成考高数一公式

高等数学公式 导数公式：

2(tgx)??secx(arcsinx)??(arccosx)???(arctgx)??11?x11?x11?x2222(ctgx)???cscx(secx)??secx?tgx(cscx)???cscx?ctgx(a)??alna(logaxxx)??1xlna(arcctgx)???11?x2基本积分表：

三角函数的有理式积分：

?tgxdx?ctgxdx?sec?a?x?a???lncosx?C?lnsinx?C?cos?sindx2xx???sec?csc2xdx?tgx?Cxdx??ctgx?Cdx22xdx?lnsecx?tgx?C?cscxdx?lncscx?ctgx?Cdx2?secx?tgxdx?cscx?ctgxdx?ax?secx?C??cscx?C?C?xdx?adx?xdx22???1a1arctglnlnxa?C?C?Cx?ax?aa?xa?xxadx?axlna222a12a?shxdx?chxdx??2?chx?C?shx?C?ln(x?x?a)?C2222a?x2?arcsin?Cdxx?a22?2In??sin02nxdx??cos0nxdx?2n?1naaa2In?2x?a)?Cx?axa?C2222???sinx?2u1?ux?adx?x?adx?a?xdx?22222x2x2x2x?a?x?a?a?x?2222222ln(x?lnx?arcsin22?C2，　cosx?2x2du，　u?tg，　dx?22

21?u1?u1?u2

双曲正弦:shx?双曲余弦:chx?双曲正切:thx?arshx?ln(x?archx??ln(x?arthx?12ln1?x1?xe?e2e?e2shxchx2xx?xlim?xsinxx1xx?0?1)?e?2.7182818284xlim(1?x??59045...?e?ee?exx?x?xx?1）x?1)2一些初等函数： 两个重要极限： 三角函数公式： ·诱导公式：

函数 角A -α 90°-α 90°+α 180°-α 180°+α 270°-α 270°+α 360°-α 360°+α sin cos tg -tgα ctgα ctg -ctgα tgα -ctgα ctgα tgα -ctgα ctgα -sinα cosα cosα cosα sinα sinα -sinα -ctgα -tgα -cosα -tgα -sinα -cosα tgα -cosα -sinα ctgα -cosα sinα -sinα cosα sinα cosα -tgα tgα -ctgα -tgα

·和差角公式： ·和差化积公式：

sin(???)?sin?cos??cos?sin?cos(???)?cos?cos??sin?sin?tg(???)?tg??tg?1?tg??tg?ctg??ctg??1ctg??ctg?sin??sin??2sinsin??sin??2cos???2cossin???2???2???2cos??cos??2coscos??cos??2sin???2cossin???2ctg(???)????2???2

·倍角公式： sin2??2sin?cos?cos2??2cos??1?1?2sin??cos??sin?ctg2??tg2??ctg??12ctg?2tg?1?tg?222222sin3??3sin??4sin?cos3??4cos??3cos?tg3??3tg??tg?1?3tg?2333

·半角公式：

sintg?2????1?cos?21?cos?1?cos?asinA　　　　　　　　　　1?cos?sin?bsinB　　cos　　ctg?2??1?cos?21?cos?1?cos??1?cos?sin??sin?1?cos??2??sin?1?cos??2??

·正弦定理：

·反三角函数性质：arcsinx??2?arccosx　　　arctgx???csinC?2R ·余弦定理：c?a?b?2abcosC

222?2?arcctgx

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：

n(uv)?u(n)??Ck?0knu(n?k)v(k)(n)v?nu(n?1)v??n(n?1)2!u(n?2)v?????n(n?1)?(n?k?1)k!

u(n?k)v(k)???uv(n)中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理：柯西中值定理：f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)?f?(?)F?(?)拉格朗日中值定理。f(b)?f(a)F(b)?F(a)

当F(x)?x时，柯西中值定理就是曲率：

弧微分公式：平均曲率：K?ds????s1?y?dx,其中y??tg?.??:从M点到M?点，切线斜率的倾角变???sd?dsy??(1?y?)232化量；?s：MM?弧长。M点的曲率：直线：K?0;K?lim?s?0??.半径为a的圆：K?1a.

定积分的近似计算：

b矩形法：?f(x)?abb?an(y0?y1???yn?1)梯形法：?f(x)?abb?a1[(y0?yn)?y1???yn?1]n2b?a3n[(y0?yn)?2(y2?y4???yn?2)?4(y1?y3???yn?1)]

抛物线法：?f(x)?a定积分应用相关公式：

功：W?F?s水压力：F?p?A引力：F?km1m2r2,k为引力系数1b?ab

函数的平均值：y?1b?ab?af(x)dx均方根：?af(t)dt2空间解析几何和向量代数：

空间2点的距离：向量在轴上的投影：d?M1M2?(x2?x1)?(y2?y1)?(z2?z1)222PrjuAB?AB?cos?,?是AB与u轴的夹角。????Prju(a1?a2)?Prja1?Prja2????a?b?a?bcos??axbx?ayby?azbz,是一个数量两向量之间的夹角：cos??k,axbx?ayby?azbzax?ay?az?bx?by?bz222222i???c?a?b?axbxjayby???az,c?a?bsin?.例：线速度：bzaybycyazbzcz???v?w?r.ax??????向量的混合积：[abc]?(a?b)?c?bxcx代表平行六面体的体积。????a?b?ccos?,?为锐角时，

平面的方程：1、点法式：?A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0，其中n?{A,B,C},M0(x0,y0,z0)Ax?By?Cz?D?0xa?yb?zc?1d?Ax0?By0?Cz0?DA?B?C空间直线的方程：2222、一般方程：3、截距世方程：平面外任意一点到该平面的距离：?x?x0?mtx?x0y?y0z?z0?????t,其中s?{m,n,p};参数方程：?y?y0?ntmnp?z?z?pt0?2222二次曲面：1、椭球面：2、抛物面：3、双曲面：单叶双曲面：双叶双曲面：xaxa2222xa222??yb?2zc?1xy2p2q?z（,p,q同号）??ybyb2222??zczc2222?1?（马鞍面）1

多元函数微分法及应用

全微分：dz??z?xdx??z?ydy　　　du??u?xdx??u?ydy??u?zdz全微分的近似计算：多元复合函数的求导法?z?dz?fx(x,y)?x?fy(x,y)?y：dz?z?u?z?vz?f[u(t),v(t)]　　　????　dt?u?t?v?t?z?z?u?z?vz?f[u(x,y),v(x,y)]　　　?　????x?u?x?v?x当u?u(x,y)，v?v(x,y)时，du??u?xdx??u?ydy　　　dv??v?xdx??v?ydy　隐函数的求导公式：FFFdydy??dy隐函数F(x,y)?0，　　??x，　　2?(?x)＋(?x)?dxFy?xFy?yFydxdxFyFx?z?z隐函数F(x,y,z)?0，　??，　　???xFz?yFz?F?F(x,y,u,v)?0?(F,G)隐函数方程组：?　　　J???u?G?(u,v)?G(x,y,u,v)?0?u?u?x?u?y????1?(F,G)?v1?(F,G)?　　　　???J?(x,v)?xJ?(u,x)1?(F,G)?v1?(F,G)?　　　　???J?(y,v)?yJ?(u,y)?F?v?Fu?GGu?vFvGv2

微分法在几何上的应用：

?x??(t)x?x0y?y0z?z0?空间曲线?y??(t)在点M(x0,y0,z0)处的切线方程：????(t0)??(t0)??(t0)?z??(t)?在点M处的法平面方程：若空间曲线方程为：??(t0)(x?x0)???(t0)(y?y0)???(t0)(z?z0)?0FzGzGz,FzFxGx,FxGxFyGy??Fy?F(x,y,z)?0,则切向量T?{?Gy??G(x,y,z)?0}曲面F(x,y,z)?0上一点M(x0,y0,z0)，则：?1、过此点的法向量：n?{Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}2、过此点的切平面方程3、过此点的法线方程：：Fx(x0,y0,z0)(x?x0)?Fy(x0,y0,z0)(y?y0)?Fz(x0,y0,z0)(z?z0)?0x?x0Fx(x0,y0,z0)?y?y0Fy(x0,y0,z0)?z?z0Fz(x0,y0,z0)方向导数与梯度：

函数z?f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向其中?为x轴到方向l的转角。l的方向导数为：?f?l??f?xcos???f?ysin?函数z?f(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)?它与方向导数的关系是单位向量。??f?l是gradf(x,y)在l上的投影。?f??f?i?j?x?y???f??：?gradf(x,y)?e，其中e?cos??i?sin??j，为l方向上的?l

多元函数的极值及其求法：

设fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?0，令：fxx(x0,y0)?A,　fxy(x0,y0)?B,　fyy(x0,y0)?C??A?0,(x0,y0)为极大值2??AC?B?0时，?A?0,(x0,y0)为极小值??2则：值?AC?B?0时，　　　　　　无极?AC?B2?0时,　　　　　　　不确定???

重积分及其应用：

??Df(x,y)dxdy???D?f(rcos?,rsin?)rdrd???z???z???1??????dxdy??x???y?22曲面z?f(x,y)的面积A???Dx平面薄片的重心：x?MM??x?(x,y)d??D???(x,y)d?D,　　y?MMy???DDy?(x,y)d????(x,y)d???D平面薄片的转动惯量：平面薄片（位于Fx?f对于x轴Ix???Dy?(x,y)d?,　　对于y轴Iy?2x?(x,y)d?2xoy平面）对z轴上质点M(0,0,a),(a?0)的引力：F?{Fx,Fy,Fz}，其中：，　　Fy?f3??D?(x,y)xd?222??D?(x,y)yd?222，　　Fz??fa??3D?(x,y)xd?3(x?y?a)2(x?y?a)2(x?y?a)2222

柱面坐标和球面坐标：

?x?rcos??柱面坐标：?y?rsin?,　　　???f(x,y,z)dxdydz???z?z?其中：F(r,?,z)?f(rcos?,rsin?,z)????F(r,?,z)rdrd?dz,?x?rsin?cos??2球面坐标：?y?rsin?sin?，　　dv?rd??rsin??d??dr?rsin?drd?d??z?rcos??2??r(?,?)????f(x,y,z)dxdydz?1M????F(r,?,?)rsin?drd?d??1M2?d??d?00?F(r,?,?)rsin?dr02重心：x?转动惯量：????x?dv,　　y?????y?dv,　　z?1M2????z?dv，　　其中M?x?22?????dvIx?????(y?z)?dv，　　Iy?22????(x?z)?dv，　　Iz?2????(x?y)?dv

曲线积分：

第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：?x??(t)设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：?,　　(??t??),则：y??(t)???Lf(x,y)ds????x?t22f[?(t),?(t)]??(t)???(t)dt　　(???)　　特殊情况：??y??(t)标的曲线积分）：第二类曲线积分（对坐设L的参数方程为?x??(t)，则：??y??(t)??P(x,y)dxL?Q(x,y)dy???{P[?(t),?L(t)]??(t)?Q[?(t),?(t)]??(t)}dt两类曲线积分之间的关L上积分起止点处切向量格林公式：系：?Pdx?Qdy?的方向角。)dxdy??(Pcos?L?Qcos?)ds，其中?和?分别为??(D?Q?x??P?y?PdxL?Qdy格林公式：??(D?Q?x??P?y)dxdy?12?PdxL?Qdy?Q?P当P??y,Q?x，即：??2时，得到?x?y·平面上曲线积分与路径1、G是一个单连通区域；无关的条件：D的面积：A???Ddxdy??xdyL?ydx2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数减去对此奇点的积分，·二元函数的全微分求积在?Q?x＝?P?y注意方向相反！：，且?Q?x＝?P?y。注意奇点，如(0,0)，应时，Pdx?Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中：(x,y)u(x,y)??P(x,y)dx(x0,y0)?Q(x,y)dy，通常设x0?y0?0。

曲面积分：

对面积的曲面积分：对坐标的曲面积分：????f(x,y,z)ds???Dxyf[x,y,z(x,y)]1?zx(x,y)?zy(x,y)dxdy22??P(x,y,z)dydzDxy?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdy，其中：号；号；号。?Qcos??Rcos?)ds??R(x,y,z)dxdy?????R[x,y,z(x,y)]dxdy，取曲面的上侧时取正????P[x(y,z),y,z]dydz，取曲面的前侧时取正Dyz??P(x,y,z)dydz???Q(x,y,z)dzdx?????Q[x,y(z,x),z]dzdx，取曲面的右侧时取正Dzx两类曲面积分之间的关系：??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy????(Pcos??

高斯公式：

????(?P?x??Q?y??R?z)dv???Pdydz??Qdzdx?Rdxdy???(Pcos???Qcos??Rcos?)ds高斯公式的物理意义——通量与散度：?div??0,则为消失...??P?Q?R散度：div????,即：单位体积内所产生的流体质量，若?x?y?z??通量：??A?nds???Ands???(Pcos??Qcos??Rcos?)ds，??因此，高斯公式又可写?成：divAdv????????A?nds斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：

???(?R?y??Q?z)dydz?(?P?z??R?x)dzdx?(dzdx??yQ?Q?x??P?y)dxdy?cos???xP?Pdx??Qdy?Rdzcos???zR上式左端又可写成：???dydz??xPdxdy??zR?R?y?????cos???yQ空间曲线积分与路径无i??xPj??yQ关的条件：k??zR?Q?P?R?Q?P，　?，　??z?z?x?x?y

?旋度：rotA??向量场A沿有向闭曲线?的环流量：?Pdx?Qdy?Rdz??????A?tds常数项级数：

等比数列：1?q?q2???qn?1?1?qn1?q等差数列：1?2?3???n?调和级数：1?12?13???1n(n?1)n2

是发散的级数审敛法：

1、正项级数的审敛法——根植审敛法（柯西判别法）：设：??limnn?????1时，级数收敛?un，则???1时，级数发散???1时，不确定????1时，级数收敛?，则???1时，级数发散???1时，不确定?散。2、比值审敛法：Un?1Un

设：??limn??3、定义法：sn?u1?u2???un;limsn存在，则收敛；否则发n??交错级数u1?u2?u3?u4??(或?u1?u2?u3??,un?0)的审敛法如果交错级数满足??un?un?1?limu?0，那么级数收敛且其和??n??n——莱布尼兹定理：s?u1,其余项rn的绝对值rn?un?1。

绝对收敛与条件收敛：

(1)u1?u2???un??，其中un为任意实数；(2)u1?u2?u3???un??如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对如果(2)发散，而(1)收敛，则称调和级数：?　　级数：?1nn发散，而收敛；ｐ?１时发散　　p?1时收敛收敛级数；(1)为条件收敛级数。n

?(?1)n收敛；12　　p级数：?1np幂级数：

1?x?x?x???x??　　23nx?1时，收敛于x?1时，发散11?x对于级数(3)a0?a1x　?a2x???anx??，如果它不是仅在原点x?R时收敛数轴上都收敛，则必存在R，使2n收敛，也不是在全x?R时发散，其中R称为收敛半径。x?R时不定??0时，R?求收敛半径的方法：设liman?1an??，其中an，an?1是(3)的系数，则1?n????0时，R???????时，R?0

函数展开成幂级数：

函数展开成泰勒级数：余项：Rn?f(n?1)f(x)?f(x0)(x?x0)?(x?x0)n?1f??(x0)2!(x?x0)???2f(n)(x0)n!(x?x0)??n(?)(n?1)!,f(x)可以展开成泰勒级数的f??(0)2!2充要条件是：limRn?0n??x0?0时即为麦克劳林公式：f(x)?f(0)?f?(0)x?x???f(n)(0)n!x??n

一些函数展开成幂级数：

(1?x)m?1?mx?x3m(m?1)2!x2???xm(m?1)?(m?n?1)n!xn??　　　(?1?x?1)

sinx?x?3!?x52n?15!???(?1)n?1(2n?1)!??　　　(???x???)欧拉公式：

ix?ix?e?e?cosx??2?cosx?isinx　　　或?ix?ix?sinx?e?e?2?eix

三角级数：

?f(t)?A0??n?1Ansin(n?t??n)?a02???(an?1ncosnx?bnsinnx)其中，a0?aA0，an?Ansin?n，bn?Ancos?n，?t?x。正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2x?sinnx,cosnx?任意两个不同项的乘积上的积分＝0。在[??,?]

傅立叶级数：

f(x)?a02???(an?1ncosnx?bnsinnx)，周期?2??1?an???其中?1?bn????1?　122????f(x)cosnxdx　　　(n?0,1,2?)????f(x)sinnxdx　　　(n?1,2,3?)13?2?142152???162?281?1222??1332??1442????????26（相加）?????2241?2?1212122（相减）12正弦级数：an?0，bn??2?0f(x)sinnxdx　　n?1,2,3?　f(x)??ba02nsinnx是奇函数?余弦级数：bn?0，an???0f(x)cosnxdx　　n?0,1,2?　f(x)???ancosnx是偶函数

周期为2l的周期函数的傅立叶级数：

f(x)?a02???(an?1ncosn?xl?bnsinn?xl)，周期?2ll?1n?xdx　　　(n?0,1,2?)?an??f(x)cosll??l其中?l1n?x?bn??f(x)sindx　　　(n?1,2,3?)?ll?l?

微分方程的相关概念：

一阶微分方程：y??f(x,y)　或　P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0：一阶微分方程可以化为g(y)dy?f(x)dx的形式，解法：可分离变量的微分方程?g(y)dy??yxf(x)dx　　得：G(y)?F(x)?C称为隐式通解。程可以写成dudx，u?dudxdydx?f(x,y)??(x,y)，即写成dxx?duyx的函数，解法：yx代替u，齐次方程：一阶微分方设u?，则dydx?u?x??(u)，??(u)?u分离变量，积分后将即得齐次方程通解。

一阶线性微分方程：

1、一阶线性微分方程：dydx?P(x)y?Q(x)?P(x)dxy?Ce?当Q(x)?0时,为齐次方程，

P(x)dx?P(x)dxdx?C)e?当Q(x)?0时，为非齐次方程，2、贝努力方程：dydxy?(?Q(x)e?n?P(x)y?Q(x)y，(n?0,1)全微分方程：

如果P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0中左端是某函数的全微du(x,y)?P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0，其中：?u(x,y)?C应该是该全微分方程的通解。?u分方程，即： ?u?P(x,y)，?Q(x,y)?x?y二阶微分方程： dydx22?P(x)dydx?Q(x)y?f(x)，f(x)?0时为齐次f(x)?0时为非齐次

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

(*)y???py??qy?0，其中p,q为常数；求解步骤：1、写出特征方程：(?)r2、求出(?)式的两个根2?pr?q?0，其中r，r的系数及常数项恰好是r1,r22(*)式中y??,y?,y的系数；3、根据r1,r2的不同情况，按下表写r1，r2的形式 出(*)式的通解：

(*)式的通解 两个不相等实根(p2?4q?0) 两个相等实根(p2?4q?0) 一对共轭复根(p2?4q?0) r1???i?，r2???i?y?c1er1x?c2er2x y?(c1?c2x)ey?e?xr1x(c1cos?x?c2sin?x) ???p2，??4q?p22 二阶常系数非齐次线性微分方程 y???py??qy?f(x)，p,q为常数f(x)?ePm(x)型，?为常数；f(x)?e[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]型?x?x

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