复变函数与积分变换重点公式归纳85291

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复变函数与积分变换复习提纲

第一章 复变函数

一、复变数和复变函数

w?f?z??u?x,y??iv?x,y?

二、For personal use only in study and research; not for commercial use 三、

四、复变函数的极限与连续

极限 limf(z)?A 连续 limf(z)?f(z0)

z?z0z?z0第二章 解析函数

一、For personal use only in study and research; not for commercial use 二、

三、复变函数w?f(z)?u(x,y)?iv(x,y)可导与解析的概念。 四、柯西——黎曼方程

??ux?vy掌握利用C-R方程?判别复变函数的可导性与解析性。

u??v?x?yFor personal use only in study and research; not for commercial use

掌握复变函数的导数：

f'(z)??f1?f?ux?ivx???iuy?vy?xi?y

?ux?iuy????ivx?vy五、初等函数

重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。

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1、幂函数与根式函数

w?zn?rn(cos??isin?)n?rn(cosn??isinn?)?rnein? 单值函数

w?z?ren1argz?2k?inn (k=0、1、2、…、n-1) n多值函数

x2、指数函数：w?e?e(cosy?isiny)

性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，(e)'?e（3）以2?i为周期 3、对数函数

zzzw?Lnz?lnz?i(argz?2k?)?lnz?i2k? （k=0、±1、±2……）

性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:(lnz)'k?1。 zk不得用于商业用途

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eiz?e?izeiz?e?iz4、三角函数：cosz? sinz?

22i性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界

5、反三角函数（了解）

反正弦函数 w?Arcsinz?1Ln(iz?1?z2) i1Ln(z?z2?1) i反余弦函数 w?Arccosz?性质与对数函数的性质相同。 6、一般幂函数：z?essLnz?es[lnz?(2k??argz)i] （k=0、±1…）

四、调和函数与共轭调和函数：

1) 调和函数:?2u(x,y)?0

2) 已知解析函数的实部（虚部），求其虚部（实部）

有三种方法：a）全微分法

b）利用C-R方程 c）不定积分法

第三章 解析函数的积分 一、复变函数的积分

?f?z?dz??udx?vdy?i?vdx?udy 存在的条件。

lll二、复变函数积分的计算方法 1、沿路径积分：

?f?z?dz 利用参数法积分，关键是写出路径的参数方程。

c2、闭路积分： a)

?f?z?dz 利用留数定理，柯西积分公式，高阶导数公式。

cb) [u(x,y)?iv(x,y)]dz 利用参数积分方法

c?三、柯西积分定理：

?f?z?dz?0

c 推论1：积分与路径无关

?cf?z?dz??f(z)dz

z1z2推论2：利用原函数计算积分

?z2z1f(z)dz?F(z2)?F(z1)

推论3：二连通区域上的柯西定理

?f?z?dz??f?z?dz

c1c2不得用于商业用途

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推论4：复连通区域上的柯西定理

?f?z?dz???f?z?dz

ck?1ckn

四、柯西积分公式： f(z)?1f???d? 2?i?c??zf?z??cz?z0dz?2?if?z0?

五、高阶导数公式：

f(n)(z)?n!f???d? n?1?c2?i(??z)解析函数的两个重要性质：

? 解析函数f?z?在任一点z的值可以通过函数沿包围点z的任一简单闭合回路的积分表示。 ? 解析函数有任意阶导数。

本章重点：掌握复变函数积分的计算方法

沿路径积分闭路积分

第四章 解析函数的级数

一、幂级数及收敛半径：

??f?z?dz 1）利用参数法积分 2）利用原函数计算积分。

c?f?z?dz 利用留数定理计算积分。

c?a(z?b)nn?0n

1、一个收敛半径为R（≠0）的幂级数，在收敛圆内的和函数f(z)是解析函数，在这个收敛圆内，这个展开式可以逐项积分和逐项求导，即有：

f'?z???nan?z?b? z?b?R

nn?1??z0f?z?dz???an?z?b?dz??nn?0l?zann?1z z?b?R n?1n?0?2、收敛半径的计算方法

1） 比值法：R?liman/an?1

n??2） 根值法：R?1/limnan

n??二、泰勒（Taylor）级数

1、如函数f(z)在圆域z?b?R内解析，那么在此圆域内f(z)可以展开成Taylor级数

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f(z)??an(z?b)??nn?0n?0??fn?b??z?b?n n!1）展开式是唯一的。故将函数在解析点的邻域中展开幂级数一定是Taylor级数。 2 ) 收敛半径是展开点到f(z)的所有奇点的最短距离。

fn?b?3）展开式的系数可以微分计算： an? n!4）解析函数可以用Taylor级数表示。

2、记住一些重要的泰勒级数：

??1znzn1）??z 2）e??

1?zn?0n?0n!?3）sinz??(2n?1)!zn?0??1?n(2n?1) 4）cosz??(2n)!n?0???1?nz2n

三、罗兰（Laurent）级数

如果函数f(z)在圆环城R1?z?b?R2内解析，则f(z)=

n cn?c(z?b)?n?n??x1f?z?dz n?1?l2?i?z?b?（n=0、±1、±2……）

1、展开式是唯一的，即只要把函数在圆环城内展开为幂级数即为Laurent级数。

2、展开式的系数是不可以利用积分计算。利用已知的幂级数，通过代数运算把函数展开成Laurent级数。

3、注意展开的区域，在展开点的所有解析区域展开。

四、孤立奇点

1、定义：若b是f(z)的孤立奇点，则f(z)在0?z?b??内解析。在此点f(z)可展开为罗兰级数，

f(z)=

n????cn?z?b???cn?z?b???cn?z?b?

nnnn??n?0??1?2、分类：

?可去奇点:无负幂项,Res[f(z),b]?0?孤立奇点?极点:有限负幂项 ?本性奇点:无穷多负幂项,Res[f(z),b]?c?1?把函数在奇点的去心邻域中展开为罗兰级数，求解C-1

3、极点留数计算

a) 如果b是f(z)的一阶极点，则Res[f(z),b]?lim(z?b)f(z)

z?bb) 如果b是f(z)的m阶极点，则 不得用于商业用途

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1dm?1mRes[f(z),b]?limm?1[?z?b?f?z?]

?m?1?!z?bdzc) 如b是f?z??P?z?的一阶极点，且P(b)≠0，那么 Q?z??P?z??P?b? Res?,b??????QzQ'b??d) Res[f(z),?]??Res[f()11,0] 2zzz??e) 若z??是f(z)的可去奇点，并且limf(z)?0，

Res[f(z),?]??C?1??limzf?z?

z??关系：全平面留数之和为零。

?Res?f?z?,b???Res?f?z?,???0

kk?1?

本章重点：函数展开成Taylor级数，并能写出收敛半径。 函数在解析圆环城内展开成Laurent级数。

孤立奇点（包含z??点）的判定及其留数的计算。

第五章 留数定理的应用

一、

?2?0R?sin?,cos??d?

条件：（1）R(sin?，cos?) 为cos?与sin ? 的有理函数 （2）R (? ) 在[0，2?] 或者 [-? ，?] 上连续。

dzz?z?1z?z?1令z?e，则sin??，cos??，d??。

iz22ii??2?0R?sin?,cos??d????z2?1z2?1?dz?R?,??z?1??2z?iz?2izz?1f?z?dz

?2?i?Res?f?z?,z?

kk?1nzk?1

注意留数是计算单位圆中的奇点。 二、

????f?x?dx

条件： （1） f?x??P?x?Q?x? P?x?,Q?x?是x的多项式。

（2） Q?x??0

（3） 分母阶次比分子阶次至少高二次

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