第五章 统计推断

假设测验和参数估计

第六章

统计推断

由样本→总体 由样本结果推断总体。假设测验(或称显著性检验) 或称显著性检验)hypothesis testing,test of significance

统计推断 参数估计

假设测验和参数估计

第一节

假设测验的基本原理

对总体提出一个假设，然后通过分析样 本去推断这个假设是否可被接受。例：某地区小麦品种一般亩产300斤，并从多年 种植结果获得σ=75(斤)。N~(300,752)。现有 某新品种，x = 330 (从25个小区试验得来，25个小区 看作一个样本，样本含量为25). 问这 x 与μ是否有显著(significant)差异?

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一、 假设测验的步骤(一)提出假设 无效假设 H0:μ=μ0

(null hypothesis)

假定样本是从一已知总体(μ0= 300) 中随 机抽出的，即新品种的总体平均数μ等于原品种 的总体平均数μ0,x µ0

= 30 乃随机误差。

对应假设(备择假设)HA:μ≠μ0

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(二)在H0正确的假设下，根据 x 的抽样分布， 计算试验所得平均数出现的概率有多大。

µ x = µ = 300 (斤)0

σx =u=

σ

75 = = 15 n 25

(斤)

x µx

σx

330 300 = =2 15

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查表(附表2) Φ (2) = 0.97725 所以右尾值为 1-0.97725=0.02275. 由于假设是关于新品种等于或不等于当地品种( 不是大于),所以用两尾测验。 左、右两尾面积和=2×0.02275=0.0455.

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(三)根据“小概率事件实际上不可能”原理来接受 或否定 “凡概率很小的事件，在一次试验中实际上(或 几乎，practically)是不可能出现的”。 在H0成立的前提下，因存在抽样误差，x µ 0 ≠0, 但根据抽样分布计算，这一差数30出现的概率小 于5%,则认为不属于抽样误差。 ∴ 拒绝H0,接受HA:μ≠μ0 。两者差异显著。 即新品种亩产显著高于原品种。

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小结：统计假设测验步骤 ① 对样本所属总体提出一个假设 包括无效 假设H0和对应假设HA,并且规定测验的显著水平α (一般α=0.05,或α=0.01); ② 在承认上述无效假设正确的前提下，获得 平均数的抽样分布，计算假设正确的概率； ③ 根据“小概率事件实际上不可能发生”的 原理接受或否定无效假设.

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关于步骤②,也可以根据α值，如 ② α=0.05, 查出u=±1.96, 从而划出两个 否定区域:

x ≤μ-1.96 σ x 和 x ≥μ+1.96 σ

x

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二、假设测验的两类错误 第一类错误：应该接受H0而拒绝了。 犯该类错误 的概率取决于显著水平(significance level),α =0.05 , 则犯此类错误的概率为5%。α 越小，此类 错误的概率越小。 第二类错误，应该否定H0而接受之。 例如在µ0附近另有一个期望值接近于µ0的正态分 布。 α值越大，犯第二类错误的概率越小。

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The power of the test quantifies the chances of detecting a real difference of a given size. Smaller levels of α increase confidence i

n the determination of significance, but run an increased risk of failing to reject a false null hypothesis (a Type II error), and so have less statistical power.

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小结： 1、α值减小，降低犯第一类错误 的概率, 增大犯 第二类 错误 的概率。(The significance level is the criterion used for rejecting the null hypothesis. The lower the significance level, the more the data must diverge from the null hypothesis to be significant. Therefore, the 0.01 level is more conservative than the 0.05 level. ) 2、为了降低犯两类错误的概率，需采用较大的α值，如α =0.05, 同时适当加样本含量n。因为 n 增加可使 减小. 3. 可改进试验技术使σ减小。 减小，重叠面积 σx

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第二节 单个样本的统计假设测验一、在总体σ已知的情况下，单个平均数的 显著性检验——u测验，第一节中已有详述， 检验某一样本所属总体平均数是否和某一指 定的总体平均数相同。 二、总体σ未知时平均数的显著性测验——t 测验，用t分布的分位数tα代替正态与分布 的分位数uα.

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三、单个标准差的检验——χ2测验. 设 X~N(µ, σ2), 从正态分布总体中获得含量为n的 随机样本，计算出样本方差s2,则 从自由度 n-1 的χ2分布。 χ2测验的基本步骤与u测验相似。(n 1) s 2

σ

2

服

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第三节一、F测验

两个样本的差异显著性测验

F test - test of whether two samples are drawn from different populations have the same standard deviation, with specified confidence level. Samples may be of different sizes. σ1与 σ2 是否相同。 用样本的s1与 s2来判断其所属总体的σ1与 σ2 之关系。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/zeb4.html