第三章 流体动力学基础 4流体动力学基础

3 流体运动学基础

一、学习目的和任务

1.理解拉格朗日(Lagrange)方法和欧拉(Euler)方法的基本思想。 2.掌握流体动力学中的若干基本概念。

3.掌握流体运动的连续性方程的积分形式及其应用。

4.了解连续性方程的微分形式和圆柱坐标系、球面坐标系中的连续性方程。 5.了解流体微元的运动分析的基本方法，理解亥姆霍兹速度分解定理。 6. 理解流体微元运动的四种形式。

二、重点、难点

1.重点

欧拉(Euler)方法、连续性方程的积分形式、亥姆霍兹速度分解定理、微元运动的四种形式。 2.难点

连续性方程、亥姆霍兹速度分解定理。

流体运动学主要讨论流体的运动参数（例如速度和加速度）和运动描述等问题。运动是物体的存在形式，是物体的本质特征。流体的运动无时不在，百川归海、风起云涌是自然界流体运动的壮丽景色。而在工程实际中，很多领域都需要对流体运动规律进行分析和研究。因此，相对于流体静力学，流体运动学的研究具有更加深刻和广泛的意义。

3.1 描述流体运动的二种方法

为研究流体运动，首先需要建立描述流体运动的方法。从理论上说，有二种可行的方法：拉格朗日(Lagrange)方法和欧拉(Euler)方法。流体运动的各物理量如位移、速度、加速度等等称为流体的流动参数。对流体运动的描述就是要建立流动参数的数学模型，这个数学模型能反映流动参数随时间和空间的变化情况。拉格朗日方法是一种“质点跟踪”方法，即通过描述各质点的流动参数来描述整个流体的流动情况。欧拉方法则是一种“观察点”方法，通过分布于各处的观察点，记录流体质点通过这些观察点时的流动参数，同样可以描述整个流体的流动情况。下面分别介绍这二种方法。

3.1.1拉格朗日(Lagrange)方法

这是一种基于流体质点的描述方法。通过描述各质点的流动参数变化规律，来确定整个流体的变化规律。无数的质点运动组成流体运动，那么如何区分每个质点呢？区分各质点方法是根据它们的初始位置来判别。这是因为在初始时刻（t=t0）,每个质点所占的初始位置（a,b,c）各不相同，所以可以据此区别。这就像长跑运动员一样，在比赛前给他们编上号码，在任何时刻就不至于混淆身份了。当经过△t时间后，t= t0+△t，初始位置为a,b,c）的某质点到达了新的位置(x,y,z)，因此，拉格朗日方法需要跟踪质点的运动，以确定该质点的流动参数。拉格朗日方法在直角坐标系中位移的数学描述是：

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x?x(a,b,c,t)?? y?y(a,b,c,t)? （3－1）

z?z(a,b,c,t)??式中，初始坐标（a,b,c）与时间变量t无关，（a,b,c,t）称为拉格朗日变数。类似地，对任一

物理量N，都可以描述为：

N?N(a,b,c,t) （3－2）

显然，对于流体使用拉格朗日方法困难较大，不太合适。

3.1.2欧拉(Euler)方法

欧拉方法描述适应流体的运动特点，在流体力学上获得广泛的应用。欧拉方法利用了流场的概念。所谓流场，是指流动的空间充满了连续的流体质点，而这些质点的某些物理量的分布在整个流动空间，形成物理量的场，如速度场、加速度场、温度场等，这些场统称为流场。通过在流场中不同的空间位置(x,y,z)设立许多“观察点”，对流体的流动情况进行观察，来确定经过该观察点时流体质点的流动参数，得到物理量随时间的函数(x,y,z,t)，(x,y,z,t)称为欧拉变数。欧拉方法在直角坐标系中位置的数学描述是：

x?x(x,y,z,t)??y?y(x,y,z,t)? （3－3） z?z(x,y,z,t)??类似地，对任一物理量N，都可以描述为：

N?N(x,y,z,t) （3－4）

需要注意的是，“观察点”的空间位置(x,y,z)是固定的，当质点从一个观察点运动到另一个观

察点，质点的位移是时间t函数（同样地，其他物理量也是），只不过这种函数是用观察点和时间t为变量，即欧拉变数(x,y,z,t)表示出来的。因此，欧拉变数(x,y,z,t)中的x、y、z不是独立变量，它们也是t的函数，即有：

x?x(t)??y?y(t)? （3－5） z?z(t)??

欧拉方法对流场的表达式举例如下： 描述速度场的表达式：

v?v(a,b,c,t)，或写成分量形式： （3－6）

vx?vx(x,y,z,t)??vy?vy(x,y,z,t)? （3－7）

?vz?vz(x,y,z,t)?压强场的表达式：

p?p(x,y,z,t) （3－8）

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密度场的表达式：

???(x,y,z,t) （3－9）

温度场的表达式：

T?T(x,y,z,t) （3－10）

可以用河流上的水文站来理解欧拉方法。为测绘河流的水情，需要在河流沿线设立许多水文站，即水情观察点，综合各水文站的数据，即可知道整个河流的水文情况（如水位分布、流速分布等）。

如果将观察点的区域适当扩大，这样的观察点又称为控制体。与观察点一样，控制体的空间坐标和形状一经确定，即固定不变。控制体的表面称为控制面，流体质点经过控制面进出控制体。控制体是研究流体运动的常用方法。 3.1.3拉格朗日方法与欧拉方法的等价关系

上述二种方法的着眼点尽管不同，实质上它们是等价的。如果编号为（a,b,c）的质点，在t时刻正好到达空间位置(x,y,z)，则根据（3－1）和（3－3）有：

N?N(x,y,z,t)?N[x(a,b,c,t),y(a,b,c,t),z(a,b,c,t)]?N(a,b,c,t) （3－11）

因此，用一种方式描述的质点流动规律完全可以转化为另一种方式。本书中的描述主要是用欧拉方法。

3.2 流体动力学中的基本概念

为后面叙述方便，本节集中介绍流体动力学中经常使用的几个概念。

3.2.1定常场与非定常场

如果流场中的各物理量的分布与时间t无关，即：

?v?p???T????????0 （3－12） ?t?t?t?t则称为定常场或定常流动。定常场各物理量分布具有时间不变性。如果任何一个物理量分布

不具有时间不变性，则称为非定常场或非定常流动。

3.2.2均匀场与非均匀场

如果流场中的各物理量的分布与空间无关，即：

?v?v?v?p?p?p???????T?T?T???????????????0 （3－13） ?x?y?z?x?y?z?x?y?z?x?y?z则称为均匀场或均匀流动。均匀场各物理量分布具有空间不变性。如果任何一个物理量分布不具有空间不变性，则称为非均匀场或非均匀流动。

3.2.3质点导数

将式（3－4）对时间t求导，因其中的变量x、y、z又是t的复合函数，见式（3－5），故有：

dN?Ndx?Ndy?Ndz?N???? （3－14） dt?xdt?ydt?zdt?t

51

我们称上式为质点导数。

考虑到位移对时间的导数就是速度，即：

dxdydz＝vx,＝vy,＝vz （3－15） dtdtdt所以质点导数又可写成：

dN?N?N?N?N （3－16） ?vx?vy?vz?dt?x?y?z?t若令： ??i则（3－16）又可写成：

??? （3－17） ?j?k?x?y?zdN?N?（v??)N? （3－18） dt?t式中，?称为哈密顿（Hamilton）算子，是按照式（3－17）进行微分的记号。

分析式（3－18），知质点导数由二部分组成： （1）

?N：称为当地导数，反映是物理量随时间的变化率。在定常场中，各物理量均不随?t时间变化，故当地导数必为零。 （2）vx?N?N?N?vy?vz或称为迁移导数，反映是物理量随空间的变化率。（v??)N：?x?y?z在均匀场中，各物理量均不随空间变化，故迁移导数必为零。

下面以物理量速度v为例，进一步说明质点导数的物理意义。由式（3－18），速度v的质点导数为：

dv?v?（v??)v? （3－19） dt?t直角坐标系中，也可写成：

dvx?v?v?v?v?v??（v??)vx?x?vxx?vyx?vzx?x?dt?t?x?y?z?t?dvy?vy?vy?vy?vy?vy??（v??)vy??vx?vy?vz? ? （3－20）dt?t?x?y?z?t?dvz?v?v?v?v?v??（v??)vz?z?vxz?vyz?vzz?z?dt?t?x?y?z?t?

式（3－20）中，速度的质点导数就是质点的加速度，它同样由当地导数（当地加速度）和

?vx表示vx随时间t的变化率，?t?v即由时间引起的加速度。迁移导数是三项之和，其中的vxx表示由x方向位移引起的加

?x迁移导数（迁移加速度）组成。例如，在x向，当地导数

52

速度， vy?vx?vx表示由y方向位移引起的加速度，vz表示由z方向位移引起的加速度。

?z?y由此可见，在用欧拉方法描述流体运动时，质点加速度不再是

简单的速度对时间求导，还要包含位移引起加速度。图3－1所示装置可以说明质点加速度的概念。装在水箱中的水经过水箱底部的一段等径管路a及变径喷嘴段b，由喷嘴喷出。除速度和加速度外不考虑其他物理量，也不考虑管路截面上的流动，则流动方向只有沿管路s方向，v是经过管路的平均速度。在水位高h维持不变的条件下，管路a段的速度是匀速运动，

即速度与时间t和空间位置s无关，形成的流场是定常场和均匀场，因空间位置s改变引起的迁移加速度和因时间t引起的当地加速度都是零。管路b段的速度沿s逐渐加快，但不随时间t改变，因此形成的流场是定常场和非均匀场，因空间位置s改变引起的迁移加速度不为零，因时间t引起的当地加速度是零。依此，读者可以分析在水位高h持续下降的情况下，二段的迁移加速度和当地加速度的情况。

图3－1 当地加速度与

迁移加速度

3.2.4迹线与流线

3.2.4.1 迹线与流线的定义

迹线是流体质点运动轨迹线，是拉格朗日方法描述的几何基础，用此方法描述时，表达式就是式（3－1）。

流线是流场中假想的这样一条曲线：某一时刻，位于该曲线上的所有流体质点的运动方向都与这条曲线相切。可见，流线是欧拉方法描述的几何基础。同一时刻，流场中会有无数多条流线（流线簇）构成流动图景，称为流线谱或流谱。

虽然流线是假想的，但采用流场可视化技术仍然可以观察到流线的存在。比如，在流场中均匀投入适量的轻金属粉末，用合适的曝光时间拍摄照片，则许多依次首尾相连的短线就组成流场中的流线谱。如图3－2，流体通过二种不同的管中窄口处出现的流现形状。 图3－2流线谱中显示的流线形状

3.2.4.2 流线的作法

在流场中任取一点（如图3-3），绘出某时刻通过该点的流体质点的流速矢量v1，再画出距1点很近的2点在同一时刻通过该处的流体质点的流速矢量v2?，如此继续下去，得一折线1234 ?n，若各点无限接近，其极限就是某时刻的流线。 图3－3流线的作法 图3－4流线微分方程式

3.2.4.3 流线微分方程式

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参见图3－4，设流线上某质点A的瞬时速度为

v? vxi?vyj?vzk （3－21）

流线上微小线段长度的矢量为

ds? dxi?dyj?dzk （3－22）

根据流线定义，速度矢量v与流线矢量ds方向一致，矢量的×积为零，于是有

v?ds? 0 （3－23）

写成投影形式，得

dxdydzv??v xvyz

这就是最常用的流线微分方程式。 [例题3－1] 已知流场中质点的速度为

vx?kx?v??ky?y?

(y?0)

vz?0??试求流场中质点的加速度及流线方程。

解： 从vz?0和(y?0)知，流体运动只限于Oxy平面的上半部分，质点速度为

v?v2x?v2y?kx2?y2?kr

由（3－20）可以得质点加速度为

advx?x?vxdt?vx?x?k2x advy?vyy?dt?vy?y?k2y

az?0 a?a2x?a2y?k2x2?y2?k2r

从流线方程

dxkx?dy?ky 消去k，积分得

lnx??lny?lnC

即 xy?C

3－24） 54

（

图3－5双曲线型流线

作流线方程xy?C的曲线如图3－5所示，是一族双曲线，质点离原点越近，即r越小，其加速度与加速度均越小，在r＝0点处，速度与加速度均为零。流体力学上称速度为零的点为驻点（或滞止点），如图中O点即是。

在r→∞的无穷远处，质点速度与加速度均趋于无穷。流体力学上称速度趋于无穷的点为奇点。

驻点和奇点是流场中的两种极端情况，一般流场中不一定存在。

3.2.4.3 流线的性质

流线具有以下性质：

（1） 定常流动中流线形状不随时间变化，而且流体质点的迹线与流线重合。

定常流动时，质点经过空间各点的速度不随时间变化，因而形成的流线簇图景必然固定不变。现在解释迹线与流线重合的理由：见图3－3，如果有一质点在初始时刻的位置处于1点，因流线的切线方向是其运动的方向，在经过△t时间后，这个质点必然运动到相邻点2点。依次类推，质点必然沿流线运动，也就是说，迹线和流线场合。但是在非定常流动的情况下，流线的形状随时间而改变，迹线也没有固定的形状，两者不会重合。

（2） 在实际流场中，除了驻点和奇点以外，流线既不能相交，也不能突然转折。

如图3－6，若某时刻流场中存在两条相交流线l1和l2，则流经交点A处的质点此时刻有两种速度，一是l1的切线方向，另一是l2的切线方向，但是在牛顿力学中，在某一时刻，一个质点只可能以一种速度运动，故流线不可能相交。若流线在B点突然转折，因B点不存在切线，故流经B点的质点速度方向可以是任意方向，这显然也是不可能的。

图3－6流线不能相交或转折 图3－7飞行的子弹

如果流场中存在着奇点或驻点，则流线可以相交，这是一种例外。如图3－7，子弹在大气中飞行，在前缘尖处A，空气被子弹推动一起运动，形成驻点，此处流线相交。可解释为，驻点处的空气不可能被无限推动下去（这将导致空气被无限压缩），在某个时刻将发生流动，但向上还是向下（仅从平面上看），由偶然因素确定，这样就形成了相交的二条流线。在子弹的尾部，流线不能转折，因此形成涡流，涡流旋转的能量消耗了子弹运行的部分能量，即增大了子弹运行的阻力。为了减少流体对运动物体的阻力，需要把物体表面做成所谓的“流线型”，使其表面曲线符合流线的性质。

图3－8流管与流束

55

3.2.5 流管与流束

在流场中任意取出一个有流线从中通过的封闭曲线，如图3－8中的l，l上的所有流线围成一个封闭管状曲面，称为流管。流管内所包含的所有流体称为流束。当流管的横断面积无穷小时，所包含的流束称为元流，最小的元流就退化为一条流线。如果封闭曲线取在管道内壁周线上，则流束就是管道内部的全部流体，这种情况称为总流。 3.2.5过流断面、流量和净通量 3.2.5.1 过流截面

流管内与流线处处垂直的截面称为过流截面（或过流断面），过流截面可以是平面或曲面，如图3－9所示。 3.2.5.2 流量

单位时间内流过某过流截面的流体体积称为体积流量，也简单称为流量，如果流过的流体按质量计量，则称为质量流量。

图3－9过流截面

图3－10流量与净通量

选择用来计算流量的截面称为控制面。当控制面为过流截面时（不论是平面还是曲面），由于速度方向与面积垂直，所以流量的计算式如下： 在微元面积dA 上质点速度大小为v，则dA上流量为

dqv?vdA （3－25）

在当控制面是平面时

qv?vdA （3－26）

A?在当控制面是曲面时

qv???vdA （3－27）

A如果控制面不是过流截面时，需要将面积向过流截面上投影再计算流量。见图3－10，设面积矢量的法矢与质点速度方向的夹角为θ，则有dA上流量为

dqv?vdAcos??v?dA?v?ndA （3－28）

在当控制面是平面时

qv?v?dA＝v?ndA （3－29）

AA??在当控制面是曲面时

56

qv? ??v?dA???v?ndA （3－30）

AA

3.2.5.3 净通量

如果控制面取为封闭曲面，如图3－10所示，这时整个控制面上，有的面积是流体流入，同时，也有面积是流出。矢量的法矢与质点速度方向的夹角为θ，则dA上流量dqv可用式（3－28）表示。可见，当流出时，dqv ≥0，流入时，dqv <0，整个封闭控制面上的流量

qv???vdAcos(v,n)???v?dA???v?ndA （3－31）

AAA则qv称为封闭曲面上的体积净通量（简称净通量或净流量）。同理，质量净通量为

qm????v?ndA （3－32）

A净通量qv反映了微面积上流出、流入流量的代数和，若qv >0，表示流出大于流入，控制体内流体减少；qv <0，表示流出小于流入，控制体内流体增加；而qv ＝0，表示流出等于流入，控制体内流体质量不变。

3.2.6平均速度

流体在流场中流动，一般情况下空间各点的速度都不相同，而且速度分布规律函数 v =v(x, y, z)有时难以确定，即使在简单的等径管道中（见图3－11），由于粘性、摩擦、质点碰撞混杂等原因，速度分布规律也是不容易确定的。在工程实际中，有时也没有必要弄清楚精确的速度分布。为简化计算，可以用平均速度代替各点的瞬时速度。若通流截面的面积为A，流量为qv，则定义平均速度为

v?qv （3－33） A式中qv值可以通过测量获得。

如图3－11，从几何上看，以平均速度v为基准线，质点速度v超过v（v?v??v）的阴影面积和低于v（v?v??v）的白色面积应该正好相抵。原因如下：

因qv?vdA?(v??v)dA?vA??vdA

AAA???考虑到（3－32）,所以有

??vdA?0 （3－34）

A

因为一般情况下不会出现所有质点速度全都相同，故总有△v2>0，所以

图3－11平均速度

??vdA?0 （3－35）

A2利用分部积分和式（3－34），有

??3222 ?vdA?(?v)(?vdA)??v?vdA??vdAd(?v)?0 （3－36）???????AAA?A?

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式（3－34）、（3－35）和（3－36）在下面的动能修正系数和动量修正系数一节中将要用到。

3.2.7动能修正系数和动量修正系数 3.2.7.1 动能修正系数

单位时间内，若dA上通过的质点动能为

13?vdA,则通过通流截面A的流体质点总动能E 211?E???v3dA???(v??v)3dA??(v3?3v2?v?3v?v2??v3)dA

222AAA????3?32? v3A?1??vdA??vA （3－37）2???22?vAA?32?vdA?1，是用平均速度代替瞬时质点速度计算动能时所乘的一个系2?vAA式中，??1?数，称为动能修正系数。

3.2.7.2 动量修正系数

单位时间内，若dA上通过的质点动量为?v2dA,则通过通流截面A的流体质点总动M

??12? M???v2dA???(v??v)2dA???(v2?2v?v?v2)dA??v2A?1??vdA?v2A??AAAA?????v2A （3－38）

式中，??1?12?vdA?1，是用平均速度代替瞬时质点速度计算动量时所乘的一个2?vAA系数，称为动量修正系数。

动能修正系数?和动量修正系数?在后面章节中的伯努利方程和动量方程将要用到。具体取值与流态（流态的概念见第五章管中流动）有关：管中层流时取??2，??流时取??1.06?1，??1.02?1。

3.2.8三元流、二元流和一元流

除时间t外，如果流场中的流动参数依赖与空间的三个坐标，则称这样的流动为三元流动。流动参数依赖与空间的二个坐标，称为二元流动。流动参数依赖与空间的一个坐标（可以是曲线坐标），称为一元流动。

比较而言，一元流动的情形最为简单。因此，工程实际中，常常将流动问题简化为一元流动来解决。

4；管中湍33.3 流体运动的连续性方程

58

3.3.1积分形式的连续性方程

如图3－12，在流场中取任意形状的控制体，则有流线穿入或穿出该控制体。如前所述，控制体一经取定，其形状、大小和空间位置就不得再行改变。

图3－12流场中的控制体

现设控制体体积V，表面积A，控制体内含有的流体质量m用体积积分表示为

m?????dV

Vm随时间t的变化率记为

?m??????dV （3－39） ?t?tV根据质量守恒定律，m的变化必有原因。当控制体不变时，影响其内部流体质量增减的唯一因素就是通过表面A流入、流出的质量多少。在单位时间内，当流出大于流入时，m必减小，反之，则增加，且m增加或减少的质量就是流出与流入的质量之差。利用质量净通量概念可得等式

???v?ndA??A? ?dV （3－40）????tV或者写成

???v?ndA?A??dV?0 （3－41） ?t???V根据质量净通量的意义，

???v?ndA?0，表示A上流出质量大于流入质量，控制体V内

A质量减少，故

??dV?0，二者符号相反，反之亦然。 ?t???V式（3－41）就是质量守恒定律在运动流体中的数学表示，称为积分形式的连续性方程，简

称连续性方程或连续方程式。实际应用需要使用其简化形式，常用的简化形式有 （1）定常流动

在定常流动中，流场任何空间点处的密度不随时间改变，故微元的质量也不改变，进而整个控制体内的质量也不变，即

??dV?0，因此，式（3－41）简化为 ?t???V59

???v?ndA?0 （3－42）

A

上式的意义是：当定常流动时，在单位时间内，从控制体的表面A流出的质量与流入的质量相等。该式对可压缩的和不可压缩的流体都适用。 （2）不可压缩的流体流动

当流体是不可压缩时，流场中密度处处相等且为恒量，又考虑到控制体V不变，故

???dV??dV＝0 ????t????tVV因此，式（3－41）简化为

??v?ndA?0 （3－43）

A上式的意义是：当流体是不可压缩时，在单位时间内，从控制体的表面A流出的体积与流

入的体积相等。值得注意的是，该式对定常流动和非定常流动都适用。 （3）一元流动

如图3－13，当流体在流管l（工程实际中的管道可以视为流管）内流动，流体只能从过流断面A1流入，A2流出。在断面上取微元dA1－dA2，则微元内流动就是一元流动，在定常场中，其极限情形是流体沿流线流动。若将整个流管都视为一元流动，则式（3－42）可以写成

???v?ndA???v?ndA???v?ndA?0 （3－44）

21AA2A1这就是一元流动时的连续性方程。

在定常流场中，用平均流速代替真实流速，平均密度代替真实密度，上式简化成

图3－13一元流动

或

?2v2A2??1v1A1?0

?1v1A1??2v2A2 （3－45）

对既是定常场又不可压缩的流动，?1??2?C，故式（3－46）可以更简单地表示为

v1A1?v2A2 （3－46）

在工程实际中，被直接使用的公式多是式（3－46）。

*3.3.2微分形式的连续性方程

微分形式的连续性方程可以用二种方法导出：微元控制体分析法和有限控制体分析法，下面分别介绍。

3.3.2.1 微元控制体分析法

采用微元控制体分析法的前提是要求流场中流体物理量时时处处连续可微，对于不同的坐标系，还要求选定相适应的控制体形状。当采用直角坐标系时，选取控制体形状为立方体。

60

如图3－14，在t时刻的流场中，任选一点A(x, y, z)，以A为角点作一个立方体，各面都与相应的坐标面平行，三个边长分别为dx、dy和dz。设该时刻A点的速度为v = (vx, vy, xz)，密度为ρ，由于dx、dy和dz很小，可以认为交于A点的三个面上的速度和密度都和A点相同，而其他三个面上的速度和密度则由多元函数的泰勒展开式取一阶小量得到。例如，在x 方向上，平面ABCD上的速度为vx，平面EFGH上的速度则为vx??vxdx。 ?x?(?vx)dx]dydz。这样?x现在分析立方控制体内的质量的变化。先考察在x 方向，在t时刻，从平面ABCD流入控制体的质量为?vxdydz，平面EFGH上流出的质量则为[?vx?我们得到：单位时间内，在x 方向从控制体的净流出质量为

图3－14 立方型微元控制体

?(?vx)dxdydz ?x

同理，可以得到y、z 方向从控制体的净流出质量为

?(?vy)?y三者之和为

dxdydz和

?(?vz)dxdydz ?z??(?vx)?(?vy)?(?vz)? ????dxdydz （3－47）

?y?z???x与此同时，因为控制体的体积是不变的，控制体内流体质量的流失必然造成控制体密度的减

少，在单位时间内，由于密度减少使控制体内的质量减少了

???dxdydz （3－48） ?t负号表示增量的变化方向与式（3－47）相反，即流出质量为正号时，控制体内的质量增量为负。根据质量守恒定律，式（3－47）与式（3－48）应该相等，即

??(?vx)?(?vy)?(?vz)????dxdydz ＝??dxdydz???t?y?z???x

61

化简得

???(?vx)?(?vy)?(?vz) ????0 （3－49）

?t?x?y?z上式即为直角坐标系中微分形式的连续性方程，适用于可压缩流体的三元流动和非定常流

动。

若是定常流动，流场中各点的密度不随时间而变化，故（3－49）简化为

?(?vx)?(?vy)?(?vz)???0 （3－50） ?x?y?z若是不可压缩流体，密度为常数，故（3－49）又简化为

?vx?vy?vz ???0 （3－51）

?x?y?z

3.3.2.2 有限控制体分析法

利用高等数学中的基础知识对式（3－41）中的两项改写。 （1）将对面积的曲面积分积分，过程如下：

???v?ndA化为对坐标的曲面积分，利用奥－高公式再化为三重

AxyzA???v?ndA???(?vdydz??vdxdz??vdxdy)

A??(?vx)?(?vy)?(?vz)?????????dxdydz （3－52）

?x?y?z?V?（2）利用控制体与时间无关的特性，将化过程：

??dV中的积分、微分顺序颠倒，即有如下变????tV????????dV?dV?dV?dxdydz （3－53） ?????????????tV?t?t?tVVV由式（3－41、（3－52）和（3－53）得

????(?vx)?(?vy)?(?vz)??????dxdydz?0 ????t?x?y?z?V?因为控制体V是在流场中任取的，且被积函数处处连续，故要使上式成立，必然有被积函

数为零，即

???(?vx)?(?vy)?(?vz)????0 （3－54） ?t?x?y?z上式与式（3－49）完全相同。

62

*3.3.3 圆柱坐标系和球面坐标系中的连续性方程

在许多实际的流动问题中，运动物体可能是一种轴对称或球体，流场的边界可能是曲面或曲线，此时利用曲线坐标系更为方便，而圆柱坐标系和球坐标系是最常用的坐标系。为避免繁琐的推导，这里直接给出圆柱坐标系和球坐标系中的连续性方程。

3.3.3.1 圆柱坐标系

圆柱坐标系通常用坐标来表示，参见图3－15，易得它与直角坐标系（r,?,z）（x,y,z）的关系

r?x2?y2?x?rcos???y??y?rsin?? 或者 ??arctan? （3－55）

x??z?z?z?z??连续性方程为

?(?vr)?(?v?)?(?vz)?vr???????0 （3－56） ?rr???zr?t

图3－15 圆柱坐标系 3.3.3.1 圆柱坐标系

圆柱坐标系通常用坐标来表示，参见图3－16，易得它与直角坐标系（r,?,?）（x,y,z）的关系

图3－16 球坐标系

??r?x2?y2＋z2?x?rsin?cos???z?y?rsin?sin?? 或者 ??arccos ? （3－57）222x?y＋z??z?rcos???y???arctanz?

63

连续性方程为

??? (vrr2sin?)?(v?rsin?)?(rv?)?0 （3－58）

?r????

3.4 流体微元的运动分析

由理论力学知，刚体的运动只有两种基本运动形式：平移和旋转运动。对于流体，由于没有一定的形状，且不能承受剪切力，其运动要比刚体复杂的多。可以想像，除了具有平移和旋转二种运动形式之外，流体在运动过程中还要发生变形运动。本小节通过分析流体微元的运动，导出亥姆霍兹速度分解定理，分析流体的运动形式。

3.4.1 亥姆霍兹速度分解定理

为推导亥姆霍兹速度分解定理，仍采用流体微元法。如图3－17，在t时刻，从流场中任取取一个流体的微元A。设点A的空间坐标为r = (x, y, z)，运动速度为

VA= V (x, y, z, t)＝vx(x, y, z, t)i+ vy(x, y, z, t)j+ vz(x, y, z, t)k 同一时刻，在A的邻近处再取微元B，B点的坐标点矢径为r + δr = (x+δx, y+δy, z+δz)，运动速度为 VB= VB (x, y, z, t)＝V (x+δx, y+δy, z+δz, t)

当绝对值 |δr| 很小时，VB 取VA的一阶增量，即取A点

图3－17 球坐标系 速度的多元函数泰勒级数一阶展开式

VB?VA?其中

?V?V?V?x??y??z?VA??V （3－59） ?x?y?z?V?或

?V?V?V?x??y??z （3－60） ?x?y?z?vx?v?v??x?x?y?x?z??x?y?z??vy?vy?vy??vy??x??y??z? （3－61）

?x?y?z??vz?vz?vz??vz??x??y??z??x?y?z??vx? 64

写成矩阵形式

??vx??x??vx??????vy??vy????x??v???z??v?z???x

?vx?y?vy?y?vz?y?vx??z???x???vy????y （3－62） ?z?????z???vz????z??

显然，δV表示的是在t时刻，点B相对于点A的相对运动速度。

根据矩阵运算法则,可以把上式中的九个偏导数组成的的方阵分解为一个对称方阵和一个反对称方阵

??vx??x???vy??x??v?z???x

?vx?y?vy?y?vz?y?vx???vx??z???x??vy??1?vy?vx?(?)?z??2?x?y?vz????1(?vz??vx)?z????2?x?z?0??1?vy?vx???(?)2?x?y??1(?vz??vx)??2?x?z1?vx?vy(?)2?y?x?vy?y1?vz?vy(?)2?y?z1?vx?vy(?)2?y?x01?vz?vy(?)2?y?z1?vx?vz?(?)?2?z?x?1?vy?vx?(?) 2?x?y???vz???z?1?vx?vz?(?)?2?z?x?1?vy?vx?(?) （3－63） 2?x?y???0??为使上式简明，定义以下一些符号和量，令

?xx??v?vx?v, ?yy?y,?zz?z, ?x?z?y1?vx?vy?(?), 2?y?x1?vx?vz?),

2?z?x?xy??yx?xz??zx?(1?vy?vx?yz??zy?(?),

2?x?y1?v?vy?x?(z?),

2?y?z

65

1?v?v?y?(x?z),

2?z?x1?vy?vx?z?(?)

2?x?y上述各式代入（3－63）和（3－62），得：

?vx??xx?x??xy?y??xz?z??y?z??z?y??vy??yx?x??yy?y??yz?z??z?x??x?z? (3-64) ?vz??zx?x??zy?y??zz?z??z?y??y?x??

写成矢量式：

?V?E??r?Ω??r (3-65) 代入(3-59)：

?VB?VA?E??r?Ω??r (3-66)

其中

Ω??xi??yj??zk (3-67)

??xx?E???yx??zx??xy?xz???yy?yz? (3-68) ?zy?zz??这就是流体力学中的亥姆霍兹(Helmholtz)速度分解定理。关于定理的意义在下一节将进

行分析。

3.4.2 流体微元运动的四种形式 现在考察式(3-64)各项的意义。我们无需分析复杂的空间运动情况，而仅需分析一下平面流动就足以说明式(3-64)各项的意义。

图3－18 流体微元的平面运动

66

如图3－18，设流体ABCD只在xoy平面运动，若A点的速度为(vx,vy)，根据式（3－59），可得其他三点的速度并分别标在图上。

由于在t时刻A、B、C、D各点的速度不同，故经过Δt时刻后，ABCD矩形将变形为近似矩形A’B’C’D’。这个变形可以分解为四种单一运动的合成，即为平移、线变形、旋转和角变形运动的综合结果，这四种运动如图3－19所示。事实上，亥姆霍兹速度分解定理正是将流体的运动分解为这四种运动。

图3－19 流体微元的四种运动形式

因为vz?0,?z?0，故(3-64)可以简化为：

?vx??xx?x??xy?y??z?y???vy??yx?x??yy?y??z?x??? (3-69)

当A(x,y)点运动到A’ (x+δx, y+δy)点后，A’的速度可以表示为

vx'?vx??xx?x??xy?y??z?y??? (3-70)

vy'?vy??yx?x??yy?y??z?x??此式包含了(3-64)中所涉及的各种符号，所以完全可以分析亥姆霍兹(Helmholtz)速度分解定

理中各项的含义，下面分析其中包含的四种运动。

67

3.4.2.1 平移运动

当式（3－70）中

?xx??xy??z?0??? (3-71)

?yx??yy??z?0??

vx'?vx?则有 ? (3-72)

vy'?vy?上式表明，微元运动从A运动到C时，包含有平移运动。若流体对象ABCD做平移运动，则保持形状不变，如图3－19所示，ABCD做平移运动到A’B’C’D’。 vx、vy称为平移速度。

3.4.2.2线变形运动

若在流动中，只有x方向的速度vx以及

?vx?0，则在时间经过Δt后，运动的流体微?x元只有AB边在x方向发生了相对变化，如图3－20，其相对变化率就是线变形率，为

图3－20 线变形运动分析

A'B'?ABBB'?AA'??AB??tAB??t上式表明：?xx?(vx??vx?vx?x)?t?vx?t?x??t?v?x??x?x??xx (3-73)

?x??t?x??t?x?vy?vx表示的是运动流体沿x方向的线变形率。同理可知，?yy?表示?x?y?vz,表示的是运动流体沿z方向的线变形率。可?z的是运动流体沿y方向的线变形率，?zz?以推论，微元在空间的体膨胀率应为

??

?vx?vy?vz????xx??yy??zz (3-74) ?x?y?z68

当流体是不可压缩时，上式显然为0，即

??

3.4.2.3角变形运动

?vx?vy?vz????xx??yy??zz?0 (3-75) ?x?y?z 若在流动中只有x、y方向上的速度vx、vy且

?vy?vx?0，则在xoy平面上流体微元将?0、

?y?x发生如图3－21的角变形，在t时刻，A点处为直角，到t+Δt时刻，A点移动到A’点，角度变成了锐角，角减少量为?????，在Δt很小时，?? 和??也很小，因而有

图3－21 角变形与旋转运动

???tan(?)??vy?x?x?t/?x??vy?x??t???tan(?)??vx?v?y?t/?y?x??t ?y?y定义单位时间内在xoy平面上角度的平均减小量为运动流体在xoy平面上的角变形速率，即

剪切应变率：

11?vx?vylim(?????)/?t?(?)??xy??yx (3-76) ?t?022?y?x同理可得 ?xz??zx?1?vx?vz(?)表示流体在xoz平面上的剪切应变率，2?z?x?yz??zy?(1?vy?vz?)表示流体在yoz平面上的剪切应变率。

2?z?y这就是说，式(3-68)的E中，对角线上以外的其他6个分量分别表示了在各坐标平面上

的剪切应变率。

3.4.2.4旋转运动分析

?vy?vx?0，流体微元除发生上述?0、当流动中只有x、y方向上的速度vx、vy且

?y?x的角变形外，还将发生旋转运动。参见图3－21，在t时刻的对角线AC，到t+Δt时刻旋转

到了A’C’位置。

????????45?，以逆时针方向为正，则流体微元在Δt时间的转角为：由于?x??y，

69

A’B’C’D’近似为菱形，则有 2????????90?，从而有

???(?????)/2?(定义转动角速度分量?z为

?vy?x??vx)?t/2 ?y1?vy?vx?z?lim??/?t?(?)

?t?02?x?y可知角速度分量?z表示了流体微元以为瞬心，绕平行于z轴旋转的平均角速度。 （x,y,z）同理，角速度分量?y表示了流体微元以为瞬心，绕平行于y轴旋转的平均角速度, （x,y,z）为瞬心，绕平行于x轴旋转的平均角速度。当流场中处处有 （x,y,z）?x表示了流体微元以

?x??y??z?0 (3-77)

时，我们称这样的流场处处无旋，相应的流动为无旋流动，反之，称为有旋流动。

综上所述可知，流体微元上任一点的运动可以表示为平移、线变形、角变形和旋转四种运动的叠加。亥姆霍兹定理的主要贡献正是在于找出了这几种运动的数学表达式，而且物理清晰明确。

第三章 小 结

1.描述流体运动有二种可行的方法：拉格朗日(Lagrange)方法和欧拉(Euler)方法。拉格朗日方法是一种“质点跟踪”方法，即通过描述各质点的流动参数来描述整个流体的流动情况。欧拉方法则是一种“观察点”方法，通过分布于各处的观察点，记录流体质点通过这些观察点时的流动参数，同样可以描述整个流体的流动情况。述二种方法的着眼点尽管不同，实质上它们是等价的。但是，欧拉方法更适合于描述流体运动。

2.流体动力学中经常使用的几个概念：定常场与非定常场、均匀场与非均匀场、质点导数、迹线与流线、流管与流束、过流断面、流量、净通量、平均速度、动能修正系数、动量修正系数、三元流、二元流和一元流。

3. 积分形式的连续性方程就是质量守恒定律在运动流体中的数学表示。定常场、不可压缩的一元流动连续性方程v1A1?v2A2在工程实际中被直接使用。

4. 微分形式的连续性方程可以用二种方法导出：微元控制体分析法和有限控制体分析法。

5.圆柱坐标系和球坐标系中的连续性方程有时在工程实际中也能被用到。

6.亥姆霍兹速度分解定理将复杂的流体运动分解为四种运动：即平移、线变形、旋转和角变形运动，给出了这几种运动的数学表达式，而且物理意义清晰明确。

思考与练习

70

3-1 什么是描述流体运动的拉格朗日方法和欧拉方法？ 3-2 为什么说拉格朗日方法和欧拉方法是等价的？ 3-3 什么是定常场？什么是均匀场？

3-4 质点导数的当地导数和迁移导数各有什么物理意义？ 3-5 迹线与流线有何区别与联系？迹线有哪些性质？ 3-6 如果控制面不是过流截面，怎样计算流量？ 3-7 流量与净通量有何区别与联系？

3-8 什么是平均速度？管道内是否存在着以平均速度流动的流体质点？ 3-9 为什么需要动能修正系数和动量修正系数？

3-10既是定常场又是均匀场的一元流动连续性方程如何表示？ 3-11亥姆霍兹(Helmholtz)速度分解定理的物理意义是什么？ 3-12流体运动可以分解为哪四种运动？ 3-13什么是有旋运动？什么是无旋运动

3-14 已知流体的速度分布为ux?1?y；uy?t，求t=1时过（0,0）点的流线及t=0时位于（0,0）点的质点轨迹。

3-15 给出流速场为u?(6?x2y?t2)i?(xy2?10t)j?25k，求空间点（3,0,2）在t=1时的加速度。

3-16 已知流场的速度为ux?2kx，uy?2ky，uz??4kz，式中k为常数。试求通过（1，0，1）点的流线方程。

3-17已知流场的速度为ux?1?At，uy?2x，试确定t=to时通过（xo,yo）点的流线方程。A为常数。

3-18 试证明下列不可压缩流体运动中，哪些满足连续方程，哪些不满足连续方程？

（1）ux??ky，uy?kx，uz?0。 （2）ux?????x?y，，uz?0。 u?yx2?y2x2?y2（3）ur?k/r（k是不为零的常数），u??0。 （4）ur?0，u??k/r（k是不为零的常数）。

223-19 已知ux?x2y?y2，uy?x?yx，试求此流场中在x?1，y?2点处的线变

率、角变率和角转速。

3-20 三元不可压缩流场中，已知

ux?x2?y2z3uy??(xy?yz?zx)

71

且已知z=0，处 uz?0，试求流场中的uz的表达式。

3-21已知圆管过流断面上的速度分布为u?umax[1?(r2)]，umax为管轴处最大流速，r0r0为圆管半径，r为某点距管轴的径距。试求断面平均速度u。

CABD

题3.22图

3-22 管路AB在B点分为两支，已知dA=45cm，dB=30cm，dC=20cm，dD=15cm，

vA=2m/s，vC=4m/s，试求vB，vD。

3-23送风管的断面面积为50cm×50cm，求通过a,b,c,d四个送风口向室内输送空气。已知送风口断面面积为40cm×40cm，气体平均速度为5m/s，试求通过送风管过流断面1-1、2-2、3-3的流速和流量。

123Q0a1b2c3dQQQQ

题3.23图

3-24 平行平板间AA断面上的速度分布为

102y2v?(y?)

aaa为断面高度，垂直于纸面宽度为1单位。试求断面上的平均速度。

题3.24图

72

4 流体动力学基础

一、学习目的和任务

1.掌握欧拉运动微分方程的推导及应用范围。 2.理解纳维－斯托克斯方程及应用范围。

3.了解理想流体元流的伯努利方程和总流上的伯努利方程的推导过程，学会解题步骤，熟练掌握其在工程实际中的应用。 4.掌握气体总流伯努利方程的应用。

5.理解动量方程的推导过程，掌握动量方程在工程实际中的应用。

二、重点、难点

1.重点

伯努利方程及其应用，动量方程及其应用。 2.难点

纳维－斯托克斯方程、伯努利方程的应用、动量方程的应用。

流体动力学是研究流体的机械运动规律，其理论基础除了能量守恒定律、质量守恒定律和动量守恒定律等基本定律外，还有牛顿的经典力学定律。流体流动的本质原因是受到了内部或流体容器壁的作用力。流体在静止和流动时的力学特点有很大的区别。静止时流体内部不受切向力，流体的粘性也不能表现出来。而当流体流动时，情况则变得很复杂。流体的受力既可以是正压力，也可以是切向力，流体内部的内摩擦力也不能忽视。而且，流体没有一定的形状，运动的形式非常复杂，在大多数情况只能近似描述。

本章将从流体动力学最基本的概念介绍开始，重点学习流体动力学基础中最重要的几个定理和公式：欧拉运动微分方程、纳维－斯托克斯方程、伯努利方程和动量定理，并给出这些定理和公式在工程上的一些应用实例。

4.1 欧拉运动微分方程

欧拉运动微分方程描述的是理想、不可压缩流体的速度（加速度）与受力关系，所以又称理想不可压缩流体运动微分方程。

自然界中存在的所有真实流体都具有粘性，但是流体力学的发展过程表明，如果任何情形下都考虑流体的粘性，那么，绝大多数的流体力学问题会因数学上的复杂性而难于求解，甚至无法求解。大量的理论分析和实验结果表明，一些流动情形下，忽略流体粘性的影响在工程上是可以接受的，这样使问题容易求解。

对理想流体，由于没有粘性的影响，所以流体只能承受法向应力。如图4－1，取长方体微元研究，在直角坐标下，微元的x、y、z三向长度分

（x,y,z）别为dx、dy、dz，中心点M处的速度、

压强和单位质量力分别为v、p、f，流体的密度为?，则沿x方向应用牛顿第二定律可得

图4－1 长方体微元x向受力分析

73

u2pd（)?dz?d()?0

2g?g积分得

pu2z???C (4-17)

?g2g式中C为常数。这就是著名的理想不可压缩流体伯努利方程，是瑞士科学家丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli）于1738年发表的。由于式(4-17)是在任意点导出的，故对流线上任意二点，都有下式成立

pupuz1?1?1?z2?2?2 (4-18)

?g2g?g2g当速度u为0时，上式就转化为平衡流体的流体静力学基本方程

22z?p?C ?g理想不可压缩流体伯努利方程的物理意义如下： z：代表单位重力流体的位能，或简称位置水头。

p：代表单位重力流体的压能，或简称压强水头。 ?gu2：代表单位重力流体的动能，也简称速度水头。 2g因为理想流体没有能量损失，理想不可压缩流体伯努利方程说明在理想流体中，流体的总机械能（位能、压能、动能）守恒。由此可见，伯努利方程式实质就是物理学能量守恒定律在流体力学上的具体体现。

4.3.2总流上的伯努利方程

公式(4-18)只是在一条流线上成立的方程式，而工程上常常需要的是求解总流（管道内）的问题。参见图3－13，A1、 A2分别是总流上的两个过流截面，平均速度分别是v1、v2，则在A1截面上，每一点的单位重力流体的平均动能都为

?1v122g，其中?1为动能修正系数。

考虑到穿过A1截面上的流线处处与A1垂直，因而在A1截面的方向上速度投影为零，也就是说，沿A1截面的方向流体是静止的，其上的每一点应该满足平衡流体的流体静力学基本方程

z?p?C ?g因此，截面上每一点的z?p都是相等的。故对A1截面有 ?g79

p?vz1?1?11?C

?g2g同理，对A2截面可得类似结论。综上所述，我们将(4-18)式扩为理想不可压缩流体总流伯努利方程

2p?v2z???C (4-19)

?g2g

或

p?vp?vz1?1?11?z2?2?22 (4-20)

?g2g?g2g

对真实流体，当流体在流动时，由于粘性的存在，由牛顿内摩擦定律可知，流体内部及流体与管壁之间必然存在着切应力，阻碍着流体的运动，做负功，消耗了一部分能量。因此，式(4-20)需要修正才能适合真实流体。设A1截面和A2截面之间消耗的能量以hf表示，修正后的公式是

22p?vp?vz1?1?11?z2?2?22?hf (4-21)

?g2g?g2g这就是真实不可压缩流体的总流伯努利方程（以后直接简称为流伯努利方程），它是流体力

学中极为重要的公式，在实际工程中有着广泛的应用。

4.3.3伯努利方程的应用

伯努利方程(4-21)与连续性方程（3－46）（有时也要与需要与流体静力学方程）联立，可以解决一元流动的断面流速和压强的计算问题。这在工程上有着重要的意义。应用伯努利方程应注意以下几点：

（1）要灵活运用伯努利方程。严格地讲，伯努利方程的是在定常流动、不可压缩和渐变流（质点流速变化缓慢）的条件下导出的，应用时也应满足这些条件。然而，无论是实际工程上的流动问题，还是自然界中的流动现象，都很少是严格满足这三个条件的。因此，为了能够实际应用伯努利方程，有必要将能量方程使用的条件适当放宽。例如，对于一些准定常问题、压缩性不明显的流体或某些急变流(质点流速变化很大)断面上，可以认为方程仍然是适用的。由此而产生的误差可以根据经验或试验数据数据加以修正，这样处理一般可以满足工程上的精度要求。

（2）方程的推导是在无能量输入或输出的情况下完成的，当所选取的列方程的两个断面间存在能量输入（例如中间有泵或风机）或输出（例如中间有马达或缸）时，只需要将输入的水头加在方程左端，或将输出的水头加在方程的右端即可。

（3）对合流或支流管路，方程仍然适用。例如，对图4－4的支流，仍然有方程

22p?vp?vz1?1?11?z2?2?22?hf12

?g2g?g2g和

22 80

p?vp?vz1?1?11?z3?3?33?hf13

?g2g?g2g成立。式中损耗hf12和hf13表示分别表示截面1到截面2的能量损失和截面1到截面3的能

量损失。伯努利方程在支流的情况下并没有改变形式，原因是伯努利方程表示的是单位重量的流体平均能量间的关系，而非截面之间的总能量的关系。同样，合流的情况也是如此。

22

图4－4 伯努利方程支流情况

（4）具体应用伯努利方程的步骤一般如下：

1. 分析流动现象：对照上述三条，确定问题是否可以应用伯努利方程。如果可以，再进

行下一步。 2. 选取截面：需要选取两个截面，这两个截面尽量包含已知条件和需要求解的未知变量。 3. 选取基准面和基准点：基准面是计算位置水头 z的参考面，基准点指压强水头p、位

置水头 z的取值点。理论上基准面和基准点的选取不影响计算结果，但恰当的选取将简化计算过程。一般的原则是：基准面尽量通过一个或二个基准点，而基准点尽量选在截面的形心上。

4. 列出方程，代入已知量求解。注意与连续性方程和静力学方程联解。 下面举例说明伯努利方程的应用。

[例题4－1] 皮托管(Pitot)是一种巧妙的流速测量装置。如图4－5，是用玻璃管弯成直角做成的皮托管测量明渠流速。玻璃管的开口正对着水流的流动方向，水流冲击使皮托管中水柱上升。水流速度不变时，水柱上升的高度也不变。设水柱至水面高h，皮托管浸入水中深度H，求所测流速v。

解：按照上述解题步骤。选两个过流截面，1截面在明渠上，紧靠皮托管入口处，2截面在皮托管内，也紧靠入口处，且基准点选在皮托管截面的形心上，两个截面基准点分别为1、2点，基准面通过基准点。列出伯努利方程如下

图4－5 皮托管明渠测速

81

p?vp?vz1?1?11?z2?2?22?hf

?g2g?g2g

式中：z1?z2?0,p1??gH,p2??g(H?h)，因为水流速度稳定时，管内液体静止，故

22v2?0，因1、2点很接近，有hf?0，对一般工程问题，我们可以取?2?1。将这些参数

代入，得：

v1?2gh (4-22)

这是皮托管的理论速度，由于在测量时引起液流扰乱，故要精确表示测量速度，还需要对（4

－22）加以修正

v1?cv2gh (4-23)

cv称为流速系数，一般可以取0.97～0.99。

从皮托管的伯努利方程容易得到下式

v1p?p11?2?[?g(H?h)??gH]?h (4-24) 2g?g?gv上式告诉我们：1表示的速度水头就是皮托管中的水位高h。因此，可以用皮托管来

2g显示速度水头。

用若干皮托管和测压管可以组成演示伯努利方程几何意义的实验仪器。如图4－6，测压管垂直于管道壁，因此，其水位高表示的是静水水头

22p（就是压强水头），速度水头则?g由皮托管显示。管道的中心线就是位置水头。沿管道方向不同点的位置水头、压强水头和速度水头都是变化的，但对理想流体来说，三者之和是常量，故总水头是一条水平线。对实际流体来说，则存在着水头损失hf，故总水头是逐渐下降的。

82

图4－6 伯努利方程几何意义

如果用皮托管测量管道内的流体速度，则需要与测压管联合使用，如图4－6所示，测压管内需要灌装不溶于待测流体（密度ρ）的另一种液体（密度ρ’），当管道内流体速度稳定时，测压管内液柱高h也不变，可以列出压力平衡式如下

p2?(H?h)?g?p1?H?g?h?'g

由此得

p2?p1?(?'??)hg

与明渠测速类似，可以列出伯努利方程并解得

图4－7 皮托管测量管道内流体速度

v1?2gp2?p1(?'??)?'???2ghg?2hg (4-25) ?g?g?

[例题4－2] 文丘里流量计是利用节流口前后压强差来测定流量的。如图4－8，d1为管道截面1处的直径，d2为节流口处的直径。上端的测压管液位差为h，管内流体的密度为ρ，试求出文丘里流量计的流量公式。

图4－8文丘里流量计

解：取截面1、2，再任取水平基准面，得截面1、2处的位置水头分别为z1、z2，设流体为不可压缩的理想流体，且动能系数α取1，可列出伯努利方程

pvpvz1?1?1?z2?2?2

?g2g?g2g

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22

写成分量式

?F ?F?Fxyz???qv(v2x?v1x)??qv(v2x?v1x)??????qv(v2y?v1y)??qv(v2y?v1y)? (4-37)

????qv(v2z?v1z)??qv(v2z?v1z)??式中，对一般的湍流情况，取动量修正系数β≈1。

为方便使用，必须对上式说明如下

（1）与式（4－35）相同，左端∑F是流体外接触壁作用在控制体上的所有外力的合力，如果要求外接触壁受到流体的作用力∑F’， 可以利用作用力与反作用力的关系求出，即∑F’= -∑F。

（2）关于力和速度的方向问题。当它们的方向与坐标方向一致时，取正；否则取负。式中的负号时固有的，与速度方向无关。 下面的例子应用了上述说明。

[例题4－4]水在直径为10cm地水平弯管中以5m/s地流速流动，如图所示，弯管前端地压强为0.1大气压，如不计水头损失，求水流对弯管地作用力。

解：在弯管上下游取界面1-1和2-2，并以此二截面及管壁为控制面。由于管路水平且截面积相等，根据伯努利方程，容易得到

p1?p2?9.807KPa

设弯管对水流作用力为R，则由动量方程，得

例4－4图 等径水平弯管俯视

Rx?p2A?p2Acos60???q(vcos60??v)??

Ry?p2Asin60???q(vcos60??0)?代入数据，得

??0.12?52(0.5?1)?44??

?3?3?Ry?9.807?0.12??1000??0.12?52?4242??Rx?9.807?(1?0.5)?1000?解得

??Rx??0.137kN??

Ry?0.237kN?作用力为R为

???? Ry0.237??arctg?arctg?60???Rx0.137?R?Rx?Ry?0.237kN22 89

水流对弯管的作用力 R’= －R

[例题4－5]自由射流的冲击力。从有压喷管或孔口射入大气的一股流束叫做自由射流。自由射流的特点是流束上的流体压强处处为大气压。自由射流的速度和射程可按伯努利方程计算，射流对挡板或叶片的冲击力则可按动量方程计算。

例4－5图自由射流的冲击力（俯视图）

如图4－5所示，假定速度为v、流量为qv的自由射流冲击到固定的二向曲面后，左右对称地分为两股，两股流量均为原流量之半。假定自由射流在同一水平面上，且到处均为大气压，按照伯努利方程可知，射流速度大小处处保持恒定，即都为v。假定取动量修正系数β≈1，如图虚线所示的控制体，按照动量方程（4－37）式，可得曲面作用在流体上的力为

?q?Fx???2vvcos??qvv???qvv(cos??1) (4-38)

?2?于是得射流对曲面得冲击力为

FRx??Fx??qvv(1?cos?) (4-39)

当??90?时，此时挡板为平面，冲击力为

FRx??qvv (4-40) 这种平面挡板在实际应用最常见。

当??180?时，即控制体的进、出速度相反，此时冲击力为

FRx?2?qvv (4-41) 这种反向曲面所受到的冲击力是平面挡板的两倍，获得冲击力最大，在冲击式水轮机上就是采用这种反向曲面作为其叶片形状的。不过为了回水方便，其反向角度并不是??180?，而是在160?～170?之间。

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第四章 小 结

1. 欧拉运动微分方程描述的是理想、不可压缩流体的速度（加速度）与受力关系，所以又称理想不可压缩流体运动微分方程。对理想流体，取长方体微元研究，在直角坐标下，沿x方向应用牛顿第二定律可得

dvx1?p ?fx?dt??x同理，可以分别得y、z方向的方程。欧拉运动微分方程是由瑞士著名科学家欧拉在1755年

提出的。

2.纳维－斯托克斯方程是考虑了流体的粘性，即针对真实流体而建立的运动微分方程。通过真实流体微元应力分析，应用广义牛顿粘性定律、牛顿第二定律推导得出。是由法国人纳维尔（Navier）和英国人斯托克斯（Stokes）先后独立提出，因此称为纳维－斯托克斯方程，简称N-S方程。与欧拉运动微分方程相比，N-S方程多了一项由粘性引起的因子，使方程变为二阶非线性偏微分方程组，求出其解析解的难度很大。N-S方程因求解难度大，不便于工程应用。

3.工程上应用最为广泛的是伯努利方程。又可分为理想不可压缩流体伯努利方程和总流上的伯努利方程。前者是在一条流线s导出的，为便于应用，必须扩为总流伯努利方程。

理想不可压缩流体总流伯努利方程没有考虑粘性影响。 对真实流体，当流体在流动时，由于粘性的存在，需要修正才能适合真实流体。所以在方程右端加hf表示由粘性引起的能量消耗。这样就得到了最为常用的真实流体总流伯努利方程

p?vp?vz1?1?11?z2?2?22?hf

?g2g?g2g4.熟练掌握伯努利方程的应用是本章学习内容的重中之重。要灵活运用伯努利方程。注

意当截面之间有能量输出（输入）、有合流或支流管路，方程仍然适用。学习时，对照本章例题，掌握具体应用伯努利方程的一般步骤。

5.伯努利方程适用于不可压缩液体，也适用流速不太大的气体。应用于气体时，习惯将方程式中的每一项表示成压强量纲的形式。这样使用更为方便。

6. 应用控制体法，将质点系的动量定理转化欧拉方法表示的动量方程式，适用于解决流体的受力问题。对于定常不可压缩的一元流动，可以导出简单的流体动量方程，求出流体所受的外力合力∑F。应用∑F’= -∑F求出外部物体（如容器壁）所受的流体作用力。

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22习 题

4－1潜水艇水平运动时，前舱皮托管汞U型管上读数为h =17cm，海水相对密度为1.026，皮托管流速系数Cv＝0.98，试求潜水艇航速v。

汞 Δhu

题4－1图 题4－2图

4－2 某一压力水管安有带水银比压计的皮托管，比压计水银面高差△h=2cm，求A点的流速u。

4－3 如 图 所 示， 水 流 过 长 直 圆 管 的 A、B 两 断 面， A 处 的 压 头 比 B 处 大 45m， 试 问：(1) 水 的 流 动 方 向？(2) 水 头 损 失 hf？ 设 流 体 不 可 压缩， 一 维 定 常 流，H=50m。（压 头 为 p / γ）。

4－4 水银压差计连接在水平放置的文丘里流量计上，如图。今测得其中水银高差h=80mm,已知D=10厘米，d=5厘米，文丘里流量计的流量系数Cq=0.98。问水通过流量计的实际流量为若干？

题4．3图 题4－4图

4－5 设用一附有水银压差计的文丘里管测定倾斜管内水流的流量。已知d1=0.10m，d2=0.05m，压差计读数h=0.04m，文丘里管流量系数Cq=0.98，试求流量qV。

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11d122d2h

汞

题4－6图 题4－5图

4－6 一 水 射 流 流 量 qv?60L/s， 以 速 度 v0?50m/s， 冲 击 一 固 定 叶 片， 射角 ? = 45 °， 试 求 水 作 用 于 叶 片 的 力。

4－7 消 防 队 员 将 水 龙 头 喷 嘴 转 至 某 一 角 度 ? 使 水 股 由 最 高 点 降 落 时 射 到 楼 墙 上 A 点， 该 点 高 出 地 平 面 H = 26 m， 喷 嘴 出 口 比 地 面 高 h = 1.5 m， 喷 嘴 出 口 流 速 v0 = 25 m / s， 忽 略 空 气 阻 力， 试 求 喷 嘴 出 口 距 边 墙 的 最 大 水 平 距 离 x （即 水 平 距 离 OC ）。

4－8 流 体 从 长 的 狭 缝 流 出， 冲 击 一 斜 放 的 光 滑 平 板， 如 图 所 示， 试 求 流 量 分 配 及 作 用 在 平 板 上 的 力 。（按 理 想 流 体 计），不 计 水 流 重 力， 已 知 v0 ，A0 ，? 。

题4－7图 题4－8图

4－9 如图所示,虹吸管将池中的水抽出。已知直径d1=10cm，管路末端喷嘴直径d2=5cm，a=3m，b=4.5m，管中充满水流并由喷嘴射入大气。忽略摩擦1、2、3、4点计示压强。

题4．9图

4－10 水流通过水平变截面直角弯管，已知进口dA=25cm，pA=180KPa，QA=0.12m3／s，出口dB=20cm，求水流对弯管壁的作用力。不计水头损失。

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4－11 流 量 qv?0.0015m/s 的 水 流 过 ??45 的 收 缩 弯 管（在 水 平

3

?面 内）， 弯 管 进 口 直 径 d1径 d2力？

?0.05m， 压 力 p1?4?104Nm2， 弯 管 出 口 直

?0.025m。 设 流 动 定 常， 无 摩 擦， 求 水 流 对 弯 管 壁 的 作 用

4－12 射流冲击一叶片如图所示，已知：d=10cm, v?v?21m/s,??1350,求当叶片固定不动时，叶片所受到的冲击力为多少？

题4．11图

12

题4．12图

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