2013全国新课标理科数学真题

2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷)

数学(理科)

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、 选择题：本大题共10小题。每小题5分，共50分。在每个小题给出的

四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）已知集合M=｛x|(x+1)2 < 4,x∈R｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则M∩N=

（ ）

（A）｛0，1，2｝ （B）｛-1，0，1，2｝

（C）{-1，0，2，3} （D）{0，1，2，3}

（2）设复数z满足（1-i）z=2 i，则z= （ ）

（A）-1+i （B）-1-i （C）1+i （D）1-i

（3）等比数列｛an｝的前n项和为Sn，已知S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，则a1= （ ）

（A） 错误！未找到引用源。

（B）-

错

误！未找到引用源。

（D）- 错误！未找

（C） 错误！未找到引用源。

到引用源。

（4）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β。直线l满足l ⊥m，l

⊥n，l

β，则（ ）

（A）α

∥β且l ∥α

（B）α

⊥β且l⊥β

（C）α与β相交，且交线垂直于l （D）α与β相交，且交线平行于l

（5）已知（1+ɑx）(1+x)5的展开式中x2的系数为5，则ɑ= （A）-4 （B）-3 （C）-2 （D）-1

（6）执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的s= （A）1+ 错误！未找到引用源。+ 错误！未找到引用源。+…+ 错误！未找到引用源。

（B）1+ 错误！未找到引用源。+ 错误！未找到引用源。+…+ 错误！未找到引用源。

1

（C）1+ 错误！未找到引用源。+ 错误！未找到引用源。+…+ 错误！未找到引用源。

（D）1+ 错误！未找到引用源。+ 错误！未找到引用源。+…+ 错误！未找到引用源。 （7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为搞影面，则得到正视图可以为

(A) (B) (C) (D)

（8）设ɑ=log36,b=log510,c=log714,则 （A）c＞b＞a （B）b＞c＞a （C）a＞c＞b (D)a＞b＞c x≥1,

（9）已知a＞0，x，y满足约束条件 ,x+y≤3, 若z=2x+y的最小值为1，

y≥a(x-3)则a=

.

{

(A) 错误！未找到引用源。

(B) 错误！未找到引用源。

(C)1 (D)2

（10）已知函数f(x)=x2+αx2+bx+，下列结论中错误的是 （A）∑xα∈Rf(xα)=0

（B）函数y=f(x)的图像是中心对称图形

（C）若xα是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,xα）单调递减 （D）若xn是f（x）的极值点，则f1(xα)=0

（11）设抛物线y2=3px(p≥0)的焦点为F，点M在C上，|MF|=5若以MF为直

径的园过点（0，3），则C的方程为

（A）y2=4x或y2=8x （B）y2=2x或y2=8x （C）y2=4x或y2=16x （D）y2=2x或y2=16x

（12）已知点A（-1，0）；B（1，0）；C（0，1），直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是 （A）（0，1）(B)（1-错误！未找到引用源。，1/2）( C)（1-错误！未找到引用源。，1/3）(D)[ 1/3, 1/2）

2

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。第22题~第24题为

选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则

=_______.

（14）从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为错误！未找到引用源。，则n=________. （15）设θ为第二象限角，若tan（θ+错误！未找到引用源。）= ，则sinθ+conθ=_________. （16）等差数列{an}的前n项和为Sn ，已知S10=0，S15 =25，则nSn 的最小值为________.

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB。 （Ⅰ）求B； （Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值。

（18）如图，直棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=错误！未找到引用源。/2AB。 （Ⅰ）证明：BC1//平面A1CD1 （Ⅱ）求二面角D-A1C-E的正弦值

（19）（本小题满分12分）

3

经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500

元，未售出的产品，没1t亏损300元。根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如有图所示。经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品。以x（单位：t，100≤x≤150）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润。

（Ⅰ）将T表示为x的函数

（Ⅱ）根据直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表改组的各个值

求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x

）则取x=105，且x=105的概率等于需求量落入[100，110]的T

的数学期望。

(20)(本小题满分12分)

平面直角坐标系xOy中，过椭圆M:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)右焦点y-错误！未找到引用源。=0交m,f ,A,B两点，P为Ab的中点，且OP的斜率为1/2 (Ι)求M的方程

（Ⅱ）C,D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形的最大值

（21）（本小题满分12分） 已知函数f(x)=ex-ln(x+m)

(Ι)设x=0是f(x)的极值点，求m,并讨论f(x)的单调性； （Ⅱ）当m≤2时，证明f(x)>0

请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，做答时请写清题号。 （22）（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲 如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线教直线CD 于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上的点， 且BC-AE=DC-AF,B、E、F、C四点共圆。 （1） 证明：CA是△ABC外接圆的直径； （2） 若DB=BE=EA,求过B、E、F、C四点的圆

的面积与△ABC外接圆面积的比值。

4

（23）（本小题满分10分）选修4——4；坐标系与参数方程 已知动点p，Q都在曲线c

x=2cosβ

（β为参数）上，对应参数分别为β=α

y=2sinβ

与α=2πM为（①＜α＜2π）M为PQ的中点。 （Ⅰ）求M的轨迹的参数方程

（Ⅱ）将M到坐标原点的距离d表示为a的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点。

（24）（本小题满分10分）选修4——5；不等式选讲 设a，b，c均为正数，且a+b+c=Ⅱ，证明： （Ⅰ）ab+bc+ac小于等于1/3

222

（Ⅱ）a/a-b/b-c/c≥1

5

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