双曲线的简单几何性质测试卷

典型例题一

x2y2??1共渐近线且过A23，例1 求与双曲线?3点的双曲线方程及离心率． 169??3x2y2??1的渐近线方程为：y??x 解法一：双曲线

4169x2y2（1）设所求双曲线方程为2?2?1

ab∵

3b3?，∴b?a ①

4a4∵A23，?3在双曲线上 ∴

??129?2?1 ② 2ab由①－②，得方程组无解

y2x2（2）设双曲线方程为2?2?1

ab4b3?，∴b?a ③

3a4912∵A23，?3在双曲线上，∴2?2?1 ④

ab922由③④得a?，b?4

4∵

??y2x25??1且离心率e? ∴所求双曲线方程为：9344x2y2x2y2??1共渐近线的双曲线方程为：??????0? 解法二：设与双曲线

169169∵点A23，?3在双曲线上，∴????1291??? 1694y2x2x2y21?1． ???，即?∴所求双曲线方程为：

9416944说明：（1）很显然，解法二优于解法一．

x2y2x2y2??1共渐近线的双曲线方程??????0?． （2）不难证明与双曲线

169169

一般地，在已知渐近线方程或与已知双曲线有相同渐近线的条件下，利用双曲线系方程

x2y2??????0?求双曲线方程较为方便．通常是根据题设中的另一条件确定参数?． a2b2（3）以上优美巧妙的解法，达到了化繁为易的目的．教学中，要引起重视．

典型例题二

例2 作方程y?1?x2的图象．

?1?x2?2分析：∵y?1?x??2??x?1?x?1?

?x?1?∴方程图象应该是圆x2?y2?1及双曲线x2?y2?1在x轴上方的图象．

说明：在根据方程作出相应图象时，应遵循：“如果曲线C的方程是f?x，y??0，那么点P?x0，y0?在曲线C上的充要条件是f?x0，y0??0”这一原则；另外，须注意方程变形的未知数的允许值可能会扩大，而原方程的曲线只能取原方程允许值范围内的那一部分．

典型例题三

例3 求以曲线2x?y?4x?10?0和y?2x?2的交点与原点的连线为渐近线，且实轴长为12的双曲线的标准方程．

分析：先求出渐近线方程，确定出其斜率，结合已知条件确定所求双曲线方程中的字母系数．

22??x?3?x?32?2x?y?4x?10?0解：∵?2，∴?或?，∴渐近线方程为y??x

3??y?2?y??2?y?2x?2222当焦点在x轴上时，由

b2?且a?6，得b?4． a3x2y2??1 ∴所求双曲线方程为

3616当焦点在y轴上时，由

a2?，且a?6，得b?9． b3

y2x2??1 ∴所求双曲线方程为

3681说明：（1）“定量”与“定位”是求双曲线标准方程的两个过程，解题过程中应准确把握．

（2）为避免上述的“定位”讨论，我们可以用有相同渐近线的双曲线系方程去解，请读者自行完成．

典型例题四

例4 已知双曲线的渐近线方程为3x?2y?0，两条准线间的距离为

1613，求双曲13线标准方程．

分析：可根据双曲线方程与渐近线方程的关系，设出双曲线方程，进而求出双曲线标准方程．

2x2y2??1???0? 解：∵双曲线渐近线方程为y??x，∴设双曲线方程为

34?9?22（1）若??0，则a?4?，b?9?

a2413813?1613∴准线方程为：x??，∴??4 ???，∴?c13131322（2）若??0，则a??9?，b??4?

64a29?13?18?13?1613???∴准线方程为：y??，∴，∴???

81c131313x2y29y281x2??1或??1 ∴所求双曲线方程为：

163664256说明：

（1）准确及进地应用有相同渐近线的双曲线系方程给我们的求解过程带来了方便． （2）通过待定系数法求出参数N．

典型例题五

，0?的双曲线，其实轴长与虚轴长之比为m，求双曲例5 中心在原点，一个焦点为F?1线标准方程．

?2m2?a?b?c?1a?2?x2y2??m?1

解：设双曲线的标准方程为2?2?1，则?2a，解得?ab?b2?1??m?2b?m2?1?222x2y2??1为所求双曲线的标准方程． ∴21m2m2?1m?1说明：以上方法是求双曲线标准方程的通用方法，注意其中的运算技巧．

典型例题六

例6 求中心在原点，对称轴为坐标轴经过点P?1，?3?且离心率为2的双曲线标准方程．

x2y21??3???1?k?0?，则?解：设所求双曲线方程为：?1，

kkkk219y2x2??1 ∴??1，∴k??8，∴所求双曲线方程为

kk88说明：

（1）以上巧妙简捷的设法是建立在一个事实的基础上的，即离心率e?等轴双曲线的充要条件，它的证明如下：

222设等轴双曲线x?y?m?m?0?，则a?b?m，∴c?a?b?2m

22222222是双曲线的

∴c?2m，∴e?c2m??2 am反之，如果一个双曲线的离心率e?∴

2．

c?2，∴c?2a，c2?2a2，∴a2?b2?2a2，∴a2?b2，a?b a∴双曲线是等轴双曲线

（2）还可以证明等轴双曲线的其他性质：两条渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项等．

典型例题七

1y2?1上求一点P，使PA?PF的例7 已知点A?3，0?，F?2，0?，在双曲线x?232值最小．

解：∵a?1，b?3，∴c?2，∴e?2 设点P到与焦点F?2，0?相应准线的距离为d则

PFd?2

11PF?d，∴PA?PF?PA?d 22至此，将问题转化成在双曲线上求一点P， 使P到定点A的距离与到准线距离和最小．

即到定点A的距离与准线距离和最小为直线PA垂直于准线时，

∴

解之得，点P??21?2??3，?．

??说明：灵活巧妙地运用双曲线的比值定义于解题中，将会带给我们意想不到的方便和简

单．教学中应着重培养学生灵活运用知识的能力．

典型例题八

x2y2例8 已知：M?x1，y1?是双曲线2?2?1上一点．求：点M到双曲线两焦点F1、

abF2的距离．

分析：利用双曲线的第二定义．

解：如图，设点M到相应焦点F1、F2的准线的距离为d1、

d2．

当M点在双曲线的右支上时，x1?a，且有

MF1d1?MF2d2?e

a2a2∴MF1?ed1?ex1??ex1?a，MF2?ed2?ex1??ex1?a

cc

当点M在双曲线的左支上时，x1??a，且有

MF1d1?MF2d2?e

a2a2∴MF1?ed1?ex1????ex1?a?，MF2?ed2?ex1????ex1?a?

cc说明：以上结论称为双曲线的焦点半径公式，它在解题过程中发挥着很大的优越性，可

使解题过程的运算量简化，从而得到避繁就简效果．例如：

x2y2???1的一支上有三个不同点A?x1，y1?、B2?x2，在双曲线6?、C?x3，y3?与焦1312点F1?0，5?的距离成等差数列，求y1?y3的值．

解：直接利用焦半径公式，得：AF1?ey1?a，BF1?6e?a，CF1?ey3?a ∴AF1?CF1?2BF1，∴e?y1?y3??2a?12e?2a，即y1?y3?12

注意：一般地，在涉及到双曲线上的点到焦点的距离问题，应用焦半径公式是一种简单快捷的方法．

典型例题九

例9 如图所示，已知梯形ABCD中，AB?2CD，点E满足AE??EC，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当

23???时，求双曲线离心率的取值范围． 34分析一：依题意，建立恰当的坐标系，并通过A、B、E的坐标及双曲线的方程求解．

解法一：以直线AB为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，则

CD?y轴，因双曲线过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性可知C、D关

于y轴对称．

设A??c，0?、C?，h?、E?x0，y0?，其中c?的高．

由AE??EC，即?x0?c，y0?????c?2??1AB为双曲线的半焦距，h是梯形2???2?c，y??h ?c??x0，h?y0?，得x0?01??2?1????2?cx2y2设双曲线方程为2??1，则离心率为e?．

aab2由点C、E在双曲线上，将C、E的坐标和e?c，代入双曲线方程得 a

?e2??4?2?e??4h2?2?1b222①

???2????h?????2?1②???1????1?bh2e2e2?1，将③代入②式中，整理得：?4?4???1?2? 由①得2?b44∴??1?323233????1??，又∵，∴，∴7?e?10 22e?2343e?24∴双曲线的离心率取值范围为

?7，10?．

分析二：建立直线AC方程，再与双曲线方程联立，借助一元二次方程根与系数关系解

题．

解法二：前面部分同解法一．

可求得直线AC方程为y?2h?x?c?，将其代入双曲线方程b2x2?a2y2?a2b2中，3c得9b2c2?4a2h2x2?8a2h2cx?4a2h2?9a2b2c2?0

????cc4a2h2?9a2b2c2又∵x0、为上述二次方程的两根，∴?x0? ① 2222224ah?9bc又∵C?，h?在双曲线上，∴4h?be?4 ②

???c?2??22?2?∵x0????2?c ③ 2???1????2?cca2?e2?4?b2?9a2b22将②③代入①中，得：??22?c 2222???1?2a?e?4?b?9ac∵e?c3，∴??1?2 ae?2以下同解法一

分析三：借助焦半径公式解题． ∵AE??EC，∴x0????2?c ① 2???1??a?ex0? ② ?c1??a?e?2∴

EACA??1??，由焦半径公式，得：

????2??c??a??e?2???1??????

将①代入②，得：

c1??a?e?2∵e?c3，∴??1?2 ae?2以下同解法一 说明：

（1）此题的关键是：弄清应设定几个量之间关系（如：c、h、?、e）．难点：如何自始至终保持思路清晰，有条不紊．

（2）比较以上三种方法不难发现：解法二虽思路简单自然，但由于采取了联立方程消元的思想，也就导致了解题过程的运算繁琐，这对于学生的计算能力要求是很高的，解法三因巧妙地运用了焦半径公式，使得求解过程变得简洁快捷，而且给人以一种心满意足的感觉，这表明善于记忆一些中间结果对我们的学习帮助很大．

典型例题十

x2y2例10 设双曲线2?2?1(0?a?b)的半焦距为c，直线l过(a,0)、(0,b)两点，

ab且原点到直线l的距离为

3c，求双曲线的离心率． 4分析：由两点式得直线l的方程，再由双曲线中a、b、c的关系及原点到直线l的距离建立等式，从而解出

c的值． a解：由l过两点(a,0)，(0,b)，得l的方程为bx?ay?ab?0．

由点到l的距离为

3ab3c，得?c．

2244a?ba22a2将b?c?a代入，平方后整理，得16(2)?16?2?3?0．

cc2231a22令2?x，则16x?16x?3?0．解得x?或x?．

44c而e?c，有e?a123．故e?或e?2．

3xca2?b2b2因0?a?b，故e???1?2?2，

aaa

所以应舍去e?23．故所求离心率e?2． 323．其原因是未注意到题设条件3说明：此题易得出错误答案：e?2或e?(0?a?b)，从而离心率e?2．而

23?2，故应舍去． 3典型例题十一

例11 根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程．

(1)过点P(3,?2)，离心率e?5． 2(2)已知双曲线的右准线为x?4，右焦点为F(10,0)，离心率e?2．

(3)F1、F2是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上一点，且?F1PF2?60?，

S?PF1F2?123，又离心率为2．

分析：(1)、(3)用待定系数法，(2)用定义法．

解：(1)依题意，双曲线的实轴可能在x轴上，也可能在y轴上，分别讨论如下．

x2y2如双曲线的实轴在x轴上，设2?2?1为所求．

abc255由e?，得2?． ①

a4292??1． ② 22ab122222又a?b?c，由①、②得a?1，b?． ③

4由点P(3,?2)在双曲线上，得

x2y2若双曲线的实轴在y轴上，设2?2?1为所求．

ab29c25222同理有2?，2?2?1，a?b?c．

a4ab解之，得b??217（不合，舍去）． 222∴双曲线的实轴只能在x轴上，所求双曲线方程为x?4y?1．

(2)设双曲线上任意一点P(x,y)，因为双曲线右准线x?4，右焦点F(10,0)，离心

率e?2，根据双曲线的第二定义，有

(x?10)2?y2?2，化简，得

x?43x2?y2?12x?36?0，

(x?2)2y2??1． 即

1648(x?2)2y2??1． ∴所求双曲线方程为

1648cx2y2(3)设双曲线方程为2?2?1，因F1F2?2c，而e??2，由双曲线的定义，得

aabPF1?PF2?2a?c．

由余弦定理，得

(2c)2?PF1?PF2?2PF1?PF2?cos?F1PF2

2?(PF?PF)?2PF121?PF2?(1?cos60?)，

22∴4c?c?PF1?PF2． 又S?PF1F2?221PF1?PF2sin60??123， 2∴PF1?PF2?48．

∴3c?48，c?16，得a?4，b?12．

2222x2y2??1． ∴所求双曲线的方程为

412说明：

对于本题(1)的解法，由于双曲线的焦点位置没有明确，若不分情况讨论，将会造成解法的片面性．

a2?4，得a2?40，对于题(2)，容易造成以下三种误解：误解一：由c?10，x?cx2y2??1． 则b?c?a?60．故所求双曲线方程为

4060222

误解二：由焦点坐标F(10,0)，知c?10．又e?222c?2，得a?5．故ax2y2?1． b?c?a?100?25?75．∴所求双曲线方程为?2575ca2?4，得a?8，c?16，则b2?c2?a2?192．故所求双误解三：由e??2，

acx2y2??1． 曲线方程为

64192这三种误解的错因都是按双曲线中心在原点得出结论，造成遗漏题条件，从而导致错误的结果．

题(3)虽属待定系数法，但要用到公式a2?b2?(a?b)2?2ab和双曲线的定义，以及正弦定理、余弦定理等知识，具有较强的综合性．若在其中某个环节上出现错误，将无法得出正确结果．

典型例题十二

y2x2??1的一支上有三个点A(x1,y1)、B(x2,6)、C(x3,y3)与焦例11 在双曲线

1213点F(0,5)的距离成等差数列．

(1)求y1?y3；

(2)求证线段AC的垂直平分线经过某个定点，并求出定点的坐标． 分析：利用双曲线的第二定义解(1)，利用点差法结合(1)的结果证(2)． 解：(1)依题意，得B在双曲线上支上，

故A、B、C三点都在双曲线上支上，且上准线的方程为y?12． 5AF、BF、CF成等差数列，根据双曲线的第二定义，得

212112112(6?)?(y1?)?(y3?)，故y1?y3?12． e5e5e5yxyx(2)由点A、C在双曲线上，故1?1?1，3?3?1．

12131213两式相减，得

2222(y1?y3)(y1?y3)(x1?x3)(x1?x3)??0．

1213∴

y1?y312(x1?x3)x1?x3??．

x1?x313(y1?y3)13

∴AC的垂直平分线的斜率为?13．

x1?x3又AC的中点坐标为(x1?x3,6)，故AC的垂直平分线方程为 2y?6??x?x13(x?13)

x1?x322525)． ，故AC的垂直平分线过定点(0,22当x?0时，y?说明：

1．本题属定值问题，存在的问题是一方面对定值的概念和求法弄不清楚，摸不出头绪；论另一方面不会运用式子的变换和曲线的定义．

2．关于定值问题，一般通过计算证明其值与曲线的点的位置无关，或与直线的斜率无关．为了证明的目的更明确，可通过特殊情况，求出一个常数，猜想出这个定值．不同的设法，可以得到不同的证法．

典型例题十三

x2y2例13 已知双曲线2?2?1的离心率e?1?2，左、右焦点分别为F1、F2，左

abP到l的距离d与PF2的等比准线为l，能否在双曲线的左支上找到一点P，使得PF1是

中项？

分析：因题设中出现双曲线上点与焦点的距离，故可考虑用双曲线的第二定义解题．

解：设在左半支上存在P点，使PF1?PF2?d，由双曲线的第二定义，知

2PF1d?PF2PF1?e，即PF2?ePF1． ①

再由双曲线的第一定义，得

PF2?PF1?2a． ②

由①、②，解得PF1?2a2ae，PF2?． e?1e?1在?PF1F2中，有PF1?PF2?2c，

2a2ae??2c． ③ e?1e?1c2利用e?，从③式得e?2e?1?0．

a∴

解得1?2?e?1?2．

由e?1，得1?e?1?2，与已知e?1?2矛盾．

∴符合条件的点P不存在． 说明：

(1)解答探索性命题，一般可先设点P存在，再利用已知条件探求．若得出矛盾，则说明P点不存在；否则，便得到P点的位置．

x2y22(2) 1?e?1?2是双曲线2?2?1左支上存在P点，使PF1?PF2?d成立的

ab充要条件．

典型例题十四

例14 直线y?kx?1与双曲线x2?y2?1的左支相交于A，B两点，设过点(?2,0)和AB中点的直线l在y轴上的截距为b，求b的取值范围．

分析：首先应写出直线l的方程，因此需求出AB的中点坐标，将直线y?kx?1与双曲线方程x2?y2?1联立，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理可得到AB中点的坐标表达式．

解：由方程组??y?kx?1,?x?y?1,22消去y得

(1?k2)x2?2kx?2?0． ①

设A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB中点的坐标为(x0,y0)． ∵直线y?kx?1与双曲线x?y?1的左支相交于A，B两点， ∴方程①有两个不大于-1的不等实根．

22???(?2k)2?8(1?k2)?0,??k22?0,令f(x)?(1?k)x?2kx?2，则? 2?1?k2?(1?k)?f(?1)?0,?解得1?k?2，

x2?x2k1?y?kx?1?，． 0021?k21?k2y?ox?2∴直线l的方程是 ?1k?0?2221?k1?kx0?

令x?0，得b?y?21． ??2k2?k?2?(k?1)2?17416∵1?k?2，

∴b?2?2或b?2．

说明：

(1)涉及直线与双曲线相交弦有关的参数范围的讨论问题，??0是必不可少的条件． (2)关于直线与双曲线的某一支的相交问题，不但要考虑??0，同时要考虑方程根的取

x2y2值范围，以下以双曲线2?2?1(a?0,b?0)为例作简单说明．

ab?直线方程?2?xy2?2?2?1?ab关于x的一元二次方程mx?nx?s?0．

2?m?0且??0,?①若直线与双曲线右支相交于不同两点，则其充要条件是?x1?x2?0,

?xx?0.?12?m?0且??0,?②若直线与双曲线左支相交于不同两点，则其充要条件是?x1?x2?0,

?xx?0.?12?m?0且??0,③若直线与双曲线不同两支交于两点，则其充要条件是?

xx?0.?12

典型例题十五

例15 已知l1，l2是过点P(?2,0)的两条互相垂直的直线，且l1，l2与双曲线

y2?x2?1各有A1，B1和A2，B2两个交点．

(1)求l1的斜率k1的取值范围； (2)若A1B1?5A2B2，求l1，l2的方程；

(3)若A1恰是双曲线的一个顶点，求A2B2的值．

分析：第(1)小题利用直线l1，l2与双曲线都有两个交点，从而可以转化为一元二次方

程有两个不等实根，判别式大于零，由此可以得到k1满足的不等式组；

第(2)小题利用弦长公式求k1，再由点斜式方程求出直线方程； 第(3)小题利用直线l1过A点求k1，再由弦长公式求A2B2．

解：(1)依题意，直线l1，l2的斜率都存在，设l1的方程为y?k1(x?2)(k1?0)直线l2的方程为y?k2(x?2)(k2?0)，且k1k2??1．

??y?k1(x?2),由方程组?消去y，整理得

22??y?x?1,222(k1?1)x2?22k1x?2k1?1?0 ①

若k1?1?0，则方程①只有一个解，即l与双曲线只有一个交点，与题设矛盾． 故k1?1?0，即k1?1．

∵直线l1与双曲线有两个不同交点，

∴?1?(22k1)2?4(k1?1)(2k1?1)?4(3k1?1)?0．

222222??y?k2(x?2),由方程组?消去y，整理得

22??y?x?1,222(k2?1)x2?22k2x?2k2?1?0 ②

同理k2?1?0，?2?4(3k2?1)?0．

22?3k12?1?0,?2?3k2?1?0,?所以l1，l2与双曲线各有两个交点，等价于?k1?1,

??k2?1,?kk??1,?12?3?k1?3,?解得?3

?k?1.?1∴k1?(?3,?1)?(?1,?33)?(,1)?(1,3)． 33

(2)设A1(x1,y1)，B1(x2,y2)；由方程①可得

22k2k?1． x1?x2?21，x1x2?12k1?1k1?1∴A1B12224(1?k1)(3k1?1)?(1?k1)(x1?x2)2? ③ 2(k1?1)2222同理，由方程②可得

A2B224(1?k2)(3k2?1)． ④ ?22(k2?1)1，代入④得 k12222∵k2??A2B224(1?k1)(3?k1)． ⑤ ?22(1?k1)由A1B1?5A2B2，得

A1B1?5A2B2．

将式③和式⑤代入得

224(1?k1)(3k1?1)(k1?1)2222?5?4(1?k1)(3?k1)(1?k1)2222．

解得k1??2．

当k1?2时，l1：y?2(x?2)，l2：y??2(x?2)； 22(x?2)． 2当k1??2时，l1：y??2(x?2)，l2：y?(3)双曲线y?x?1的顶点为(0,1)，(0,?1)． 取A1(0,1)时，有k1(0?2)?1，解得k1?将k2??2代入方程②得

2212，于是k2????2．

k12x2?42x?3?0．

设l2与双曲线的两个交点A2(x3,y3)，B2(x4,y4)，则

x3?x4??42，x3x4?3．

则A2B22?(1?k2)(x3?x4)2

2?(1?k2)[(x3?x4)2?4x3x4] ?3[(?42)2?4?3]?60．

∴A2B2?215．

当取A1(0,?1)时，由双曲线关于x轴对称，知A2B2?215．

说明：

(1)直线与曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式?，则有：

??0?直线与双曲线相交于两个点； ??0?直线与双曲线相交于一个点； ??0?直线与双曲线无交点．

若得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与双曲线相交于一个点，此时直线平行于双曲线的一条渐近线．

(2)直线l被双曲线截得的弦长AB?(1?k)(x1?x2)或(1?2221)(y1?y2)2，其中2kk是直线l的斜率，(x1,y1)，(x2,y2)是直线与双曲线的两个交点A，B的坐标，且

(x1?x2)2?(x1?x2)2?4x1x2，x1?x2，x1x2可由韦达定理整体给出．

典型例题十六

例16 已知双曲线的渐近线方程是3x?4y?0，3x?4y?0，求双曲线的离心率． 分析：由渐近线的斜率与a，b的关系得到a，c的关系，从而求出e．

x2y2解：(1)设双曲线方程为2?2?1(a?0,b?0)．

ab∵渐近线方程为3x?4y?0，3x?4y?0， ∴

b3?． a4bb2c2?a22又∵???e?1， 22aaa

∴e?1?253．∴e?．

44y2x2(2)设双曲线方程为2?2?1(a?0,b?0)．

ab∵渐近线方程为3x?4y?0，3x?4y?0，

a3?． b4b4522∵?e?1，∴e?1?，e?． a3355∴离心率e?或e?．

43∴说明：

x2y2(1)必须分两种情况求离心率，共渐近线的双曲线方程为：2?2??(??0)的形式，

ab它们的渐近线为y??bx． a(2)关于双曲线的渐近线，可作如下小结：

x2y2y2x2若知双曲线方程为2?2?1或2?2?1，则它们的渐近线方程只需将常数“1”

abab换成“0”，再写成直线方程的形式即可；

x2y2若知双曲线的两渐近线，先写成一个方程即2?2?0的形式，再设出双曲线方程

abx2y2???(??0)； a2b2离心率e?焦矩长；

实轴长若焦点在x轴上，渐近线斜率为虚轴长比实轴长；若焦点在y轴上，渐近线斜率为实轴长比虚轴长．

典型例题十七

例17 已知双曲线S的两条渐近线过坐标原点，且与以A(2,0)为圆心，1为半径的

'圆相切，双曲线S的一个顶点A和A关于直线y?x对称，设直线l过点A，斜率为k．

(1)求双曲线S的方程；

(2)当k?1时，在双曲线S的上支求点B，使其与直线l的距离为2；

(3)当0?k?1时，若双曲线S的上支上有且只有一个点B到直线l的距离为2，求斜率k的值及相应的点B的坐标．

分析：本题考查的内容多，其中有直线与圆相切，关于直线y?x的对称点，双曲线的性质，点到直线的距离等等，如果采取各个击破的办法，那么问题便能解决．

解：(1)由已知得双曲线的渐近线为y??x，

因而S为等轴双曲线，其中一个顶点为A'(0,2)，

y2x2??1． 所以双曲线S的方程为22(2)若B(x,x2?2)是双曲线S的上支上到直线l：y?x?2的距离为2的点，

?2，解得x?2，y?2．故B点坐标为(2,2)．

x?x2?2?2则

2(3)因为当0?k?1时，双曲线S的上支在直线l的上方，所以点B在直线l的上方．

设直线l与直线l：y?k(x?2)平行，两线间的距离为2，

直线l在直线l的上方，双曲线S的上支上有且只有一个点B到直线l的距离为2， 等价于直线l与双曲线S的上支有且只有一个公共点．

'''''设l的方程是y?kx?m，由l上的点A到l的距离为2，可知解得m?2(?k2?1?k)，其中m?2(?k2?1?k)舍去．

2k?mk?12?2，

由方程y?x?2及y?kx?m，消去y得，(k?1)x?2mkx?m?2?0． ∵k?1，∴??4(m2?2?2k2)?8k(3k?2k2?1)． 令??0．∵0?k?1，解得k?0，k?当k?0时，m?2，解得x?0，y?22222225． 52，∴点B的坐标为(0,2)．

当k?2510时，m?，解得x?22，y?10，∴点B的坐标为(22,10)． 55说明：若已知双曲线渐近线方程为px?qy?0，则共渐近线的双曲线方程为

x2y2?2??，其中?为不等于零的常数，另外要善于把问题转化，(3)便是把原题转化为2qp

l'：y?kx?m与双曲线S上支有且只有一个公共点问题．

典型例题十八

例18 如下图，给出定点A(a,0)(a?0)和直线l：x??1，B是直线l上的动点，

?BOA的角平分线交AB于C，求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的

关系．

分析：根据曲线的条件求轨迹方程，是解析几何的手段．要认真分析角平分线这一重要条件，分清主动点与从动点的关系，综合利用所学知识求出C点横坐标与纵坐标的关系．

解：依题意，记B(?1,b)，b?R，则直线OA与OB的方程分别为y?0和y??bx， 设C点坐标为(x,y)，则有0?x?a，

由OC平分?AOB，知点C到OA、OB距离相等，根据点到直线的距离公式， 得：y?y?bx1?b2 ①

依题设，点C在直线AB上，故有y??由x?a?0，得，b??2b(x?a)． 1?a(1?a)y ②

x?a2?(1?a)2y2??(1?a)xy??y?将②式代入①式，得y?1?2???． (x?a)x?a????整理得：y[(1?a)x?2ax?(1?a)y]?0，

22若y?0，则(1?a)x?2ax?(1?a)y?0．(0?x?a)

222若y?0，则b?0，?AOB??，点C的坐标为(0,0)，满足上式．

22综上，得点C的轨迹方程为：(1?a)x?2ax?(1?a)y?0(0?x?a) 2(1)当a?1时，轨迹方程化为y?x(0?x?1) ③

此时，方程③表示抛物线弧段

(2)当a?1时，轨迹方程为

a2)21?a?y?1，其中0?x?a ④

2a2a()1?a1?a2∴当0?a?1时，方程④表示椭圆弧段，当a?1时，方程④表示双曲线一支的弧段． (x?说明：本题求轨迹问题，要求考生有较高的能力和扎实的基本功，同时要求对问题考虑完整和有较强的运算能力．对字母系数a的讨论是高考重点考查的内容．

典型例题十九

例19 已知双曲线C的实轴在直线x?2上，由点A(?4,4)发出的三束光线射到x轴上的点P、Q及坐标原点O被x轴反射，反射线恰好分别通过双曲线的左、右焦点F1、F2和双曲线的中心M．若PQ?4，过右焦点的反射光线与右准线交点的纵坐标为线C的方程和入射光线AP、AQ所在直线的方程．

分析：光线反射的问题，实质上是寻找点关于直线的对称点的问题，而求双曲线方程，实质上是求双曲线中点M(h,k)与a、b的问题．

解：依题意，设双曲线中心为M(h,2)，又点A关于x轴的对称点为A(?4,?4)，所

'以直线AO的方程为y?x，与y?2联立，得h?2．

8，求双曲9'(x?2)2(y?2)2??1，焦点F1(2?c,2)，F2(2?c,2)，右准线设双曲线方程为

a2b26a2(x?4)， x?2?，从而A'F1的方程为：y?4?6?ccA'F2的方程为：y?4?6(x?4)． 6?c2c2c,0)，Q点坐标为(,0)，再由

33在上面两式中分别令y?0，则P点坐标为(?PQ?4，则c?3，∴P点坐标为(?2,0)，Q点坐标为(2,0)．

8106a210(x?4)中，令y?，得x??中，由c?3，在AF2：y?4?，在2?936?cc3'(x?2)2(y?2)2??1．直线AP的方程为得a?4，b?5，所以，所求双曲线方程为

4522

2x?y?4?0，直线AQ的方程为2x?3y?4?0．

说明：本题关键要掌握中心不在原点的双曲线的焦点坐标，准线方程的求法，通过逆向思维，求出x轴上的点P、Q的坐标，从而使问题迎刃而解．

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