 i3ii r3iZ212r?122 i3i M1图M2图由图可知，得到各系数：

r11?7i,r12?r21??i,r22?8iR513 1p??8qa2,R2p??8qa2求解得：Z53121?440,Z2?55 （2）求解最终弯矩图

1592440ql263440ql2104 2440ql3655ql24355ql2 1772440ql 2382440ql67ql2 55M图

7-11 试利用对称性计算图示刚架，并绘出M图。

(a) 20kN/m A B C D E EI=常数 m6 F G

6m 6m 6m 6m 解：（1）利用对称性得：

18ql212ql2 128qlql2 12ql2 ql2 Mp图

2EI3Z1?11206060r111EI32EI3R1p 1EI3

M1图Mp图

（2）由图可知：r11?4EI,R1p??300KN?m 34 ?EIZ1?300?0

3可得：Z1?300?3225? 4EIEI（3）求最终弯矩图

36021015 150 360210 15015 7575 M图

(b)

A 4m EI C EI 20kN EI 4m B 3m 解：（1）利用对称性，可得：

EI 10KNEI 2EI5

Z1=1r 4EI511 20 10KN EI4

20 M1图Mp图

（2）由图可知，各系数分别为： r11?EI421?EI?EI4520R1p??20KN?m 21EIZ1?20?020

解得：Z1?400 21EI（3）求最终弯矩图如下

15.247.62 24.76

C l EI D A EI B M图

(c)

FP 12EA A= 2I l EI E l

解：（1）在D下面加一支座，向上作用1个单位位移，由于BD杆会在压力作用下缩短，所以先分析上半部分，如下图。

1Pl8 x?45l P x?15 12EIl2N?? 6EIl2 12EI5l24N??Pl5 6EIl2 Z1?1r116EIl2 M1图Mp图 R1p

3EI12EI4x?3?1?x?，得x?个单位。 3ll5D点向上作用1个单位，设B向上移动x个单位，则（2）同理可求出Mp图。 r11?12EI212EI132EI4x??,R1p?Pl 333l5l5l5Pl3可得：Z1??

33 （3）求最终弯矩图

3Pl11 N??2Pl11 8Pl112Pl11 2Pl11 (d)

4m D EI B M图

10kN 3m 4m C EI 2EI EI 2EI D′B′ EI A′ A 4m 4m 4m (e)

A 3m

3m

B C EI EI D EI E EI1=∞ EI EI1=∞ 50kN EI EI EI C′

3m B′

3m A′

解：（1）利用对称性，取左半结构

25KN

4EI3Z1?1 r11 2EI3 2EI 9r122EI34EI9 2EI3 R1p 4EI3 r218EI9 r22 Z2?1 2EI 3 4EI9 25KN R2p M1图M2图Mp图

（2）由图可知： r11?8420EI,r21?r12?EI,r22?EI 3927R1p?0,R2p?25KN解得：Z1?2575 ,Z2??4EI3EI （3）求得最终弯矩图

503 125650322565032256 12561256503 253253

(f)

2m A

M图

10kN B

10kN D EI=常数

F

2m

C

2m E

2m 解：由于Ⅱ不产生弯矩，故不予考虑。只需考虑（Ⅰ）所示情况。对（Ⅰ）又可采用半结构来计算。如下图所示。

5kN 5kN 原图=5kN 5kN +5kN 5kN 5kN （I） Z25kN 4ir21ZZ1r1?1 2i11 2i 4i4i5kN 2i 基本结构M1图5kN R2pR 1p 5kN Mp图

7-12 试计算图示结构在支座位移作用下的弯矩，并绘出M图。(a) A EI B EI C D EI ? l l l

5kN （II）

Z2?1 r22r 12 11 M2图

(b)

B EI A

3EI

EI

C

l ?D

Δ?l?l

解：（1）求M1,M2,M3,Mp图。

r114i12i6ir21r12r31 12ir226i4ir32 r136ilr236ilr33 2iM1图2i6il 6ilM2图M3图

（2）由图可知：

r11?16i,r12?r21?6i,r23?r32??18i?R1p?0,R2p?8i?,R3p?l6i24i,r22?16i,r33?ll

代入典型方程，得：Z1?0.426,Z2??0.374,Z3?0.763l （3）求最终弯矩图

2.87EI?l1.93EI?l EI3.73?l4.67

7-13 试用位移法求作下列结构由于温度变化产生的M图。已知杆件截面高度h＝0.4m，EI＝2×104kN·m2，α＝1×105。

－

M图EI?l

A

+20℃ 0℃

B 0℃ +20℃ C 4m 6m 题7-13图

解：（1）画出Mt,M1?t,Mt??图。

2EIl4EIl4EIlr11 20EI?3R1t?45EI?3 10EI?R1t?? 2EIl M1图M1t?图Mt??图

（2）求解各系数，得，r11?典型方程：

595EI,R1?t??EI?,Rt???0 36595EIZ1?EI??0 36解得：Z1?19? 2（3）求最终弯矩图

11.977.407.4013.55 M图

7-14 试用混合法作图示刚架M图。

l A EI=常数 B l

题7-14图

E C

D FP F l l

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/zem7.html