选修4-4坐标系与参数方程 - 知识点总结

涉县第一中学高二1级部数学理科 选修4-4知识点总结 总结人：李军波 魏军燕 张利梅

坐标系与参数方程 知识点

(一)坐标系

1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

?x???x设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换?:??y???y(??0)的作用下,点P(x,y)(??0)对应到点P?(x?,y?),称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.

2.极坐标系的概念

(1)极坐标系

如图所示,在平面内取一个定点O,叫做极点,自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.

注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标

系都是平面坐标系.

(2)极坐标

设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为?;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角?xOM叫做点M的极角,记为?.有序数对(?,?)叫做点M的极坐标,记作M(?,?).

一般地,不作特殊说明时,我们认为??0,?可取任意实数.

特别地,当点M在极点时,它的极坐标为(0, ?)(?∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.

如果规定??0,0???2?,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(?,?)表示;同时,极坐标

(?,?)表示的点也是唯一确定的.

3.极坐标和直角坐标的互化

(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:

(2)互化公式:设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐

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标是(?,?)(??0),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:

点M 直角坐标(x,y) 极坐标(?,?) 互化公式 ?x??cos? ?y??sin????2?x2?y2? ?y?tan??(x?0)x?在一般情况下,由tan?确定角时,可根据点M所在的象限最小正角.

4.常见曲线的极坐标方程

曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点,半径为r的圆 ??r(0???2?) 圆心为(r,0),半径为r的圆 ??2rcos?(??2????2) 圆心为(r,?2),半径为r的圆 ??2rsin?(0????) 圆心为(r,?2),半径为r的圆 ??2rsin?(0????) (1)???(??R)或?????(??R) 过极点,倾斜角为?的直线 过点(a,0),与极轴垂直的直线 过点(a,线

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(2)???(??0)和?????(??0) ?cos??a(??2????2) ?2),与极轴平行的直?sin??a(0????) 涉县第一中学高二1级部数学理科 选修4-4知识点总结 总结人：李军波 魏军燕 张利梅

注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(?,?),(?,2???),(??,???),(??,????),都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程???,点M(??,)可以表示为

44???5???,?2?或)(,??2或)(-,)等多种形式,其中,只有(,)的极坐标满足方程???. 444444445.圆与直线一般极坐标方程

(（1）圆的极坐标方程

??若圆的圆心为 M(?0,?0)，半径为r，求圆的极坐标方程。 设P(?,?)为圆上任意一点，由余弦定理，得 PM2 = OM2 +OP2 ?2OM·OPcos∠POM， 则圆的极坐标方程是：

O ρ θ0 P M ρ0 θ x 2r2??2??0?2?0?cos?? ??0?

（2）直线的极坐标方程

若直线l经过点M(?0,?0)，且极轴到此直线的角为α ，求直线l的极坐标方程。

设直线l上任意一点的坐标为P(ρ，θ)，由正弦定理，得：

OPOM

=

sin∠OMPsin∠OPM

整理得直线l的极坐标方程为

O ρ l P(ρ，θ) ρ0 θ0 θ M(ρ0，θ0) α x ?sin?? ??? ??0sin??0???

6、圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为(a?0)： ⑴??a ⑵??2acos? ⑶???2acos? ⑷??2asin? ⑸ ???2asin? ⑹??2acos(???)

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a?O?MM?xMx??O?aOxa图1??aMa?图2??2acos??图3???2acos?OxM??Mxa?a?(a,?)O

图4??2asin?图5???2asin?Ox图6??2acos(???)6、直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为： ⑴???0 ⑵?cos??a ⑶?cos???a ⑷?sin??a ⑸?sin???a ⑹??

acos(???)

??M（ ， ）M??0M?a?Ox?O图1???0aO图2??acos?图3???acos???M（ ， ）M?a??OMO?aaON(a,?)p图4asin?

??a???sin4 ?图5图6??acos(???)

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（二）、参数方程

1.参数方程的概念

一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数??x?f(t)①,并

y?g(t)?且对于t的每一个允许值,由方程组①所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.

2.参数方程和普通方程的互化

(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.

(2)如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系,例如x?f(t),把它代入普通方程,求出另一个变数与

?x?f(t)参数的关系y?g(t),那么?就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,yy?g(t)?的取值范围保持一致.

注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。

3．圆的参数

如图所示，设圆O的半径为r，点M从初始位置M0出发，按逆时针方向在圆O上作匀速圆周运动，设M(x,y)，则??x?rcos?(?为参数)。

?y?rsin?这就是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程，其中?的几何意义是OM0转过的角度。 圆心为(a,b)，半径为r的圆的普通方程是(x?a)?(y?b)?r， 它的参数方程为：?222?x?a?rcos?(?为参数)。

?y?b?rsin?4．椭圆的参数方程

以坐标原点O为中心，

?x?acos?x2y2①焦点在x轴上的椭圆的标准方程为2?2?1(a?b?0),其参数方程为?(?为参数)，

ab?y?bsin?其中参数?称为离心角；

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