2012年高考真题文科数学解析分类汇编9：圆锥曲线

2012高考文科试题解析分类汇编：圆锥曲线

一、选择题

1.【2012高考新课标文4】设12F F 是椭圆222

2

:1(0)x y E a b a

b

+

=>>的左、右焦点，P 为直

线32

a x =上一点，12PF F ?是底角为30 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）

()

A 12

()B

23

()

C 34

()

D 45

【答案】C

【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想，是简单题.

【解析】∵△21F P F 是底角为030的等腰三角形， ∴0260PF A ∠=，212||||2PF F F c ==，∴2||A F =c ，∴322

c a =

，∴e =

34

，故选C.

2.【2012高考新课标文10】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线

x y

162

=的准线交于,A B 两点，AB =C 的实轴长为（ ）

()A ()B ()C 4 ()D 8

【答案】C

【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题. 【解析】由题设知抛物线的准线为：4x =，设等轴双曲线方程为：222x y a -=，将4

x =

代入等轴双曲线方程解得y =，∵||AB =∴=解得a =2，

∴C 的实轴长为4，故选C.

3.【2012高考山东文11】已知双曲线1C ：

222

2

1(0,0)x y a b a

b

-

=>>的离心率为2.若抛物线

2

2:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为

(A) 23

x y

= (B) 23

x y

=

(C)28x y = (D)216x y =

【答案】D

考点：圆锥曲线的性质

解析：由双曲线离心率为2且双曲线中a ，b ，c 的关系可知a b 3=

，此题应注意C2的焦

点在y 轴上，即（0，p/2）到直线x y 3=的距离为2，可知p=8或数形结合，利用直

角三角形求解。

4.【2012高考全国文5】椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为

（A ）

2

2

11612x

y

+

= （B ）

2

2

1128x

y

+

=

（C ）

2

2

18

4

x

y

+

= （D ）

2

2

112

4

x

y

+

=

【答案】C

【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置，然后借助于焦距和准线求解参数,,a b c ，从而得到椭圆的方程。

【解析】因为242c c =?=，由一条准线方程为4x =-可得该椭圆的焦点在x 轴上县2

2448a

a c c

=?==，所以222

844b a c =-=-=。故选答案C

5.【2012高考全国文10】已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，

12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=

（A ）

14

（B ）

35

（C ）

34

（D ）

45

【答案】C

【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用，以及余弦定理的运用。首先运用定义得到两个焦半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可。

【解析】解：由题意可知，,2a b c =

=∴=，设12||2,||PF x PF x ==

，则

12||||2PF PF x a -===

，故12|||PF PF ==，124F F =，利用余弦定理可

得222

222

1212

1212

3cos 24

PF PF F F F PF PF PF +-∠=

=

=

?。

6.【2012高考浙江文8】 如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点。若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是

A.3

B.2

C.

D.

【答案】B 【命题意图】本题主要考查了椭圆和双曲线的方程和性质，通过对两者公交点求解离心率的

关系.

【解析】设椭圆的长轴为2a ，双曲线的长轴为2a '，由M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则222a a '=?，即2a a '=，又因为双曲线与椭圆有公共焦点，设焦距均为c ，则双曲线的离心率为c

e a '='，c

e a =，2e a

e a '

=='.

7.【2012高考四川文9】已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则||OM =（ ）

A

、 B

、 C 、4 D

、【答案】B

[解析]设抛物线方程为y 2=2px(p>0),则焦点坐标为（0,2p ），准线方程为x=2p -, 3

2)22(2||22,222,132p 22p

-22202

202=+=∴∴===+=+∴∴OM M y p y M M 有：），根据两点距离公式

（点解得：）（）（线的距离，即到焦点的距离等于到准

在抛物线上，

[点评]本题旨在考查抛物线的定义: |MF|=d,(M 为抛物线上任意一点，F 为抛物线的焦点，d 为点M 到准线的距离).

8.【2012高考四川文11】方程22ay b x c =+中的,,{2,0,1,2,3}a b c ∈-，且,,a b c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）

A 、28条

B 、32条

C 、36条

D 、48条

【答案】B

[解析]方程22ay b x c =+变形得222b c y b a

x -=，若表示抛物线，则0,0≠≠b a

所以，分b=-2,1,2,3四种情况：

（1）若b=-2，?????======2,1,033,1,0,23

,2,0c ,1或或，或或或或c a c a a ; （2）若b=2,

??

???-==-===-=1,0,233,0,2c ,13,1,0,2或或，或或或或c a a c a 以上两种情况下有4条重复，故共有9+5=14条；

同理 若b=1，共有9条； 若b=3时，共有9条.

综上，共有14+9+9=32种

[点评]此题难度很大，若采用排列组合公式计算，很容易忽视重复的4条抛物线. 列举法是解决排列、组合、概率等非常有效的办法.要能熟练运用.

9.【2012高考上海文16】对于常数m 、n ，“0m n >”是“方程221m x ny +=的曲线是椭

圆”的（ ）

A 、充分不必要条件

B 、必要不充分条件

C 、充分必要条件

D 、既不充分也不必要条件 【答案】B.

【解析】方程12

2

=+ny

mx

的曲线表示椭圆，常数常数n m ,的取值为0,0,,m n m n >??

>??≠?

所以，由

0m n >得不到程12

2

=+ny mx

的曲线表示椭圆，因而不充分；反过来，根据该曲线表示

椭圆，能推出0m n >，因而必要.所以答案选择B.

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件、充要条件、椭圆的标准方程的理解.根据方程的组成特征，可以知道常数n m ,的取值情况.属于中档题.

10.【2012高考江西文8】椭圆222

2

1(0)x y a b a

b

+

=>>的左、右顶点分别是A ，B ，左、右

焦点分别是F 1，F 2。若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为 A.

14

B.

5

C.

12

D.

【答案】B

【解析】本题着重考查等比中项的性质，以及椭圆的离心率等几何性质，同时考查了函数与方程，转化与化归思想.

利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知：1AF a c =-，122F F c =，1F B a c =+.又已知1A F ，12F F ，1F B 成等比数列，故2()()(2)a c a c c -+=，即

2224a c c -=，则22

5a c =.

故5

c e a

=

=.

即椭圆的离心率为5

.

【点评】求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关,a c 的方程，然后化为有关,a c 的齐次式方程，进而转化为只含有离心率e 的方程，从而求解方程即可. 体现考纲中要求掌握椭圆的基本性质.来年需要注意椭圆的长轴，短轴长及其标准方程的求解等. 11.【2012高考湖南文6】已知双曲线C ：22

x a

-

22

y b

=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的

渐近线上，则C 的方程为 A ．

2

20

x

-

2

5

y

=1 B.

2

5

x

-

2

20

y

=1 C.

2

80

x

-

2

20

y

=1 D.

2

20

x

-

2

80

y

=1

【答案】A

【解析】设双曲线C ：22x

a -22y

b =1的半焦距为

c ，则210,5c c ==.

又 C 的渐近线为b

y x a =±，点P （2,1）在C 的渐近线上，12b

a ∴=

，即2a b =.

又222c a b =+，a ∴==，∴C 的方程为2

20x -2

5y =1.

【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型.

12.【2102高考福建文5】已知双曲线

22x a -25y =1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于

A 14

B 4

C 3

2 D 4

3

【答案】C.

考点：双曲线的离心率。

难度：易。

分析：本题考查的知识点为圆锥曲线的性质，利用离心率a c

e =即可。

解答：根据焦点坐标)0,3(知3=c ，由双曲线的简单几何性质知952=+a ，所以2=a ，因此23

=e .故选C.

二 、填空题

13.【2012高考四川文15】椭圆2221(5x

y a a +=为定值，且a >的的左焦点为F ，直线

x m =与椭圆相交于点A 、B ，F A B ?的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是______。

【答案】32

，

[解析]根据椭圆定义知：4a=12, 得a=3 , 又522=-c a

32

,2==∴=∴a c

e c

[点评]本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念.

14.【2012高考辽宁文15】已知双曲线x 2 - y 2 =1,点F 1,F 2为其两个焦点，点P 为双曲线

上一点，若P F 1⊥P F 2,则∣P F 1∣+∣P F 2∣的值为___________________.

【答案】【命题意图】本题主要考查双曲线的定义、标准方程以及转化思想和运算求解能力，难度适

中。

【解析】

由双曲线的方程可知121,22,a c PF PF a ==

∴-== 221122

24PF PF PF PF ∴-+=

222121

21221212,(2)8,24,()8412,PF PF PF PF c PF PF PF PF PF PF ⊥∴+==∴=∴+=+=∴+= 【点评】解题时要充分利用双曲线的定义和勾股定理，实现差—积—和的转化。

15.【2012高考江苏8】（5分）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线

22214x y m m -=+的离心

率为m 的值为 ▲ ．

【答案】2。

【考点】双曲线的性质。

【解析】由22214x y

m m -=+

得a b c 。

∴==c

e a 244=0m m -+，解得=2m 。

16.【2012高考陕西文14】右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米

.

【答案】62.

【解析】建立如图所示的直角坐标系，使拱桥的顶点O 的坐标为（0,0）， 设l 与抛物线的交点为A B 、，根据题意，知A （-2，-2），

B （2，-2）．

设抛物线的解析式为2ax y =，

则有()222-?=-a ，∴21

-=a ．

∴抛物线的解析式为221

x y -=．

水位下降1米，则y =-3，此时有6=x 或6-=x ．

∴此时水面宽为62米．

17.【2012高考重庆文14】设P 为直线3b y x a

=与双曲线

222

2

1(0,0)x y a b a

b

-

=>> 左支的

交点，1F 是左焦点，1PF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率e =

18.【2012高考安徽文14】过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于,A B 两点，若

||3AF =，则||BF =______。

【答案】

32

【解析】设(0)AFx θθπ∠=<<及BF m =；则点A 到准线:1l x =-的距离为3 得：1323cos cos 3

θθ=+?=

又232cos()1cos 2

m m m πθθ

=+-?=

=

+

19.【2012高考天津文科11】已知双曲线)0,0(1:

2

22

21>>=-

b a b

y a

x C 与双曲线

116

4

:

2

2

2=-

y

x

C 有相同的渐近线，且1C 的右焦点为0)F ,则a = b =

【答案】1，2 【解析】双曲线的

116

4

2

2

=-

y

x

渐近线为x y 2±=，而

12

22

2=-

b

y a

x 的渐近线为x a

b y ±

=，

所以有

2=a

b ，a b 2=，又双曲线

12

22

2=-

b

y a

x 的右焦点为)0,5(，所以5=c ，又

22

2b a c +=，即2

2

2545a a

a =+=，所以2,1,12

===b a a

。

三、解答题

20. 【2012高考天津19】（本小题满分14分） 已知椭圆

（a>b>0）,点P （

,

）在椭圆上。

（I ）求椭圆的离心率。

（II ）设A 为椭圆的右顶点，O 为坐标原点，若Q 在椭圆上且满足|AQ|=|AO|求直线OQ 的斜率的值。 【解析】(Ⅰ)

点,

)52

P a a 在椭圆上

2

2

222

22

2

2

1

1

5352118

8

4

a

a

b b e e a b

a

a

?+=?

=

?=-

=

?=

(Ⅱ) 设(cos ,sin )(02)Q a b θθθπ≤<；则(,0)A a

2

22

2

2

2

(1c o s )

s i n 1

3c o s 16c o s 50c o s

3A Q A O a b a

θθθθθ=

?

-+=

?-

+=?=

直线OQ

的斜率sin cos O Q b k a θθ

==

21.【2012高考江苏19】（16分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆

222

2

1(0)

x y a b a

b

+

=>>的左、右焦点分别为1(0)F c -，，2(0)F c ，．已知(1)e ，

和2e ? ??

都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）设,A B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1AF 与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P ．

（i

）若122

AF BF -=

，求直线1AF 的斜率；

（ii ）求证：12PF PF +是定值．

【答案】解：（1）由题设知，222==

c a b c e a

+，，由点(1)e ，在椭圆上，得

22222222222

2

2

2

2

2

111=1===1

e c

b c a b a a b b a

b

a

a b

+

=?

+

?+??，

∴22=1c a -。

由点2e ? ??

在椭圆上，得

2

2

222

422

2

2

4

4

221311144=0=2

1

4

e c a a a a a

b

a

a

? -????+

=?

+

=?

+

=?-+?∴椭圆的方程为

2

2

12

x

y +=。

（2）由（1）得1(10)F -，，2(10)F ，，又∵1AF ∥2BF ， ∴设

1

AF 、2

BF 的方程分别为

=1=1

my x my x +-，，

()()11221200A x y B x y y >y >，，，，，。

∴(

)

2

2

122

111111

1221=0=22=1

x y m y m y y m m y x ?+=??+--??+?+?。

∴

)2

12

12

2

m AF m m ++=

+

+。①

同理，)2

22

1=

2

m BF m +-+。②

（i ）由①②得，122

AF BF m -

=

+

2

2

m +得2m =2。

∵注意到0m >

，∴m 。 ∴直线1AF

的斜率为

1=

2

m 。

（ii ）证明：∵

1

AF ∥2

BF ，∴

21

1

BF PB PF AF =

，即

212

1

1

1

1

1

11BF PB PF BF AF PB PF AF

PF

AF

+++=

+?

=。

∴11112

=

AF PF BF AF BF +。

由点B

在椭圆上知，12BF BF +=

，∴()

11212

=

AF PF BF AF BF +。

同理。()

22112

=BF PF AF AF BF +。

∴(

)

(

)

122122112

12

12

2+=

AF BF AF BF PF PF BF AF AF BF AF BF AF BF +

=+++

由①②得，)

2

12

1=2m AF BF m +++，2

2

1=

2

m AF BF m ++ ，

∴12+2

P F P F

∴12PF PF +是定值。

【考点】椭圆的性质，直线方程，两点间的距离公式。

【解析】（1）根据椭圆的性质和已知(1)e ，

和2e ?

??

都在椭圆上列式求解。 （2

）根据已知条件122

AF BF -=

22.【2012高考安徽文20】（本小题满分13分）

如图，21,F F 分别是椭圆C ：

2

2a

x +

2

2b

y =1（>>b a ）

的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线2AF 与椭圆C 的另

一个交点，1F ∠A 2F =60°.

（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；

（Ⅱ）已知△A B F 1的面积为403，求a, b 的值.

【解析】（I ）1216022

c F A F a c e a ο∠=?=?=

=

（Ⅱ）设2BF m =；则12BF a m =- 在12B F F ?中，2

2

2

1

2

12

2122cos120BF BF F F BF F F ο

=+-??

2223

(2)5

a m m a a m m a

?-=++?= 1

A F

B ?

面积21113sin 60()2

2

5

2

10,5,S F F AB a a a a c b ο

=

????

??+

?

=?===

23.【2012高考广东文20】（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C ：

222

2

1x y a

b

+

=（0a b >>）的左焦点为

1(1,0)F -，且点(0,1)P 在1C 上.

（1）求椭圆1C 的方程；

（2）设直线l 同时与椭圆1C 和抛物线2C ：24y x =相切，求直线l 的方程. 【答案】

【解析】（1）因为椭圆1C 的左焦点为1(1,0)F -，所以1c =，

点(0,1)P 代入椭圆222

2

1x y a

b

+

=，得

2

11b

=，即1b =，

所以222

2a b c =+=，

所以椭圆1C 的方程为

2

2

12

x

y +=.

（2）直线l 的斜率显然存在，设直线l 的方程为y kx m =+，

22

12

x y y kx m ?+=???=+?

，消去y 并整理得222

(12)4220k x km x m +++-=，

因为直线l 与椭圆1C 相切，所以2222164(12)(22)0k m k m ?=-+-=， 整理得22210k m -+= ①

24y x

y kx m

?=?

=+?，消去y 并整理得222(24)0k x km x m +-+=。 因为直线l 与抛物线2C 相切，所以222(24)40km k m ?=--=， 整理得1km = ②

综合①②，解得2k m ?=???

=?

或2k m ?=-

??

?=?。 所以直线l

的方程为2

y x =

+

2

y x =-

-

24.【2102高考北京文19】(本小题共14分) 已知椭圆C ：

22

x a

+

22

y b

=1（a ＞b ＞0）的一个顶点为A （2,0），

离心率为

2

， 直线y=k(x-1)

与椭圆C 交与不同的两点M,N

（Ⅰ）求椭圆C 的方程 （Ⅱ）当△AMN

的面积为

3

时，求k 的值

【考点定位】此题难度集中在运算，但是整体题目难度确实不大，从形式到条件的设计都是非常熟悉的，相信平时对曲线的练习程度不错的学生做起来应该是比较容易的。

解：（1

）由题意得22222a c

a a

b

c =??

?=

??=+??

解得b =.所以椭圆C 的方程为

2

2

14

2

x

y

+

=.

（2）由22(1)142

y k x x y =-???+=??得2222

(12)4240k x k x k +-+-=.

设点M,N 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则11(1)y k x =-，22(1)y k x =-，2122

412k

x x k

+=

+，2

122

2412k x x k

-=

+.

所以

12k

+.

由因为点A(2,0)到直线(1y k x =-）

的距离d =

所以△AMN 的面积为1||2

12S M N d k

=

?=

+. 由

123

k

=

+，解得

1k =±.

25.【2012高考山东文21】 (本小题满分13分)

如图，椭圆222

2

:

1(0)x y M a b a

b

+

=>>2

，直线x a =±和y b =±所围成的矩

形ABCD 的面积为8.

(Ⅰ)求椭圆M 的标准方程；

(Ⅱ) 设直线:()l y x m m =+∈R 与椭圆M 有两个不同的交点,,P Q l 与矩形ABCD 有两个

不同的交点,S T .求

||||

P Q ST 的最大值及取得最大值时m 的值.

【答案】(21)(I)2

2

2

32

4

c a b e a

a

-=

=?

=

……①

矩形ABCD 面积为8，即228a b ?=……② 由①②解得：2,1a b ==， ∴椭圆M 的标准方程是

2

2

14

x

y +=.

(II)2222

44,58440,

x y x m x m y x m ?+=?++-=?=+?，

设1122(,),(,)P x y Q x y ，则2

1212844

,5

5

m x x m x x -+=-=

，

由226420(44)0m m ?=-->得m <.

||PQ =

.

当l 过A 点时，1m =，当l 过C 点时，1m =-.

①当1m <-时，有(1,1),(2,2),||)S m T m ST m ---+=

+，

||||

PQ ST =

其中3t m =+，由此知当134

t

=

，即45,(1)3

3

t m =

=-

∈-时，||||

P Q ST .

②由对称性，可知若1m <<53

m =时，

||||

P Q ST

.

③当11m -≤≤

时，||ST =

||||

PQ ST =，

由此知，当0m =时，

||||

P Q ST

.

综上可知，当53m =±和0时，||||

P Q ST

.

26.【2102高考福建文21】（本小题满分12分）

如图，等边三角形OAB

的边长为E ：x 2=2py （p ＞0）上。

（1） 求抛物线E 的方程；

（2） 设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y=-1相较于点Q 。证明以PQ 为直径的

圆恒过y 轴上某定点。

考点：圆锥曲线的定义，直线和圆锥曲线的位置关系，定值的证明。

难度：难。

分析：本题考查的知识点为抛物线方程的求解，直线和圆锥曲线的联立，定值的表示及计算。

解答：

（I ）设1122(,),(,)A x y B x y ；则22

11222,2x py x py ==

222222

11221122

12121212

22()(2)0(2,,0)OA OB x y x y py y py y y y p y y y y p y y =?+=+?+=+?-++=?=>

得：点,A B 关于y 轴对称（lfxlby ）

(OA OB AB A B ===?-

代入抛物线E 的方程得：2

22x

p y

==?抛物线E 的方程为2

4x y =

（II ）设2

00(,

)4

x P x ；则2

114

2

y x y x '=

?=

过点P 的切线方程为2

00011()4

2

y x x x x -

=

-即2

00112

4

y x x x =-

令2

00

41(,1)2x y Q x -=-?-

设(0,)M t 满足：0M P M Q = 及20000

4

(,),(,1)2x M P x y t M Q t x -=-=--

得：22

04(2)(1)0t t t x +-+-=对00x ≠均成立

220,101t t t t ?+-=-=?= 以PQ 为直径的圆恒过y 轴上定点(0,1)M

27.【2012高考上海文22】（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分

在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22:21C x y -=

（1）设F 是C 的左焦点，M 是C

右支上一点，若M F =，求点M 的坐标； （2）过C 的左焦点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积； （3）设斜率为k

（k

1x y +=相切，求

证：O P ⊥O Q [解]（1）双曲线1:

2

2

1

2

=-y C x

，左焦点)0,(2

6-

F .

设),(y x M ，则2

2

22

2

2

62

)3()(||+=++=x y x MF ， ……2分

由M 是右支上一点，知2

2≥x ，所以223||2

2=+=x MF ，得2

6=

x .

所以)2,(

2

6±

M . ……5分 （2）左顶点)0,(2

2-

A ，渐近线方程：x y 2±=.

过A 与渐近线x y 2=平行的直线方程为：)(22

2+

=

x y ，即12+=x y .

解方程组???+=-=122x y x y ，得????

?=-

=2

1

4

2

y x . ……8分

所求平行四边形的面积为4

2||||==y OA S . ……10分

（3）设直线PQ 的方程是b kx y +=.因直线与已知圆相切，故

11

||2

=+k b ，

即122+=k b (*).

由???=-+=1

22

2y x b kx y ，得012)2(222=----b kbx x k . 设P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2)，则?????==+----2

2

2

212

12221k b

k kb

x x x x . ))((2121b kx b kx y y ++=，所以

2212122121)()1(b x x kb x x k y y x x OQ OP ++++=+=?

2

2

22

2

22

2

2

21222)

1)(1(k

k b k

b k k

b k --+-----+=

+

.

由(*)知0=?OQ OP ，所以OP ⊥OQ . ……16分 【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系．特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为2，它的渐近线为x y ±=，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本

题属于中档题 ．

28．【2012高考新课标文20】（本小题满分12分）

设抛物线C ：x 2

=2py (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点.

（I ）若∠BFD =90°,△ABD 的面积为42，求p 的值及圆F 的方程；

（II ）若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值.

【命题意图】本题主要考查圆的方程、抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、点到直线距离公式、线线平行等基础知识，考查数形结合思想和运算求解能力.

【解析】设准线l 于y 轴的焦点为E ，圆F 的半径为r ， 则|FE|=p ，||||=||FA FB FD ==r ，E 是BD 的中点，

(Ⅰ) ∵0

90BFD ∠=，∴||||=||FA FB FD =

，|BD|=2p ， 设A(0x ，0y )，根据抛物线定义得，|FA|=02p y +，

∵ABD ?

的面积为∴ABD S ?=

01||()2

2p B D y +

=122p ??

=，解得p =2，

∴F(0,1),

FA|= ∴圆F 的方程为：22

(1)8x y +-=；

(Ⅱ) 【解析1】∵A ，

B ，F 三点在同一条直线m 上, ∴A B 是圆F 的直径，0

90ADB ∠=, 由抛物线定义知1||||||2

A D F A A

B ==

，∴0

30ABD ∠=，∴m

的斜率为

3

或－

3

，

∴直线m

的方程为：32

p y x =±+

，∴原点到直线m 的距离1d

4

p ，

设直线n

的方程为：3

y x b =±

+，代入2

2x py =

得，2

203

x x pb ±

-=，

∵n 与C 只有一个公共点， ∴?=2

4803

p pb +=，∴6

p b =-

，

∴直线n

的方程为：36

p y x =±

-

，∴原点到直线n 的距离2d

=

12

p ，

∴坐标原点到m ，n 距离的比值为3. 【解析2】由对称性设2

00(,

)(0)2x A x x p

>，则(0,

)2

p F

点,A B 关于点F 对称得：2

2

22

00(,)3222

x x p B x p p x p p

p

--

?-

=-

?=

得：3,

)2

p A

，直线3:022

p

p

p m y x x -

=+?-

+

=

2

2

223

3

x

x x py y y x p p

p

'=?=

?=

=?=?

切点(

,

)3

6

p P

直线:)06

3

3

6

p n y x x p -

=

-

?-

-

=

坐标原点到,m n

32

6

=。

29.【2012高考浙江文22】本题满分14分）如图，在直角坐标系xOy 中，点P （1，12

）到

抛物线C ：2

y =2px （P ＞0）的准线的距离为54

。点M （t ，1）是C 上的定点，A ，B 是C

上的两动点，且线段AB 被直线OM 平分。

（1）求p,t 的值。

（2）求△ABP 面积的最大值。

【命题意图】本题主要考查了抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力. 【解析】

（1）由题意得215124pt p =???+=??，得121p t ?=???=?

. （2）设()1122(,),,A x y B x y ，线段AB 的中点坐标为(,)Q m m 由题意得，设直线AB 的斜率为k （k 0≠）.

由211222

2px 2px y y ?=??=??，得211221()()()y y y y k x x -+=-，得21k m ?= 所以直线的方程为1

()2y m x m m -=-，即2

220x m y m m -+-=. 由22220x m y m m y x

?-+-=??=??，整理得22220y my m m -+-=， 所以244m m =- ，122y y m +=，2122y y m m =-.从而得

12AB y y =-=，

设点P 到直线AB 的距离为d ，则

d =，设?ABP 的面积为S

，则2112()2S A B d m m =?=--?由2440m m ?=->，得01m <<.

令t =，1

02

t <<，则2(12)S t t =-. 设2(12)S t t =-，1

02t <≤

，则216S t '=-. 由2160S t '=-=，

得10,62t ??= ???，

所以m ax 9S =，故?ABP

的面积的最大值为9. 30.【2012高考湖南文21】（本小题满分13分）

在直角坐标系xOy 中，已知中心在原点，离心率为12的椭圆E 的一个焦点为圆C ：x 2+y 2

-4x+2=0的圆心. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；

（Ⅱ）设P 是椭圆E 上一点，过P 作两条斜率之积为12的直线l 1，l 2.当直线l 1，l 2都与圆C 相切时，求P 的坐标.

【答案】

【解析】（Ⅰ）由22420x y x +-+=，得22(2)2x y -+=.故圆Ｃ的圆心为点

(2,0),从而可设椭圆Ｅ的方程为

222

2

1(0),x y a b a

b

+

=>>其焦距为2c ，由题设知

2

2

2

12,,24,12.2

c c e a c b a c a

===

∴===-=故椭圆Ｅ的方程为：

2

2

1.16

12

x

y

+

=

（Ⅱ）设点p 的坐标为00(,)x y ，12,l l 的斜分率分别为12,.k k 则12,l l 的方程分别为

10102

2

:(),:(),l y y k x x l y y k x x -=--=-且121.2

k k =由1l 与圆22

:(2)2c x y -+=相

切，得

x =，

即 2

2

2

10020(2)2

2(2)20.x k x y k y ??--+-+-=?? 同理可得 2

22

20

020

(2

)2

2(2)2

x k x y k y ??--+-+-=??. 从而12,k k 是方程022

0000(2)22(2)20x k x y k y ??--+-+-=??

的两个实根，于是 2

022

00(2)20,8(2)20,x x y ?--≠?

????=-+->????

① 且2

0122

22 2.(2)2

y k k x -=

=--

由22

00

2

02

01,161221(2)22

x y y x ?+=?

??-?=?--?得2

0058360.x x --=解得02,x =或010.5x = 由02x =-得03;y =±由0185

x =

得05y =±

它们满足①式，故点Ｐ的坐标为

(2,3)-，或(2,3)--

，或18(

5

5

，或18(,5

5

-

.

【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问根据条件设出椭圆方程，求出,,c a b 即得椭圆E 的

方程，第二问设出点P 坐标，利用过P 点的两条直线斜率之积为

12

，得出关于点P 坐标的

一个方程，利用点P 在椭圆上得出另一方程，联立两个方程得点P 坐标. 31.【2012高考湖北文21】（本小题满分14分）

设A 是单位圆x 2+y 2=1上任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足当点A 在圆上运动时，记点M 的

轨迹为曲线C 。

（1）求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标。

（2）过原点斜率为K 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，且它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H ，是否存在m,使得对任意的K>0，都有PQ ⊥PH ？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由。 21. 【答案】

解：（Ⅰ）如图1，设(,)M x y ，00(,)A x y ，则由||||(0,1)DM m DA m m =>≠且，

可得0x x =，0||||y m y =，所以0x x =，01||||y y m =

.

①

因为A 点在单位圆上运动，所以22001x y +=. ② 将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为22

2

1 (0,1)y x m m m

+

=>≠且.

因为(0,1)(1,)m ∈+∞ ，所以

当01m <<时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，

两焦点坐标分别为(0)

，0)； 当1m >时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，

两焦点坐标分别为(0,-

，(0,

.

（Ⅱ）解法1：如图2、3，0k ?>，设11(,)P x kx ，22(,)H x y ，则11(,)Q x kx --，1(0,)N kx ，

直线QN 的方程为12y kx kx =+，将其代入椭圆C 的方程并整理可得

2

2

2

2

2

2

2

11(4)40m k x k x x k x m +++-=.

依题意可知此方程的两根为1x -，2x ，于是由韦达定理可得

2

1122

244k x x x m k

-+=-

+，即2

122

2

4m x x m k

=

+.

因为点H 在直线QN 上，所以2

12122

2224km x y kx kx m k

-==

+.

于是11(2,2)PQ x kx =--

，2

2

1121212

2

2

2

42(,)(,

)

44k x km x PH x x y kx m k

m k

=--=-++ .

而PQ PH ⊥等价于222

1

22

4(2)04m k x PQ PH m k

-?==+ ，

即220m -=，又0m >

，得m =

故存在m =2

2

12

y

x +

=上，对任意的0k >，

都有PQ PH ⊥.

解法2：如图2、3，1(0,1)x ?∈，设11(,)P x y ，22(,)H x y ，则11(,)Q x y --，

1(0,)

N y ，

因为P ，H 两点在椭圆C 上，所以22221122

22

22,

,

m x y m m x y m ?+=??+=?? 两式相减可得

2

2

2

2

2

1212()()0m x x y y -+-=. ③

依题意，由点P 在第一象限可知，点H 也在第一象限，且P ，H 不重合， 故1212()()0x x x x -+≠. 于是由③式可得

2

12121212()()()()

y y y y m

x x x x -+=--+. ④

又Q ，N ，H 三点共线，所以Q N Q H k k =，即1121

12

2y y y x x x +=+.

于是由④式可得2

11212121

12

1212()()12()()2

P Q P H y y y y y y y m k k x x x x x x x --+?=

?=?=---+.

而PQ PH ⊥等价于1PQ PH k k ?=-，即2

12

m -

=-，又0m >

，得m =，

故存在m =2

2

12

y

x +

=上，对任意的0k >，都有

PQ PH ⊥.

【解析】本题考查椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系；考查分类讨论的数学思想

以及运算求解的能力.本题是一个椭圆模型，求解标准方程时注意对焦点的位置分类讨论，不要漏解；对于探讨性问题一直是高考考查的热点，一般先假设结论成立，再逆推所需要求解的条件，对运算求解能力和逻辑推理能力有较高的要求.

32.【2012高考全国文22】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

已知抛物线2

:(1)C y x =+与圆2

22

1:(1)()(0)2

M x y r r -+-

=>有一个公共点A ，

且在点A 处两曲线的切线为同一直线l . （Ⅰ）求r ；

（Ⅱ）设m 、n 是异于l 且与C 及M 都相切的两条直线，m 、n 的交点为D ，求D 到l 的距离。

【命题意图】本试题考查了抛物线与圆的方程，以及两个曲线的公共点处的切线的运用，

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