超声Lamb波的激励及频率调谐 - 图文

江苏科技大学

本 科 毕 业 设 计（论文）

学 院 数理学院 专 业 应用物理学 学生姓名 彭 加 福 班级学号 0640502112 指导教师 魏 勤 二零一零年六月

江苏科技大学本科毕业论文

超声Lamb波的激励及频率调谐

The Excitation and Frequency Tuning of Ultrasonic Lamb Wave

江苏科技大学

毕业设计（论文）任务书

学院名称： 数理学院 专 业： 应用物理学 学生姓名： 彭加福 学 号： 0640502112 指导教师： 魏 勤 职 称： 副教授

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毕业设计（论文）题目： 超声Lamb波的激励及频率调谐 一、 毕业设计（论文）内容及要求（包括原始数据、技术要求、达到的指标和应做的实验等） 1．提供条件： PZT压电晶片、厚为3.0mm的铝板、函数发生器、数字示波器、计算机 2．设计内容与要求: (1) 调研收集分析有关资料，总结超声Lamb波在无损检测中的应用及国内 外研究发展状况； (2) 推导自由板中Lamb波的频散方程，并用Matlab进行数值求解； (3) 准备PZT压电晶片，接入电极并用聚合树脂将其粘结到薄铝板上； (4) 用相关软件调制各种窗口调制的正弦信号，包括Gaussian窗、Hamming 窗和Hanning窗； (5) 在铝板中激励并接受Lamb波信号，对信号进行处理、分析； (6) 撰写论文。 ii

二、完成后应交的作业（包括各种说明书、图纸等） 1. 毕业设计论文一份（不少于1.5万字）； 2. 外文译文一篇（不少于5000英文单词）； 3. 相关数据处理图像及Matlab数值计算程序。 二、 完成日期及进度 2010年2月27日至2010年6月5日，共12周。 进度安排： (1) 2月27日-3月5日，查阅资料、调研，完成开题报告； (2) 3月6日-4月10日，完成理论推导及Matlab数值计算； (3) 4月11日-5月10日，完成实验部分及撰写部分毕业论文； (4) 5月11日-5月20日，数据处理及完成毕业论文初稿； (5) 5月21日-6月14日，论文修改及答辩PPT制作； (6) 6月15日，毕业答辩。 iii

四、主要参考资料（包括书刊名称、出版年月等）: [1] Z. Q. Su, L. Ye, Y. Lu. Guided Lamb waves for identification of damage in composite structures: A review[J]. Journal of Sound and Vibration. 2006, 295: 753-780. [2] M. Rguiti, S. Grondel, F. E. youbi, et al. Optimized piezoelectric sensor for a specific application: Detection of Lamb waves[J]. Sensors and Actuators A. 2006, 126: 362-368. [3] 李家伟, 陈积懋. 无损检测手册[M]. 机械工业出版社. 2002年: 206-214. [4] D. Leduc, B. Morvan, A. C. Hladky, et al. Interaction of Lamb waves with a grating composed of two spatial periodicities: Study in dual space[J]. NDT&E International. 2009, 42:513-517. [5] 孙亚杰, 袁慎芳, 邱雷, 等. 基于Lamb波相控阵和图像增强方法的损伤监测[J]. 航空学报. 2009, 30(7): 1325-1330. [6] H. S. Yoon, R. DeCicco. Lamb wave excitation and detection with smart fasteners for structural health monitoring[J]. Proc. SPIE. 2010, 7649(14): 2412-2422. [7] J. S. Leng, A. Asundi. Structural health monitoring of smart composite materials by using EFPI and FBG sensors[J]. Sensors and Actuators A: Physical. 2003, 103(3): 330-340. [8] 王强, 袁慎芳. 无参考主动Lamb波结构损伤时反成像监测方法[J]. 航空学报. 2010, 31(1): 178-183. [9] 张海燕, 他得安, 刘镇清, 著. 层状各向异性复合板中的兰姆波[M]. 科学出版社. 2008年: 138-156. [10] 王珅, 黄松岭, 赵伟. 平板和管道周向Lamb波频散和波结构特性[J]. 清华大学学报(自然科学版). 2009, 49(7): 925-928. 系(教研室)主任： （签章） 年 月 日 学院主管领导： （签章） 年 月 日 iv

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摘 要

基于Lamb波的材料损伤检测和结构健康监测在航空工业、船舶制造、土木工程和智能材料等领域得到了广泛的研究和应用。本课题在研究超声Lamb波波动理论的基础上分析板中Lamb波的传播特性，并求出自由板中Lamb波频散方程的数值解。利用Gaussian函数、Hamming窗和Hanning窗对正弦信号进行调制，然后采用调制后的脉冲猝发信号对粘结在铝薄板表面的正方形PZT压电晶片进行激励，从而在铝薄板中产生并采集Lamb波。重点研究了各向同性铝薄板中Lamb波的传播特性、频散特性、模式识别、模式选择和频率调谐。对时域信号的分析结果表明，激励频率在10~200kHz范围内能在板内得到明显的Lamb波信号，120~150kHz时发生谐振，采集的信号最强；对信号进行频域分析时发现，各种激励波形产生的Lamb波信号都发生了频散现象，其中采用正弦单周期信号激励时板中Lamb波的频散现象最严重，而采用Hamming窗调制的五步波脉冲信号激励时频散最小，适合作为激励信号；实验测试了各种频率下A0和S0模式Lamb波的群速度并与理论值相比较，发现实验结果与数值解接近。实验还研究了采用不同波形激励时不同模式（A0和S0）Lamb波的强度随频率的变化关系，结果发现在20~60kHz和100~150kHz两区间内，A0和S0模式Lamb波的强度有明显差异。因此，可以通过选择适当的激励频率来获得模式单一性好、强度高、对某类缺陷敏感的Lamb波。

关键词：超声兰姆波；激励与接收；频散特性；模式识别与选择；各向同性铝薄板

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Abstract

Material damage detection and structural health monitoring based on Lamb wave are widely studied and applied in the areas of aerospace industry, ship manufacturing, civil engineering and smart material. In this research, the propagation characteristics of Lamb wave were analyzed by the study of the wave theorem of Lamb wave in plate, and the numerical solutions of dispersion equation of Lamb wave in free plate were also calculated. Excitation signals in a variety of waveforms were obtained via modulating the sinusoidal waveform by Gaussian function, Hamming window and Hanning window. Then Lamb wave was actuated and collected in the thin aluminium plate by square PZT crystal wafer which bonded on the thin aluminium plate. The major emphasis is placed on the propagation characteristics, dispersion characteristics, mode identification, mode selection and frequency tuning of Lamb wave in the thin isotropic aluminium plate. The time-domain analysis shows that apparent Lamb wave signals were detected when the excitation frequency ranges from 10kHz to 200kHz, in which, the most intensive signal was detected under a frequency about 120~150kHz due to the harmonic oscillation; The frequency-domain analysis indicates that dispersion phenomenon of Lamb wave exists under any conditions of the excitation signal, in which, the Lamb wave excited by a single-cycle sinusoidal burst pulse shows a serious frequency dispersion, while the Lamb wave excited by a Hamming window modulated five-step waveform burst pulse shows the lowest frequency dispersion. Therefore, the later is the most workable excitation signal. The group velocity of both A0 and S0 modes were measured, which are closed to the theoretical results. The relationship between frequency and signal intensity of both A0 and S0 modes under different conditions of excitation waveforms were studied experimentally to find the intensity of A0 and S0 modes show an apparent difference when the excitation frequency band fall in the ranges of 20~60kHz and 100~150kHz. Accordingly, we can obtain a Lamb wave with good unity, high intensity and sensitive for certain defect types by selecting appropriate excitation frequency.

Keyword：Ultrasonic Lamb Wave; Excitation and Collection; Dispersion Characteristics;

Mode Identification and Selection; Isotropic Thin Aluminium Plate

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目录

第1章 绪 论 ............................................................................................ 1

1.1 本课题的研究背景及意义 ........................................................................................ 1

1.1.1 本课题的研究背景 .......................................................................................... 1 1.1.2 本课题的研究意义 .......................................................................................... 2 1.2 Lamb波在无损检测中的应用 .................................................................................. 2

1.2.1 金属薄板Lamb波检测 ................................................................................... 2 1.2.2 复合材料Lamb波检测 ................................................................................... 4 1.2.3 Lamb波检测在其它材料或结构中的应用 .................................................... 5 1.3 Lamb波检测技术研究的发展状况 .......................................................................... 5

1.3.1 国外Lamb波检测技术研究的发展状况 ....................................................... 5 1.3.2 国内Lamb波检测技术研究的发展状况 ....................................................... 6 1.4 本课题的主要研究内容 ............................................................................................ 6

第2章 自由板中Lamb波的理论基础.................................................. 7

2.1 概 述 .......................................................................................................................... 7 2.2 自由板中的Lamb波 ................................................................................................. 7

2.2.1 运动方程与边界条件 ...................................................................................... 7 2.2.2 自由板问题 ...................................................................................................... 8 2.2.3 位移势函数法求解自由板问题 ...................................................................... 9

第3章 Lamb波的激励与接收............................................................. 12

3.1 概 述 ........................................................................................................................ 12 3.2 Lamb波的激励与接收方式 .................................................................................... 12

3.2.1 超声波探头 .................................................................................................... 12 3.2.2 激光超声 ........................................................................................................ 13 3.2.3 压电元件 ........................................................................................................ 13 3.2.4 交叉指型换能器 ............................................................................................ 14 3.2.5 光纤传感器 .................................................................................................... 14 3.3 PZT压电晶片激励与接收Lamb波 ....................................................................... 14

3.3.1 压电效应与压电陶瓷 .................................................................................... 14

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3.3.2 PZT压电晶片换能机理 ................................................................................ 15 3.3.3 PZT压电晶片激励与接收Lamb波 ............................................................. 17

第4章 Lamb波的频散特性及模式选择............................................. 18

4.1 概 述 ........................................................................................................................ 18 4.2 Lamb波的频散特性 ................................................................................................ 18

4.2.1 频散方程及其数值解 .................................................................................... 18 4.2.2 Matlab实现频散方程数值解 ........................................................................ 21 4.2.3 Lamb波的频散曲线 ...................................................................................... 21 4.3 Lamb波的模式选择 ................................................................................................ 23

第5章 铝板中Lamb波的频率调谐.................................................... 24

5.1 概 述 ........................................................................................................................ 24 5.2 铝薄板中Lamb波的激励 ....................................................................................... 24 5.3 Lamb波模式识别 .................................................................................................... 27

5.3.1 波速法 ............................................................................................................ 27 5.3.2 二维Fourier变换法....................................................................................... 28 5.3.3 平滑伪Wigner-Vile分布法........................................................................... 29 5.4 铝薄板中Lamb波的频率调谐 ............................................................................... 30

5.4.1 实验设备与方法 ............................................................................................ 30 5.4.2 实验结果与分析 ............................................................................................ 30

结 论 .......................................................................................................... 36 致 谢 .......................................................................................................... 37 参考文献 .................................................................................................... 38

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第1章 绪 论

1.1 本课题的研究背景及意义

1.1.1 本课题的研究背景

随着当前对飞行器结构、船舶结构、大型基础设施结构等安全性的日益关注，结构原材料检测、组装生产质量监控和在役结构健康监测的研究越来越受到人们的重视。在各种针对大型结构的无损检测、无损评估和健康监测技术中，超声Lamb波检测技术得到了广泛的关注和研究，经常被用于板状结构的损伤检测和健康监测，特别是在大面积板状结构的无损检测及结构健康监测中的应用[1-3]。超声Lamb波的激励和检测方式灵活，在板中可以传播很长距离，而且能与板材中的缺陷产生有效的相互作用，并携带大量的信息。通过对接收到的Lamb波信号进行分析和处理不仅可以对材料中的缺陷进行定位、定量和成像，而且可以对结构的健康状况及使用寿命进行评估，从而大大的降低了在役结构的安全隐患。

近20年来，复合材料在各领域的应用得到了快速的发展，不断替代传统的金属材料，如：桥梁等大型钢筋混凝土结构中用基于碳纤维的复合材料预加强钢筋梁替代全钢钢筋梁以防止腐蚀；航空器结构中用加强纤维复合材料代替铝板或合金等金属材料以减轻重量提高强度；船舶制造中用玻璃纤维加强复合材料代替钢板作为船体或其它构件等。但与金属材料的检测相比，复合材料的损伤检测和健康监测难度比较大，因此，寻找一种能够有效监测复合材料结构安全性的技术变得非常必要。目前，用于复合材料无损检测和结构健康检测的技术主要有光纤布拉格光栅传感器[4-5]和基于Lamb波的超声检测技术[6-8]。基于Lamb波的超声检测技术可以有效地检测复合材料的脱层、裂纹、未胶合等不连续缺陷，并且可以通过基于Lamb波的表面粘结式压电传感器阵列对复合材料结构进行健康监测和无损评估。

此外，基于Lamb波的嵌入式或表面粘结式传感器在智能材料结构损伤检测及健康监测中的应用也非常广泛[9-10]。所谓的智能材料结构是指将传感器和驱动器以及有关信号处理和控制电路集成在材料结构中，通过机、光、电、热等激励和控制，不仅具有承受载荷的能力，而且具有识别、分析、处理及控制等多种功能，能进行自诊断、自适应、自修复的材料结构。目前，在智能材料结构健康监测中，主动Lamb波损伤监测技术使

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用得较多，其大都采用基于参考信号的处理方法获取损伤散射信号，即取健康状态响应信号为参考信号，对比损伤状态下的结构响应信号获取损伤散射信号。但由于基于参考信号的处理方法在真实条件下容易受到结构和外部条件变化的影响，因此不具备实用性。解决这一问题的一个方法是采用时间反转重建波源信号，通过对比重建的波源信号和初始波源信号来确定损伤存在的路径，进而估计损伤的位置[6]。该方法是由美国卡内基梅隆大学的H. W. Park等提出的。虽然这样的方法不再依赖参考健康信号，但由于监测路径有限，因此定位精度受到了限制。 1.1.2 本课题的研究意义

Lamb波在一定的激发频率下至少会产生两种模式，不同模式的相速度将随激励频率的改变而变化，这就是Lamb波的频散特性。Lamb波的这一特性使检测中的信号处理与分析变得异常复杂，实际上Lamb波的这一特性在一定程度上限制了它在工业无损检测和结构健康监测中的应用和推广。

然而，Lamb波的频散特性也会给检测带来便利。有研究表明，不同模式的Lamb波对不同缺陷的敏感性不尽相同，如A0模式对质量负载有高度的敏感性[11]，而且不同模式的Lamb波发现处于不同深度缺陷的能力也大不相同。因此，只要通过选择适当的激励方式和频率，获得最适于检测某一类缺陷的Lamb波模式，进行材料Lamb波检测就变得相对简单，且精确有效。

鉴于此，本课题主要研究了板中超声Lamb波的激励及频率调谐，重点研究了铝薄板中Lamb波的频散特性及模式选择，通过频散曲线有选择性的激励出S0模式和A0模式，并通过频率调谐的方式对两种模式Lamb波进行较深入的研究。虽然本课题主要是基于铝板等金属材料进行研究的，但通过推广、改进，本课题的研究结果及研究方法可应用于各种材质薄板的Lamb波检测中，为检测中的模式选择及激励信号频率选择提供参考和方法，这对Lamb波损伤检测有着极大的意义。

1.2 Lamb波在无损检测中的应用

1.2.1 金属薄板Lamb波检测

金属或合金材料在宏观上呈现出各向同性特性，被认为是均质材料，其无损探伤比较简单、直接。声波在金属材料中的衰减及散射比较小，但遇到气孔、裂纹、夹杂等不连续缺陷时会有很强的缺陷界面回波。因此，一般用超声波A扫描探伤仪和超声波C

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扫描技术就可以直接对缺陷进行定位、定量和成像，从而对金属材料结构进行损伤检测和结构健康监测。如图1.1所示，图1.1a和图1.1b分别是铝块人工缺陷和锻件焊缝缺陷的超声C扫描图像。然而，由于一般的超声波探头都具有一定的盲区，用垂直入射法对金属薄板进行检测是无效的。

超声Lamb波是一种导波，是在板材中传播的一种特殊的应力波，在板材厚度与激励波长为相同数量级的情况下产生，由纵波和横波共同合成，通常也称为板波。在金属薄板的Lamb波检测中，可以采用多种方式在金属薄板中激励和接收Lamb波，再通过分析、处理接收到的Lamb波信号对缺陷进行定位、定量和成像。大连理工大学的侯云霞等在厚度为0.7 mm的铝板上制作直径为0.6~1.8 mm的通孔，以模拟薄铝板中的孔洞类缺陷，并通过Lamb波的S0模态对铝板进行检测，结果发现缺陷大小与其反射波幅值之间具有较好的对应关系[1]。南京航空航天大学智能材料与结构航空科学重点实验室的孙亚杰等利用Lamb波和超声相控阵对铝板进行了损伤监测的研究[12]。检测中选择合适的低频窄带激励信号，产生单一模式Lamb波，结合超声相控阵技术对结构进行多方位监测，并采用基于点运算的对比度增强方法提高损伤图像的分辨率，改善图像质量，使损伤图像更加清晰地表征出损伤的位置、区域。

(a)

(b)

图1.1 铝块人工缺陷和焊缝缺陷的超声C扫描图像(a. 铝块人工缺陷; b. 锻件焊缝缺陷) Fig. 1.1 Ultrasonic C-scan features of defects (a. artificial defects in aluminium; b. defects in weld)

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图1.2 无参考主动Lamb波损伤成像技术得到的玻璃纤维增强复合板损伤重建图像(a. 损伤重建图像;

b. 闸值处理后的损伤图像)

Fig. 1.2 Damage rebuilt image of GFRP plate via no baseline active Lamb wave damage imaging technique

(a. damage rebuilt image ; b. damage rebuilt image intercepted by threshold value)

1.2.2 复合材料Lamb波检测

工程上将由两种或两种以上材料在宏观尺度上组成的新材料称为复合材料，其中的每一种组成材料称为复合材料的组分。复合材料通常由机体材料和增强材料两大部分组成，组份材料之间具有明显的界面，宏观上呈现各向异性特征。复合材料的种类很多，大致可归纳为纤维增强复合材料、颗粒增强复合材料和薄片增强复合材料三类。由于复合材料在宏观上呈现出显著的各向异性，有时还会加入各种加强筋，使结构变得异常复杂，加上Lamb波本身的频散特性和模式转变，因此，在复合材料损伤检测中信号处理与分析比较复杂。

在复合材料损伤检测中，Lamb波主要用于层状复合材料板的检测。在多层、各向异性、宏观非均质性的层压复合材料板中，Lamb波模式的速度依赖于各组元的弹性性质、层厚、纤维方向、铺层顺序以及Lamb波的传播方向。检测时可以通过在适合的频厚积下选择最佳模式来提高缺陷的检测能力，使Lamb波能够进行局部、详细的检测。

目前，在复合材料Lamb波损伤检测中，应用的一些主要技术方法有Lamb波层析成像[13]，即利用在物体外部观测到的物理量场，通过特殊的数字处理技术，重现物体内部物性或状态参数的分布图像；主动Lamb波损伤监测技术[6]，即取健康状态响应信号

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为参考信号，对比损伤状态下的结构响应信号获取损伤散射信号；时间反转重建波源信号方法[6, 14]，即采用H. W. Park等提出的的时间反转方法；基于短时傅利叶变换( STFT)的时频分析方法[15] 等。图1.2所示为南京航空航天大学的王强等采用无参考主动Lamb波损伤成像技术得到的玻璃纤维复合板损伤重建图像[6]。这些技术的应用往往需要对复合材料中Lamb波的传播特性有深入的了解，而且需要进行复杂的信号处理及分析，这在一定程度上限制了Lamb波检测技术在复合材料损伤检测中的应用及推广。 1.2.3 Lamb波检测在其它材料或结构中的应用

除了应用于金属板材和复合材料层压板的损伤检测外，超声Lamb波检测技术也广泛应用于管道纵向及周向损伤检测和掩埋于地下的管道探伤[16]。这主要是因为，除弹性平板外，管道的纵向和周向同样可以作为波导引导超声导波的传播。在管道圆周方向上可以存在和平板Lamb波类似的超声导波，称之为周向Lamb波。清华大学的王珅等对平板Lamb波和管道周向Lamb波的频散和波结构特性进行分析和对比[17]。研究结果表明，管道周向Lamb波与平板Lamb波具有相似性，而这种相似性与表征管道弯曲程度 的内、外径之比 ? 相关， ? 越大，即越接近100%则管道周向Lamb波越接近于平板Lamb波。

1.3 Lamb波检测技术研究的发展状况

1.3.1 国外Lamb波检测技术研究的发展状况

在国外，Lamb波及基于Lamb波的检测技术在航空航天、船舶制造、土木工程和智能材料等领域受到广泛而深入的研究[10, 16, 18-20 ]。美国的Joseph L. Rose等[18]通过嵌入式PZT晶片网络对飞机机翼进行主动Lamb波健康监测，对缺陷进行探测、定位和裂纹生长监测。结果表明即使在结构复杂的机翼中，用PZT晶片作为换能器的主动Lamb波检测方法仍能实现对缺陷进行定位、定量。Jill Bingham等[19]研究了用基于Lamb波的传感器对水下爆破弹对舰船船体压力进行动态检测，并建立理论模型进行对比认证。研究结果表明，实际检测和理论结果非常吻合，因此可以用Lamb波对船体压力应变进行动态检测，从而降低海上设备安全隐患。澳大利亚的Kaphle Manindra R.等[20]将Lamb波声发射技术及信号处理技术应用于桥梁结构健康监测中。使用该方法可以对桥梁等钢筋混凝土结构进行使用健康评估，根据评估状况对结构进行适当的改造，从而使结构性能安全、可靠。

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1.3.2 国内Lamb波检测技术研究的发展状况

相对于国外的研究发展，国内关于Lamb波的研究较晚，起点较低。目前国内对Lamb波及其应用研究较多、较为深入的学者主要有：南京航空航天大学智能材料与结构航空科学重点实验室的袁慎芳[6, 12, 14, 21]，其主要研究主动Lamb波在复合材料、智能材料损伤检测及结构健康检测中的应用及采用Lamb波传感器网络对缺陷进行扫描成像；同济大学的他得安[13, 22-23]，其主要研究层状各向异性复合材料中的Lamb波及其在复合材料损伤检测中的应用。

1.4 本课题的主要研究内容

目前，在进行材料、结构的Lamb波损伤检测和健康监测时主要有两个问题需要解决，即：a. 选择适当的激励方式及激励频率以获得最适于材料或结构探伤的Lamb波模式；b. 对接收到的Lamb波信号进行处理和分析。本课题着重研究了Lamb波的激励及频率调谐，并在各向同性铝薄板中进行实验。虽然本研究是针对铝薄板中的Lamb波进行的，但通过改进，可将其应用延伸到各种板状材料的Lamb波损伤检测及结构健康监测中。

本课题首先简单介绍了超声Lamb波在金属板状材料损伤探测、复合材料及结构的健康监测和智能材料Lamb波检测等领域的应用及其国内外研究发展状况；其次，研究了板中Lamb波的传播特性、频散特性和Lamb波模式识别与选择等相关理论及其在超声Lamb波检测中的应用，通过Matlab数值计算的方法得到自由板中Lamb波频散方程的数值解，并绘制了Lamb波频散曲线；最后，通过Gaussian函数、Hamming窗和Hanning窗等调制出多种激励信号，并根据频散曲线及板中Lamb波相关理论，用PZT压电晶片在厚度为3.0 mm的铝板中激励、调谐和接收Lamb波信号，再通过快速傅里叶变换（FFT）等方法对接收到的Lamb波信号进行频谱分析。

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第2章 自由板中的Lamb波理论基础

2.1 概 述

超声Lamb波是在板材中传播的一种特殊的应力波，在厚度与激励波长为相同数量级的情况下产生，由纵波和横波共同合成，通常也称为板波。本章将简要介绍板中Lamb波的弹性动力学控制方程及Lamb波在自由板中传播问题，利用位移势函数法得到波在自由板中传播问题的解，最后导出Lamb波频散方程。

Lamb波传播的经典问题与各向同性、均质、自由板中的波相联系。用于推导控制方程以及相速度对频率的频散曲线的方法类似于很多包括杆、管、多层介质以及各向异性介质中的导波问题。在研究Lamb波问题前，有必要了先解一下导波与体波的根本区别。体波在介质中传播，所以其远离边界。然而，导波传播却常常以反射与折射的形式与边界发生相互作用，且发生纵波与横波间的波型转换。尽管体波与导波有本质上的区别，但它们受到同一组偏微分波动方程的控制，在数学上两者的区别是：对于体波，所得的解无需满足边界条件，而导波问题的解在满足控制方程的同时还要满足实际边界条件。正是由于边界条件的引入使得求解导波问题的解析解显得十分困难，在很多问题中甚至找不到解析解。此外，与在体波问题中所出现的有限个模式不同，导波问题中通常存在无数种模式，即在一个有限体中可以存在无数种不同的导波模式。

2.2 自由板中的Lamb波

2.2.1 运动方程与边界条件

超声导波有很多种，一些导波问题已经得到解决，其解一般沿用研究者的名字，如Rayleigh波，Lamb波和Stonely波。Rayleigh波是半无限固体表面上的自由波，在边界上应力为零，且波随深度的增加而衰减。Lamb波是在自由板中产生的平面应变波，在板的上、下表面应力为零。随着波的入射角和频率的改变，在每一点上都产生不同的模式结构。Stonely波是两介质交界面传播的一种自由波，在界面上需要满足应力和位移连续条件，同时必须满足辐射条件。

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根据弹性理论，板中的Lamb波可用位移场u来描述，并且满足如下关于位移的偏微分控制方程：

??i （2.1）?ui,jj?(???)uj,ji??fi??u

这里用笛卡儿张量符号表示，其中?、?和?分别表示Lamé常数和所给定材料的密度， 可见对于给定材料，运动方程（2.1）只与质点位移有关。在求解域为无限的情况下，有位移偏微分控制方程就足够了。但求解域为有限的情况下，除了位移方程外还需要求解问题的一些边界条件，如自由板中的Lamb波。一般情况下边界条件是以确定的应力和位移形式给出，其形式通常如下：

u(x,t)?u0(x,t) （2.2）

ti??jinj （2.3） 其中式（2.2）表示表面位移，式（2.3）表示表面应力，前面已经提到对于自由板中的Lamb波，上、下表面应力为零。 2.2.2 自由板问题

自由板问题的几何描述如图2.1所示，该问题可由运动方程（2.1）及边界条件（2.3）来描述。自由板的两个自由表面可分别用数学表示为：

?y?d?h12? （2.4） ??y??d??h2?2

其中d表示自由板厚度。在自由板上某一点上激励超声波，激发区域的超声波在传播到自由板的上、下表面时会发生波型转换，纵波变横波，横波变为纵波。在板内经过一段时间的传播后，板中的超声波会发生很有趣的变化，如出现纵波、横波相互叠加而产生一系列“波包”，此即通常所说的导波Lamb波。另外，通过改变超声波的入射角和声波频率，我们还可以发现，板中出现了不同模式的Lamb波。

目前，有多种方法可以得到自由板问题的精确解，其中最常见的是位移势函数法和部分波分析法（The Partial Wave Technique）。下面将简要地介绍一下通过位移势函数法求解自由板问题的过程。

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d h

图2.1 自由板问题的几何描述

Fig. 2.1 Geometric description for the free plate problem

Free Plate h x3 x1 2.2.3 位移势函数法求解自由板问题

关于自由板问题的位移势函数法求解过程，在Joseph L. Rose的书中已经描述得非常详细了[24]，在此只是进行简要的描述，以便为接下来的研究提供理论基础。

根据Helmholtz分解原理，将质点位移向量场分解，然后将结果代入位移偏微分控制方程（2.1）就可以得到两个分离的波动方程。对于平面应力问题有：

???x212????x232?1??cL?t222 （2.5）

???x122????x322?1??cT?t222 （2.6）

其中方程（2.5）控制纵波（L波），方程（2.6）控制横波（T波）。假定方程（2.5）和方程（2.6）的解为如下形式：

???(x3)exp[i(kx1??t)] （2.7）

???(x3)exp[i(kx1??t)] （2.8）

这些解代表沿x1方向的行波和沿x3方向的驻波。尽管存在一个包含依赖x1的时间变量的指数项(只能是正弦或余弦)，但只有一个未知的依赖于x3的静态函数，这种现象称为横向共振，可以通过多种方法对方程进行求解。另外，这些解代表了沿板方向传播的波以及在横向上固定分布的扰动。

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将这些假定的解代入方程（2.5）和方程（2.6）中，得到未知函数?和?的控制方程，其解如下：

?(x3)?A1sin(px3)?A2cos(px3) （2.9）

?(x3)?B1sin(qx3)?B2cos(qx3) （2.10）

其中

p2??22cL?k ，q22??22cT?k （2.11）

2

由平面应变假设可知，位移和应力可用势函数表示为：

u1?u????x1????x3

u2?v?0

u3?w????x3????x1） （ 2.12

????

????

?31222??????????2??22??x?x?x?x1313?2??2???????2??x2?x3?1?332???2?????2??????x2?x1?x3??3

将式（2.9）和式（2.10）代入上式中各项可得到位移场及应力场分布。可以发现位移场和应力场是含有以x3为宗量的sin或cos函数，是关于x3的奇（或偶）函数。我们可以将之分成两组模式，分别为对称模式和反对称模式。对于x1方向上的位移，如果u1中包含余弦项，则运动是关于板的中面对称的，如果u1中包含正弦项，则运动是对称的。x3方向上的位移情况则刚好相反。

在Joseph L. Rose的书中给出了这两种模式的位移及应力的详细表达式，其中还含有几个未知的系数。它们可以通过应用零应力边界条件来确定，并且可以导出各向同性材料中Lamb波的频散方程。

在如图2.1所示自由板中，板两表面处的应力应满足如下关系：

?31??33?0 （2.13）

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江苏科技大学本科毕业设计（论文）

结 论

本课题采用15×15mm的正方形PZT压电晶片，在厚为3.0mm的铝薄板中激励和接收Lamb波。重点研究了各向同性铝薄板中Lamb波的传播特性、频散特性、模式识别与选择和频率调谐。通过理论计算和实验测量，我们得出如下结论：

1） 采用粘结式PZT压电元件在各向同性铝薄板中激励Lamb波时，若用正弦激励信号激励，板中的Lamb波会发生严重的频散现象，而采用经窗口调制后的正弦信号，板中Lamb波频散变小，且强度有所提高。其中，采用Hamming窗调制的五步波信号最佳，用10V的激励信号激励时，接收到S0模式Lamb波的最大幅值达到0.76V。

2） 数值求解Lamb波频散方程得到的相速度频散曲线和群速度频散曲线可以为Lamb波的模式选择和识别提供参考。在进行基于Lamb波的损伤检测时，可通过选择适当的频厚积，即选择适当的激励频率来获得仅含S0和A0模式的Lamb波。同时可通过比较频散曲线的理论值和实验值来识别接收到的Lamb波模式。

3） 在研究频率范围内（10~200kHz），相同激励频率下，接收到S0和A0模式Lamb波的电压幅值有所差别，在20~60kHz和100~150kHz两区间范围内差别非常明显，其最大差值分别达到0.16V和0.26V。因此，可以通过选择适当的激励频率来获得模式单一性好、强度高、对某类缺陷敏感的Lamb波，以便于进行高效、准确的Lamb波损伤检测和结构健康监测。

虽然本课题主要是基于铝板等金属材料进行研究的，但通过推广、改进，本课题的研究结果及研究方法可应用于各种材质薄板的Lamb波检测中，为检测中的模式选择及激励信号频率选择提供参考和方法，这对Lamb波损伤检测有着重要的意义。

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江苏科技大学本科毕业设计（论文）

致 谢

本毕业课题研究得到了魏勤老师的悉心指导和鼓励才最终顺利完成，在此表示感谢!还要特别感谢同学、朋友们在各个方面上的热心帮助和友好建议，这给我带来了很多便利，也使我少走了很多的弯路。另外，在此还要特别感谢我的家人，尤其是我的父母，感谢他们一直以来在学业和生活上对我的支持和信任。

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江苏科技大学本科毕业设计（论文）

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将这一边界条件应用于位移场及应力场表达式中可得到两个关于常系数的齐次方程组，分别对应于对称模式及反对称模式。令两个齐次方程组的系数矩阵的行列式为零，可得到其非凡解，再进行适当变换可得到如下解：

tan(qh)?4kqph222222 （2.14）

tan(ph)(?k??p?2?p)(k?q)

我们知道，cL和cT有如下定义：

c22?L????，c2T???

用式（2.11）定义的p和q及式（2.15）定义的声速代换Lamé常数则有：

?k2??p2?2?p2???2?2?c22Tk 将式（2.16）代入原始频散方程（2.14）中，可得到对称模式频散方程：

tan(qh)2tan(ph)??4kpq(q2?k2)2

用类似的方法，我们还可以得到反对称模式的频散方程：

tan(qh)2?k2)2tan(ph)??(q4k2pq

其中p和q如式（2.11）所定义。

11

2.15）

2.16）

2.17）

2.18）

（ （ （ （ 江苏科技大学本科毕业设计（论文）

第3章 Lamb波的激励与接收

3.1 概 述

换能器/传感器是用于激励与接收Lamb波的器件，是组成超声Lamb波检测系统的重要元素之一。 换能器的性能直接影响到激励Lamb波的特性及检测能力。在用Lamb波进行材料损伤检测及结构健康监测时，对于不同的被检材料或结构，会采用不同的换能器和激励方式，如探测面为曲面或其它非平整表面时，可以使用薄膜类换能器（如聚偏氟乙烯压电聚合体薄膜）；在大型结构（如桥梁，飞机机翼等）的检测中常常使用粘结式或嵌入式的方法激励Lamb波。

本章将对多种Lamb波激励及接收方式进行简要的叙述，重点介绍PZT压电陶瓷换能器的声-电转换机理及在Lamb波缺陷检测中的应用。

3.2 Lamb波的激励与接收方式

Lamb波可以通过多种方法进行激励和接收，大致上可分为五大类，包括超声探头激励、激光超声、压电元件激励、交叉指型换能器和光纤传感器等。下面我们将做简要介绍。本课题的实验中采用了PZT压电晶片激励与接收Lamb波，我们将在本章的3.3中对PZT压电元件做较为详细的介绍。 3.2.1 超声波探头

由于具有高精确度和高可控性，根据Snell定律设计的带有可调角度的有机玻璃楔子[25]或Hertzain接触式[26]换能器的超声波探头在Lamb波的激励及接收中得到广泛的应用。这种超声探头不会激励出多模式的Lamb波，因此可以直接进行信号诠译。在实际操作中，耦合剂、定向是否准确、接触是否良好等因素会影响探测结果，因此，气体耦合、流体耦合、电磁声学换能器（EMAT）等新一代非接触式探头应运而生[27-29]。其中，EMAT可以有效地激励出横向剪切模式，但这种探头只适用于金属材料探伤。然而，进行探测时，气体或液体与被测材料间机械阻抗的巨大差异会降低探测精确度。超声探头检测方法对近表面的缺陷的探测效果也不好，这是因为缺陷反射波会受到发射超声波脉

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冲波长的限制。此外，由于探头自身的质量或体积造成的影响和在具有复杂几何结构材料检测中的局限性也大大降低了该方法的实际应用。 3.2.2 激光超声

采用激光超声发生器（LBU）非接触激励并通过激光干涉仪获得Lamb波是一种精确、可靠的方法[30]。Fabry-Perrot干涉仪和外差式干涉仪是该激励方式中最常用到的装置。LBU可以根据实际情况灵活地调节频带宽度，从而满足不同的空间分辨率需求。检测中，小到微小裂纹，大到明显缺陷，LBU都能精确探测出来。在一些采用接触式方法无法检测的材料中，如具有曲面和复杂几何结构的材料，采用LBU方法仍能进行探测，且成效卓越。此外，通过一个短激光脉冲就能够激发出具有多个模式的宽频带Lamb波信号，这样就有更多的机会有选择性地激励出所需要的模式[31]。然而高昂的价格限制了该装置的广泛应用。 3.2.3 压电元件

锆钛酸铅压电元件（PZT）是很好的Lamb波激励和接收器件，并且非常适合作为原位发生器集成到主体结构中。由于锆钛酸铅压电元件自身重量和体积可以忽略且具有易于集成、机械强度好、宽频率响应、低能耗、低声阻抗、价格低廉等特点，该元件作为Lamb波发生器在缺陷探测中得到广泛的应用[32]（详细内容将在下面的章节介绍）。考虑到可以将几何形状的影响降到最低从而避免波传播的不均匀性，式（3.1）给出了圆盘形PZT换能器的最优设计准则[33]：

2R?vwavef(n?12)??wave(n?12)，(n?0,1,2,3,...) （3.1）

式中R是PZT圆盘的半径，v wave，f和λwave分别表示给定模式Lamb波的波速，频率和波长。考虑到PZT晶片的厚度较薄，为不使PZT元件去极化，加在其两端的最大电压一般在250~300V/mm之间。

PZT换能器会同时激励出多种模式的Lamb波，这是不可避免的，因此探测时需要进行复杂的信号处理。更甚者，当加的电压太高或处于高温下时，PZT换能器会出现一定的非线性和迟滞现象。此外，低驱动力/位移、质脆、不耐疲劳等缺点也在某些程度上限制了PZT元件的应用。

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3.2.4 交叉指型换能器

在缺陷识别领域中，新型交叉指型换能器（如聚偏氟乙烯（PVDF）压电聚合体薄膜）的应用越来越广泛，该换能器不仅价格低廉，而且能提供多种用途[34]。与压电陶瓷相比，PVDF具有灵活性好、尺寸稳定性高、压电系数稳定和易操作等特点。采用PVDF激励Lamb波时可以通过调节趾间电极距离来控制波长[35]。由于交叉指型换能器一般比较柔韧，因此可以灵活地改变形状贴在被检材料的曲面上。但PVDF的驱动力较弱，因此PVDF主要用作感测器，但在一些研究中也会将PVDF用作激发器[36]，结果发现，PVDF激发器只能在很低的频段内工作，最多至500Hz。 3.2.5 光纤传感器

光导纤维的质轻、抗电磁干扰、频带宽、兼容性好、使用寿命长、低能耗和价格低等优点使其在缺陷识别中的应用越来越广泛[37]。在大多数情况下，光纤器件会用于捕获静态或准动态应变，与普通的电阻应变计相比[38]，光纤器件测应变的分辨率要高出两到三个数量级。然而，由于常规的光谱分析仪（OSA）的采样率较低，在超声领域中，很少会用光纤传感器监测动态Lamb波信号。解决这个问题的一个方法是，将一个光纤光栅滤波器（FBG）与光电探测器相连[39]，这样，由Lamb波而不是应变本身导致光强变化能使实验中得到较高采样率的信号。实验表明[40]，平行于波传播方向的FBG传感器捕获到的Lamb波信号振幅是垂直于波传播方向的FBG传感器捕获到的100倍。另有一项关于表面粘结式与嵌入式FBG传感器获取Lamb波信号的有效性研究表明[41]，嵌入式FBG传感器的灵敏度是表面粘结式的20倍。然而在实际应用中表面粘结式用得比较多，这是因为在复合板中嵌入光纤会降低材料的结构力学性能，而且不方便移动和维修。

3.3 PZT压电晶片激励与接收Lamb波

3.3.1 压电效应与压电陶瓷波

压电陶瓷是指把氧化物（氧化锆、氧化铅、氧化钛等）高温烧结，固相反应后制成的多晶体，并通过直流高压极化处理使其具有压电效应的铁电陶瓷的统称。所谓压电效应是指当沿着一定方向对某些电介质施力而使其变形时，介质内部会产生极化现象，同时在介质表面上产生符号相反的电荷，当外力去掉后，电介质又重新恢复到不带电状态的现象。有时人们将这种机械能转换为电能的现象称为正压电效应。相反，当在电介质极化方向施加电场时，这些电介质会产生几何形变，即将电能转换为机械能，我们称之

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为逆压电效应。这种奇妙的效应已经被广泛地应用于多个领域，以实现能量转换、传感、驱动、频率控制等功能。在基于Lamb波的材料损伤检测和结构健康检测中，具有正逆压电效应的压电陶瓷（如PZT压电陶瓷）、压电高聚物薄膜（如PVDF薄膜）和压电半导体（如GaAs半导体）等被广泛用作换能器或传感器来激励和接收Lamb波[3, 10, 18, 35, 42]。其中，PZT压电晶片的价格低廉，性能卓越，在Lamb波缺陷检测中用得最普遍。PZT压电陶瓷，即锆钛酸铅压电陶瓷是将二氧化铅、锆酸铅、钛酸铅在1200℃高温下烧结而成的多晶体。其中P是铅元素Pb的缩写，Z是锆元素Zr的缩写，T是钛元素Ti的缩写，它是PbZrO3和PbTiO3的固溶体，具有钙钛矿型结构。用于Lamb波激励与接收的PZT主要以晶片形式为主，但为了提高其性能或便于作为微传感器用于各种嵌入式、粘结式结构检测，PZT也常常以薄膜或与其他材料复合的形式出现[43-45]。

(a)

(b)

图3.1 PZT压电晶格示意图（a. 极化处理前；b. 极化处理后）

Fig. 3.1 Schematic diagram of PZT piezoelectric crystal lattice (a. before polarization processing; b. after

polarization processing )

3.3.2 PZT压电晶片换能机理

众所周知，电场和极化是矢量，应力和应变是张量。要使压电体的压电的相互作用存在，就必须使介质具有极性。在缺乏中心对称的晶体里，这种极性是固有的，而在其他的晶体和各向同性的介质里，原则上，这种极性是不存在的。因此，要获得压电性所需的极性，可以通过暂时施加强电场的方法，从一块原来是各向同性的多晶体陶瓷得到，并且多少有点永久性，这一过程称为“极化”过程， 它与永久磁铁的“磁化”过程相类似。下面我们将简要介绍PZT压电晶片的换能机理。如图3.1（a）所示， PZT 材料在极化处理前是具有中心对称的立方体，表现为各向同性的结构。由于它是中心对称的结构，

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内部各电畴的自发极化方向是无规则的，物理无穷小体积内总电矩为零，即极化强度为零，所以不具有压电性，如图3.2（a）所示。图3.1（b）所示为极化处理后的晶体结构示意图，可以看出，此时晶体的结构变为各向异性的结构。由于，电偶极子的特性取决于正负离子间的距离，当有机械应力作用时，应力改变了正负电荷间的相对位置，因此电偶极子的叠加和不为零，晶体表现出压电特性，如图3.2（b）所示。图3.3给出了压电陶瓷体的极化过程，当在陶瓷材料上施加直流强电场进行极化处理时，则陶瓷的各个晶粒的自发极化方向将平均地取向于电场方向，整个晶体显示为一个电偶极子。在产品冷却并去除极化电场后，偶极子不容易回转到原来的位置，这种现象称之为陶瓷材料的剩余极化。这就使PZT压电陶瓷体变成了永久性的压电体，且可以进行机-电转换。

图3.2 各向同性晶体和各向异性晶体的压电特性（a. 不表现出压电特性；b. 表现出压电特性） Fig. 3.2 Piezoelectricity of isotropic crystal and anisotropic crystal (a. not exhibit piezoelectric properties; b.

exhibit piezoelectric properties )

(a)

(b)

图3.3 PZT压电陶瓷的极化过程示意图 Fig. 3.3 Polarization schematic diagram of PZT ceramic

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3.3.3 PZT压电晶片激励与接收Lamb波

PZT压电晶片激励与接收Lamb波的方式有很多，在材料损伤检测及结构健康监测中最常用的有如下三种：（1）做成探头再加上一个斜楔，从而将超声波斜入射到薄板中产生Lamb波；（2）粘结式激励Lamb波，即将PZT压电晶片两表面接上电极，然后用聚合树脂将PZT晶片粘结在薄板表面进行激励和接收Lamb波；（3）嵌入式激励Lamb波，即将压电晶片做成微传感器集成到材料内部，再通过外部激励产生Lamb波。本课 题中采用了第二种方法激励和接受Lamb波。

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第4章 Lamb波的频散特性及模式选择

4.1 概 述

在前面的叙述中我们知道，按照板内振动位移的分布形态不同，Lamb波可分成对称模式和反对称模式，它们分别有一系列不同频散特性的各阶模式。在采用Lamb波进行材料损伤检测或结构健康监测时，多种模式的超声波同时在板中传播会相互干扰，甚至还会发生模式转换，致使检测信号的处理与分析变得十分复杂。为此，本章将重点研究Lamb波的频散特性，数值求解自由板中的Lamb波频散方程，即方程（2.17）及方程（2.18）的数值解，并绘制频散曲线（包括fd-CP曲线和fd-Cg曲线）。另外，由于在检测中，选择合适的Lamb波模式能使检测变得简单、有效，我们将简要介绍Lamb波的模式选择方法。

4.2 Lamb波的频散特性

4.2.1 频散方程及其数值解

在前面的章节中我们已经通过位移势函数法推导出了自由板中Lamb波的频散方程，其形式如方程（2.17）和方程（2.18）所示。将式（2.11）中的p和q代入频散方程，可以看出，对于任意给定的频率?，将有无数个波数k可以满足频散方程。其中，波数将会有有限个实数或纯虚数解和无限个复数解。即Lamb波的频率?和波数k间的关系将导出频谱，或者说Lamb波相速度cP和频率?间的关系将导致频散曲线（波数k在数值上等于?/cP）。

要理解频散曲线的物理特性，关键在于将其与式（2.7）和式（2.8）中的时间简谐波因子exp[i (kx??t)]相联系。若令k=kr+ikim，则时间简谐波因子变为：

exp[i(krx??t)]exp[?kimx] （4.1）

对kim有三种可能取值，每一种物理解释如下：

kim<0时，波随传播距离呈指数增长；

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kim=0时，波在传播中无衰减；

kim>0时，波随传播距离呈指数衰减，即为耗散波。

在绘制Lamb波频散曲线时，我们只对实数解感兴趣，其代表了波结构（非衰减的Lamb波）传播模式。求解数值解时，对于实数和纯虚数的波数k值，两频散方程只取实数值，并通过整理后的方程实现：

tan(qh)q?4kptan(ph)(q22?k)22?0 （4.2）

qtan(qh)?(q?k)tan(ph)4kp2222?0 （4.3）

其中方程（4.2）为对称模式频散方程，方程（4.3）为反对称频散方程。

表4.1 对称模式Lamb波频散方程表达式

Tab. 4.1 The Dispersion Equations for symmetric mode Lamb waves 1 cP < cT ○

2 cT < cP < cL ○

3 cL < cP ○

tanh[?fd?(RT/cP)]tanh[?fd?(RL/cP)]?4RTRL(1?R)2T2

tan[?fd?(rT/cP)]tanh[?fd?(RL/cP)]?4rTRL(1?rT)22

tan[?fd?(rT/cP)]tan[?fd?(rL/cP)]??4rTrL(1?rT)22

?RT?[1?(cP/cT)2]1/2?21/2?RL?[1?(cP/cL)]

?RT??j[(cP/cT)2?1]1/2??jrT?21/2?RL?[1?(cP/cL)]?RT??j[(cP/cT)2?1]1/2??jrT?21/2??jrL?RL??j[(cP/cL)?1] 注：表中f为Lamb波的频率，d为板厚；fd为频厚积，数值计算时作为自变量，即曲线的横坐标

在数值求解频散方程时，有了Lamb波频散方程还不够，探讨频散方程的求解域是很有必要的。我们可以将k (上文已提到k在数值上等于?/cP) 同?/cL或?/cT相比较，从而将求解域分为k >?/cT，?/cT >k >?/cL，k

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区域对应的频散方程表达式在李家伟等编写的无损检测手册中已明确给出[44]（包括对称模式及反对称模式），在此只给出对称模式频散方程在三个区域的表达式，如表4.1所示。

有了这些方程我们就可以对Lamb波的频散方程进行数值求解，本研究中采用二分法对Lamb波频散方程进行数值解，用Matlab实现求解，并用Origin 8绘制Lamb波频散曲线。详细过程将在4.2.2中进行介绍。

开 始 输入初始参量CT、CL及CP、fd向量 顺序选取频厚积fd向量的一个元素 外循环

顺序选取相速度CP向量的一个元素 No 内循环 CP < CT

Yes 计算模块1：二分法求对应方程的根 CT < CP < CL Yes 计算模块2：二分法求对应方程的根 CL < CP No Continue No

Yes 计算模块3：二分法求对应方程的根 No保存CP值 内循环完毕？ Yes绘制频散曲线

结 束

图4.1 Matlab 实现Lamb波频散方程数值求解流程图

Fig. 4.1 The flow chart for the numerical solution of Dispersion Equation for Lamb waves via Matlab

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4.2.2 Matlab实现频散方程数值解

图4.1所示为Matlab实现Lamb波频散方程数值求解的流程图。程序中fd、CP、CT和CL分别表示频厚积、Lamb波相速度、铝板中横波速度和纵波速度。整个程序主要由两个for循环组成，内循环为给定一个fd值时，在指定区间内用二分法找到该值对应的满足频散方程的所有Cp解，外循环是对fd进行等步长增加，以求得一系列fd对应的相速度Cp解。两个循环后将得到两个相同维数的向量[fd]和[CP]，将其对应地写成（fdn , CPn）的坐标形式，从而进行描点绘制频散曲线。内循环中的计算模块1-3分别为通过二分法求解表4.1中三个求解域内的频散方程的程序。 4.2.3 Lamb波的频散曲线

在4.2.2中已经提到，通过Matlab数值计算，我们得到了向量[fd]和[CP]，采用描点的方法很容易得到频散曲线fd-CP关系，然而要得到fd-Cg曲线需对fd-CP曲线进行求导等相关计算。显然，[fd]和[CP]两个向量并不是决定单一模式的频散曲线的，因此，我们采用Matlab编了一个程序，将向量[fd]和[CP]分别分解成n个子向量，每对子向量[fd]n和[CP]n决定一条曲线，即决定一个模式的fd-CP曲线。然后，用子向量[fd]n和[CP]n，根据如下公式计算出群速度[Cg]n：

?2cg?cp?cp?dcp??(fd)?d(fd)??1 （4.4）

得到向量[fd]n、[CP]n和[Cg]n后将其导入绘图软件Origin 8中，就可以绘制出Lamb波频散曲线，即fd-CP曲线和fd-Cg曲线。

图4.2和图4.3分别为3.0mm厚的各向同性铝薄板中Lamb波频散曲线的fd-CP曲线和fd-Cg曲线。图中描述了A0、S0、A1、S1、A2、S2、A3、S3、A4、S4、……等模式Lamb波的频散特性。图4.2中还给出了板波波速cplate、瑞利表面波波速cR、剪切波波速cT和模式截止区域（如图中箭头所指位置）。从图中可以看到，Lamb波相速度cP的极限值随频厚积fd值增大而变大，最终A0模式和S0模式Lamb波相速度收敛于瑞利表面波波速cR，而其它模式Lamb波相速度则收敛于剪切波波速cT。

从图4.2和图4.3还可以看到，A1模式Lamb波的截止频厚积约为1.75MHz·mm，因此在用Lamb波进行薄板材料的损伤检测或结构健康监测时，我们可以依据类似图4.2和图4.3的两组频散曲线选择适当的频厚积fd，即选择适当的激励频率f来激励出只含A0和S0两种模式的Lamb波，这将给检测信号处理及分析带来极大的便利。

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2018A10A1A6A2A3A4 Phase Velocity Cp (mm/us)16141210864200A0cplateA8A7S7A9S8S9 A5S10

S3S1S2S4 S6S5S0cTcRAluminium CL =6300m/s，CT=3130m/s46810 12

2141618202224 Frequency Thickness fd (MHz-mm)图4.2 无约束条件下铝板中Lamb波的频散曲线：fd-CP曲线（CL=6300 m/s, CT=3130 m/s） Fig 4.2 Dispersion curves of Lamb wave in the free isotropic aluminum plate: fd-CP curves (CL=6300

m/s, CT=3130 m/s)

7Group Velocity Cg (mm/us)654321002A0S0S1Aluminium CL=6300m/s，CT=3130m/sS3S2S4S5S6S7S8A1A2A3A4

A6A7A10A9A8S9S10A5 46810 12141618202224

Frequency Thickness fd (MHz-mm)

图4.3 无约束条件下铝板中Lamb波的频散曲线：fd-Cg曲线（CL=6300 m/s, CT=3130 m/s） Fig. 4.3 Dispersion curves of Lamb wave in the free isotropic aluminum plate: fd-Cg curves (CL=6300

m/s, CT=3130 m/s

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4.3 Lamb波的模式选择

到目前为止，合适的Lamb波模式选择标准仍是一个未解决的问题。但有两种方法被认为能较好的选择Lamb波模式[13]。第一种方法是基于由板材性质、结构变化或缺陷等引起的Lamb波相速度或群速度的变化。在这种情况下，相关模式选择是建立在观察由不同物理模型数值计算的两组频散曲线上最大相速度或群速度变化的基础上，如图4.2及图4.3所示。频散曲线的偏移或倾斜度的变化直接反映材料性质的变化。第二种方法是基于板内激发的Lamb波质点的位移场和应力场随层内深度的变化的方法。在材料损伤检测中总是选择所需检测部件质点的位移幅度和应力幅度相对较大的Lamb波模式，这种方法因简单、直观而被广泛应用。

此外，由于不同Lamb波模式对材料中不同类型的缺陷和处于不同深度的缺陷的敏感性大不相同，并且在相同激励频率下（相同频厚积），不同Lamb波模式的信号幅度有所差异，因此，我们可以通过选择适当的激励频率，提高目标模式Lamb波的信号幅度，降低其它模式Lamb波的信号幅度，从而激励出单一性较好、对某类缺陷敏感性高的Lamb波模式。这正是本课题的研究重点和意义所在，在下一章中我们将做较为详细的介绍，并在各向同性铝薄板中进行实验。

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第5章 铝板中Lamb波的频率调谐

5.1 概 述

从上面的研究结果我们知道，由于Lamb波本身具有频散特性，在一定的激励频率下，铝板中至少会产生两种模式的Lamb波，且 Lamb波在铝板中会发生模式转换而产生更多模式的Lamb波，这不仅给检测带来极大的不便，而且使信号处理及分析变得十分复杂。根据图4.2和图4.3所示Lamb波频散曲线，我们可以通过选择较低的频厚积(0~1.7MHz·mm)来获得仅含S0模式和A0模式的Lamb波，从而减少其他模式Lamb波的干扰。此外，由于不同模式Lamb波对不同类型的缺陷和处于不同深度的缺陷的敏感性大不相同，因此找到一种获得模式单一性好、信号强度高、对某类缺陷高度敏感的Lamb波的方法是非常必要的。

鉴于此，我们采用经不同窗口调制的正弦激励信号在3.0mm厚的铝薄板中激励Lamb波，并通过改变激励频率(10~200kHz)，研究了铝板中S0模式和A0模式Lamb波的幅值与激励频率的变化关系。最后给出了一种通过选择适当的激励频率来获得模式单一性好、信号强度高、对某类缺陷高度敏感的Lamb波的方法。

5.2 铝薄板中Lamb波的激励

实验研究中，我们在厚度为3.0mm的铝薄板上表面正对地粘结两片15×15mm的PZT压电晶片，两晶片距离L等于30mm，其中一片作为激励器激励Lamb波，另一片作为感应器接收Lamb波信号，如图5.1所示。

实验时，首先采用AbrExpress软件编辑出各种窗口调制波形，包括Gaussian调制的三步波和五步波、Hamming窗调制的三步波和五步波和Hanning窗调制的三步波和五步波，如图5.2所示。然后将波形导入Tektronix公司生产的AFG3000系列任意波形/函数发生器，通过改变激励频率，采用上述PZT压电晶片激励和接收Lamb波。图5.3所示为采用不同激励信号时接收到的Lamb波时域信号和经快速Fourier变换得到的频谱。从图中可以看到，采用正弦信号激励时，铝板中Lamb波频散非常严重，而采用经调制

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后的信号激励则频散较小，经计算，接收到的信号中心频率和激励信号频率相一致。经比较还可以看出，采用Hamming窗调制的五步波激励时，Lamb波信号最强、频散最小。 Actuator Sensor

Aluminium Plate

图5.1 采用粘结式PZT压电晶片在铝薄板中激励Lamb波

Fig. 5.1 Excitation of Lamb waves in thin aluminium plate using bonded PZT elements

Voltage(v)100 100 50Voltage(v)Gaussian Modulationthree-step waveform 50

Gaussian Modulationfive-step waveform 00-50-50-100(a)0.000000.00002f=100kHz0.000040.00006-100-0.00002(b)0.000000.00002f=100kHz0.000040.00006-0.00002time(s)100

time(s)100 50Voltage(v)0Voltage(v) Hamming Modulation three-step waveform 50Hamming Modulation five-step waveform 0-50-50-100(c)0.000000.00002f=100kHz0.000040.00006-100-0.00002(d)0.000000.00002f=100kHz0.000040.00006-0.00002time(s)100time(s)100 50Voltage(v)0Voltage(v) Hanning Modulation three-step waveform50Hanning Modulationfive-step waveform 0-50

-50-100(e)0.000000.00002f=100kHz0.000040.00006-100-0.00002(f)0.000000.00002f=100kHz0.000040.00006

-0.00002time(s)time(s)图5.2 激励信号（a. 高斯调制三步波; b. 高斯调制五步波; c. 海明窗调制三步波; d. 海明窗调制五步

波; e. 汉宁窗调制三步波; f. 汉宁窗调制五步波）

Fig. 5.2 Excitation signals (a. Gaussian Modulation three-step waveform; b. Gaussian Modulation five-step waveform; c. Hamming Window Modulation three-step waveform; d. Hamming Window Modulation five-step waveform; e. Hanning Window Modulation three-step waveform; f. Hanning Window

Modulation five-step waveform)

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f=130kHz

f=130kHz

0.00000.00020.5S0 A0 1Volt. (v)(a) 0.0-0.50.00000.00020.00040050100150200250300Time (s) 2Frequency (kHz) Volt. (v)(b) S0 A0 10-2Time (s) 2

f=130kHz 0.00040050100150200250300Frequency (kHz) 1(c) Volt. (v)0-2S0 A0 0.00000.0002Time (s)

f=130kHz 0.00040050100150200250300Frequency (kHz)

(d) Volt. (v)20-2S0 A0

1 0.00000.0002

Volt. (v)20-2Time (s)

f=130kHz 0.00040050100150200250300Frequency (kHz) 1Volt. (v)(e)

20-2S0 A0 0.00000.00020.00040050100150200250300Time (s) S0 A0 Frequency (kHz) (f)

f=130kHz 1

0.00000.00020.00040050100150200250300Time (s) 2Frequency (kHz) (g) Volt. (v)0-2S0 A0 f=130kHz 10.00000.00020.00040050100150200250300

Time (s) Frequency (kHz) 图5.3 使用不同信号激励时接收到的信号及其频谱（a. 正弦波; b. 高斯调制三步波; c. 高斯调制五步波; d. 海明窗调制三步波; e. 海明窗调制五步波; f. 汉宁窗调制三步波; g. 汉宁窗调制五步波） Fig. 5.3 Reception signals and frequency spectrums with different excitation signals (a. sine wave; b. Gaussian Modulation three-step waveform; c. Gaussian Modulation five-step waveform; d. Hamming Window Modulation three-step waveform; e. Hamming Window Modulation five-step waveform; f. Hanning Window Modulation three-step waveform; g. Hanning Window Modulation five-step waveform

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5.3 Lamb波模式识别

我们知道，Lamb波有对称和反对称两种基本型式，每种型式又可分为具有不同相速度的若干种模式。为了得到最佳检测结果，最好使用单一模式的Lamb波进行检测。然而，由于Lamb波自身的频散特性和传播中的模式转化，在实际检测过程中很难始终保持单一模式。多模式的存在会增加信号解释的难度，并直接影响对缺陷的判别。因此Lamb波的模式识别是正确利用Lamb波进行检测的前提。

目前主要有三种方法来识别Lamb波模式[47-50]，包括波速法、二维Fourier变换法和平滑伪Wigner-Ville分布法，下面我们将作简要介绍。 5.3.1 波速法

在铝板中，对于给定的频厚积fd，不同模式的Lamb波将以不同的群速度在铝板内传播。将实际群速度值与此频厚积对应的各模式理论群速度值进行比较，即可判断Lamb波模式。理论群速度值可由频散曲线得到，如图4.3所示。实际群速度用以下方法求得：用一个三叉式信号接口将激励信号分两个通道导出，一个直接接到数字示波器的CH1通道，另一个接到PZT晶片激励器，从而激励出Lamb波，再通过PZT感应器接收Lamb波信号并导入CH2通道。将数字示波器的CH1通道及CH2通道接收到的信号同时显示在屏幕中，就会得到如图5.4所示的两个信号，其中CH1为原始激励信号，CH2为接收到的Lamb波信号。从图中可以看到，两个信号存在一定的时间差，这是由于激励出的

CH1 CH1: Excitation Signal;CH2: Receptation Signal CH2SA00

图5.4 波速法识别Lamb波模式

Fig. 5.4 Identification of Lamb wave modes by using velocity calculation method

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Lamb波信号在铝板中传播了一段距离而引起的时间滞后。我们很容易就能得到时间差t2-t1和传播距离S，这样就可以计算出Lamb波的群速度，再和理论值相比较从而辨别Lamb波模式。波速法的关键在于准确测定波速，要求在时域内波峰尽可能清晰和尖锐若有多个波峰，则要求各波峰之间可以分开，即各波峰的波速差异较大。 5.3.2 二维Fourier变换法

假定Lamb波在板中传播，在板表面的位移u(x , t)可用Brekhovskikh给出的解析式描述：

u(x,t)?A(?)ej(?t?kx??)

（5.1）

式中A(?)是依赖于频率的幅值常数，?是角频率，波数k=?/cp，cp为相速度，θ为相位。其二维Fourier变换如下： H(k,f)???u(x,t)e?j(2?ft?kx)dxdt （5.2）

对t的Fourier变换可以实现从时域到频域的变换，对x的Fourier变换可以实现从空间域到波数域的变换。不同的Lamb波模式有不同的k和f，并对应不同的H(k, f)。将H(k, f)投影到f-k平面可得到实际f-k曲线。由于不同的f-k曲线代表了不同的模式，所以将其与理论f-k曲线相比较，即可判断Lamb波模式。由于该二维Fourier变换包括对

Wavenumber k (mm-1)6 Aluminium:5

4 0Thickness h=3.0mmCL=6300m/s, CT=3130m/sS1A2S232A1A0S0S3A312S4A41034

Frequency f (MHz)图5.5 3.0mm厚铝板中Lamb波信号的k-f曲线理论值

Fig. 5.5 Theoretical results of k-f curves of Lamb waves in aluminium plate with a thickness of 3.0mm

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江苏科技大学本科毕业设计（论文） 空间的Fourier变换，因此需要在Lamb波传播方向上一系列等间隔点上采集Lamb波信号。采集的信号点数越多，所得结果在空间的分辨力越高。由于本实验采用粘结式PZT压电晶片激励和接收Lamb波，固定在铝薄板表面的晶片不能移动，所以在此只给出f-k曲线的数值解。图5.5所示为3.0mm厚的铝薄板中Lamb波的f-k曲线理论值。 5.3.3 平滑伪Wigner-Vile分布法 Wigner-Ville分布是一种常用的时频分析方法，它是在时域和频域同时对信号进行描述，和其它方法相比，有着较高的时频分辨率。由于其分布本身存在的非零干扰项会与信号项重叠，不利于对结果的解释，实际中可采用加窗函数的方法对其进行改进，得到平滑伪Wigner-Ville分布。设接收到的Lamb波信号为x(t)，则信号在时频域内的能量分布可通过平滑Wigner-Ville分布由下式得到： S(t,f)???h(?)g(s?t)x(s??2)?x(s?*?2)e?j2?ftdsd? （5.3） 式中*表示共轭；g表示时间平滑窗；h表示频率平滑窗。在t-f平面内将不同的S(t, f)值用不同的颜色表示，就得到了信号在时频域内的能量分布图。不同的Lamb波模式在t-f平面有不同的能量分布，将其与理论时频域能量分布比较，即可判断Lamb波模式。虽然平滑伪Wigner-Vile分布法具有较高的时频分辨率，但其计算非常复杂，本实验只研究Lamb波的A0和S0模式，模式识别相对简单，故采用了波速法进行模式识别，在此只给出t-f曲线的数值解。图5.6所示为3.0mm厚的铝板中Lamb波的t-f曲线理论值。 Time t (us)242220181614121086420012345678Aluminium:A1A2A3A0A4Thickness h=3.0mmCL=6300m/s, CT=3130m/s

S0S1S2S3S4Frequency f (MHz)图5.6 3.0mm厚铝板中Lamb波信号的t-f曲线理论值

Fig. 5.6 Theoretical results of t-f curves of Lamb waves in aluminium plate with a thickness of 3.0mm

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5.4 铝薄板中Lamb波的频率调谐

5.4.1 实验设备与方法

实验中我们用聚合树脂将15×15mm的正方形PZT压电晶片粘结在3.0mm厚的铝板中进行激励和接收Lamb波，实验装置如图5.7所示。激励信号由Tektronix公司生产的AFG3000系列任意波形/函数发生器产生，波形为经窗口调制后的正弦波。函数发生器发射出的电信号经粘结在铝板一端的PZT激励器后，由于逆压电效应，在铝薄板中会产生Lamb波。根据压电效应，粘结在距激励器30mm处的PZT感应器能感应到铝板中Lamb波而产生电信号。实验中，我们采用Tektronix公司生产的TDS1012型双通道数字示波器采集和显示PZT感应器接收到的Lamb波信号，并将信号导入计算机进行信息储存和信号处理。

实验中通过调节AFG3000系列任意波形/函数发生器的激励频率（10~200kHz，间隔为10kHz）来改变铝薄板中Lamb波的频率，从而研究板中Lamb波的模式识别和不同模式Lamb波的信号强度与频率变化关系。

Function Generator

Digital Oscilloscope

Computer

Aluminium Plate Actuator Sensor (a)

(b)

图5.7 实验采用的Lamb波检测装置（a. 示意图；b. 实物图）

Fig. 5.7 Experimental setup for the measurement of Lamb waves in aluminium (a. diagram; b. actual setup)

5.4.2 实验结果与分析

在第四章中，我们通过数值计算的方法求解了各向同性铝薄板中Lamb波的一组频散方程，得到相应的频散曲线（fd-CP曲线和fd-Cg曲线）。为了验证该数值计算结果的

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正确性并对接收到的Lamb波进行模式识别，实验通过波速法研究了铝板中Lamb波的频率-群速度变化关系并与理论值比较。图5.8给出了铝板中Lamb波的S0模式和A0模式在不同激励频率下理论群速度与实验测得的群速度的比较。从图中可以看到，虽然理论群速度值和实验群速度值有微小的差别，但其随激励频率变化的趋势大体相似。

Group Velocity Cg (mm/us)76 S0 Theoretical Value S0 Experimental result

5 4

A0 Theoretical Value A0 Experimental result32

1050 100Frequency f (kHz/us)150200

图5.8 铝板中Lamb波的群速度(包括S0模式和A0模式的理论值和实验值) Fig. 5.8 The group velocity of Lamb waves in aluminium plate (including theoretical value and

experimental result of S0 mode and A0 mode)

1.00.8Excitation Signal:Gaussian Modulationthree-step waveform 100

S0 A0Voltage Amplitude (v)0.6(a)

0.40.20.0020406080120140160180200 Frequency (kHz)31

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1.00.8Excitation Signal:Gaussian Modulationfive-step waveform S0 A0Voltage Amplitude (v)0.6(b)

0.40.20.0020406080100120140160180200Frequency (kHz)

1.00.8Excitation Signal:Hamming Modulationthree-step waveform S0 A0Voltage Amplitude (v)0.60.40.20.0020406080100120140160180200Frequency (kHz)

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(c)

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1.00.8Excitation Signal:Hamming Modulationfive-step waveform So A0Voltage Amplitude (v)0.60.40.20.0020406080100120140160180200Frequency (kHz)

1.00.8Excitation Signal:Hanning Modulationthree-step waveform S0 A0Voltage Amplitude (v)0.60.40.20.0020406080100120140160180200Frequency (kHz)

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(e)

(d)

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1.00.8Excitation Signal:Hanning Modulationfive-step waveform S0 A0Voltage Amplitude (v)0.60.40.20.0020406080100120140160180200Frequency (kHz)

图5.9 铝薄板中S0模式及A0模式幅值随激励频率的变化关系（a. 高斯调制三步波; b. 高斯调制五步波; c. 海明窗调制三步波; d. 海明窗调制五步波; e. 汉宁窗调制三步波; f. 汉宁窗调制五步波） Fig. 5.9 The voltage amplitude of S0 and A0 mode in thin aluminium plate depending on different excitation frequency (a. Gaussian Modulation three-step waveform; b. Gaussian Modulation five-step waveform; c. Hamming Window Modulation three-step waveform; d. Hamming Window Modulation five-step waveform; e. Hanning Window Modulation three-step waveform; f. Hanning Window Modulation five-step waveform)

图5.9给出了采用不同激励信号时，不同激励频率下各向同性铝薄板中Lamb波S0模式和A0模式的幅值变化关系。图5.9a-图5.9b分别表示激励信号为Gaussian调制三步波和五步波时的幅值-频率变化关系；图5.9c-图5.9d分别表示激励信号为Hamming窗调制三步波和五步波时的幅值-频率变化关系；图5.9e-图5.9f分别表示激励信号为Hanning窗调制三步波和五步波时的幅值-频率变化关系。从各幅值-频率变化关系曲线中可以看到：随着激励频率的变化（10~200kHz之间），各种激励信号激励出的Lamb波S0模式和A0模式幅值均有较大的变化，且约在120kHz时达到最大值，信号强度约在0.5 ~0.75v之间；在相同激励频率下，各种激励信号激励出的Lamb波S0模式和A0模式幅值均有较大的差异，其中在20~60kHz之间和100~150kHz之间有非常明显的差异，最大幅值差分别为0.16v和0.26v；在相同窗口调制的激励信号条件下，激励信号为

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(f)

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五步波时，Lamb波S0模式和A0模式的幅值明显高于激励信号为三步波时S0模式和A0模式的幅值，最大约相差0.25v；同为五步波或三步波时，Hamming窗调制和Hanning窗调制的信号激励出的Lamb波S0模式和A0模式幅值高于Gaussian调制信号所激励出的Lamb波幅值，其中Hamming窗调制的激励信号最佳，其激励出的Lamb波最大值为0.76v（激励频率f=120kHz时的S0模式峰值电压）。

通过分析以上现象我们可以得出如下结论：不同激励频率下，铝板中Lamb波的幅值有较大变化，可以有选择性地激励出具有较高强度的Lamb波；相同激励频率下，铝板中不同模式的Lamb波的幅值有明显的差异，因此可以通过选择适当的激励频率来获得模式单一性好、对某类缺陷高度敏感的Lamb波；Hamming窗和Hanning窗调制的正弦波激励信号的激励效果优于Gaussian调制信号的激励效果，其中Hamming窗调制的激励信号最佳，并且五步波激励信号优于三步波激励信号。

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/zegf.html