直线与圆、圆与圆位置关系知识点总结、经典例题解析、近年高考题及答案
更新时间:2023-11-15 03:39:01 阅读量: 教育文库 文档下载
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直线与圆、圆与圆位置关系
【考纲说明】
1、能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系,能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系。 2、能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。
【知识梳理】
一、直线与圆的位置关系
1、 直线与圆的位置关系有三种:相交、相切、相离,判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法
(1)代数法:把直线方程与圆的方程联立成方程组,消去x或y整理成一元二次方程后,计算判别式
??b2?4ac
??0?直线l与圆C相交?直线l与圆C有两交点
??0?直线l与圆C相切?直线l与圆C有一交点
??0?直线l与圆C相离?直线l与圆C无交点
(2)几何法:利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系:
d?r?直线l与圆C相交?直线l与圆C有两交点
d?r?直线l与圆C相切?直线l与圆C有一交点
d?r?直线l与圆C相离?直线l与圆C无交点
2、直线方程形式
(1)点斜式:直线过点(x0,y0)斜率为k,直线方程:y?y0?k(x?x0),它不包括垂直于x轴直线; (2)斜截式:直线在y轴上的截距为b和斜率k,直线方程:y?kx?b,它不包括垂直于x轴直线; (3)两点式:直线经过P1(x1,y1)、P2(x2,y2)两点,直线方程:直线;
(4)截距式:直线在x轴和y轴上的截距为a,b,直线方程:
y?y1x?x1,它不包括垂直于坐标轴的?y2?y1x2?x1xy??1,它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点ab的直线;
(5)一般式:任何直线均可写成Ax?By?C?0(A,B不同时为0)的形式.
3、圆的切线方程
若圆的方程为x?y?r,点P(x0,y0)在圆上,则过P点且与圆x?y?r相切的切线方程为
222222xox?yoy?r2.
经过圆(x?a)?(y?b)?r上一点P(x0,y0)的切线方程为(4、直线与圆相交
222x?xoy?yo?a)2?(?b)2?r2. 22l2直线与圆相交时,若l为弦长,d为弦心距,r为半径,则有r?d?,即l?2r2?d2,求弦长或已知422弦长求其他量的值时,一般用此公式。 二、圆与圆的位置关系
1、圆与圆的位置关系可分为五种:外离、外切、相交、内切、内含。 2、把握直线与圆的位置关系的三种常见题型: ①相切——求切线 ②相交——求距离
③相离——求圆上动点到直线距离的最大(小)值;
3、解决直线与圆的位置关系问题用到的思想方法有:
①数形结合,善于观察图形,充分运用平面几何知识,寻找解题途径;
②等价转化,如把切线长的最值问题转化为圆外的点到圆心的距离问题,把公切线的条数问题转化为两圆的位置关系问题,把弦长问题转化为弦心距问题等 ③待定系数法,还要合理运用“设而不求”,简化运算过程
3、①圆与圆的位置关系转化为圆心距与两圆半径之和或半径之差的关系; ②公共弦满足的条件是:连心线垂直平分公共弦.
4、判断圆与圆的位置关系常用方法
(1)几何法:设两圆圆心分别为O1,O2,半径为r1,r2(r1?r2),则
OOOO12?r1?r2?圆1与圆2相离?有4条公切线 OOOO12?r1?r2?圆1与圆2外切?有3条公切线
OO|r1?r2|?OO12?r1?r2?圆1与圆2相交?有2条公切线 OOOO12?|r1?r2|?圆1与圆2内切?有1条公切线 OOOO12?|r1?r2|?圆1与圆2内含?有0条公切线.
(2)代数法:
?x2?y2?D1x?E1y?F1?0方程组?2 2x?y?Dx?Ey?F?0?222有两组不同的实数解?两圆相交;
有两组相同的实数解?两圆相切; 无实数解?两圆外离或内含。
【经典例题】
【例1】(2012广东文)在平面直角坐标系xOy中,直线3x?4y?5?0与圆x2?y2?4相交于A,B两点,则弦AB的
长等于( ) A.33 B.23 C.3
2D.1
2【例2】(2012重庆理)对任意的实数k, 直线y?kx?1与圆x?y?2的位置关系一定是 ( )
A.相离
C.相交但直线不过圆心
22【例3】(2012 福建)直线x?3y?2?0与圆x?y?4相交于A,B两点,则弦AB的长度等于( )
B.相切
D.相交且直线过圆心
A.25 B.23 C.3 D.1
【例4】(2012安徽)若直线x?y?1?0与圆(x?a)?y?2有公共点,则实数a取值范围是( )
A.[?3,?1]] B.[?1,3] C.[?3,1] D.(??,?3][1,??)
【例5】(2012 山东)圆(x?2)?y?4与圆(x?2)2?(y?1)2?9的位置关系为( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
22【例6】(2012 江西)过直线x?y?22?0上点P作圆x?y?1的
2222两条切线,若两条切线的夹角是60°,则点P的坐标是__________.
2222【例7】(2009四川)若⊙O1:x?y?5与⊙O2:(x?m)?y?20(m?R)相交于A、B两点,且两圆在点A
处的切线互相垂直,则线段AB的长度是 . 【例8】(2011福建)已知直线l:y?x?m,m?R.
(I)若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切与点P,且点P在y轴上,求该圆的方程; (II)若直线l关于x轴对称的直线为l?,问直线l?与抛物线C:x?4y是否相切?说明理由。
222222【例9】已知圆C1:x?y?2mx?4y?m?5?0,圆C2:x?y?2x?2my?m?3?0,m为何值时,
2(1)圆C1与圆C2相外切;(2)圆C1与圆C2内含.
2222【例10】(2011广东)设圆C与两圆(x?5)?y?4,(x?5)?y?4中的一个内切,另一个外切.
(1)求C的圆心轨迹L的方程;
(2)已知点M(
3545,),F(5,0),且P为L上动点.求||MP|-|FP||的最大值及此时点P的坐标. 55
【课堂练习】
1、(2012 辽宁)将圆x?y?2x?4y?1?0平分的直线是( )
A.x?y?1?0 C.x?y?1?0
B.x?y?3?0 D.x?y?3?0
2222
2.(2012重庆)设A,B为直线y?x与圆x?y?1 的两个交点,则|AB|?( )
A.1
B.2 22C.3 D.2
3.(2012 陕西)已知圆C:x?y?4x?0,l是过点P(3,0)的直线,则( )
A.l与C相交 B.l与C相切
C.l与C相离 D.以上三个选项均有可能
4.(2012 湖北)过点P(1,1)的直线l,将圆形区域{(x,y)|x?y≤4}分成两部分,使这两部分的面积之差最大,则该直线l的方程为( )
A.x?y?2?0 B.y?1?0 C.x?y?0 D.x?3y?4?0
5.(2012天津理)设m,n?R,若直线(m?1)x?(n?1)y?2?0与圆(x?1)?(y?1)?1相切,则m?n的取值范围是( )
A.[1?3,1?3] B.(??,1?3]?[1?3,??) C.[2?22,2?22] D.(??,2?22]?[2?22,??)
6.(2009辽宁理)已知圆C与直线x-y=0 及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为( )
A.(x?1)?(y?1)?2 B. (x?1)?(y?1)?2 C.(x?1)?(y?1)?2 D. (x?1)?(y?1)?2 7.(2009重庆理)直线y?x?1与圆x?y?1的位置关系为( ) A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心
2222222222222222 D.相离
8.(2006陕西理)过原点且倾斜角为60?的直线被圆x?y?4y?0所截得的弦长为( )
A.3 B.2 C.6 D.23
9.(2011江西)如图,一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动,M和N是小圆的一条固定直径的两个端点.那么,当小圆这样滚过大圆内壁的一周,点M,N在大圆内所绘出的图形大致是( )
10.(2012江苏)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2?y2?8x?15?0,若直线y?kx?2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是 .
11.(2012 浙江)定义:曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离.已知曲线C1:y?x?a 到直线l:y?x的距离等于曲线C2:x 2+(y+4) 2 =2到直线l:y?x的距离,则实数a?______.
12.(2012天津文)设m,n?R, 若直线l:mx?ny?1?0与x轴相交于点A,与y轴相交于B,且l与圆x?y?4 相交所得弦的长为2,O为坐标原点,则△AOB面积的最小值为 .
13.(2010宁夏)过点A(4,1)的圆C与直线x?y?1?0相切于点B(2,1).则圆C的方程为 . 14.(2010江苏)在平面直角坐标系xOy中,已知圆x?y?4上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是___________.
15.(2008广东理)经过圆x?2x?y?0的圆心C,且与直线x?y?0垂直的直线是 . 16.(2011江苏)A?{(x,y)|2222222m?(x?2)2?y2?m2,x,y?R}, B?{(x,y)|2m?x?y?2m?1,x,y?R}, 2若A?B??, 则实数m的取值范围是______________.
17.(2006广东)以点(2,?1)为圆心且与直线x?y?6相切的圆的方程是 .
18.(2012 全国大纲)已知抛物线C:y?(x?1)与圆M:(x?1)?(y?)?r(r?0)有一个公共点A,且在点
221222A处两曲线的切线为同一直线l. (Ⅰ)求r;
(Ⅱ)设m,n是异于l且与C及M都相切的两条直线,m,n的交点为D,求D到l的距离.
19.(2012湖南理)在直角坐标系xOy中,曲线C1上的点均在圆C2:(x?5)?y?9外,且对C1上任意一点M,
22M到直线x??2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.
(1)求曲线C1的方程;
(2)设P(x0,y0)(y0??3)为圆C2外一点,过P作圆C2的两条切线,分别与曲线C1相交于点A,B和C,D.
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