根据约当规范形来判别线性系统的能控性和能观测性

用约当规范形判别线性系统的能控性

赛耀樟

控制科学与工程学院 检测技术与自动化装置 2009010189

摘要：

60年代初期卡尔曼提出了能控性和能观测性概念。能控性和能观测性分别是从状态的控制能力和状态的测辨能力两个方面揭示了控制系统的两个基本属性。现代控制理论的许多基本问题，如最优控制和最优估计，都是以能控性和能观测性为存在条件的。

一 能控性约当规范形判据内容

线性定常系统的能控性约当规范形判据

??Ax?Bu,xx(0)?x0,t?0(3) 线性定常系统状态方程

x为n维状态向量,u为p维输入向量,A,B为n?n,n?p常阵.

??1? （1）当矩阵A的特征值两两互质时 ?? ?2?x?Bu???x ?????

?n??

中,B不包含元素全为零的行.

(2)当矩阵A的特征值为?1(?1重),?2(?2重),?,?l(?l重),

且?1??2?????n时,由?3?导出的约当规范形 ??x?u??A??Bx

???B?J1? 1?????J2 ??????B2??其中:AB n?nn?p?????????? ?J?l?,??Bl??

???B?Ji1? i??1???Ji2 Bi2?????Ji?Bi??? ?????i??i?i?p???? ?JBi?i?i?i???????,

??

rik?rikJi??i1???i?????1????i?,????b1ik????ik??b2ik?Brik?p??????brik???ik(k?1,2,?,?i)的最后一行所组成的矩阵而(ri1?ri2???ri?i)??i,由B???bri1????bri2???????bri?i??对i?1,2,?,l均为行线性无关.二 能控性约当规范形判据推导

证略. 为使推证过程中的符号不致过于复杂，不失普遍性，不妨取为

可以证出约当规范性判据。

三 应用总结

从整个判据的推导过程来看，整个过程运用了矩阵论中的约当规范形中的知识，其中包括约当规范形中的相同特征值有几个约当块的问题。并根据约当规范形的分块中的末行来提取其对应的B中的行，从而组成新的矩阵，来根据秩判别可控性。其中，在推导过程中还讨论了扩展矩阵的秩的问题，从而直接得出结论。在这里，我们应该补充一下，在推导过程中，应用了PBH秩判据，这也是一种可控性判据，只要rank[sI-A,B]=n,则系统可控。另一方面，系统的可观测性其原理和可控性是相同的，这里就不再重新推导。

应该说矩阵论与控制理论的联系是相当紧密的，无论从系统的零状态和零输入方面，还是从线性系统的稳定性，可控性和课观测性，都要使用矩阵论中的知识。因此，矩阵论作为基础课程是相当重要的。

ran其中

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