有限元分析学习心得

有限单元法学习心得

有限元分析学习心得

土木0903马烨军11

有限单元法是20世纪50年代以来随着电子计算机的广泛应用而发展起来的有一种数值解法。有限元分析（FEA，FiniteElementAnalysis）的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题有限元分析后再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。 有限元求解问题的基本步骤通常为：

第一步：问题及求解域定义：根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几何区域。

第二步：求解域离散化：将求解域近似为具有不同有限大小和形状且彼此相连的有限个单元组成的离散域，习惯上称为有限元网络划分。显然单元越小（网络越细）则离散域的近似程度越好，计算结果也越精确，但计算量及误差都将增大，因此求解域的离散化是有限元法的核心技术之一。

第三步：确定状态变量及控制方法：一个具体的物理问题通常可以用一组包含问题状态变量边界条件的微分方程式表示，为适合有限元求解，通常将微分方程化为等价的泛函形式。

第四步：单元推导：对单元构造一个适合的近似解，即推导有限单元的列式，其中包括选择合理的单元坐标系，建立单元试函数，以

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某种方法给出单元各状态变量的离散关系，从而形成单元矩阵（结构力学中称刚度阵或柔度阵）。为保证问题求解的收敛性，单元推导有许多原则要遵循。对工程应用而言，重要的是应注意每一种单元的解题性能与约束。例如，单元形状应以规则为好，畸形时不仅精度低，而且有缺秩的危险，将导致无法求解。

第五步：总装求解：将单元总装形成离散域的总矩阵方程（联合方程组），反映对近似求解域的离散域的要求，即单元函数的连续性要满足一定的连续条件。总装是在相邻单元结点进行，状态变量及其导数（可能的话）连续性建立在结点处。

第六步：联立方程组求解和结果解释：有限元法最终导致联立方程组。联立方程组的求解可用直接法、选代法和随机法。

求解结果是单元结点处状态变量的近似值。对于计算结果的质量，将通过与设计准则提供的允许值比较来评价并确定是否需要重复计算。简言之，有限元分析可分成三个阶段，前处理、处理和后处理。前处理是建立有限元模型，完成单元网格划分；后处理则是采集处理分析结果，使用户能简便提取信息，了解计算结果。

为了能从有限单元法得出正确的解答，就必须满足下列三个方面的条件：

（1）位移模式必须能反映单元的刚度位移。每个单元的位移一般总是包含两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是与本单元的形变无关的，即刚体位移，它是由于其他单元发生了形变而连带引起的。甚至，在弹性体的某些部位，例如在靠近悬臂梁的自由

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端处，单元的形变很小，单元的位移主要是由于其他单元发生形变而引起的刚体位移。因此，为了正确反映单元的位移形态，唯一模式必须能反映该单元的刚体位移。

（2）位移模式必须能反映单元的常量应变。每个单元的应变一般总是包含着两个部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变。另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。而且，当单元的尺寸比较小时，单元中各点的应变趋于相等，也就是单元的形变趋于均匀，因而常量应变就成为应变的主要部分。因此，为了正确的反映单元的形变状态，位移模式必须能反映该单元的常量应变。

（3）位移模式应当尽可能反映位移的连续性。在连续弹性体中，位移是连续的，不会发生两相邻部分互相脱离或互相侵入的现象。为了使得单元内部的位移保持连续，必须把坐标模式取为坐标的单值连续函数。为了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时，也能在整个公共边界上具有相同的位移。这样就能使得相邻单元在受力以后局部互相脱离，也不互相侵入，因而代替原为连续弹性体的那个离散化结构仍然保持为连续弹性体。不难想象，如果单元很小很小，而且相邻单元在公共结点处具有相同的位移，也就能保证它们在整个公共边界上大致具有相同的位移。但是，实际计算时，不大可能把单元取得如此之小，因此，我们在选取位移模式时，还是应当尽可能使他反映位移的连续性。

理论和实践都已证明：为了有限单元法的解答在单元的尺寸逐步

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取小时能够收敛于正确解答，反映刚体位移和常量应变是必要条件，加上反映相邻单元的位移连续性，就是充分条件。

有限单元法在将来的工作生活中有着重要的作用，它的功能如此强大，前景是很美好的，是值得我们好好用心学习和研究的。

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