《最优化方法》复习题
更新时间:2023-04-12 04:15:01 阅读量: 实用文档 文档下载
《最优化方法》复习题
一、 简述题
1、怎样判断一个函数是否为凸函数. (例如: 判断函数2122
212151022)(x x x x x x x f +-++=是否为凸函数) 2、写出几种迭代的收敛条件.
3、熟练掌握利用单纯形表求解线性规划问题的方法(包括大M 法及二阶段法).
见书本61页(利用单纯形表求解);
69页例题 (利用大M 法求解、二阶段法求解);
4、简述牛顿法和拟牛顿法的优缺点.
简述共轭梯度法的基本思想.
;
写出Goldstein 、Wolfe 非精确一维线性搜索的公式。
5、叙述常用优化算法的迭代公式.
(1)法的迭代公式:(1)(),().
k k k k k k k k a b a a b a λτμτ=+--??=+-?
(2)Fibonacci 法的迭代公式:111(),(1,2,,1)()n k k k k k n k n k k k k k n k F a b a F k n F a b a F λμ---+--+?=+-??=-??=+-??
.
(3)Newton 一维搜索法的迭代公式: 11k k k k x x G g -+=-. (4)推导最速下降法用于问题1min ()2
T T f x x Gx b x c =++的迭代公式: 1()T k k k k k T k k k
g g x x f x g G gx +=-? (5)Newton 法的迭代公式:211[()]()k k k k x x f x f x -+=-??.
(6)共轭方向法用于问题1min ()2
T T f x x Qx b x c =++的迭代公式: 1()T k k k k k T k k
f x d x x d d Qd +?=-. 、
二、计算题
双折线法练习题 课本135页 例3.9.1
FR 共轭梯度法例题:课本150页 例4.3.5
二次规划有效集:课本213页例6.3.2,
所有留过的课后习题.
三、练习题:
1、设n n A R ?∈是对称矩阵,,n b R c R ∈∈,求1()2T T f x x Ax b x c =
++在任意点x 处的梯度和Hesse 矩阵.
解 2(),()f x Ax b f x A ?=+?=.
2、设()()t f x td ?=+,其中:n f R R →二阶可导,,,n n x R d R t R ∈∈∈,试求()t ?''. 解 2()(),()()T T t f x td d t d f x td d ??'''=?+=?+.
(
3、证明:凸规划min ()x S f x ∈的任意局部最优解必是全局最优解.
证明 用反证法.设x S ∈为凸规划问题min ()x S
f x ∈的局部最优解,即存在x 的某个δ邻域()N x δ,使()(),()f x f x x N x S δ≤?∈.若x 不是全局最优解,则存在x S ∈,使()()f x f x <.由于()f x 为S 上的凸函数,因此 (0,1)λ?∈,有
((1))()(1)()()f x x f x f x f x λλλλ+-≤+-<. 当λ充分接近1时,可使(1)()x x N x S δλλ+-∈,于是()((1))f x f x x λλ≤+-,矛盾.从而x 是全局最优解.
4、已知线性规划:123123123123123min ()2;..360,2210,20,,,0.f x x x x s t x x x x x x x x x x x x =-+??++≤??-+≤??+-≤??≥?
(1)用单纯形法求解该线性规划问题;
(2)写出线性规划的对偶问题;
解 (1)引进变量456,,x x x ,将给定的线性规划问题化为标准形式:
123123412351236126min ()2;..360,2210,20,,,,0.f x x x x s t x x x x x x x x x x x x x x x =-+??+++=??-++=??+-+=??≥?
—
所给问题的最优解为(0,20,0)T x =,最优值为20f =-.
(2)所给问题的对偶问题为:
123123123123123max ()601020;..32,21,21,,,0.g y y y y s t y y y y y y y y y y y y =---??---≤??-+-≤-??--+≤??≥?
5、用法求解 2min ()(3)t t ?=-,要求缩短后的区间长度不超过,初始区间取
[0,10].
解 第一次迭代:
取11[,][0,10],0.2a b ε==.
确定最初试探点11,λμ分别为
11110.382() 3.82a b a λ=+-=,11110.618() 6.18a b a μ=+-=.
求目标函数值:21()(3.823)0.67?λ=-=,21()(6.183)10.11?μ=-=. %
比较目标函数值:11()()?λ?μ<.
比较11 6.1800.2a με-=->=.
第二次迭代:
212121210, 6.18, 3.82,()()0.67a a b μμλ?μ?λ========.
2222220.382()0.382(6.180) 2.36,()(2.363)0.4a b a λ?λ=+-=-==-=. 2222()(), 3.82a ?λ?μμε<-=>.
第三次迭代:
323232320, 3.82, 2.36,()()0.4a a b μμλ?μ?λ========. 2333330.382()0.382(3.820) 1.46,()(1.463) 2.37a b a λ?λ=+-=-==-=. 3333()(), 3.82 1.46b ?λ?μλε>-=->.
、
第四次迭代:
434343431.46, 3.82, 2.36,()()0.4a b b λλμ?λ?μ========. 444440.618() 1.460.0.618(3.82 1.46) 2.918,()0.0067a b a μ?μ=+-=+-==. 4444()(), 3.82 2.36b ?λ?μλε>-=->.
第五次迭代:
545454542.36, 3.82, 2.918,()()0.0067a b b λλμ?λ?μ========. 555550.618() 3.262,()0.0686a b a μ?μ=+-==.
5555()(), 3.262 2.36a ?λ?μμε<-=->.
第六次迭代:
656565652.36, 3.262, 2.918,()()0.0067a a b μμλ?μ?λ========. {
666660.382() 2.7045,()0.087a b a λ?λ=+-==.
6666()(), 3.262 2.7045b ?λ?μλε>-=->.
第七次迭代:
767676762.7045, 3.262, 2.918,()()0.0067a b b λλμ?λ?μ========. 777770.618() 3.049,()0.002a b a μ?μ=+-==.
7777()(),b ?λ?μλε>->.
第八次迭代:
878787872.918, 3.262, 3.049,()()0.002a b b λλμ?λ?μ========.
888880.618() 3.131,()0.017a b a μ?μ=+-==. 8888()(),a ?λ?μμε<->.
{
第九次迭代:
989899982.918, 3.131, 3.049,()()0.002a a b μμλ?μ?λ========. 999990.382() 2.999,()0.000001a b a λ?λ=+-==. 9999()(), 3.049 2.918a ?λ?μμε<-=-<. 故99
3.0242x λμ+==.
6、用最速下降法求解 221122
12min ()2243f x x x x x x x =++--,取(0)(1,1)T x =,迭代两次.
解 1212()(224,243)T f x x x x x ?=+-+-,
将()f x 写成1()2T T f x x Gx b x =
+的形式,则224,243Q b -????== ? ?-????. 第一次迭代:
(0)(0)(1)(0)(0)(0)(0)()()()()()T T f x f x x
x f x f x G f x ??=-??? )
0(0,3)1013220131/4(0,3)243?? ?????????=-= ? ? ??????????? ???????
. 第二次迭代:
(1)(1)(2)(1)
(1)(1)(1)()()()()()T T f x f x x x f x f x G f x ??=-??? 3/2(3/2,0)13/27/40223/21/401/4(3/2,0)240-??- ?-????????=-= ? ? ?-??????????- ???????.
7、用FR 共轭梯度法求解
222123123123min ()()()()f x x x x x x x x x x =-++-++++-,取(0)11(,1,)22
T x =,迭代两次.若给定0.01,ε=判定是否还需进行迭代计算. 解 222123121323()3()2()f x x x x x x x x x x =++-++, 再写成1()2T f x x Gx =,622262226G --?? ?=-- ? ?--??
,()f x Gx ?=. 第一次迭代:
(0)()(0,4,0)T f x ?=,令(0)0()(0,4,0)T d f x =-?=-, 从(0)x 出发,沿0d 进行一维搜索,即求(0)200min ()21648f x d λλλλ≥+=-+的最优解,得
《
(1)(0)0001/6,(1/2,1/3,1/2)T x x d λλ==+=.
第一次迭代:
(1)()(4/3,0,4/3)T f x ?=.2(1)02(0)()
29
()f x f x α?==?, (1)100()(4/3,8/9,4/3)T d f x d α=-?+=---. 从(1)x 出发,沿1d 进行一维搜索,即求
(1)10142362214181418min ()(,,)262233923392261423f x d λλλλλλλλ≥??- ?--?? ? ? ?+=------ ? ? ?-- ??? ?- ???
的最优解,得
(2)(1)1111/24/333,1/38/9(0,0,0)881/24/3T x x d λλ-???? ? ?==+=+-= ? ? ? ?-????.
此时
(2)(2)()(0,0,0),()00.01T f x f x ε?=?=<=.
》 得问题的最优解为(0,0,0)T x =,无需再进行迭代计算.
8、求解问题 (方法不限定)
()22121212121211min 51022
..2330420
,0
f x x x x x s t x x x x x x =+---≤+≤≥取初始点()0,5T .
9、采用精确搜索的BFGS 算法求解下面的无约束问题:
21222121)(min x x x x x f -+=
解:取T x )1,1()0(= I B =0 ???? ??--=?12
212)(x x x x x f
第一步迭代:
???
? ??=?10)()0(x f ???? ??-=?-=-10)()0(10)0(x f B d ,ααααφ+-+=+=2)0()0()1(21
)()(d x f ,令0)('=αφ,求得2/10=α;
第二步迭代:
????? ??=+=211)
0(0)0()1(d x x α,????? ??=?021)()1(x f ,????? ??-=-=210)0()1()0(x x s 、
????
? ??-=?-?=121)()()0()1()0(x f x f y
??
????--=??????--+??????-??????=2112/32112/1100010011B -=)1(d ?????? ??--=?-4121)()1(11x f B ,)()()1()1(d x f ααφ+=,令0)('=αφ,求得21=α。故
???? ??=+=00)1(1)1()2(d x x α,由于???
? ??=?00)()2(x f ,故)2(x 为最优解。 10、用有效集法求解下面的二次规划问题:
.
0,00
1..42)(min 21212
12221≥≥≥+----+=x x x x t s x x x x x f
解:取初始可行点(0)(0)0(0,0),(){2,3}.x A A x ===求解等式约束子问题
221212
12min 24..0,0
d d d d s t d d +--== 得解和相应的Lagrang
e 乘子
(0)(1)(0)10(0,0),(2,4)(0,0),\{3}{2}
T T
T d x x A A λ==--====故得
—
转入第二次迭代。求解等式约束子问题
2212121min 24..0
d d d d s t d +--= 得解 (1)(1)(1)(1)111(1)(1)(0,2)0
1min{1,1,3,0}2
T T T T i i i T T i i d b a x b a x i a d a d a d α=≠--==<==计算
令
(2)(1)(1)121(0,1),{1}{1,2}T x x d A A α=+=== 转入第三次迭代。求解等式约束子问题
221212
121min 22..0,0d d d d s t d d d +--+==
得解和相应的Lagrange 乘子
!
(2)(0,0),(2,0)T T
d λ==
由于(2)0λ≥,故得所求二次规划问题的最优解为
(2)(0,1)T
*==,
x x
相应的Lagrange乘子为
λ*=
(2,0,0)T
最速下降法的优缺点:
优点:方法简单,计算量较小;最速下降法为全局收敛,对初始点的要求很少。
缺点:最速下降法的收敛速度与变量的尺度关系很大,对有些例子,在极小点附近产生显著的锯齿现象,收敛十分缓慢;最
,
速下降法的最速下降仅是一种局部性质,即从局部来看目标函数的值下降得最快,但从总体来看它可能走了许多弯路。
牛顿法的优缺点:
优点:牛顿法的收敛速度快,为二阶收敛;公式简单,
计算方便。
缺点:牛顿法要求f(x)二阶可微,迭代中需多次计算
;牛顿法具有局部收敛性,对初始点的要求比较苛刻。
共轭梯度法的优缺点:
优点:计算公式简单,存储量较小,对初始点要求很少,对二次函数具有二次终止性;收敛速度介于最速下降法和牛顿法之间,对高维(n 较大)的非线性函数具有较高的效率。对于二次函数具有二次终止性,一般情况下优于共轭梯度法。
缺点:共轭梯度法的收敛性依赖于精确的一维搜索,计算量较大;共轭梯度法的一些理论背景至今尚不清楚,如周期性的重新开始,初始搜索放心的选取,一维搜索的精确性等,对共轭梯度法执行的影响仍有待进一步研究。
拟牛顿法的优缺点:
优点:拟牛顿法具有较快的收敛速度(是超线性的);
对于二次函数具有二次终止性,一般情况下优于共轭梯度法。
缺点:拟牛顿法需要的存储量较大,对大型计算不便;DFP法远不如BFGS法数值稳定性好,BFGS法具有较强的数值计算稳定性。
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