代数结构（非作业部分的课后习题答案）

第四章 代数结构

P86：

8、（1）a*b=a*a2=a2*a=b*a；

同理可证b*c=c*b和c*d=d*c；

a*c=a*b2=a*a4=a*(a*a*a*a) =(a*a)*(a*a)*a=b2*a=c*a 同理可证b*d；

a*d=a*c2=a*b4=a*a8=(a*a)* (a*a)*(a*a)* (a*a)*a=b4*a=c2*a=d*a

综三所证，对任意x,y?A，都有x*y=y*x成立，故*是可交换运算。

10、(Z＋,×)，其中Z+为正整数集，×为普通乘法运算，幺元为1。×运算在Z+上封闭，×运算可结合、可交换。除幺元1外，代数系统(Z＋,×)中每个元素都没有逆元。 11、

证明：由于?k可交换，故只需证明：任选a,b,c?Nk，都有：

a?k(b?kc)=(a?kb)?k(a?kc)和 (b?kc)?ka=(b?ka)?k(c?ka)成立

b?c])?k[kkb?ca?(b?c)b?c])?k[?a[]] = a?(b?c)?ak[kkkb?ca?(b?c)b?cb?c]?k[]?ak[] (因为a[]为整数) = a?(b?c)?ak[kkkka?(b?c)] = a?(b?c)?k[ka?k(b?kc)= a?(b?c?k[

a?(b?c?k[b?c])k]

(a?kb)?k(a?kc)

abac])?(ac?k[])abackk] = (ab?k[])?(ac?k[])?k[kkkacab(ab?ac)abac?([]?[])] = (ab?ac)?(k[]?k[])?k[kkkkk(ab?k[= (ab?ac)?(k[数)

acab(ab?ac)abacabac]?k[])?k[]?k([]?[]) (因为[]和[]是整kkkkkkk(ab?ac)] ka(b?c)] = a(b?c)?k[k= (ab?ac)?k[= a?k(b?kc)

又由?k是可交换运算可知:

(b?kc)?ka = a?k(b?kc) = (a?kb)?k(a?kc)=(b?ka)?k(c?ka)

故?k对?k可分配.

P87：

*)的同构映射f为： 14、(A,*)到(A,○

f(e)=e，f(b)=c, f(a)=a, f(c)=b；或者 f(e)=e，f(b)=c, f(a)=b, f(c)=a；

15. (N5, ?5)的所有自同构映射为f1、f2、f3和f4，其中 f1(k)=k, k?N5；

f2(0)=0，f2(1)=4，f2(2)=3，f2(3)=2，f2(4)=4； f3(0)=0，f3(1)=3，f3(2)=1，f3(3)=4，f3(4)=2； f4(0)=0，f4(1)=2，f4(2)=4，f4(3)=1，f4(4)=3；

16、(N5, ?5)的所有自同构映射为f1和f2，其中 f1(k)=k, k?N5；

f2(0)=0，f2(1)=1，f2(2)=3，f2(3)=2，f2(4)=4；

17、由f的定义可知：

a3a?b]) f(a?6b) = f(a?b?6[6=a?b?6[f(a)=(a (mod3))＝a?3[]，故

a?b]?3[6a?b?6[3a?b]6] a?b]6]

= a?b?6[a?b]?3[6a?b?6[3a?ba?ba?b]?3[?2[]] 636a?b] = a?b?3[3abf(a)?3f(b) = (a?3[])?3(b?3[])

33ab(a?3[])?(b?3[])ab33] = (a?3[])?(b?3[])?3[333ab(a?b)ab?([]?[])] =(a?b)?3([]?[])?3[33333ab(a?b)ab?([]?[])] = (a?b)?3([]?[])?3[33333a?b] = a?b?3[3= a?b?6[= f(a?6b)

19、不妨设?为（A,*）的零元，假设f(?)=?’，下面证明?’是代数系统(B,?)的零元。

任选b?B，由f是满同态可知：存在a?A，使得f(a)=b. 故，?’?b=f(?)?f(a)=f(?*a)=f(a)=b； 而且，b??’=f(a)?f(?)=f(a*?)=f(a)=b; 因此，?’为代数系统(B,?)的零元。 结论得证。

20、(N4, ?4)的所有自同态映射为： f1(k)=k, k?N4；

f2(0)=0，f2(1)=3，f2(2)=2，f2(3)=1； f3(0)=0，f3(1)=2，f3(2)=0，f3(3)=2； f4(0)=0，f4(1)=0，f4(2)=0，f4(3)=0；

P96:

1、(1)(3)(4)(5)不是半群，都不满足结合律。 (2)是半群。

2、(1)和(2)为独异点。

(3)和(4)不是独异点，因为没有幺元。

4、（{0,2,4},?4）是不含幺元的有限半群。

5、({0,2,4,6},?8),({0,4},?8)是(N8,?8)的两个子半群。

6、(N4,?4)的所有子独异点为：(N4,?4), ({0},?4), ({0,2},?4)。

8、({1,4,6},?10), ({1,2,4,6,8},?10), ({1,2,4,5,6,8,9},?10), ({1,2,3,4,5,6,7,8,9},?10)

9、0?62=2?60=0?A; 0?64=4?60=0?A; 2?64=4?62=2?A; 2?62=4?A; 4?64=4?A; 0?60=0?A; 因此，?6在A上封闭并且4为(A,?6)中的幺元。 显然，由(N6,?6)是独异点可知：?6可结合。

故(A,?6)是独异点，但由于(N6,?6)的幺元为1，与(A,?6)的幺元不同，故(A,?6)不是(N6,?6)的子独异点。

10、满足条件的同态映射f为：f(0)=0,f(1)=1,f(2)=3,f(3)=0,f(4)=1，f(5)=3。

P105：

12、证明: 不妨设e是(G,*)的幺元。

-1-1-1-1-1

因为 (a*b)*(b*a) = a*(b*b)*a=a*a=e；

-1-1

故b*a是a*b的逆元。

-1-1

由题目条件可知：a*b也是a*b的逆元。

-1-1-1-1

故b*a=a*b。

-1-1

进而(a*b)*(a*b)=e

-1-1-1-1

而 (b*a)*(a*b)=b*(a*a)*b=e；

-1-1-1-1

故(a*b)*(a*b)=(b*a)*(a*b), 右乘(b*a)可得： a*b=b*a。

4222222

14、(a*b)=(a*b)*(a*b)=b*a*b*a；

而由条件，

444

(a*b)=b*a；

442222

故 b*a=b*a*b*a；

2-12-1

上式左乘(b)和右乘(a),故 2222

b*a=a*b；

而由题目条件，可知：

222

(a*b)=(a*b)*(a*b)=a*b；

22

即(a*b)*(a*b)=a*b；

-1-1

将上式左乘a和右乘b，可得： b*a=a*b；

故(G,*)是交换群。

15、证明：因为(G,*)是群，

故(G,*)中只有一个等幂元e，即a*a?a,b*b?b。 而在*的运算表中，每行元素都不同，并且a*e=a,故

a*a=b,b*b=a，a*b=a,b*a=b, 进而,

33

a=a*a*a=a*b=e,b=b*b*b=b*a=e 命题得证。

16、证明：因为(G,*)是群，故G中每个元素都有逆元。

-1-1

下面证明：若x?y,则x?y。

-1-1

假设x?y,但是x=y

-1-1

则有：x*x=x*y=e,这与群的性质：每行元素都不相同矛盾，故

-1-1

若x?y,则x?y。

不妨设G-{e}中共有n对不同的互逆元素：xi和yi,1?i?n。

假设对所有1?i?n，都有xi?yi,则G中共有2n+1个元素，这与(G,*)是偶阶群矛盾， 故存在1?k?n，使得xk=yk。

-1

因此xk=xk,故xk*xk=e，命题成立。

17、证明：*1到?4的同构映射：

f(e)=0; f(a)=1;f(b)=3;f(c)=2; *2到?4的同构映射：

g(e)=0; g(a)=2;g(b)=1;g(c)=3;

18、解：（先求互逆元素，再将互逆元素对应起来）

?6到?7的同构映射：

f(0)= 1;f(3)=6;f(1)=2; f(5)=4; f(2)=3; f(4)=5;

P112：

4、因为偶数+偶数＝偶数，故+运算对E集合具有封闭性。 因此(E,+)是(Z,+)的子群。 5、0是(N7,?7)的幺元。

0的阶数是1；1、2、3、4、5、6的阶数都是7；

6、(N17-{0},?17)中

1的阶数为1；2的阶数为8；3的阶数为16；4的阶数是4；5的阶数是16；6的阶数是16；

7的阶数为16；8的阶数为8；9的阶数为8；10的阶数为16；11的阶数为16；12的阶数为16；13的阶数为4；14的阶数为16；15的阶数为8；16的阶数为2；

2

(N17-{0},?17)的所有2阶子群：({16,16},?17)=({1,16},?17) (N17-{0},?17)的所有4阶子群：

234234

({4,4,4,4},?17)=({13,13,13,13},?17)({1,4,16,13},?17)

(N17-{0},?17)的所有8阶子群：

23456782345678

({9,9,9,9,9,9,9,9},?17)=({15,15,15,15,15,15,15,15},?17)

=({1,2,4,8,9,13,15,16},?17)

7、证明：不妨设(G,*)是任意一个偶数阶群，e为(G,*)的幺元。

-1

（1）假设对G-{e}中任意元素a,a?a；

不妨设G-{e}中有k对互逆的元素ai和bi,其中1?i?k且若i?j,则ai?aj。 由群的消去律可知：若i?j,则bi?bj。

由于G中每个元素都有逆元,故{ai:1?i?k}?{bi:1?i?k}=G-{e}； 假设对G-{e}中任意一个元素1?i?k,都有ai?bi； 则|{ai:1?i?k}?{bi:1?i?k}|=2k；

故G中共有2k+1个元素，这与G有偶数个元素的前提矛盾；

-1

故G-{e}中存在元素a，使得a=a；

进而，*在{e,a}上封闭，故({e,a},*)是(G,*)的子群。

（2）不妨设2阶子群的数目为s，分别为(Ai,*)，1?i?s；

-1

则G-{e}中共存在s个元素x1,x2,...,xs,使得xi=xi； 由于G-{e}中每个元素都有逆元，故G-{e}-{xi: 1?i?s}由若干对互不相等互逆元素

构成；

假设这些互不相等的互逆元素共有k对；

则G中元素数目为1+s+2k，而G中共有偶数个数 因此，s必为奇数。

8、证明：设 (G,*)为任意一个有限群。

因为G中每个元素都有逆元，则G中所有元素由若干对互逆的元素构成。 不妨设G中共有n对不同的互逆元素ai和bi，1?i?n。

-1

若ai=bi，则ai*ai=ai*ai=e,

若ai?bi，则ai*ai?e，且bi*bi?e故ai和bi的阶数都大于2。

若其中k对互逆的两个元素不同，不妨设为(a1,b1),...,(ak,bk)，ai?bi； 则{ai: 1?i ?k}?{bi: 1?i ?k}为G中所有阶数大于2的元素的集合。

而当1?i?j?k时，有：ai?aj；否则aibi=ajbj，根据消去律，bi=bj，则与假设(ai,bi)和(aj,bj)是不同的互逆元素矛盾。

因此，|{ai: 1?i ?k}?{bi: 1?i ?k}|=2k； 即G中阶数大于2的元素个数为偶数。

9、证明：若n>4,则G中必存在两个元素a和b满足：a?b,a?e,且b?e；

则由题目条件和结合律可知：

(a*b)*a=(a*b)*a*e=(a*b)*a*(b*b)=(a*b)*(a*b)*b=e*b=b； a*(a*b)=(a*a)*b=e*b=b； (a*b)*b=a*(b*b)=a*e=a；

b*(a*b)=(e*b)*(a*b)=(a*a)*b)*(a*b)=(a*(a*b))*(a*b)=a*((a*b)*(a*b))=a*e=a； (a*b)*e=a*b； e*(a*b)=a*b: a*a=e; b*b=e;

因此可知：*运算对{e,a,b,a*b}封闭，故({e,a,b,a*b},*)是(G,*)的4阶群。

10、证明：假设p不是k的整数倍，则存在正整数n，p=nk+s，其中0

knkknn

由a=e可知：a=(a)=e=e；

pnk+snkss

进而，e=a=a=a*a=a；

而s

11、证明：

22

由a*b=b*a可知：(a*b)=(b*a)*(a*b)=b*(a*a)*b=b*b=b；

23

而由a是2阶元素和b是3阶元素可知：a=e和b＝e；

623633

故(a*b)=((a*b))=b=b*b=e；

22

由b是阶元素可知：(a*b)=b?e； 进而，a*b?e；

3223

而(a*b)=(a*b)*(a*b)=b*(b*a)=b*a=a?e；

422223

(a*b)=(a*b)*(a*b)=b*b=b*b=b?e；

5656

假设(a*b)=e，则(a*b)=(a*b)*(a*b)=e*(a*b)=a*b?e,这与前面得到的结论(a*b)=e

5

矛盾，故(a*b)?e。

6k

综上所证：(a*b)=e，而当1?k?5时，(a*b)?e，故a*b是6阶元素。

13、证明：若a?H?K,b?H?K,则

a?H,b?H,故a*b?H； a?K,b?K,故a*b?K； 因此，a*b?H?K；

故*运算对于H?K是封闭的。 故(H?K,*)是(G,*)的子群。

15、不一定。例如：（N17-{0},?17）为群，2和8的阶数都为8，但16的阶数为2。

16、证明：

由题目条件可知：a*a=e，b*b=e； 由*运算满足结合律和交换律可知：

e*(a*b)=a*b；a*(a*b)=(a*a)*b=e*b=b；b*(a*b)=b*(b*a)=(b*b)*a=e*a=a； (a*b)*e=a*b；(a*b)*a=a*(a*b)=b；(a*b)*b=b*(a*b)=a； (a*b)*(a*b)=(a*b)*(b*a)=a*(b*b)*a=a*e*a=a*a=e；

故*运算对{e,a,b,a*b}封闭，故({e,a,b,a*b},*)是(G,*)是子群。

P118：

1、设8阶循环群的生成元为：a，则其包含的元素为a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8,

因为8阶循环群与(N8,?8)同构，1是(N8,?8)的生成元，故a8,的阶数与1i,的阶数相同。 因此，a1的阶数＝1的阶数＝8；a2的阶数=2的阶数＝4；a3的阶数=3的阶数＝8；a4的阶数=4的阶数＝2；a5的阶数=5的阶数＝8；a6的阶数=6的阶数＝4；a7的阶数=7的阶数＝8；a8的阶数=0的阶数＝1；

2、首先证明(G,×)是群。

任选a,b?G, 显然，a×b?G，故运算×在G上封闭。 显然×运算可结合，1为(G,×)的幺元。 1与1互逆，－1与－1互逆，-i与i互逆。 故(G,×)是群。

又因为i1=i；i2=－1；i3=－i；i4=1； 故G是循环群。

3、先证明(G,*)是群。

任选a,b?G, 显然，a*b?G，故运算*在G上封闭。 显然*运算可结合，1为(G,*)的幺元。

1与1互逆，－1与－1互逆，(1+31/2i)/2与(1-31/2i)/2互逆，(-1-31/2i)/2与(-1+31/2i)/2互逆。 即G中每个元素都有逆元。 故(G,*)是群。

令a=(1+31/2i)/2，则a2=(-1+31/2i)/2；a3=-1；a4=-(1+31/2i)/2；a5=(1-31/2i)/2；a6=1； 故(1+31/2i)/2是(G,*)的生成元。 因此，(G,*)是循环群。

4、5是(N17－{0},?17)的生成元，1是(N17－{0},?17)的么元，(N16,?16)的生成元是1， 令A2={0,8}；A4={0,4,8,12}；A8={0,2,4,6,8,10,12,14} 容易验证（A2, ?16）（A4, ?16）和（A8, ?16）分别是(N16,?16)的2阶群、4阶群和8阶子群。

由于(N17－{0},?17)与(N16,?16)同构，故 令B2={50,58}={1,16}；

B4={50,54, 58, 512}={1,13,16,4}；

B8={50,52,54, 56,58, 510,512, 514}={1,8,13,2,16,9,4,15} 故（B2, ?17）（B4, ?17）和（B8, ?17）分别是(N17－{0},?17)的2阶群、4阶群和8阶子群。

5、设(A,*)是任意一个3阶群。

不妨设A={e,a,b}，其中e为么元。

由于a*e=a，而由群的运算表中每一行中各元素都不同可知有下面两种情况成立： a*a=b和a*b=e；或者a*a=e和a*b=b； 若a*a=e，a*b=b，则a*b*(b-1)=b*b-1； 故a=e，这与A是3阶群矛盾。 故只能a*a=b和a*b=e成立。

进而a3=a*a2=a*b=e，因此a是(A,*)的生成元，所以(A,*)是循环群。 由于(A,*)是任意一个3阶群，所以所有3阶群都是循环群。

8、证明：设(A,*)是任意一个偶阶的循环群，设a为它的生成元，(A,*)的阶数为n。 假设(A,*)中至少存在两个2阶元素x和y。 则存在i

故a2i=e和a2j=e，又n是令ak=e成立的最小正整数。

故2i是n的倍数，且2j也是n的倍数。 而由i

因此，2i=n和2j=n，因此i=j，进而x=y，这与假设矛盾。 故(A,*)中至多存在1个2阶元素。

而由课本P112 习题7的结论可知：(A,*)中存在奇数个阶数为2的元素， 故(A,*)中有且仅有1个阶数为2的元素。

9、证明：设(G,*)为n阶群，e为(G,*)的么元。则命题等价于证明a的阶数为n。 若(G,*)无非平凡子群，则G－{e}中每个元素的阶数都为n，故a的阶数也为n。 若(G,*)有非平凡子群。

假设a的阶数为k

则(A,*)为G的一个非平凡子群且a在该子群中，这与a不在(G,*)的非平凡子群中的前提矛盾。

故a的阶数为n，即a是(G,*)的生成元。

P125：

2、

令S={f1,f2,f3,f4,f5,f6}

?123456?f1???

?234561??123456?f2?f12???

345612???123456?f3?f13???

?456123??123456?f4?f14???

561234???123456?f5?f???

?612345?51?123456?f6?f16???

?123456?则(S,*)为6次对称群中的一个6阶循环子群。

3、

解题方法与课本P124定理4.6.1下面的例题相同。

5、

3阶元素数目：8

（求解方法：1＋3＝4且1和3的最小公倍数为3；而从{1,2,3,4}四个元素中任意选择3个元素构成循环的选择总共有：C43种，而任意给定三个元素总共可以构造2个不同的循环，故从{1,2,3,4}四个元素中任意选择3个元素能构成C43×2种不同循环，每种循环能对应一个不同的3阶元素，故共有8个不同的3阶元素。）

注意：解答时只需把找到的所有8种元素都列出，不用说出上面给出的求解方法。

3阶元素分别是：

?1234??1 f1??f?2??2314???3

21324??1 f?3??4??24??1 f?7??3??124334??1 f?4??1??44??1 f?8??2??121334?? 2?4?? 3??1234??1 f5??f?6???3241??4223123342432

4阶元素数目6；(求解方法与求3阶元素数目方法相同)

?1234??1 f1??f?2???2341??2

24314??1 f?3??3??34?? 3?24324??1 f?4??1??321344?? 2??1234??1 f5??f?6???4312??4

21327、

本题等价于构造一个4次置换群，使其同构于4阶克莱因群。 解题方法与课本P124定理4.6.1下面的例题相同。

8、

分两步求解：

（1）先利用课本124页定理4.6.1下面给出的方法构造与（N4，?4）同构的4次置换群。（2）利用练习题6中相同的方法构造与（1）中构造的4次置换群同构的6次置换群。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/zbxa.html