高中数学凸函数在高考中的应用专题辅导

高中数学凸函数在高考中的应用专题辅导

田祚鹏

函数是高中数学中的边缘知识点，在苏教版高一新教材中由指数函数和对数函数中的两道探究拓展题（7155P P ）涉及，在人教版中由119P 的探索与研究阅读材料涉及。在近两年的高考中，全国各地的高考题和模拟题对函数的这一性质都有所考查。

凸函数的定义有几何定义、代数定义、切线定义等几种形式

（1）凸函数的几何定义（引自人教版高一数学教材119P ）

函数)x (f y =，任意))x (f ,x (M ))x (f ,x (M ,D x ,x 22211121、∈，如果函数)x (f y =在区间]x ,x [21上的图像总是在线段21M M 的下方，我们就说函数的图像在区间D 上是下凸的，这样的函数叫下凸函数；

函数)x (f y =，任质))x (f ,x (M ))x (f ,x (M ,D x ,x 22211121、∈，如果函数)x (f y =在区间]x ,x [21上的图像总是在线段21M M 的上方，我们就说函数的图像在区间D 上是上凸的，这样的函数叫上凸函数。

（2）凸函数的代数定义

设f(x)是定义在区间D 上的函数，若对于任何D x x 21∈、和实数)1,0(∈λ，有)x (f )1()x (f ]x )1(x [f 2121λ-+λ≤λ-+λ，则称f(x)是D 上的下凸函数。

设f(x)是定义在区间D 上的函数，若对于任何D x x 21∈、和实数)1,0(∈λ有)x (f )1()x (f ]x )1(x [f 2121λ-+λ≥λ-+λ，则称f(x)是D 上的上凸函数。

（3）凸函数的切线定义（引自华东师大编写《数学分析》）：

设函数)x (f y =在（a ，b ）内可导，若曲线)x (f y =位于其每点处切线的上方，则称曲线是向下凸的；

设函数)x (f y =在（a ，b ）内可导，若曲线)x (f y =位于其每点处切线的下方，则称曲线是向上凸的。

（4）两个定理

定理1：设函数)x (f y =在（a ，b ）内可导，则曲线)x (f y =在（a ，b ）内是向下（上）凸的充要条件是导函数)x (f '（a ，b ）内递增（递减）；

定理2：设函数)x (f y =在（a ，b ）二阶可导，则曲线)x (f y =在（a ，b ）内是向下（上）凸的充要条件是)0(0)x (f ≤≥'

（5）琴生不等式

①如果函数f(x)在区间D 上是上凸函数，则对于区间内的任意n 21x ,,x ,x ，有

)n

x x (f )]x (f )x (f [n 1n 1n 1++≤++ ，当且仅当n 21x x x === 时，等号成立。 ②如果函数f(x)在区间上是下凸函数，则对于区间内的任意n 21x ,,x ,x ，有

)n

x x (f )]x (f )x (f [n 1n 1n 1++≥++ ，当且仅当n 21x x x === 时，等号成立。

在最近几年的高考中，对凸函数的考查以各种形式出现。

例1 （2005年湖北省高考试题）在x 2cos y ,x y ,x log y ,2y 22x ====这四个函数中，当1x x 021<<<时，使2

)x (f )x (f )2x x (f 2121+>+恒成立的函数的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

分析：在凸函数的代数定义中，令1=λ得到严格上凸函数的条件

2

)x (f )x (f )2x x (f 2121+>+，本题考查的就是凸函数的定义，显然在以上四个函数中，只有x log y x 2cos y 2==和在（0，1）上是严格上凸的。

例2 苏教版课本探究题（1）对于任意的R x ,x 21∈，若函数x 2)x (f =，试比较)2x x (f 21+与

2

)x (f )x (f 21+的大小关系；（2）对于任意的),0(x x 21+∞∈、，若函数x lg )x (f =，试比较)2

x x (f 21+与2)x (f )x (f 21+的大小关系； 分析：由图像可知，函数x 2)x (f =也是严格的下凸函数，则2

)x (f )x (f )2x x (f 2121+<+；函数x lg )x (f =是严格的上凸函数，则2

)x (f )x (f )2x x (f 2121+>+。 与此类似，1994年全国文科试卷，考查了一道有关凸性的题：已知函数x

log )x (f a =（0a >且R x ,1a ∈≠），若R x ,x 21∈，判断)2x x (f 21+与2)x (f )x (f 21+的大小，并加以证明。

例3 （2005年北京试题）对于函数f(x)定义域中任意)x x (x ,x 2121≠，有如下结论：

（1）)x (f )x (f )x x (f 2121?=+；

（2）)x (f )x (f )x x (f 2121+=?

（3）0x x )x (f )x (f 2

121>-； （4）2

)x (f )x (f )2x x (f 2121+<+。当x lg )x (f =时，上述结论中正确结论的序号是___________。

分析：本题是考查函数x lg )x (f =的性质，其中④涉及函数的凸性，函数x lg )x (f =是严格上凸的，则应满足2

)x (f )x (f )2x x (

f 2121+>+，本题结论为②③。

例4 （2005年孝感一模试题）已知四个函数（1）b ax )x (f +=，（2）b ax x )x (f 2++=，

（3）)1a (a )x (f x >=（4）)1a 0(x log )x (f a <<=，其中满足性质)10(,1)x (f )x (f )1x x (f 2121≤λ≤λ

+λ+≤λ+λ+的函数有__________个。 分析：本题考查的是函数凸性的一般定义，不妨令p 11=λ+，则p 11-=λ

+λ，以上条件变形为)x (f )p 1()x (pf )x )p 1(px (f 2121-+≤-+，即函数下凸的条件，注意到一次函数即是上凸的，又是下凸的，所以本题（1）（2）（3）（4）都满足条件。

例5 证明以下等式

（1）若a 、b 、c 为正实数，求证：

.)abc (c b a 3c b a c b a ++≥

（2）在△ABC 中，求证：

;2

33C sin B sin A sin ≤++ （3）设0y ,0x >>，证明：.2

y x ln )y x (y ln y x ln x ++≥+ 分析：本例是几个典型的构造凸函数证明不等式的问题，解决这一类问题的关键是要构造合理的凸函数。

证明：（1）考查函数)0x (x ln x )x (f >=，其二阶导数0x 1)x (f >=

'，故其为下凸函数。由下凸函数的琴生不等式得).c ln c b ln b a ln a (3

13c b a ln 3c b a ++≤++++即.)3

c b a ln()c b a ln(c b a c b a ++++≥ 而函数x ln y =单调递增，故.)3c b a (

c b a c b a c b a ++++≥ 而3abc 3

c b a ≥++，两式联立即得。 （2）证明：考查正弦函数x sin y =，在（0，π）上为凸函数，由上凸函数的琴生不等式得.2

33sin 3C B A sin 3C sin B sin A sin =π=++≤++ 即.2

33C sin B sin tan sin ≤++ （3）证明：考查函数)0x (x ln x )x (f >=，其二阶导数0x

1)x (f >='，故其为下凸函数，所以

).y ln y x ln x (2

12y x ln 2y x ,2)y (f )x (f )2y x (

f +≤+++≤+即 例6 （2005年全国高考题压轴题）

（1）设函数)1x 0)(x 1(log )x 1(x log x )x (f 22<<--+=，求f(x)的最小值；

（2）设正数n 2321p ,,p ,p ,p 满足1p p p p n 2321=++++ ，求证：

.n p log p log p p log p p log p p log p n n n 22222323222121-≥+++

分析：本题第二小问是这几年中考考查函数的凸性比较难的一道题，很多杂志都给出了用数学归纳法等方法解决此问的解法，其实这道题的命题背景是利用函数的凸性，结合琴生不等式证明不等式的问题，在此仅证（2）。

证明：（2）考查函数x log x )x (f 2=，则0e log x

1)x (f ,e log x log )x (f 222>=''+='，由凸函数的导数定义，知函数x log x )x (f 2=为下凸函数，由下凸函数的琴生不等式得n

221n 2212)p (f )p (f )p (f )2p p p (f n n

+++≤+++

因为1p p p p n 2321=++++ 代入得n

222222121n 2p log p p log p p log p )21(f n n +++≤ 即.2p log p p log p p log p 21log 21n

222222121n 2n n n +++≤ 整理得：.n p log p p log p p log p p log p n n 222323222121-≥++++

其实，我们可以编拟出很多这种利用函数的凸性，结合凸函数的琴生不等式构造的不等式，在此编写两则，供读者参考。

1、设n ,,2,1i ,x 0i =π<<。证明：

（1）);x n 1sin(x sin n

1n 1i i n 1

i i ∑∑==≤ （2）.]x n 1[sin(x x sin n n 1i i n 1

i i ∑∏==≤ 提示：考查函数x sin )x (f =，其中（π,0）上为上凸函数；考查x sin ln )x (f =，其在（π,0）上也为上凸函数，利用上凸函数的琴生不等式可得。

2、已知正实数)n ,,2,1i (a i =满足∑==n 1i i 1a ，求证：.)n

1n ()a 1a (n n 1i i i +≥+∏= 提示：考查函数)1,0(x ),x 1x ln()x (f ∈+=。因0)]x 1(x [)2x (5)x (f 2

222>+--=''，故该函数为下凸函数，利用下凸函数的琴生不等式可得。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/zcle.html