第六章 第3节定积分在物理上的应用

第三节 定积分在物理上的应用一、变力沿直线所作的功 二、水压力

三、引力四、小结及作业

一、变力沿直线所作的功由物理学知道，如果物体在作直线运动的 过程中有一个不变的力F 作用在这物体上，且 这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在 物体移动了距离 s 时，力F 对物体所作的功为 W F s.如果物体在运动的过程中所受的力是变化 的，就不能直接使用此公式，而采用“微元法” 思想.

例1

把一个带 q 电量的点电荷放在 r 轴上坐

标原点处，它产生一个电场.这个电场对周围的电 荷有作用力.由物理学知道，如果一个单位正电荷 放在这个电场中距离原点为 r 的地方，那么电场

q 对它的作用力的大小为 F k 2 ( k 是常数) , r 当这个单位正电荷在电场中从 r a 处沿 r 轴移动到 r b 处时，计算电场力 F 对它所作的 功.

解 取 r 为积分变量，

q

r [a , b],

o

a r r dr b

1

r

kq 取任一小区间[r , r dr ], 功元素 dw 2 dr , r

kq 1 1 1 a r 2 dr kq r a kq a b . 如果要考虑将单位电荷移到无穷远处所求功为 w bb

w

a

kq kq 1 . dr kq 2 a r r a

例 2 一圆柱形蓄水池 高为 5 米，底半径为 3 米，池内盛满了水. 问要把池内的水全部 吸出，需作多少功？点击图片任意处播放\暂停

解 建立坐标系如图取x为积分变量， x [0,5]取任一小区间[ x , x dx ],

ox

x dx5

x

这一薄层水的重力为9.8 32 dx

ox

x dx5

功元素为 dw x 88.2 dx,

x

w 88.2 x dx0

5

x 88.2 3462 (千焦). 2 0

2 5

例3 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻 力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次 锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功 n 相等，问第 n次锤击时又将铁钉击入多少？ 解 设木板对铁钉的阻力为 f ( x ) kx , 第一次锤击时所作的功为 w1 01

k f ( x )dx , 2

设 n次击入的总深度为 h厘米

n次锤击所作的总功为

wh f ( x )dx.h 0

kh2 wh 0 kxdx , 2 依题意知，每次锤击所作的功相等.h

kh 2 k wh nw1 n , 2 2

n 次击入的总深度为 h n,第 n 次击入的深度为n n 1.

二、水压力由物理学知道，在水深为 h 处的压强为 p h ,这里 是水的比重.如果有一面积为 A 的平板水平地放置在水深为 h 处，那么，平 板一侧所受的水压力为 P p A .

如果平板垂直放置在水中，由于水深不同 的点处压强 p 不相等，平板一侧所受的水压力 就不能直接使用

此公式，而采用“微元法”思 想.

例 4 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水， R 设桶的底半径为 ，水的比重为 ，计算桶的一端面 上所受的压力.

解 在端面建立坐标系如图取x为积分变量，x [0, R]取任一小区间[ x , x dx ]ox

小矩形片上各处的压强近 似相等 p x , 小矩形片的面积为 2 R2 x 2 dx.

x dx

x

小矩形片的压力元素为 dF x 2 R 2 x 2 dx端面上所受的压力

F 2 x R x dx2 2 0

R

0

R

R x d(R x )2 2 2 2

2 3

R x2

2 3

2 3 3 R. 0

R

例5 将直角边各为 a 及 2a 的直角三角形薄板 垂直地浸人水中，斜边朝下，直角边的边长与 水面平行，且该边到水面的距离恰等于该边的 边长，求薄板所受的侧压力.

解 建立坐标系如图

2a

斜 边的 方程 y 2(a x ) :面积微元 2(a x )dx ,

oa

2a

dF ( x 2a) 2(a x)dx

x

F

a

0

7 3 2( x 2a)(a x) dx a . 3

三、引力由物理学知道，质量分别为m1 , m 2 相距为

m1 m 2 r 的两个质点间的引力的大小为F k , 2 r 其中k 为引力系数，引力的方向沿着两质点的连线方向.

如果要计算一根细棒对一个质点的引力， 那么，由于细棒上各点与该质点的距离是变化 的，且各点对该质点的引力方向也是变化的， 就不能用此公式计算.

例 6

有一长度为 l 、线密度为 的均匀细棒，

在其中垂线上距棒 a 单位处有一质量为 m 的 质点 M ,计算该棒对质点 M 的引力.

解 建立坐标系如图

l l 取y为积分变量 y , , y 2 2 o 取任一小区间[ y , y dy ]将典型小段近似看成质点 小段的质量为 dy ,

l y 2 y dy

r l 2

a M

x

yy dy

小段与质点的距离为 r a y , o2 2

y

r

a M

x

m dy 引力 F k 2 , 2 a y水平方向的分力元素 dFx k

am dy3 2

(a 2 y 2 ) l am dy 2km l 2 Fx l k 2 , 3 2 2 2 (a y ) a(4a 2 l 2 )1 2

,

由对称性知，引力在铅直方向分力为 Fy 0.

四、小结利用“微元法”思想求变力作功、 水压力和引力等物理问题.(注意熟悉相关的物理知识)

习题6 3 P291

6,8,10总习题六 P292

3, 6, 7

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