2015年浙江省宁波市北仑区中考数学一模试卷

2015年浙江省宁波市北仑区中考数学一模试卷

一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．（4分）2014的相反数是（ ） A．2014 B．﹣2014 2．（4分）函数y=

C．

D．

的自变量x的取值范围是（ ）

A．x＞1 B．x＜1 C．x≤1 D．x≥1 3．（4分）用五块大小相同的小正方体搭成如下图所示的几何体，这个几何体的左视图是（ ）

A． B． C． D．

4．（4分）下面几何图形中，一定是轴对称图形的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（4分）下列计算正确的是（ ） A．a÷a=a?a B．

3

2

3

﹣2

C．2a+a=3a

224

D．（a﹣b）=a﹣b

222

6．（4分）圆锥的母线长为4，底面半径为2，则此圆锥的侧面积是（ ） A．6π B．8π C．12π D．16π 7．（4分）北海到南宁的铁路长210千米，动车运行后的平均速度是原来火车的1.8倍，这样由北海到南宁的行驶时间缩短了1.5小时．设原来火车的平均速度为x千米/时，则下列方程正确的是（ ） A．C．

+1.8=+1.5=

B．D．

﹣1.8=﹣1.5=

8．（4分）我市某中学举办了一次以“我的中国梦”为主题的演讲比赛，最后确定7名同学参加决赛，他们的决赛成绩各不相同，其中李华已经知道自己的成绩，但能否进前四名，他还必须清楚这七名同学成绩的（ ）

A．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差 9．（4分）一个正多边形的外角与它相邻的内角之比为1：4，那么这个多边形的边数为（ ） A．8 B．9 C．10 D．12

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10．（4分）下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（ ） A．y=﹣x+1 B．y=x﹣1 C．y= D．y=﹣x+1

11．（4分）一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式分别剪成一个正方形，边长都为1，则扇形和圆形纸板的面积比是（ ）

2

2

A．5：4 B．5：2 C．：2 D．： 12．（4分）如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（ ）

A． B． C．

D．

二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分） 13．（4分）我国最长的河流长江全长约为6300千米，用科学记数法表示为 千米． 14．（4分）不等式组

2

的解集是 ．

15．（4分）把代数式2x﹣18分解因式，结果是 ． 16．（4分）如图，AB是⊙O的直径，∠C=30°，则∠ABD等于 ．

第2页（共26页）

17．（4分）如图，正方形ABCD的边长为4+2EF⊥AB，垂足为点F，则EF的长是 ．

，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，

18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（10，0），点B的坐标为（8，0），点C，D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标为 ．

三、解答题（共8小题，满分78分） 19．（6分）先化简分式（

﹣

）÷

，再在﹣3＜x≤2中取一个合适的x，求

出此时分式的值． 20．（8分）我县实施新课程改革后，学生的自主字习、合作交流能力有很大提高．张老师为了了解所教班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调査，并将调査结果分成四类，A：特别好；B：好；C：一般；D：较差；并将调査结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：

（1）本次调查中，张老师一共调査了 名同学，其中C类女生有 名，D类男生有 名； （2）将上面的条形统计图补充完整；

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（3）为了共同进步，张老师想从被调査的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率． 21．（8分）某商店经营一种成本为每千克40美元的水产品，根据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克， （1）针对这种水产品的销售情况，设销售单价定为x元（x＞50），请用的x代数式表示月销售量，以及获得的利润．

（2）当x取什么数时利润最大？最大利润是多少？ 22．（10分）在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E为AB边上一点，∠BCE=15°，且AE=AD．连接DE交对角线AC于H，连接BH． （1）求证：AC⊥ED；

（2）求证：△ACD≌△ACE；

（3）请猜测CD与DH的数量关系，并证明．

23．（10分）如图，⊙O中，FG、AC是直径，AB是弦，FG⊥AB，垂足为点P，过点C的直线交AB的延长线于点D，交GF的延长线于点E，已知AB=4，⊙O的半径为． （1）分别求出线段AP、CB的长；

（2）如果OE=5，求证：DE是⊙O的切线； （3）如果tan∠E=，求DE的长．

24．（10分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，其中点A（5，4），B（1，3），将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1． （1）画出△A1OB1；

（2）在旋转过程中点B所经过的路径长为 ；

（3）求在旋转过程中线段AB、BO扫过的图形的面积之和．

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25．（12分）【合作学习】

如图，矩形ABOD的两边OB，OD都在坐标轴的正半轴上，OD=3，另两边与反比例函数y=（k≠0）的图象分别相交于点E，F，且DE=2．过点E作EH⊥x轴于点H，过点F作FG⊥EH于点G．回答下面的问题： ①该反比例函数的解析式是什么？

②当四边形AEGF为正方形时，点F的坐标是多少？ （1）阅读合作学习内容，请解答其中的问题；

（2）小亮进一步研究四边形AEGF的特征后提出问题：“当AE＞EG时，矩形AEGF与矩形DOHE能否全等？能否相似？” 针对小亮提出的问题，请你判断这两个矩形能否全等？直接写出结论即可；这两个矩形能否相似？若能相似，求出相似比；若不能相似，试说明理由．

26．（14分）如图，⊙M与x轴交于A、B两点，其坐标分别为A（﹣3，0）、B（1，0），

2

直径CD⊥x轴于N，抛物线y=﹣x﹣2x+m经过A、B、D三点， （1）求m的值及点D的坐标；

（2）若直线CE切⊙M于点C，G在直线CE上，已知点G的横坐标为3．求G的纵坐标； （3）对于（2）中的G，是否存在过点G的直线，使它与（1）中抛物线只有一个交点，请说明理由；

（4）对于（2）中的G，直线FG切⊙M于点F，求直线DF的解析式．

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2015年浙江省宁波市北仑区中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．（4分）（2014?泉州）2014的相反数是（ ） A．2014 B．﹣2014

C．

D．

【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数． 【解答】解：2014的相反数是﹣2014． 故选：B．

【点评】本题考查了相反数的概念，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．

2．（4分）（2015?北仑区一模）函数y=

的自变量x的取值范围是（ ）

A．x＞1 B．x＜1 C．x≤1 D．x≥1

【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围． 【解答】解：根据题意得：1﹣x≥0， 解得：x≤1． 故选C．

【点评】本题考查了函数自变量的范围的求法，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 3．（4分）（2016?商丘三模）用五块大小相同的小正方体搭成如下图所示的几何体，这个几何体的左视图是（ ）

A． B． C． D．

【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中． 【解答】解：从左面看，是两层都有两个正方形的田字格形排列． 故选D．

【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的正面看得到的视图． 4．（4分）（2014?北海）下面几何图形中，一定是轴对称图形的有（ ）

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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】利用关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，进而判断得出即可． 【解答】解：圆弧、角、等腰梯形都是轴对称图形． 故选：C．

【点评】此题主要考查了轴对称图形的定义，轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形． 5．（4分）（2013?孝感）下列计算正确的是（ ） A．a÷a=a?a B．

3

2

3

﹣2

C．2a+a=3a

224

D．（a﹣b）=a﹣b

222

【分析】根据合并同类项的法则、同底数幂的乘除法则及幂的乘方法则，结合各选项进行判断即可．

【解答】解：A、a÷a=a?a，计算正确，故本选项正确； B、

2

3

2

3

﹣2

=|a|，计算错误，故本选项错误；

2

2

C、2a+a=3a，计算错误，故本选项错误；

222

D、（a﹣b）=a﹣2ab+b，计算错误，故本选项错误； 故选A．

【点评】本题考查了同底数幂的乘除、合并同类项的知识，解答本题的关键是掌握各部分的运算法则． 6．（4分）（2014?宁波）圆锥的母线长为4，底面半径为2，则此圆锥的侧面积是（ ） A．6π B．8π C．12π D．16π

【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解． 【解答】解：此圆锥的侧面积=?4?2π?2=8π．

故选：B．

【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 7．（4分）（2014?北海）北海到南宁的铁路长210千米，动车运行后的平均速度是原来火车的1.8倍，这样由北海到南宁的行驶时间缩短了1.5小时．设原来火车的平均速度为x千米/时，则下列方程正确的是（ ） A．C．

+1.8=+1.5=

B．D．

﹣1.8=﹣1.5=

【分析】设原来火车的平均速度为x千米/时，则动车运行后的平均速度为1.8x，根据题意可得：由北海到南宁的行驶时间动车比原来的火车少用1.5小时，列方程即可．

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【解答】解：设原来火车的平均速度为x千米/时，则动车运行后的平均速度为1.8x， 由题意得，

﹣1.5=

．

故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程． 8．（4分）（2014?郴州）我市某中学举办了一次以“我的中国梦”为主题的演讲比赛，最后确定7名同学参加决赛，他们的决赛成绩各不相同，其中李华已经知道自己的成绩，但能否进前四名，他还必须清楚这七名同学成绩的（ ） A．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差

【分析】7人成绩的中位数是第4名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前4名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．

【解答】解：由于总共有7个人，且他们的分数互不相同，第4的成绩是中位数，要判断是否进入前4名，故应知道中位数的多少． 故选：C．

【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义． 9．（4分）（2015?北仑区一模）一个正多边形的外角与它相邻的内角之比为1：4，那么这个多边形的边数为（ ） A．8 B．9 C．10 D．12

【分析】设正多边形的每个外角的度数为x，与它相邻的内角的度数为4x，根据邻补角的定义得到x+4x=180°，解出x=36°，然后根据多边形的外角和为360°即可计算出多边形的边数． 【解答】解：设正多边形的每个外角的度数为x，与它相邻的内角的度数为4x，依题意有 x+4x=180°， 解得x=36°，

这个多边形的边数=360°÷36°=10． 故选：C．

【点评】本题考查了多边形的外角定理：多边形的外角和为360°．也考查了邻补角的定义． 10．（4分）（2013?德州）下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（ ） A．y=﹣x+1 B．y=x﹣1 C．y= D．y=﹣x+1

【分析】根据二次函数、一次函数、反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断．

【解答】解：A、y=﹣x+1，一次函数，k＜0，故y随着x增大而减小，故A错误；

2

B、y=x﹣1（x＞0），故当图象在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；而在对称轴左侧（x＜0），y随着x的增大而减小，故B正确． C、y=，k=1＞0，在每个象限里，y随x的增大而减小，故C错误；

D、y=﹣x+1（x＞0），故当图象在对称轴右侧，y随着x的增大而减小；而在对称轴左侧（x＜0），y随着x的增大而增大，故D错误； 故选：B．

2

2

2

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【点评】本题综合考查二次函数、一次函数、反比例函数的增减性（单调性），是一道难度中等的题目． 11．（4分）（2014?义乌市）一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式分别剪成一个正方形，边长都为1，则扇形和圆形纸板的面积比是（ ）

A．5：4 B．5：2 C．：2 D．：

【分析】先画出图形，分别求出扇形和圆的半径，再根据面积公式求出面积，最后求出比值即可．

【解答】解：如图1，连接OD， ∵四边形ABCD是正方形，

∴∠DCB=∠ABO=90°，AB=BC=CD=1， ∵∠AOB=45°， ∴OB=AB=1， 由勾股定理得：OD=

=

，

∴扇形的面积是=π；

如图2，连接MB、MC，

∵四边形ABCD是⊙M的内接四边形，四边形ABCD是正方形， ∴∠BMC=90°，MB=MC， ∴∠MCB=∠MBC=45°， ∵BC=1， ∴MC=MB=

，

）=π，

2

∴⊙M的面积是π×（

∴扇形和圆形纸板的面积比是π÷（π）=． 故选：A．

【点评】本题考查了正方形性质，圆内接四边形性质，扇形的面积公式的应用，解此题的关键是求出扇形和圆的面积，题目比较好，难度适中．

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12．（4分）（2014?菏泽）如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（ ）

A． B． C．

D．

2

【分析】分类讨论：当0＜x≤1时，根据正方形的面积公式得到y=x；当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，利用重叠的面积等于正方形的面积减去等腰直角三角形MNE

222

的面积得到y=x﹣2（x﹣1），配方得到y=﹣（x﹣2）+2，然后根据二次函数的性质对各选项进行判断．

2

【解答】解：当0＜x≤1时，y=x，

当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，如图， CD=x，则AD=2﹣x，

∵Rt△ABC中，AC=BC=2， ∴△ADM为等腰直角三角形， ∴DM=2﹣x，

∴EM=x﹣（2﹣x）=2x﹣2， ∴S△ENM=（2x﹣2）=2（x﹣1），

∴y=x﹣2（x﹣1）=﹣x+4x﹣2=﹣（x﹣2）+2， ∴y=故选：A．

，

2

2

2

2

2

2

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【点评】本题考查了动点问题的函数图象：通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．也考查了等腰直角三角形的性质．

二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分） 13．（4分）（2007?三明）我国最长的河流长江全长约为6300千米，用科学记数法表示为 6.33

×10 千米．

【分析】科学记数法就是将一个数字表示成（a×10的n次幂的形式），其中1≤|a|＜10，n表示整数．n为整数位数减1，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n次幂．此题n＞0，n=3．

3

【解答】解：6 300=6.3×10．

3

故答案为：6.3×10．

【点评】用科学记数法表示一个数的方法是 （1）确定a：a是只有一位整数的数；

（2）确定n：当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．

14．（4分）（2014?郴州）不等式组

的解集是 ﹣1＜x＜5 ．

【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集． 【解答】解：

，

解①得：x＞﹣1， 解②得：x＜5，

则不等式组的解集是：﹣1＜x＜5． 故答案为：﹣1＜x＜5．

【点评】本题主要考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．

15．（4分）（2015?市中区一模）把代数式2x﹣18分解因式，结果是 2（x+3）（x﹣3） ． 【分析】直接提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式得出即可．

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2

【解答】解：2x﹣18=2（x﹣9）=2（x+3）（x﹣3）． 故答案为：2（x+3）（x﹣3）． 【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键． 16．（4分）（2015?北仑区一模）如图，AB是⊙O的直径，∠C=30°，则∠ABD等于 60° ．

22

【分析】首先连接AD，由直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ADB=90°，又由圆周角定理，求得∠A的度数，继而求得答案． 【解答】解：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∵∠A=∠C=30°，

∴∠ABD=90°﹣∠A=60°． 故答案为：60°．

【点评】此题考查了圆周角定理．注意直径对的圆周角是直角，作出辅助线是关键．

17．（4分）（2015?重庆模拟）如图，正方形ABCD的边长为4+2且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为点F，则EF的长是 2 ．

，点E在对角线BD上，

【分析】设EF=x，先由勾股定理求出BD，再求出AE=ED，得出方程，解方程即可． 【解答】解：设EF=x， ∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAD=90°，∠ABD=∠ADB=45°， ∴BD=AB=4+4，EF=BF=x， ∴BE=x， ∵∠BAE=22.5°，

∴∠DAE=90°﹣22.5°=67.5°，

∴∠AED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°， ∴∠AED=∠DAE，

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∴AD=ED，

∴BD=BE+ED=x+4+2=4+4， 解得：x=2， 即EF=2；

故答案为：2．

【点评】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定；证明三角形是等腰三角形，列出方程是解决问题的关键． 18．（4分）（2014?乐清市校级自主招生）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（10，0），点B的坐标为（8，0），点C，D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标为 （1，3） ．

【分析】过点M作MF⊥CD于点F，则CF=CD=4，过点C作CE⊥OA于点E，由勾股定理可求得MF的长，从而得出OE的长，然后写出点C的坐标． 【解答】解：∵四边形OCDB是平行四边形，B（8，0）， ∴CD∥OA，CD=OB=8

过点M作MF⊥CD于点F，则CF=CD=4 过点C作CE⊥OA于点E， ∵A（10，0），

∴OE=OM﹣ME=OM﹣CF=5﹣4=1． 连接MC，则MC=OA=5 ∴在Rt△CMF中，由勾股定理得∴点C的坐标为（1，3） 故答案为：（1，3）．

【点评】本题考查了勾股定理、垂径定理以及平行四边形的性质，是基础知识要熟练掌握．

三、解答题（共8小题，满分78分）

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19．（6分）（2015?北仑区一模）先化简分式（﹣）÷，再在﹣3＜x≤2

中取一个合适的x，求出此时分式的值．

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x=2代入计算即可求出值． 【解答】解：原式=

?

=

?

=2x+4，

根据﹣3＜x≤2，得到x=2时，原式=8．

【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20．（8分）（2011?綦江县）我县实施新课程改革后，学生的自主字习、合作交流能力有很大提高．张老师为了了解所教班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调査，并将调査结果分成四类，A：特别好；B：好；C：一般；D：较差；并将调査结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：

（1）本次调查中，张老师一共调査了 20 名同学，其中C类女生有 2 名，D类男生有 1 名；

（2）将上面的条形统计图补充完整；

（3）为了共同进步，张老师想从被调査的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率． 【分析】（1）由扇形统计图可知，特别好的占总数的15%，人数有条形图可知3人，所以调查的样本容量是：3÷15%，即可得出C类女生和D类男生人数； （2）根据（1）中所求数据得出条形图的高度即可；

（3）根据被调査的A类和D类学生男女生人数列表即可得出答案． 【解答】解：（1）3÷15%=20， 20×25%=5．女生：5﹣3=2， 1﹣25%﹣50%﹣15%=10%， 20×10%=2，男生：2﹣1=1， 故答案为：20，2，1；

（2）如图所示：

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（3）根据张老师想从被调査的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，可以将A类与D类学生分为以下几种情况： 男A 女A1 女A2 男D 男A男D 女A1男D 女A2男D 女D 女D男A 女A1女D 女A2女D ∴共有6种结果，每种结果出现可能性相等， ∴两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率为： P（一男一女）==．

【点评】此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 21．（8分）（2015?北仑区一模）某商店经营一种成本为每千克40美元的水产品，根据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，

（1）针对这种水产品的销售情况，设销售单价定为x元（x＞50），请用的x代数式表示月销售量，以及获得的利润．

（2）当x取什么数时利润最大？最大利润是多少？ 【分析】（1）月销售利润=每千克的利润×可卖出千克数，把相关数值代入即可； （2）利用公式法可得二次函数的最值． 【解答】解：（1）可卖出千克数为500﹣10（x﹣50）=1000﹣10x，

2

y与x的函数表达式为y=（x﹣40）（1000﹣10x）=﹣10x+1400x﹣40000，

22

（2）∵y=﹣10x+1400x﹣40000=﹣10（x﹣70）+9000 ∴当x=70时，y有最大值9000．

答：商店销售单价应定为70元时，销售利润最大，为9000元．

【点评】考查二次函数的应用；得到可卖出千克数是解决本题的难点，解题的关键点时从实际问题中抽象出二次函数模型，难度不大． 22．（10分）（2015?北仑区一模）在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E为AB边上一点，∠BCE=15°，且AE=AD．连接DE交对角线AC于H，连接BH． （1）求证：AC⊥ED；

（2）求证：△ACD≌△ACE；

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（3）请猜测CD与DH的数量关系，并证明．

【分析】（1）在等腰直角△ADE中，根据等腰三角形三线合一的性质可得AH⊥ED，即AC⊥ED；

（2）由（1）证得∠ABC=90°，AB=BC，得到∠BAC=∠ACB=45°，由∠BAD=90°，得到∠BAC=∠DAC，得到△ACD≌△ACE；

（3）根据全等三角形对应边相等可得CD=CE，再求出∠CED=60°，得到△CDE为等边三角形，得到∠DCH=30°，CD=2DH． 【解答】解：（1）∵AD∥BC，∠ABC=90° ∴∠BAD=90°， 又∵AB=BC， ∴∠BAC=45°，

∴∠CAD=∠BAD﹣∠BAC=90°﹣45°=45°， ∴∠BAC=∠CAD， ∴AH⊥ED， 即AC⊥ED；

（2）由（1）证得∠ABC=90°，AB=BC， ∴∠BAC=∠ACB=45°， 又∵∠BAD=90°， ∴∠BAC=∠DAC， 在△ACD和△ACE中，∴△ACD≌△ACE（SAS）；

（3）CD=2DH．

∵由（1）证得∠BAC=∠CAD， 在△ACD和△ACE中，

， ，

∴△ACD≌△ACE（SAS）， ∴CD=CE， ∵∠BCE=15°，

∴∠BEC=90°﹣∠BCE=90°﹣15°=75°，

∴∠CED=180°﹣∠BEC﹣∠AED=180°﹣75°﹣45°=60°， ∴△CDE为等边三角形， ∴∠DCH=30°，

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∴CD=2DH． 【点评】此题考查了直角梯形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．熟记各性质是解题的关键 23．（10分）（2014?德阳）如图，⊙O中，FG、AC是直径，AB是弦，FG⊥AB，垂足为点P，过点C的直线交AB的延长线于点D，交GF的延长线于点E，已知AB=4，⊙O的半径为．

（1）分别求出线段AP、CB的长；

（2）如果OE=5，求证：DE是⊙O的切线； （3）如果tan∠E=，求DE的长．

【分析】（1）根据圆周角定理由AC为直径得∠ABC=90°，在Rt△ABC中，根据勾股定理可计算出BC=2，再根据垂径定理由直径FG⊥AB得到AP=BP=AB=2； （2）易得OP为△ABC的中位线，则OP=BC=1，再计算出

=

=

，根据相似三角

形的判定方法得到△EOC∽△AOP，根据相似的性质得到∠OCE=∠OPA=90°，然后根据切线的判定定理得到DE是⊙O的切线；

（3）根据平行线的性质由BC∥EP得到∠DCB=∠E，则tan∠DCB=tan∠E=，在Rt△BCD中，根据正切的定义计算出BD=3，根据勾股定理计算出CD=成比例定理得

=

，再利用比例性质可计算出DE=

．

，然后根据平行线分线段

【解答】（1）解：∵AC为直径， ∴∠ABC=90°，

在Rt△ABC中，AC=2，AB=4， ∴BC=

∵直径FG⊥AB， ∴AP=BP=AB=2；

（2）证明∵AP=BP，AO=OC ∴OP为△ABC的中位线，

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=2，

∴OP=BC=1， ∴而∴

===

， =，

，

∵∠EOC=∠AOP， ∴△EOC∽△AOP， ∴∠OCE=∠OPA=90°， ∴OC⊥DE，

∴DE是⊙O的切线；

（3）解：∵BC∥EP， ∴∠DCB=∠E， ∴tan∠DCB=tan∠E=

在Rt△BCD中，BC=2，tan∠DCB=∴BD=3， ∴CD=∵BC∥EP， ∴

=

，即．

=

，

=

，

=，

∴DE=

【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理和相似三角形的判定与性质． 24．（10分）（2014?阜新）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，其中点A（5，4），B（1，3），将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1． （1）画出△A1OB1；

（2）在旋转过程中点B所经过的路径长为

π ；

（3）求在旋转过程中线段AB、BO扫过的图形的面积之和．

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【分析】（1）根据网格结构找出点A、B绕点O逆时针旋转90°后的对应点A1、B1的位置，然后顺次连接即可；

（2）利用勾股定理列式求OB，再利用弧长公式计算即可得解；

（3）利用勾股定理列式求出OA，再根据AB所扫过的面积=S扇形A1OA+S△A1B1O﹣S扇形B1OB﹣S△AOB=S扇形A1OA﹣S扇形B1OB求解，再求出BO扫过的面积=S扇形B1OB，然后计算即可得解．

【解答】解：（1）△A1OB1如图所示；

（2）由勾股定理得，BO=所以，点B所经过的路径长=故答案为：

（3）由勾股定理得，OA=

=

，

π．

=

， =

π；

∵AB所扫过的面积=S扇形A1OA+S△A1B1O﹣S扇形B1OB﹣S△AOB=S扇形A1OA﹣S扇形B1OB， BO扫过的面积=S扇形B1OB，

∴线段AB、BO扫过的图形的面积之和=S扇形A1OA﹣S扇形B1OB+S扇形B1OB， =S扇形A1OA， ==

π．

，

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【点评】本题考查了利用旋转变换作图，弧长公式，扇形的面积，勾股定理，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键，难点在于（3）表示出两线段扫过的面积之和等于扇形的面积． 25．（12分）（2014?义乌市）【合作学习】

如图，矩形ABOD的两边OB，OD都在坐标轴的正半轴上，OD=3，另两边与反比例函数y=（k≠0）的图象分别相交于点E，F，且DE=2．过点E作EH⊥x轴于点H，过点F作FG⊥EH于点G．回答下面的问题： ①该反比例函数的解析式是什么？

②当四边形AEGF为正方形时，点F的坐标是多少？ （1）阅读合作学习内容，请解答其中的问题；

（2）小亮进一步研究四边形AEGF的特征后提出问题：“当AE＞EG时，矩形AEGF与矩形DOHE能否全等？能否相似？” 针对小亮提出的问题，请你判断这两个矩形能否全等？直接写出结论即可；这两个矩形能否相似？若能相似，求出相似比；若不能相似，试说明理由．

【分析】（1）①先根据矩形的性质得到D（2，3），然后利用反比例函数图象上点的坐标特征计算出k=6，则得到反比例函数解析式为y=；

②设正方形AEGF的边长为a，则AE=AF=a，根据坐标与图形的关系得到B（2+a，0）），A（2+a，3），所以F点坐标为（2+a，3﹣a），于是利用反比例函数图象上点的坐标特征得（2+a）（3﹣a）=6，然后解一元二次方程可确定a的值，从而得到F点坐标；

（2）当AE＞EG时，假设矩形AEGF与矩形DOHE全等，则AE=OD=3，AF=DE=2，则得到F点坐标为（3，3），根据反比例函数图象上点的坐标特征可判断点F（3，3）不在反比例函数y=的图象上，由此得到矩形AEGF与矩形DOHE不能全等；

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当AE＞EG时，若矩形AEGF与矩形DOHE相似，根据相似的性质得AE：OD=AF：DE，即

=

=，设AE=3t，则AF=2t，得到F点坐标为（2+3t，3﹣2t），

利用反比例函数图象上点的坐标特征得（2+3t）（3﹣2t）=6，解得t1=0（舍去），t2=，则AE=3t=，于是得到相似比=

=．

【解答】解：（1）①∵四边形ABOD为矩形，EH⊥x轴，

而OD=3，DE=2， ∴E点坐标为（2，3）， ∴k=2×3=6，

∴反比例函数解析式为y=（x＞0）；

②设正方形AEGF的边长为a，则AE=AF=a， ∴B点坐标为（2+a，0）），A点坐标为（2+a，3）， ∴F点坐标为（2+a，3﹣a），

把F（2+a，3﹣a）代入y=得（2+a）（3﹣a）=6，解得a1=1，a2=0（舍去）， ∴F点坐标为（3，2）；

（2）①当AE＞EG时，矩形AEGF与矩形DOHE不能全等．理由如下： 假设矩形AEGF与矩形DOHE全等，则AE=OD=3，AF=DE=2， ∴A点坐标为（5，3）， ∴F点坐标为（5，1）， 而5×1=5≠6，

∴F点不在反比例函数y=的图象上，

∴矩形AEGF与矩形DOHE不能全等；

②当AE＞EG时，矩形AEGF与矩形DOHE能相似． ∵矩形AEGF与矩形DOHE能相似， ∴AE：OD=AF：DE， ∴

=

=，

设AE=3t，则AF=2t， ∴A点坐标为（2+3t，3）， ∴F点坐标为（2+3t，3﹣2t），

把F（2+3t，3﹣2t）代入y=得（2+3t）（3﹣2t）=6，解得t1=0（舍去），t2=， ∴AE=3t=，

∴相似比===．

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【点评】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质和图形全等的性质、相似的性质；理解图形与坐标的关系；会解一元二次方程． 26．（14分）（2015?北仑区一模）如图，⊙M与x轴交于A、B两点，其坐标分别为A（﹣3，0）、B（1，0），直径CD⊥x轴于N，抛物线y=﹣x﹣2x+m经过A、B、D三点， （1）求m的值及点D的坐标；

（2）若直线CE切⊙M于点C，G在直线CE上，已知点G的横坐标为3．求G的纵坐标； （3）对于（2）中的G，是否存在过点G的直线，使它与（1）中抛物线只有一个交点，请说明理由；

（4）对于（2）中的G，直线FG切⊙M于点F，求直线DF的解析式．

2

【分析】（1）将A或B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数m的值，进而可求得抛物线的顶点坐标；根据圆和抛物线的对称性知，点D即为抛物线的顶点，由此得解． （2）已知了点D的坐标，需求出直线DF上另一点的坐标；根据A、B、D的坐标，可求得AN、BN、DN的长，根据相交弦定理知：DN?NC=AN?BN，由此可求得NC的长，即可得到点C的坐标，易证得CG∥x轴，则可求得G的纵坐标； （3）假设存在过G的直线y=kx+b，由G（3，﹣1），可得3k+b=﹣1，即可求得b=﹣1﹣3k，的方程组：

，由与抛物线只有一个交点，可得判别式△=0，即可求得k

的值；

（4）设直线DF与直线CE的交点为E，连接CF，根据圆周角定理可知△CFP是直角三角形，而CG、CF同为⊙M的切点，即CG=GF，所以点G即为斜边CP的中点，由此可得点P的坐标，根据D、P的坐标，即可用待定系数法求得直线DF的解析式．

2

【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x﹣2x+m过点A，B两点， ∴根据根与系数的关系可得：﹣3×1=﹣m， ∴m=3，

2

∴抛物线为：y=﹣x﹣2x+3，

又∵抛物线过点D，由圆的对称性知点D为抛物线的顶点， ∴D点坐标为（﹣1，4）．

第23页（共26页）

（2）由题意知AB=4， ∵CD⊥x轴， ∴NA=NB=2， ∴ON=1，

由相交弦定理得NA?NB=ND?NC， ∴NC×4=2×2，NC=1， ∴C的坐标为（﹣1，﹣1）， ∵直线CE切⊙M于点C， ∴CD⊥CG， ∴CG∥x轴，

∴G的纵坐标为﹣1；

（3）存在．

假设存在过G的直线y=kx+b， ∵G（3，﹣1）， ∴3k+b=﹣1， ∴b=﹣1﹣3k， ∴

2

，

∴kx﹣1﹣3k=﹣x﹣2x+3，

2

整理得：x+（k+2）x﹣4﹣3k=0，

2

∴当与抛物线只有一个交点时，△=（k+2）﹣4（﹣4﹣3k）=0， 解得：k=﹣8±2，

另：过G点并与y轴平行的直线与抛物线也只有一个交点； ∴存在过点G的直线，使它与（1）中抛物线只有一个交点；

（4）设直线DF交CE于P，连接CF，得∠CFP=90°， ∵CG，FG为圆M的切线， ∴FG=GC， ∴∠1=∠3， ∴∠2=∠FPC， ∴FG=GP， ∴GC=GP， 可得CP=8，

∴P点的坐标为（7，﹣1）；

设直线DF的解析式为y=kx+b（k≠0）， 则

，

第24页（共26页）

解得，

∴直线DF的解析式为y=﹣x+．

【点评】此题主要考查了二次函数解析式的确定、圆和抛物线的对称性、圆周角定理、相交弦定理、直角三角形的性质、函数图象交点坐标的求法、根的判别式等知识，涉及知识面较广，难度较大．

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参与本试卷答题和审题的老师有：未来；zhjh；星期八；gbl210；caicl；gsls；sjzx；HLing；HJJ；zjx111；CJX；zcx；家有儿女；张其铎；sks；sd2011；王学峰（排名不分先后） 菁优网

2016年11月30日

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