上海市交大附中高三数学上学期摸底考试试题

上海市交大附中2015届高三数学上学期摸底考试试题

（满分150分，120分钟完成，答案一律写在答题纸上）

一、填空题（本大题共14题，每题4分，满分56分）

1．函数的反函数________________．

答案：

解：∵，∴，由得，故

2. 函数的最小值_________

答案：

3. 若，则的取值范围是___________

答案：

4．若对任意正实数，不等式答案：-1

解：因为对任意正实数，不等式

5．同时满足（1）

恒成立，则实数的最小值为 ．

恒成立，所以，因此

答案：15

6．集合，．若“a＝1”是“”的充分条件，则

实数b的取值范围是 ． 答案：

解：“a＝1”是“

，由

”的充分条件的意思是说当

得

.

或

时，

，即

，现在

或

，

，所以的范围是

7．已知

，则

．

答案：

解：由可得，所以

8．方程有解，则________

答案：

9. 如果

答案：

10．函数图像的对称中心是 ．

答案：

解：因为函数图像的对称中心是

为奇函数，对称中心是.

，因此函数

11.

答案：

12.

答案：

13. 关于函数

必定是

的整数倍；（2）

的表达式可改写为（4）

____________

；

答案：（2），（3）

14.已知等比数列的首项为，公比为，其前项和记为，又设

，

则答案:45

的最小正整数为 ．

的所有非空子集中的最小元素的和为，

解：由题意有，对于和，我们首先把中的元素按从小到

大顺序排列，当时，，对于中的任一元素

，比它大的有个，这个元素组成的集合的所有子集有个，把

加进这些子集形成新的集合，每个都是以为最小元素的的子集，而最小元

素为的的子集也只有这些，故在中出现次，所以

，时，适合上式，时，．当，

不成立，当时，，，

由于，

，，所以，最小的为．

二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分） 15．下列说法正确的是（ ）

A．命题“若，则”的否命题是“若，则”

B．“”是“”的必要不充分条件

C．命题“若，则”的逆否命题是真命题

D．“”是“”的充分不必要条件

答案：C

解：中，否命题应该是“若故至少是充分的，是真命题，选

错；

中“若

，则”， ，则

错；中时，有，

”是真命题，因此其逆否命题也

，而应该是必要不充分条件．

16. 若是的最小值，则的取值范围为（ ）.

(A)[-1,2] (B)[-1，0] (C)[1，2] (D)

答案：D

解：由于当时，

应该是递减的，则

在时取得最小值，由题意当，因此

时，，解

，此时最小值为

得，选D．

的三个内角的余弦值分别等于

的三个内角的正弦值，则（

17. 如果

）

A．B．C．D．

答案：D

和和

都是锐角三角形 都是钝角三角形

是锐角三角形 是钝角三角形

是钝角三角形，是锐角三角形，

解：?是锐角三角形

如果是锐角三角形，则，，，不可能成立；

，A1=0不合题意；

如果所以

是直角三角形，不妨设，则

是钝角三角形。（可求出钝角的大小为135°）

18. 定义一种新运算：，已知函数，若函数

恰有两个零点，则的取值范围为（ ）.

A.(1,2] B. ． C. D.

答案：B

解：这类问题，首先要正确理解新运算，能通过新运算的定义把新运算转化为我们已经学过的知识，然后解决问题.本题中

实质上就是取

中的最小值，因此

就是

与

中的最小值，函数在上是减函数，函数在上是

增函数，且，因此当时，，时，

，因此，由函数的单调性知时取得最

大值，又时，是增函数，且，，又

时，是减函数，且.函数恰有

两个零点，说明函数

.选B.

的图象与直线有两个交点，从函数的性质知

三、解答题(本大题共5题，满分74分12’+14’+14’+16’+18’=74’)

19. 解关于x的不等式：

解：

20．在中，角所对的边分别为，已知，

（1）求（2）若

的大小；

，求

的取值范围. ；（2）

.

答案：（1）

解：（1）由已知条件结合正弦定理有：，从而有：

，.

（2）由正弦定理得：，，

，即：.

21．数列的首项,

(1) 求数列的通项公式；

(2) 设的前项和为,若的最小值为，求的取值范围？

答案：(1) ；（2）.

解：（1）

又，

则 即奇数项成等差，偶数项成等差

（或: ）

（2）当为偶数，即时：

当为奇数，即时：

22．阅读： 已知、

，

，求

的最小值.

解法如下：，

当且仅当，即时取到等号，

则的最小值为.

应用上述解法，求解下列问题： （1）已知

，

，求

的最小值；

（2）已知，求函数的最小值；

（3）已知正数、、，，

求证：.

答案：（1）9；（2）18；（3）证明见解析.

解：（1），

2分

而，

当且仅当时取到等号，则，即的最小值为.

（2），

而，，

当且仅当，即时取到等号，则，

所以函数的最小值为.

（3）

当且仅当时取到等号，则.

23．已知函数满足2+，对x≠0恒成立，在数列{an}、{bn}中，

a1=1，b1=1，对任意x∈N，

+

，。

（1）求函数解析式；

（2）求数列{an}、{bn}的通项公式；

（3）若对任意实数的最小值。 答案:（1）

（2）

,总存在自然数k,当n≥k时,恒成立，求k

（3）3

解：（1），∴，联立解得

（2）∵，∴，

∴是以1为首项、2为公差的等差数列，，∴

又 ，

相加有，∴

（3）对任意实数λ∈[0，1]时，恒成立，

则恒成立，变形为，恒成立。

设，

∴，

∴ ∴或，n∈N

+

故kmin=3

（3）若对任意实数的最小值。 答案:（1）

（2）

,总存在自然数k,当n≥k时,恒成立，求k

（3）3

解：（1），∴，联立解得

（2）∵，∴，

∴是以1为首项、2为公差的等差数列，，∴

又 ，

相加有，∴

（3）对任意实数λ∈[0，1]时，恒成立，

则恒成立，变形为，恒成立。

设，

∴，

∴ ∴或，n∈N

+

故kmin=3

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