点集拓扑学期末考试练习题(含答案)

点集拓扑学期末考试

一、单项选择题（每题1分）

1、已知X?{a,b,c,d,e},下列集族中，（ ）是X上的拓扑.

① T?{X,?,{a},{a,b},{a,c,e}} ② T?{X,?,{a,b,c},{a,b,d},{a,b,c,e}} ③ T?{X,?,{a},{a,b}} ④ T?{X,?,{a},{b},{c},{d},{e}} 答案：③ 2、设X?{a,b,c}，下列集族中,（ ）是X上的拓扑. ① T?{X,?,{a},{a,b},{c}} ② T?{X,?,{a},{a,b},{a,c}}

③ T?{X,?,{a},{b},{a,c}} ④ T?{X,?,{a},{b},{c}} 3、已知X?{a,b,c,d},下列集族中，（ ）是X上的拓扑. ① T?{X,?,{a},{a,b},{a,c,d}} ② T?{X,?,{a,b,c},{a,b,d}}

③ T?{X,?,{a},{b},{a,c,d}} ④ T?{X,?,{a},{b}} 4、设X?{a,b,c}，下列集族中,（ ）是X上的拓扑.

① T?{X,?,{b},{c},{a,b}} ② T?{X,?,{a},{b},{a,b},{a,c}}` ③ T?{X,?,{a},{b},{a,c}} ④ T?{X,?,{a},{b},{c}} 5、已知X?{a,b,c,d},下列集族中，（ ）是X上的拓扑. ① T?{X,?,{a,b},{a,c,d}} ② T?{X,?,{a,b},{a,c,d}}

③ T?{X,?,{a},{b},{a,c,d}} ④ T?{X,?,{a},{c},{a,c}} 6、设X?{a,b,c}，下列集族中,（ ）是X上的拓扑. ① T?{X,?,{a},{b},{b,c}} ② T?{X,?,{a,b},{b,c}}

③ T?{X,?,{a},{a,c}} ④ T?{X,?,{a},{b},{c}} 7、已知X?{a,b,c,d}，拓扑T?{X,?,{a}},则{b}=（ ）

①φ ② X ③ {b} ④ {b,c,d} 8、 已知X?{a,b,c,d}，拓扑T?{X,?,{a}},则{b,c,d}=（ ）

1

答案：② 答案：① 答案：② 答案：④ 答案：③ 答案：④

①φ ② X ③ {b} ④ {b,c,d} 答案：④ 9、 已知X?{a,b}，拓扑T?{X,?,{a}},则{a}=（ ）

①φ ② X ③ {a} ④ {b} 答案：② 10、已知X?{a,b}，拓扑T?{X,?,{a}},则{b}=（ ）

①φ ② X ③ {a} ④ {b} 答案：④ 11、已知X?{a,b,c,d}，拓扑T?{X,?,{a}},则{a}=（ ） ①φ ② X ③ {a,b} ④ {b,c,d} 答案：② 12、已知X?{a,b,c,d}，拓扑T?{X,?,{a}},则{c}=（ ） ①φ ② X ③ {a,c} ④ {b,c,d} 答案：④

a,b,c,d}，拓扑T?{X,?,{a},{b,c,d}},则X的既开又闭的非空真子集个数（ ）13、设X?{

① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②

a,b,c}，拓扑T?{X,?,{a},{b,c}},则X的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）14、设X?{

① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②

a,b,c}，拓扑T?{X,?,{b},{b,c}},则X的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）15、设X?{

① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案：①

16、设X?{a,b}，拓扑T?{X,?,{b}},则X的既开又闭的子集的个数为（ ） ① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案：③

17、设X?{a,b}，拓扑T?{X,?,{a},{b}},则X的既开又闭的子集的个数为（ ） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：④

abc,,}，18、设X?{拓扑T?{X,?,{a},{b},{a,b},{b,c}},X的既开又闭的非空真子集个数（ ）

① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②

19、在实数空间中，有理数集Q的内部Q ?是（ ） ① ? ② Q ③ R -Q ④ R 答案：① 20、在实数空间中，有理数集Q的边界?(Q)是（ ） ① ? ② Q ③ R -Q ④ R 答案：④

2

21、在实数空间中，整数集Z的内部Z ?是（ ） ① ? ② Z ③ R-Z ④ R 答案：① 22、在实数空间中，整数集Z的边界?(Z)是（ ） ① ? ② Z ③ R-Z ④ R 答案：② 23、在实数空间中，区间[0,1)的边界是（ ）

① ? ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案：③ 24、在实数空间中，区间[2,3)的边界是（ ）

① ? ② [2,3] ③ {2,3} ④ (2,3) 答案：③ 25、在实数空间中，区间[0,1)的内部是（ ）

① ? ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案：④

26、设X是一个拓扑空间，A,B 是X的子集,则下列关系中错误的是（ ）① d(A?B)?d(A)?d(B) ② A?B?A?B

③ d(A?B)?d(A)?d(B) ④ A?A 答案: ③

27、设X是一个拓扑空间，A,B 是X的子集,则下列关系中正确的是（ ）① d(A?B)?d(A)?d(B) ② A?B?A?B

③ d(A?B)?d(A)?d(B) ④ A?A 答案: ①

28、设X是一个拓扑空间，A,B 是X的子集,则下列关系中正确的是（ ） ① d(A?B)?A?B ② A?B?A?B

③ d(A?B)?d(A)?d(B) ④ d(d(A))?A?d(A) 答案: ④

29、已知X是一个离散拓扑空间，A是X的子集,则下列结论中正确的是（ ① d(A)?? ② d(A)?X?A

③ d(A)?A ④ d(A)?X 答案：①

30、已知X是一个平庸拓扑空间，A是X的子集,则下列结论中不正确的是（ ① 若A??,则d(A)?? ② 若A?{x0},则d(A)?X?A

③ 若A={x1,x2},则d(A)?X ④ 若A?X, 则d(A)?X 答案：④

3

）

）

31、已知X是一个平庸拓扑空间，A是X的子集,则下列结论中正确的是（ ） ① 若A??,则d(A)?? ② 若A?{x0},则d(A)?X

③ 若A={x1,x2},则d(A)?X?A ④ 若A?{x1,x2},则d(A)?A 答案：① 32、设X?{a,b,c,d}，令B?{{a,b,c},{c},{d}},则由B产生的X上的拓扑是（ ） ① { X,?,{c},{d},{c,d},{a,b,c}} ② {X,?,{c},{d},{c,d}}

③ { X,?,{c},{a,b,c}} ④ { X,?,{d},{b,c},{b,d},{b,c,d}} 答案：①

33、设X是至少含有两个元素的集合，p?X,T?{G?X|p?G}?{?} 是X的拓扑，则（ 是T的基.

① B?{{p,x}|x?X?{p}} ② B?{{x}|x?X}

③ B?{{p,x}|x?X} ④ B?{{x}|x?X?{p}} 答案：③ 34、 设X?{a,b,c},则下列X的拓扑中（ ）以S?{X,?,{a}}为子基. ① { X, ?,{a},{a,c}} ② {X, ?,{a}} ③ { X, ?,{a},{b},{a,b}} ④ {X,? }答案：②

35、离散空间的任一子集为( )

① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案：③ 36、平庸空间的任一非空真子集为( )

① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案：④ 37、实数空间R中的任一单点集是 ( )

① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭 答案：②

38、实数空间R的子集A ={1,1112,3 ,4,……},则A＝（ ）

①φ ② R ③ A∪{0} ④ A 答案：③ 39、在实数空间R中，下列集合是闭集的是（ ）

① 整数集 ② ?a,b? ③ 有理数集 ④ 无理数集 答案：① 40、在实数空间R中，下列集合是开集的是（ ） ① 整数集Z ② 有理数集

③ 无理数集 ④ 整数集Z的补集Z?答案：④

41、已知X?{1,2,3}上的拓扑T?{X,?,{1}},则点1的邻域个数是（ ） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：④

4

）

42、已知X?{a,b},则X上的所有可能的拓扑有（ ）

① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个 答案：④ 43、已知X={a,b,c},则X上的含有４个元素的拓扑有（ ）个 ① 3 ② 5 ③ 7 ④ 9 答案：④ 44、设(X,T)为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( ) ①X?T , ??T ② X?T ,??T ③当T??T时,

U?T??U?T ④ 当T??T时,

U?T??U?T 答案：③

45、在实数下限拓扑空间R中，区间[a,b)是（ ）

① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案：③ 46、设X是一个拓扑空间，A,B?X,且满足d(A)?B?A,则B是（ ） ① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案：②

1,2,3}47、设X?{,T={?,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓扑，A?{1,2},则X的子空间A的拓扑

为( ) ① T?{?,{2},{1,2}} ② T?{?,X,{1},{2},{1,2}} ③ T?{?,A,{1},{2}} ④ T?{?,X,{1},{2}} 答案：③

1,2,3}48、设X?{,T={?,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓扑，A?{1,3},则X的子空间A的拓扑

为( ) ① T?{?,{1},{3},{1,3}} ② T?{?,A,{1}} ③ T?{?,X,{1},{3},{1,3}} ④ T?{?,X,{1}} 答案：②

1,2,3}49、设X?{,T={?,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓扑，A?{2,3},则X的子空间A的拓扑

为( ) ① T?{?,{3},{2,3}} ② T?{?,A,{2},{3}} ③ T?{?,X,{2},{3},{2,3}} ④ T?{?,X,{3}} 答案：②

1,2,3}50、设X?{,T={?,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓扑，A?{1},则X的子空间A的拓扑为

( ) ① T?{?,{1}} ② T?{?,A,{1,2}} ③ T?{?,X,{1},{3},{1,3}} ④ T?{?,X,{1}} 答案：①

51、设X?{1,2,3},T={?,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓扑，A?{2},则X的子空间A的拓扑为( )① T?{?,{2},{1,2}} ② T?{?,A}

5

③ T?{?,X,{2}} ④ T?{?,X,{1,2}} 答案：②

52、设X?{1,2,3},T={?,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓扑，A?{3},则X的子空间A的拓扑为( ) ① T?{?,{2},{1,2}} ② T?{?,{X},{1,3}} ③ T?{?,X,{3}} ④ T?{?,{3}} 答案：④ 53、设R是实数空间，Z是整数集，则R的子空间Z的拓扑为（ ）

① T?{?,Z} ② T?P(Z) ③ T?Z ④ T?{Z} 答案：② 54、设X?X1?X2???X6是拓扑空间X1,X2,?,X6的积空间.P1是X到X1的投射，则P1是（ ）① 单射 ② 连续的单射

③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④

55、设X?X1?X2???X6是拓扑空间X1,X2,?,X6的积空间.P2是X到X2的投射，则P2是（ ） ① 单射 ② 连续的单射

③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④

56、设X?X1?X2???X6是拓扑空间X1,X2,?,X6的积空间.P3是X到X3的投射，则P3是（ ）① 单射 ② 连续的单射

③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④

57、设X?X1?X2???X6是拓扑空间X1,X2,?,X6的积空间.P4是X到X4的投射，则P4是（ ） ① 单射 ② 连续的单射

③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④

58、设X?X1?X2???X6是拓扑空间X1,X2,?,X6的积空间.P5是X到X5的投射，则P5是（ ）

① 单射 ② 连续的单射

③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④

59、设X?X1?X2???X6是拓扑空间X1,X2,?,X6的积空间.P6是X到X6的投射，则P6是（ ）① 单射 ② 连续的单射

③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④

60、设X1和X2是两个拓扑空间，X1?X2是它们的积空间,A?X1，B?X2，则有（ ） ① A?B?A?B ② A?B?A?B ③(A?B)??A??B? ④ ?(A?B)??(A)??(B)答案：② 61、有理数集Q是实数空间R的一个（ ）

① 不连通子集 ② 连通子集

③ 开集 ④ 以上都不对 答案：①

6

62、整数集Z是实数空间R的一个（ ） ① 不连通子集 ② 连通子集 ③ 开集 ④ 以上都不对

答案：① 63、无理数集是实数空间R的一个（ ） ① 不连通子集 ② 连通子集 ③ 开集 ④ 以上都不对

答案：①

64、设Y为拓扑空间X的连通子集,Z为X的子集,若Y?Z?Y, 则Z为( ) ①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集 答案：②

65、设X1,X2是平庸空间，则积空间X1?X2是（ ） ① 离散空间 ② 不一定是平庸空间 ③ 平庸空间 ④ 不连通空间 答案：③

66、设X1,X2是离散空间，则积空间X1?X2是（ ） ① 离散空间 ② 不一定是离散空间 ③ 平庸空间 ④ 连通空间 答案：①

67、设X1,X2是连通空间，则积空间X1?X2是（ ） ① 离散空间 ② 不一定是连通空间 ③ 平庸空间 ④ 连通空间 答案：④

68、实数空间R中的连通子集E为( )

① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 以上都不对 答案：④

69、实数空间R中的不少于两点的连通子集E为( ) ① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 以上都不对 答案：③ 70、实数空间R中的连通子集E为( )

① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 区间或一点 答案：④ 71、下列叙述中正确的个数为（ ）

（Ⅰ）单位圆周S1是连通的； （Ⅱ）R?{0}是连通的

7

（Ⅲ）R2?{(0,0)}是连通的 （Ⅳ）R2和R同胚 ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②

二、填空题（每题1分）

1、设X?{a,b},则X的平庸拓扑为 ;答案：T?{X,?} 2、设X?{a,b},则X的离散拓扑为 ;答案：T?{X,?,{a},{b}} ３、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ; 答案：拓扑不变性质 4、在实数空间R中，有理数集Q的导集是___________. 答案： R

5、x?d(A)当且仅当对于x的每一邻域U有 答案： U?(A?{x})?? 6、设A是有限补空间X中的一个无限子集，则d(A)= ;答案：X 7、设A是有限补空间X中的一个无限子集，则A= ;答案：X 8、设A是可数补空间X中的一个不可数子集，则d(A)= ;答案：X 9、设A是可数补空间X中的一个不可数子集，则A= ;答案：X

3X的拓扑T?{X?,,{2},{210、设X?{1,2,,,,则X的子集A?{1,2} 的内部

为 ;答案：{2}

3X的拓扑T?{X?,,{1},{211、设X?{1,2,,,则X的子集A?{1,3 }的内部

为 ;答案：{1}

X的拓扑T?{X,3}?,{1},{2,,则X的子集A?{1,2 }的内部为 12、设X?{1,2,,

答案：{1}

3X的拓扑T?{X?,,{2},{213、设X?{1,2,,,,则X的子集A?{1,3 }的内部

为 ;答案：?

14、设X?{a,b,c},则X的平庸拓扑为 ;答案：T?{X,?}

a,b,c},则X的离散拓扑为 答案：T?{X,?,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c}} 15、设X?{2则X的子集A?{1,3 }的内部16、设X?{1,2,3},X的拓扑T?{X,?,{2},{3},{,

为 ;答案：{3}

3}X的拓扑T?{X,?,{1},{3},{1}的内部17、设X?{1,2,,,则X的子集A?{1,2

为 ;答案：{1}

8

18、f:X?Y是拓扑空间X到Y的一个映射，若它是一个单射，并且是从X到它的象集f(X)的一个同胚，则称映射f是一个 .答案：嵌入

19、f:X?Y是拓扑空间X到Y的一个映射，如果它是一个满射，并且Y的拓扑是对于映射f而言的商拓扑，则称f是一个 ;答案：商映射

20、设X,Y是两个拓扑空间，f:X?Y是一个映射，若X中任何一个开集U的象集f(U)是Y中的一个开集，则称映射f是一个 答案：开映射

21、设X,Y是两个拓扑空间，f:X?Y是一个映射，若X中任何一个闭集U的象集f(U)是Y中的一个闭集，则称映射f是一个 答案：闭映射

22、若拓扑空间X存在两个非空的闭子集A,B,使得A?B??,A?B?X,则X是一个 ；答案：不连通空间

23、若拓扑空间X存在两个非空的开子集A,B,使得A?B??,A?B?X,则X是一个 ；答案：不连通空间

24、若拓扑空间X存在着一个既开又闭的非空真子集，则X是一个 答案：不连通空间 25、设Y是拓扑空间X的一个连通子集，Z?X满足Y?Z?Y，则Z也是X的一个 ; 答案：连通子集

26、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个 ； 答案：在连续映射下保持不变的性质

27、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个 ；答案：可商性质

28、若任意n?1个拓扑空间X1,X2,?,Xn,都具有性质P,则积空间X1?X2???Xn也具有性质

P，则性质P称为 ;答案：有限可积性质

29、设X是一个拓扑空间，如果X中有两个非空的隔离子集A,B,使得A?B?X,则称X是一个 ；答案：不连通空间. 三．判断（每题4分，判断1分，理由3分） 1、．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 答案:√

理由：设X是离散空间，Y是拓扑空间，f:X?Y是连续映射，因为对任意A?Y，都有

1f?（A)?X,由于X中的任何一个子集都是开集，从而f?1(A)是?中的开集，所以f:X?Y是连续的.

9

2、设T 1,T 2是集合X的两个拓扑，则T 1?T 2不一定是集合X的拓扑( )答案:× 理由：因为（1）T 1,T 2是X的拓扑，故X,??T1，X,??T２，从而X,??T 1?T 2；

（２）对任意的A,B?T1?T２，则有A,B?T1且A,B?T２，由于T1, T2是X的拓扑，故

A?B?T1且A?B?T2，从而A?B? T1?T２；

（３）对任意的T??T1?T2，则T??T1,T??T2，由于T1, T2是X的拓扑，从而?U?T’U?T1,

?U?T’U?T2,故?U?T’U? T1?T２；

综上有T1?T２也是X的拓扑．

3、从拓扑空间X到平庸空间Y的任何映射都是连续映射（ ）答案:√

理由：设f:X?Y是任一满足条件的映射，由于Y是平庸空间，它中的开集只有Y,?,易知它们在f下的原象分别是X,?,均为X中的开集，从而f:X?Y连续. 4、设A为离散拓扑空间X的任意子集，则d?A??? （ ）答案:√ 理由：设p为X中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集， 所以{p}是X的开子集，且有?p???A??p????，即p?d?A?,从而 d(A)??. 5、设A为平庸空间X（X多于一点）的一个单点集，则d?A??? （ ）答案：× 理由：设A?{y},则对于任意x?X,x?y,x有唯一的一个邻域X，且有y?X?(A?x),从而

X?(A?x)??，因此x是A的一个凝聚点，但对于y的唯一的邻域X，有X?(A?y)??,所

以有d?A??X?A??.

6、设A为平庸空间X的任何一个多于两点的子集，则d?A??X （ ）答案：√ 理由：对于任意x?X,因为A包含多于一点，从而对于x的唯一的邻域X，且有X?(A?x)??，因此x是A的一个凝聚点，即x?d(A)，所以有d?A??X.

7、设X是一个不连通空间，则X中存在两个非空的闭子集A,B,使得A?B??,A?B?X（ ）答案：√

理由：设X是一个不连通空间，设A,B是X的两个非空的隔离子集使得A?B?X,显然

10

A?B??，并且这时有:

B?B?X?(B?A)?(B?B)?B

从而B是X的一个闭子集，同理可证A是X的一个闭子集，这就证明了A,B满足. A?B??,A?B?X8、若拓扑空间X中存在一个既开又闭的非空真子集，则X是一个不连通空间( )√ 理由：这是因为若设A是X中的一个既开又闭的非空真子集，令B?A?，则A,B都是X中的非空闭子集，它们满足A?B?X，易见A,B是隔离子集，所以拓扑空间X是一个不连通空. 五．简答题（每题4分）

1、设X是一个拓扑空间，A,B是X的子集，且A?B.试说明d(A)?d(B).

答案：对于任意x?d(A),设U是x的任何一个邻域，则有U?(A?{x})??,由于A?B，从而

U?(B?{x})?U?(A?{x})??，因此x?d(B)，故d(A)?d(B).

2、设X,Y,Z都是拓扑空间.f:X?Y, g:Y?Z都是连续映射，试说明g?f:X?Z也是连续映射.

答案：设W是Z的任意一个开集，由于g:Y?Z是一个连续映射，从而g?1(W)是Y的一个开集，由f:X?Y是连续映射，故f?1(g?1(W))是X的一开集，因此 (g?f)?1(W)?f?1(g?1(W))是X的开集，所以g?f:X?Z是连续映射.

3、设X是一个拓扑空间，A?X.试说明：若A是一个闭集，则A的补集A?是一个开集. 答案：对于?x?A?,则x?A，由于A是一个闭集，从而x有一个邻域U使得U?(A?{x})??,因此U?A??，即U?A?,所以对任何x?A?,A?是x的一个邻域，这说明A?是一个开集. 4、设X是一个拓扑空间，A?X.试说明：若A的补集A?是一个开集，则A是一个闭集. 答案：设x?A,则x?A?,由于A?是一个开集，所以A?是x的一个邻域，且满足A??A??,因此x?A,从而A?A,即有A?A，这说明A是一个闭集. 5、在实数空间R中给定如下等价关系：

x~y?x,y?(??,1)或者x,y?[1,2)或者x,y?[2,??)

设在这个等价关系下得到的商集Y?{[0],[1],[2]},试写出Y的商拓扑T.

11

答案：T ?{?,Y,{[0]},{[0],[1]}} 6、在实数空间R中给定如下等价关系:

x~y?x,y?(??,1]或者x,y?(1,2]或者x,y?(2,??)

设在这个等价关系下得到的商集Y?{[1],[2],[3]},试写出Y的商拓扑T . 答案：T ?{?,Y,{[3]},{[2],[3]}} 7、在实数空间R中给定如下等价关系：

x~y?x,y?(??,1)或者x,y?[1,2)或者x,y?[2,??)

设在这个等价关系下得到的商集Y?{[?1],[1],[2]},试写出Y的商拓扑T. 答案：T ?{?,Y,{[?1]},{[?1],[1]}} 8、在实数空间R中给定如下等价关系：

x~y?x,y?(??,1)或者x,y?[1,2)或者x,y?[2,??)

设在这个等价关系下得到的商集Y?{[?2],[1],[2]},试写出Y的商拓扑T. 答案：T ?{?,Y,{[?2]},{[?2],[1]}} 9、在实数空间R中给定如下等价关系:

x~y?x,y?(??,1]或者x,y?(1,2]或者x,y?(2,??)

设在这个等价关系下得到的商集Y?{[0],[2],[3]},试写出Y的商拓扑T . 答案：T ?{?,Y,{[3]},{[2],[3]}} 10、在实数空间R中给定如下等价关系:

x~y?x,y?(??,1]或者x,y?(1,2]或者x,y?(2,??)

设在这个等价关系下得到的商集Y?{[0],[2],[4]},试写出Y的商拓扑T . 答案：T ?{?,Y,{[4]},{[2],[4]}} 11、在实数空间R中给定如下等价关系:

x~y?

x,y?(??,1]或者x,y?(1,2]或者x,y?(2,??)

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设在这个等价关系下得到的商集Y?{[?1],[2],[4]},试写出Y的商拓扑T . 答案：T ?{?,Y,{[4]},{[2],[4]}} 六、证明题（每题8分）

1、设f:X?Y是从连通空间X到拓扑空间Y的一个连续映射.则f(X)是Y的一个连通子集. 证明：如果f(X)是Y的一个不连通子集，则存在Y的非空隔离子集A,B使得

f(X)?A?B …………………………………………… 3分

于是f?1(A),f?1(B)是X的非空子集，并且：

(f?1(A)?f?1(B))?(f?1(B)?f?1(A))?(f?1(A)?f?1(B))?(f?1(B)?f?1(A)) ?f?1((A?B)?(A?B))??所

以

f?1(A),f?1(B)?1是

?1X的非

?1空隔离子集 此外，

f?1(?A)f(?B)?f(A?f(X)是Y的一不连通，矛盾.从而)B，这说明(f?X(f)X)X个连通子集. ………………………… 8分

2、设Y是拓扑空间X的一个连通子集, 证明: 如果A和B是X的两个无交的开集使得Y?A?B,则或者Y?A,或者Y?B.

证明：因为A,B是X的开集，从而A?Y,B?Y是子空间Y的开集. 又因Y?A?B中，故Y?(A?Y)?(B?Y) ………………… 4分

由于Y是X的连通子集,则A?Y,B?Y中必有一个是空集. 若B?Y??,则Y?A;若

A?Y??,则Y?B………………… 8分

3、设Y是拓扑空间X的一个连通子集, 证明: 如果A和B是X的两个无交的闭集使得Y?A?B,则或者Y?A,或者Y?B.

证明：因为A,B是X的闭集，从而A?Y,B?Y是子空间Y的闭集. 又因Y?A?B中，故Y?(A?Y)?(B?Y) ………………… 4分

由于Y是X的连通子集,则A?Y,B?Y中必有一个是空集. 若B?Y??,则Y?A;若

A?Y??,则Y?B………………… 8分

4、设Y是拓扑空间X的一个连通子集，Z?X满足Y?Z?Y，则Z也是X的一个连通子集. 证明：若Z是X的一个不连通子集，则在X中有非空的隔离子集A,B 使得Z?A?B.因此

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Y?A?B ………………………………… 3分

由于Y是连通的，所以Y?A或者Y?B,如果Y?A，由于Z?Y?A，所以Z?B?A?B??，因此 B?Z?B??,同理可证如果Y?B，则A??,均与假设矛盾.故Z也 是X的一个连通子集. …………………………………………………………………… 8分

5、设{Y?}???是拓扑空间X的连通子集构成的一个子集族.如果????Y???,则????Y?是X的一个连通子集. 证明：若

????Y?是X的一个不连通子集.则X有非空的隔离子集A,B使得

????Y??A?B………………………………………… 4分

任意选取x?????Y?,不失一般性，设x?A,对于每一个???，由于Y?连通，从而????Y??A及B??,矛盾，

所以????Y?是连通的. ………………………………………… 8分

6、设A是拓扑空间X的一个连通子集，B是X的一个既开又闭的集合.证明：如果A?B??,则A?B.

证明：若B?X,则结论显然成立.

下设B?X,由于B是X的一个既开又闭的集合,从而A?B是X的子空间A的一个既开又闭的子集………………………………… 4分

由于A?B??及A连通，所以A?B?A，故A?B.………… 8分 7、设A是连通空间X的非空真子集. 证明:A的边界?(A)??. 证明：若?(A)??,由于?(A)?A??A??,从而

??A??A???(A??A??)?(A?A?)?(A??A?)?(A?A??),

故A ,A?是X的隔离子集 ………………………………………… 4分

因为A是X的非空真子集,所以A和A?均非空,于是X不连通,与题设矛盾.所以

?(A)??. ……………………………………………… 8分

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下为点集拓扑学考试的辨析题和证明题，解答是本人自己写的，可能有错误或者不足，希望对大家的考试有帮助。

二、辨析题（每题5分，共25分，正确的说明理由，错误的给出反例） 1、拓扑空间中有限集没有聚点。 答：这个说法是错误的。

反例：X是

??a,b,c? ，规定拓扑 ???X,?,?a??，则当A??a?时，b和c都

一个，它包含

A的聚点。因为b和c的领域只有Xa，a不是A的聚点，因为

A\\?a???。

2、欧式直线E是紧致空间。 答：这个说法是错误的。

反例：对E而言，有开覆盖?子覆盖。

3、如果乘积空间X11

???n,n?|n?Z???，而对于该开覆盖没有有限

?Y道路连通，则X和Y都是道路连通空间。

答：这个说法是正确的。

证明：对于投射有P1?X?Y??X，P2?X?Y??Y，由投射是连续的，又知

X?Y是道路连通，从而像也是道路连通空间，所以X和Y都是道路连通空间。

4、单位闭区间I与S不同胚。 答：这个说法是正确的。

下面用反证法证明，反设I1S与同胚，则

1??1???1??1?f|2\\??:2\\???S1\\?f???也是同胚映射，I?2??2???2??故矛盾，所以单位闭区间I1S与不同胚。

?1??1?\\??不连通，则 S1\\??不连通，?2??2?5、紧致性具有可遗传性质。

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答：这个说法是错误的。

反例 ：

?0,1?紧致但?0,1?不紧致。

1三、证明题（每题10分，共50分）

?x,x?01、规定f:E\\?0,1??E为f?x???，证明f是连续映射，但不是同

?x?1x?11胚映射。 证明：由于

f限制在???,0?与

1?1,???上连续，由粘接引理，f?1?1连续。但

f?1不连续，

如???,0?是E1\\?0,1?的闭集，但f??????,0????f?????,0??????,0?不是E的闭集，所以

f不是同胚映射。

2、证明：Hausdorff空间的子空间也是Hausdorff空间。 证明：设

X是Hausdorff空间，Y是X的任一子空间，需证Y是Hausdorff空

间。?x,y?Y，由得UX是Hausdorff空间，所以存在x,y在X的开邻域U、V使

?V??，U?Y是

x在Y中开邻域，V?Y是

y在Y中开邻域，

?U?Y???V?Y??U?V?Y??，故Y是Hausdorff空间。

3、证明：从紧致空间到Hausdorff空间的连续双射是同胚。 证明：要证明所以

f?1:Y?X连续，只需证

f是闭映射，设

A是X的闭子集紧致，

的紧致

A是紧致的。又因为紧致空间在连续映射下的像也紧致，所以f?A?是Y子集，又由于Hausdorff空间的紧致子集是闭集，所以4、设

f?A?是Y的闭集。

X0是X的既开又闭的子集，

A是X的连通子集，则或者

A?X0??或者

A?X0。

证明：

A?X0是A的既开又闭的子集，由于A连通，则或者A?X0??或者

A?X0?A即A?X0。

5、证明：道路连通性具有可乘性质。

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证明：设

?x0,y0?是?x1,y1?是X?Y中两点，X和Y都是道路连通，则有X中道

y0,y1为起始点，作X?Y中道路c路a，以x0,x1为起始点，又有Y中道路b，以为：

c?t???a?t?,b?t??，?t?I，则c连接?x0,y0?和?x1,y1?，所以道路连通性具有

可乘性质。

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