24.2相似三角形的判定

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一、知识回顾1、根据相似多边形的定义，你知道什么样的 、根据相似多边形的定义， 两个三角形相似吗？ 两个三角形相似吗？满足 (1)对应角相等 ) (2)对应边成比例 )

两个条件的两个三角形是相似三角形. 两个条件的两个三角形是相似三角形

C′ A′ B′ A

C

B

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2、请同学们画图表示相似三角形 判定定理的预备定理A E A D E D

B DE∥BC ∥

C

B

C △ADE∽△ ABC ∽

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二、课堂活动：已知在△ 已知在△ABC和△A′B′C′中.∠A=∠A′ ∠ B=∠B′ 和 中∠ ∠ ∠ ∠ C=∠C′ ∠ A 求证： 求证：△ABC∽△A′B′C′ ∽

证明： 证明： △ABC的边 (或延长线) 的边AB(或延长线) 在 的边上截取AD=A′B′.过点 作DE∥BC.交 过点D作 ∥ 上截取 过点 交 AC于点 则有 于点E.则有 于点 △ADE∽△ABC ∽ ∵∠ADE=∠B ∠B=∠B′ ∠ ∵∠ ∠ ∴∠ADE=∠B′ ∠ ∴∠ 又∵∠A=∠A′ AD=A′B′ ∵∠ ∠ ∴△ADE≌△A′B′C′(ASA) ≌ ( ) ∴△A′B′C′∽△ABC ∽

A′

D B

E C B′ C′

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由上面的数学活动我们可以得到判定三 角形相似的定理

定理1: 定理 ：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的 两个角对应相等.那么这两个三角形相似 那么这两个三角形相似. 两个角对应相等 那么这两个三角形相似 (可简单说成：两个角对应相等的两个三角形相 可简单说成： 似)

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想一想： 想一想1、△ABC和△A′B′C′中∠A=80°、∠B=40°、 、 和 中 ° ° 那么这两个三角形相似吗？ ∠A=80°、∠C=60°.那么这两个三角形相似吗？ ° ° 那么这两个三角形相似吗 2、等边三角形都相似吗？ 、等边三角形都相似吗？ 3、一个锐角对应相等的两个直角三角形相似吗？ 、一个锐角对应相等的两个直角三角形相似吗？ 4、有一个内角对应相等的两个等腰三角形相似吗? 、有一个内角对应相等的两个等腰三角形相似吗 5、各有一个内角为100°的两个等腰三角形相似吗 、各有一个内角为 °的两个等腰三角形相似吗?

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练一练： 练一练：写出图中的相似三角形： 写出图中的相似三角形：(1)条件： )条件： DE∥BC ∥ EF∥AB ∥ A (2)条件 ) ∠A=36° ° AB=AC = BD平分∠ABC 平分∠ 平分 A36° °

(3)条件 ) ∠ACB=90° ° CD⊥AB于D ⊥ 于

C

DB

E F CB

D C△ABC∽△BDC ∽

A

D

B

△ADE∽△ABC∽△EFC ∽ ∽

△ACB∽△ADC∽△CDB ∽ ∽

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例题欣赏： 例题欣赏：如图C是线段 上的一点 如图 是线段BD上的一点， 是线段 上的一点， AB⊥BD.ED⊥BD.AC⊥EC ⊥ ⊥ ⊥ 求证： 求证：△ABC∽△CDE ∽ 证明： 证明： ∵AB⊥BD、ED⊥BD ⊥ 、 ⊥ ∴∠ABC=∠CDE=90° ∠ ∴∠ ° ∴∠1+∠ ∴∠ ∠A=90° ° ∵AC⊥EC ⊥ ∴∠1+∠ ∴∠ ∠2=90° ° ∴∠A=∠2

∴∠ ∠ ∴△ABC∽△CDE ∽

A

E

1

2

B

C

D

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能力与提高如图所示：已知 如图所示：已知RtABC和RtDEF不相似 和 不相似 其中C、 为直角 为直角.能否将两个三角形分 其中 、F为直角 能否将两个三角形分 别分成两个三角形， 别分成两个三角形，使ABC所分成的两 所分成的两 个三角形与DEF所分成的两个三角形分 个三角形与 所分成的两个三角形分 别对应相似？ 别对应相似？ 请设计出一种分割方案

A

CD

B

提示1:将一个三角形分割成两部分，有几 种可能形式？ ① 一种不经过三角形顶点的直线分割 ② 一种经过其中一个顶点的直线分割

F

E

提示2:经过一个内角的顶点的直线分割时，其他两个角 有无变化？ 其他内角不变，因此这两个三角形都进行直线分割时， 就余下四个内角

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方法： 方法：于点N, 在△ABC中，作∠1=∠E,交AB于点 ，在 中 ∠ , 于点 △DEF中，作∠2=∠B 中 ∠ FM交DE于点 交 于点 于点M 则△ANC∽△FME、△BCN∽△FDM ∽ 、 ∽

A 1

N

CD

B

证明： 证明： 在△ACN和△FME中， 和 中∵∠1=∠ ∵∠ ∠E ∠ B=∠2 ∠ ∴△CAN∽△EFM ∽ ∵∠ACB=∠DFE=90° ∠ A+∠B=90° ∵∠ ∠ ° ∠ ° 又∵∠1+∠NCB=90° ∠2+∠EFM=90° ∵∠ ∠ ° ∠ ° ∴∠D=∠ ∴∠ ∠NCB ∠ B=∠2 ∠ ∴△BCN∽△FDM ∽ ∴直线CN、FM就是所求的分割线 直线 、 就是所求的分割线

M 2

F ∠D+∠E=90° ∠ °

E

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