抛物线专题复习讲义及练习 （解析版）doc

抛物线专题复习讲义及练习

1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质 (p?0)：

标准方程 图形 y2?2px ▲y2??2px ▲x2?2py ▲x2??2py ▲yyyyxOxOxOxO 焦点 F(x??p,0) 2p 2F(?x?p,0) 2F(0,y??p) 2F(0,?y?p 2p) 2准线 p 2p 2范围 对称轴 顶点 离心率 x?0,y?R x?0,y?R x?R,y?0 x?R,y?0 x轴 （0，0） y轴 e?1 2.抛物线的焦半径、焦点弦 ①y2?2px(p?0)的焦半径PF?x?P;x2?2py(p?0)的焦半径PF?y?P；

22② 过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p.

2p2③ AB为抛物线y2?2px的焦点弦，则xAxB? ，yAyB??p，|AB|=xA?xB?p

4?x?2pt2?x?2pt3. y?2px的参数方程为?（t为参数），x2?2py的参数方程为?（t为参数）. 2?y?2pt?y?2pt2考点1 抛物线的定义

题型 利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换

[例1 ]已知点P在抛物线y= 4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值为

【解题思路】将点P到焦点的距离转化为点P到准线的距离

[解析]过点P作准线的垂线l交准线于点R，由抛物线的定义知，PQ?PF?PQ?PR，当P点为抛物线与垂线

2

l的交点时，PQ?PR取得最小值，最小值为点Q到准线的距离 ,因准线方程为x=-1,故最小值为3

【名师指引】灵活利用抛物线的定义，就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换，一般来说,用定义问题都与焦半径问题相关 【新题导练】

1.已知抛物线y?2px(p?0)的焦点为F，点P，y1)，P2(x2，y2)，P，y3)在抛物线上，且|P1F|、1(x13(x3

1

2|P2F|、|P3F|成等差数列， 则有 （ ）

A．x1?x2?x3

B． y1?y2?y3

C．x1?x3?2x2 D. y1?y3?2y2 ［解析］C 由抛物线定义，2(x2?ppp)?(x1?)?(x3?),即：x1?x3?2x2． 2222. 已知点A(3,4),F是抛物线y2?8x的焦点,M是抛物线上的动点,当MA?MF最小时, M点坐标是 ( )

A. (0,0) B. (3,26) C. (2,4) D. (3,?26)

[解析] 设M到准线的距离为MK,则|MA|?MF|?MA?MK，当MA?MK最小时，M点坐标是(2,4)，选C

考点2 抛物线的标准方程 题型:求抛物线的标准方程

[例2 ] 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： (1)过点(-3,2) (2)焦点在直线x?2y?4?0上 【解题思路】以方程的观点看待问题，并注意开口方向的讨论. [解析] (1)设所求的抛物线的方程为y??2px或x?2py(p?0), ∵过点(-3,2) ∴4??2p(?3)或9?2p?2 ∴p?2229或p? 342 ∴抛物线方程为y??49x或x2?y, 3219,后者的准线方程为y?? 38前者的准线方程是x? (2)令x?0得y??2，令y?0得x?4，

∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2),当焦点为(4,0)时,p?4, 2p

?2 2

2 ∴p?8，此时抛物线方程y?16x;焦点为(0,-2)时

2 ∴p?4，此时抛物线方程x??8y.

∴所求抛物线方程为y?16x或x??8y,对应的准线方程分别是x??4,y?2. 【名师指引】对开口方向要特别小心，考虑问题要全面 【新题导练】

22 2

x2?y2?1的右焦点重合,则p的值 3.若抛物线y?2px的焦点与双曲线32[解析]

p?3?1?p?4 24. 对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：

①焦点在y轴上； ②焦点在x轴上；

③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； ④抛物线的通径的长为5；

⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）.

能使这抛物线方程为y=10x的条件是____________.（要求填写合适条件的序号） [解析] 用排除法，由抛物线方程y2=10x可排除①③④，从而②⑤满足条件.

5. 若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与Y轴的交点，A为抛物线上一点,且

2

|AM|?17,|AF|?3，求此抛物线的方程

[解析] 设点A'是点A在准线上的射影，则|AA'|?3，由勾股定理知|MA'|?22，点A的横坐标为(22,3?代入方程x2?2py得p?2或4，抛物线的方程x2?4y或x2?8y 考点3 抛物线的几何性质

题型：有关焦半径和焦点弦的计算与论证 [例3 ]设A、B为抛物线y2p)，2?2px上的点,且?AOB?90?(O为原点),则直线AB必过的定点坐标为__________.

【解题思路】由特殊入手，先探求定点位置

?y?kx2p2p) ［解析］设直线OA方程为y?kx,由?2解出A点坐标为(2,kk?y?2px1?y??xk(x?2pk2)?2,令y?0得x?2p，直k解出B点坐标为(2pk,?2pk)，直线AB方程为y?2pk???21?k?y2?2px?线AB必过的定点(2p,0)

【名师指引】（1）由于是填空题，可取两特殊直线AB, 求交点即可；（2）B点坐标可由A点坐标用?得。 【新题导练】

6. 若直线ax?y?1?0经过抛物线y?4x的焦点，则实数a? [解析]-1

7.过抛物线焦点F的直线与抛物线交于两点A、B,若A、B在抛物线准线上的射影为A1,B1,则?A1FB1?

( )

3

21换k而k A. 45 B. 60 C. 90 D. 120 [解析]C 基础巩固训练

1.过抛物线y2?4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于a2?2a?4(a?R)，则这样的直线（ ）

A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.1条或2条 D.不存在 [解析]C |AB|?xA?xB?p?a2?2a?5?(a?1)2?4?4，而通径的长为4．

2.在平面直角坐标系xOy中，若抛物线x2?4y上的点P到该抛物线焦点的距离为5，则点P的纵坐标为 （ ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

[解析] B 利用抛物线的定义，点P到准线y??1的距离为5，故点P的纵坐标为4． 3.两个正数a、b的等差中项是

????9，一个等比中项是25，且a?b,则抛物线y2?(b?a)x的焦点坐标为( ) 2A．(0,?) B．(0,) C．(?,0) D．(?,0) [解析] D. a?5,b?4,b?a??1

4. 如果P1，P2，?，P8是抛物线y?4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，?，x8，F是抛物线的焦点，若x1,x2,?,xn(n?N?)成等差数列且x1?x2???x9?45，则|P5F|=（ ）． A．5 B．6 C． 7 D．9

214141214?xi?[解析]B 根据抛物线的定义，可知PFip?xi?1（i?1，2，??，n），?x1,x2,?,xn(n?N?)成2等差数列且x1?x2???x9?45,x5?5,|P5F|=6

5、抛物线y?4x的焦点为F,准线为l，l与x轴相交于点E，过F且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AB⊥l，垂足为B，则四边形ABEF的面积等于（ ）

A．33

B．43 C．63 D．83

2[解析] C. 过A作x轴的垂线交x轴于点H，设A(m,n)，则AF?AB?m?1,FH?OH?OF?m?1，

?m?1?2(m?1)?m?3,n?23

四边形ABEF的面积=[2?(3?1)]?23?63

12?????????6、设O是坐标原点，F是抛物线y?4x的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x轴正向的夹角为60，则OA2为 ． [解析]21.

过A 作AD?x轴于D，令FD?m，则FA?2m即2?m?2m，解得m?2．

?A(3,23)?OA?32?(23)2?21

4

综合提高训练

7.在抛物线y?4x2上求一点，使该点到直线y?4x?5的距离为最短，求该点的坐标 [解析]解法1：设抛物线上的点P(x,4x2)，

1|4(x?)2?4|417|4x?4x?5|2??点P到直线的距离d?， 1717172当且仅当x?11（，1）时取等号，故所求的点为

22解法2：当平行于直线y?4x?5且与抛物线相切的直线与抛物线的公共点为所求，设该直线方程为y?4x?b，代入抛物线方程得4x?4x?b?0， 由??16?16b?0得b??1,x?2211（，1），故所求的点为

228. 已知抛物线C:y?ax（a为非零常数）的焦点为F，点P为抛物线c上一个动点，过点P且与抛物线c相切的直线记为l． （1）求F的坐标；

（2）当点P在何处时，点F到直线l的距离最小？ 解：（1）抛物线方程为x?故焦点F的坐标为(0,21y a1) 4a2（2）设P(x0,y0) 则 y0?ax0

?y'?2ax, ?在P点处抛物线（二次函数）的切线的斜率 k?2ax0

2直线l的方程是 y?ax0?2ax0(x?x0) 2即 2ax0x －y?ax0?0

0?? d?12?ax04a(2ax0)2?(?1)2?1124a2x0?1? . 4a4a当且仅当 x0?0 时上式取“＝” 此时P的坐标是(0,0) ?当P在(0,0)处时，焦点F到切线L的距离最小.

29. 设抛物线y?2px（p?0）的焦点为 F，经过点 F的直线交抛物线于A、B两点．点 C在抛物线的准线

上，且BC∥X轴．证明直线AC经过原点O．

2证明:因为抛物线y?2px（p?0）的焦点为F??p?,0?，所以经过点F的直线AB的方程可设为 ?2? x?my?p，代人抛物线方程得 25

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