1~14吴代鸣固体物理习题

吴代鸣固体物理习题

1.试证理想六方密堆结构中c/a=1.633.证明：

如图所示，六方密堆结构的两个晶格常数为a和c。右边为底面的俯视图。而三个正三角形构

成的立体结构，其高度为

2．若晶胞基矢a,b,c互相垂直，试求晶面族（hkl）的面间距。解：

∵a,b,c互相垂直，可令a=ai,b=bj,c=ck

晶胞体积v=a (b×c)=abc

倒格子基矢：

h k l G=hb1+k2+lb3=2π(i+j+k)

abc而与（hkl）晶面族垂直的倒格矢

hkl∴G=2π(2+(2+(2

abc

故（hkl）晶面族的面间距

2π 2π 2π

b1=(b×c)=(bj×ck)=i

vabca 2π 2π 2π b2=(c×a)=(ck×ai)=j

vabcb 2π 2π 2π b3=(a×b)=(ai×bj)=k

vabcc

2πd=G=

2π

=

hkl2π(2+(2+()2

abc

1hkl(2+(2+()2abc

吴代鸣固体物理习题

3．若在体心立方晶胞的每个面中心处加一个同类原子，试说明这种晶体的原胞应如何选择？每个原胞含有几个原子？

答：

通过分析我们知道，原胞可选为简单立方，每个原胞中含有5个原子。

体心，八个顶点中取一个，对面面心各取一个原子（即三个）作为基元。布拉菲晶格是简单立方格子。

4．试求面心立方结构的（111）和（110）面的原子面密度。

解：

（111）面

平均每个（111）面有3×（111）面面积

11

+3×=2个原子。62(2a)2 (232

a2

=

43a2

22a)2

1

2a(2

)=

22a a=a222

所以原子面密度σ(111)=

（110）面

11

+2×=2个原子。42

（110）面面积a 2a=2a2

22

所以（110）面原子面密度σ(110)==2

2a2a

平均每个（110）面有4×

5．设二维矩形格子的基矢为a1=ai,a2=2aj，试画出第一、二、三、布里渊区。

解：

倒格子基矢：

2π 2π2π b1=(a2×a3)=2aix=i(a3=xk)

va 2a xa 2π 12π 1 2π 2πb2=(a3×a1)=axj=j=j=b1j

va 2a x2a2a2

所以倒格子也是二维矩形格子。b2方向短一半。

最近邻b2, b2;

次近邻b1, b1,2b2, 2b2;

再次近邻b1 b2,b1+b2,b2 b1, b2 b1;

再再次近邻3b2, 3b2;

做所有这些点与原点间连线的垂直平分线，围成布里渊区。再按各布里渊区的判断原则进行判断，得：

第一布里渊区是一个扁长方形；

第二布里渊区是2块梯形和2块三角形组成；

第三布里渊区是2对对角三角和4个小三角以及2个等腰梯形组成。

吴代鸣固体物理习题

6．六方密堆结构的原胞基矢为：

1 3 a1=ai+aj

22 1 a2= ai+aj

22

a3=ck

试求倒格子基矢并画出第一布里渊区。解：

原胞为简单六方结构。原胞体积：

v=a1 (a2×a3)

1 1

=a(i+j) [a( i+j)×ck]22

11

=a(i+j) [ac(j+i)]22

12

=ac(i+j) (i+j)432=ac2

2π2ac22π

2π 1

[a( i+j)×ck]=(i+3j)23a 1 2π [ck×a(i+j)]=( i+3j)

2a

倒格子基矢：

2π

b1=(a2×a3)=

v 2π b2=(a3×a1)=

v

2ac2

2π 2π b3=(a1×a2)=k

vc

由此看到，倒格子同原胞一样，只是长度不同，因此倒格子仍是简单六方结构。（注意：倒格

子是简单六方，而不是六方密堆）

选六边形面心处格点为原点，则最近邻为六个角顶点，各自倒格矢的垂直平分面构成一个六

面柱体。

次近邻为上下底面中心，其垂直平分面为上下平行平面。

再次近邻是上下面六个顶角，其垂直平分面不截上面由最近邻和次近邻垂直平分面构成的六

角柱体。

所以第一布里渊区是一个六角柱体。比倒格子六方要小。

7．略

吴代鸣固体物理习题

8、证明一维NaCl晶体的马德隆常数为α=2ln2

证明：

任选一参考离子i，则左右两侧对称分布，

令rij=aja；这里a为晶格常数（正负离子最近距离）那么，有：

1111 1

=2 + +......; ajj 1234

其中，异号为＋；同号为 .

x2x3x4

利用展开式：ln(1+x)=x + +......

234111

令x=1，得：ln2=1 + +......

234

∴α=2ln2

α＝∑±

9、若离子间的排斥势用λe来表示，只考虑最近邻离子间的排斥作用，试导出离子晶体结合能的表达式，并讨论参数λ和ρ应如何决定。解：

设最近邻离子间距离为r，则rij=ajr（以i离子为原点）

rij/ρe2

，（最近邻，rij=r） λe

4πε0rij

u(rij)= 2

e ±，（最近邻以外）

4πε0rij

总相互作用能为：

N e21 r/ρ ± ∑λe ∑4πεraj(≠i)最近邻0j

N αe2 r/ρ ∴U=+Zλe..........................(1) ；2 4πε0r

其中Z为最近邻离子数

U =0；得： r r=r

N

U=

2

ραe2 r0/ρ

=Zλe.........................(2)2

4πε0r0

Nαe2

得：U=

24πε0r0

结合能Ec= U(r0)

ρ

1 .......................(3) r0

吴代鸣固体物理习题

对于NaCl等离子晶体：1

K=

9Nr0

2U

2 ...................(4) r r=r0

1 2αe21Zλ r0/ρ

∴K=+e..(5) ..........32

18r0 4πε0r0ρ

将(2)代入(5)得：

1K=

18r0

2αe2αe21

+ ..................(6) 32

4πε0r0ρ 4πε0r0

αe2r0

∴ρ=.........................(7)24

2αe+72πε0r0K

ραe2r0/ρ

由(2)得：λ=e......................(8)2

4πε0r0Z

10、如果NaCl结构晶体中离子的电荷增加一倍，假定排斥势不变，试估计晶体的结合能及离子间的平衡距离将产生多大变化。解：

N

总相互作用能U=

2

U r

r=r0

αe2B 1) 4πεr rn ........(

0

N αe2nB = n+1 =0...........(2)2 2 4πε0r0r0

1

n 1

4πε0nB '

得：r0= ..............(2) αe2

αe2n 1

由(2)得：B=r0...............(3)

4πε0n

Nαe2

(3)代入(1)得：U(r0)=

8πε0r0

1 1 ........(4)n

当电荷由e变为2e时，由(2')和(4)可知：

r0(2e)

=41 n

r0(e)U(2e)

=4n 1

U(e)

11、在一维单原子晶格中，若考虑每一院子于其余所有原子都有作用，在简谐近似下求格波的色散关系。

n

1

吴代鸣固体物理习题

解：在简谐近似下：

110

U=∑φ(xij uij)=U0+

2i≠j4第n个原子的运动方程：

i≠j

2

βu∑ijij

d2un U1 2

m= = (βu∑ijij)2

un4 uni≠jdt

右边=

1 22

(∑βinuin+∑βnjunj)4 uni(≠n)j(≠n)

j(≠n)

2

β(u u)∑njjn)

1

= (∑βin(un ui)2+

4 uni(≠n)

1

= (∑βin(un ui) ∑βnj(uj un))

2i(≠n)j(≠n)=

=

i(≠n)

∑β

p

in

(ui un)

+un p 2un)

∑β(u

p

n+p

设un=Ae i(ωt naq)代入上式得： mω2Ae i(ωt naq)=

整理，得：

2=m

i(ωt (n+p)aq) i(ωt (n p)aq)

β(Ae+Ae 2un)∑p

p

ω

2

∑β(1 cospaq)

pp

12、设有一维双原子晶格，两种院子的质量相等，最近邻原子间的力常数交错地等于β1和β2，试

求格波的色散关系。

解：

d2unm=β1(υn 1 un)+β2(υn un)2

dt

=β1υn 1+β2υn (β1+β2)und2υnm=β2(un υn)+β1(un+1 υn)2

dt

=β2un+β1un+1 (β1+β2)υn

吴代鸣固体物理习题

试探解：

un=Ae

i(naq ωt)

;υn=Be

i(naq ωt)

代入方程，得： mω2A=β1Beiaq+β2B (β1+β2)A mω2B=β1Ae iaq+β2A (β1+β2)B

β1+β2) mω2 (β1eiaq+β2)

=0 iaq2

β2+β1emω (β1+β2经计算，得：

ω2=

β1+β2±

β12+β22+2β1β2cosaq

m

13、已知一维单原子晶格的格波色散关系为

2β

(1 cosqa)M

试求：(1)格波的模密度g(ω);

ω2(q)=

(2)低温下晶格热容与温度的比例关系。

解：一维时，模密度g(ω)=

l2π

∫dqδ(ω

ω(q))

M

由色散关系，得：cosaq=1 ω2;

2β2βa

2ωdω=sinaqdq

M

∴dq=

ωdω

βaM

M2M4 ω ω 2 β 4β

2

ω

1/2

m

lδ(ω ω(q))

g(ω)= 2∫ω(q)dω(q)1/2

22π 0βa M2M4

ω(q) ω(q) 2 M β4β

=

l

πβaM

ω

M2M4 ω ω 2 β 4β

2

1/2

晶格热容：Cυ

E

= T = T υ

ωm

∫

ω

g(ω)dω

exp( ω/kBT) 1

略去ω4项，（因为低温，ω<<1）

吴代鸣固体物理习题

∴Cυ

= T

∫

ωm

lω ω

dω ω

πβaMkT

eB 1Mβ

∞

l

=πa

l=πa

M β T

MkB2Tβ

πlkB2=

3a

∫

ω

e

ωkBT

dω

1

(因为低温，频率低的占主要，所以上限可以近似为无穷大)

∞

x2ex

dx∫x2

1)0(e

M Tβ

π2

经计算，上面积分＝

3

∴Cυ

14、将Debye模型用于一维晶格，求低温下晶格热容与温度的关系，并和上题的结果进行比较，讨论Debye模型的合理性。

解：对于德拜模型，有色散关系：ω=cq

∴dω=cdq

l

∴g(ω)=

2π

∞

+∞

∞

∫dq δ(ω ω(q))

l1=dω δ(ω ω(q))∫πc0

∴Cυ

= T

∞

∞

∫dω g(ω)

ω

e

ωkBT

1

x2ex

dx∫x2

1)0(eπ2

上面积分＝

3lπkB2

∴Cυ= T

3c lkB2T=

πc

与上题结果比较，都与T成正比，说明德拜模型有其合理性，尤其是低温的情况下。

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