线性系统的状态空间分析法

第九章 线性系统的状态空间分析法

一、教学目的和要求

通过学习，了解系统状态空间描述常用的基本概念，掌握线性定常系统状态空间表达式的建立方法。 二、重点

状态空间分析的常用概念，根据系统机理建立状态空间表达式方法。 三、教学内容：

以“经典控制的不足”为切入点引进线性系统的状态空间分析与综合。 1、系统数学描述的两种基本方法

一种是外部描述。 一种是内部描述。 对比举例

2、系统描述中常用的基本概念 输入和输出、松弛性、因果性、线性、时不变形 3、系统状态空间描述常用的基本概念

状态和状态变量、状态向量、状态空间、状态轨迹、状态方程、输出方程、状态空间表达式、自制系统、线性系统、线性系统的状态空间表达式、线性定常系统、线性系统的结构图、状态空间分析法。 将概念讲解、举例、对比来加深理解。 4、举例 熟悉对概念理解

5、根据系统机理建立状态空间表达式方法

步骤：

① 确定输入输出向量；

② 根据系统机理（电学、力学等）建立系统方程； ③ 选择状态变量，根据方程建立状态方程； ④ 列写输出方程；

⑤ 将状态方程、输出方程变换为向量—矩阵形式。 举例：RLC网络（单输入-单输出）；

1

机械位移系统（双输入-三输出）

第一节 线性系统的状态空间描述

一、教学目的和要求

掌握线性定常系统状态空间表达式的建立方法。 二、重点

由传递函数建立状态空间表达式 三、教学内容：

1、由系统微分方程建立状态空间表达式方法（单输入-单输出） （1）系统输入量中不含倒数项。

y(n)?an?1y(n?1)?an?2y(n?2)?...?a1y?a0y??0u?

式中y,u分别为系统的输出、输入量；a0,a1,...,an?1,?0是由系统特性确定的常数。由于给定n个初值

?(0),...yn?1(0)y(0),y及t≧0的u（t）时，可唯一确定t>0时系统得

?的行为，可选取n个状态变量为x1?y,x2?y,...,xn?y(n?1)，故上式可化为

x1?x??23x2?x????

n?1?xnx?xn??ax?ax?...?ax??u0112n?1n0y?x再将上式写成向量-矩阵形式，并画出状态变量图。 （2）系统输入两种含有倒数项。（m=n）

??ay?buy(n)?an?1y(n?1)?an?2y(n?2)?...?a1yn0(n)?bun?1(n?1)??bu?...?bu01

可按下列规则选择状态变量，设

?x?y?hu?10??x?x?hu;i?2,3,...,n?ii?1i?1?

各h值可按如下选取

2

h?bn0h?b?ah1n?1n?10h?b?ah?ah2?2n?11n?20?hn?1?b?ah?ah?...?ahn?1n?2n?2n?310

?记hn?b0?an?1hn?1?an?2h?2?...?ah?a0h0故xn??a0x1?a1x2?...?an?2xn?1?an?1xn?hnu

将上面微分方程写成向量-矩阵形式的动态方程。 （3）系统输入两种含有倒数项。（m

xn?y?x?x?ay?bu;i?1,2,...,niiii?1???1???

?1??a0xn?b0ux

将微分方程式列写为向量-矩阵形式的动态方程。 2、由系统传递函数建立状态空间表达式方法

nn?1?bsn?2?...?bs?bY(s)bns?bn?1sn?210G(s)??nn?1n?2U(s)s?as?as?...?as?an?1n?210

应用综合法有

G(s)?bn?其中系数由综合除法得到为

?0?b0?a0bn?1?b1?a1bn...?n?1snn?1??n?2sn?2?...??1s??0?...?a1s?a0s?an?1sn?1?an?2sn?2=bn?N(s)D(s)

?n?2?bn?2?an?2bn?n?1?bn?1?an?1bn下面介绍几种由

N(s)D(s)导出几种标准形式动态方程的方法。

N(s)D(s)（1） N(s)\\D(s)串联分解的情况。将分解为俩部分相串联，取Z为中间

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变量，z,y应满足

z(n)?an?1z(n?1).?...?a1z?a0z?u.

y??n?1z.(n?1)?...??1z??0z(n?1)..选取状态变量x1?z,x2?z,x3?z,...,xn?z.，列写出状态方程和输出方

cxy程，其向量-矩阵形式的动态方程为 x?Ax?b,u?式中

?0?0?A??:??0??a?010:0?a101:0?a2............??0????00???:?,b??:?,c???0???1??0???an?1??1???0?1...?n?1?

上式中A阵又称友矩阵，若状态方程中的A,b具有这种形式，则称为可控标准型，画出状态变量图。

（2）N(s)\\D(s)只含单实极点时的情况。

设D(s)可分解为

D(s)?(s??1)(s??2)...(s??n)

式中?1,...?n为系统的单实极点，则传递函数可展成部分分式之和

Y(s)U(s)?N(s)D(s)nn??i?1cis??i

?N(s)?(s??i)?|s??i,且有Y(s)?而ci???D(s)??i?1cis??iU(s)

令状态变量 Xi(s)?1s??iU(s);Xi(s)?或

cis??iU(s);i?1,2,...,n

再进行拉氏反变换即可得到状态空间表达式， （3）N(s)\\D(s)只含重实极点时的情况。

D(s)?(s??1)(s??4)...(s??n)

3传递函数可展成下列部分分式和

4

Y(s)U(s)?N(s)D(s)?c11(s??1)3?c12(s??1)2?c13s??1n??i?4cis??i

其状态变量的选取方法与只单实极点时相同。 3、举例 各种方法的应用

小结： （1）由系统微分方程建立状态空间表达式方法。 （2）由系统传递函数建立状态空间表达式方法。 作业：9-11

9-3系统的传递函数矩阵

一、教学目的和要求

掌握变量之间的传递关系。 二、重点

系统的传递函数矩阵 三、教学内容： 1、齐次状态方程的解

状态方程 x(t)?Ax( t) （9-36） （1）幂级数法

设状态方程（9-36）的解是t的向量幂级数

x(t)?b0?b1t?b2t?...?bkt?...

2k.其中

b1?Ab0b2?12161k!Ab0Ab0

32 b3?:bk?Ab012At?...?22k 且x(0)?b0,故 x(t)?(I?At?（2）拉普拉斯变换法

1k!At?...)x(0)?ex(0)

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