2008dsp复习1--信号

精品课程——数字信号处理

一、离散时间信号和系统

? 信号从模拟到数字的过程

信号：信号传递信息的函数也是独立变量的函数，这个变量可以是时间、空间位置等。 连续信号：在某个时间区间，除有限间断点外所有瞬时均有确定值。 模拟信号是连续信号的特例。时间和幅度均连续。 离散信号：时间上不连续，幅度连续。 数字信号：幅度量化，时间和幅度均不连续。 ? 数字信号处理的主要优点

数字信号处理采用数字系统完成信号处理的任务，它具有数字系统的一些共同优点，例如抗干扰、可靠性强，便于大规模集成等。除此而外，与传统的模拟信号处理方法相比较，它还具有以下一些明显的优点： (1)、精度高 (2)、灵活性强

(3)、可以实现模拟系统很难达到的指标或特性 (4)、可以实现多维信号处理 缺点：

(1）增加了系统的复杂性。他需要模拟接口以及比较复杂的数字系统。 （2）应用的频范围受到限制。主要是A/D转换的采样频率的限制。

（3）系统的功率消耗比较大。数字信号处理系统中集成了几十万甚至更多的晶体管，而模拟信号处理系统中大量使用的是电阻、电容、电感等无源器件，随着系统的复杂性增加这一矛盾会更加突出。 主要概念 ? ? ?

离散时间信号描述与性质 离散时间系统描述与性质 采样定理与内插恢复

1、离散时间信号的时域描述

? 信号的描述：时域、频域、变换域 功率谱 概率密度

? 信号的性质：确知、随机、平稳非平稳、周期非周期、对称性、奇偶性等; ? 信号的分类

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确定性信号 (能量、功率) 周期信号 非周期信号 信号 P平稳 随机信号 (功率信号) 非平稳 非各态遍历

? 信号的分解：

实序列的偶部和奇部

各态遍历 x(n)?xe(n)?xo(n)1xe(n)?[x(n)?x(?n)]2

x(n)?1[x(n)?x(?n)]o

2? 信号的运算：序列的相加 z(n)=x(n)+y(n)

序列的相乘 f(n)=x(n) y(n) 序列的移位 y(n)=x(n-n0) 序列的能量 ? 常见离散信号--------序列 概念点：正弦信号的周期性判定 ? 任意序列的单位脉冲序列表示

S?n?????x(n)2

x(n)?m????x(m)?(n?m)?? 掌握序列周期性的定义及判断序列周期性的方法；

如果x?n??x?n?mN?，m和N为整数，N>0，则称x?n?为周期序列，周期为N，记为

xN?n?。

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周期序列的定义只有一点与模拟周期函数定义不同，即周期序列的自变量n和周期N只能取整数。正是这一区别，使得某些模拟周期信号，离散化后就不一定是周期序列。

例如，ej?0t一定是周期函数，周期T0?2?j?n，而e是否是周期序列，取决于数字频?0以N为周期，导出e应满足

j?n率的取值。为了说明这个问题，我们假设e由以上假设及周期序列的定义可知，ej?n为周期序列的条件。

j?nej?n?ej??n?kN?，k和N为整数，N>0

所以必须满足ωkN?2?m，m为整数。

当k=1时，ωN?2?m。所以，只有当Nm?2??为有理数时，N和m才是整数解，

ej?n才是周期序列。此时只要将2??化为最简分数（分子分母化为整数），则分子就是周

期N。

2.离散时间信号信号的变换域分析 2.1 序列的傅里叶变换（DTFT）

（1） 序列傅里叶变换定义

def??j?Xe?DTFT?x?n????x?n?e?j?n??n??? ?

def??x?n??IDTFTXej??1Xej?ej?n??2????????????（2）序列的傅里叶变换存在的条件为：

n????x?n???

?（3）序列的傅里叶变换的唯一性和周期性可表示如下：

Xe????x?n?,X?ej?1?1j(??2?m??X?e?

j? （4）序列的傅里叶变换的基本性质 序列傅里叶变换的基本性质列于表

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序 列 傅 里 叶 变 换 x?n?y?n?ax?n??by?n?x?n?n0?x*?n?x??n?x?n??y?n?x?n??y?n?nx?n?Re?x?n??jIm?x?n??xe?n?xo?n? 2??Y?e?aX?e??bY?e?,a,b为常数eX?e?X?e?X?e?X?e??Y?e?1X?e?Y?e????2?j?dX?e?d??X?e?X?e?Re?X?e??jIm?X?e?? Xej?j?j?j??j?n0?j??j??j?j?j??j?j?????j?j?ej?oj?j?n?????x?n??2N12????k?0?Xej?d?2N??2?x?n?n?0N?1~1?N?X?k?N?1~

2.2. 周期序列的离散傅里叶级数展开及傅里叶变换

设~xN(n)表示以N为周期的周期序列，则其离散傅里叶级数为

正变换 反变换

N?1N?1?jnk~nk~~NX(k)?DFS?x(n)???x(n)e??~x(n)WNn?0n?0jnk1N?1~1N?1~~?nk~Nx(n)?IDFSX(k)??X (k)e??X(k)WNNk?0Nk?02???2?

设~xN(n)表示以N为周期的周期序列，则其离散傅里叶变换为：

Xe??j??~?2??FT?xN?n?????N~2?????Xk???k? N??N??n????~其中，??n?为单位冲激函数，XN?k?称为~xN(n)的离散傅里叶级数（DFS）系数。

2.3．离散序列的Z变换(ZT)

（1） Z变换定义

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def???n?X?z??ZT?x?n????x?n?z?n??? ?

def?x?n??IZT?X?z???1X?z?zn?1dz?2?j?c?其中，c是一条在X?z?的收敛域上，并包含原点的逆时针闭合围线。显然，如果不知道X?z?的收敛域，则c不能确定，IZT?x?n??则无法计算。由此可看出Z变换的收敛域的重要性。

（2）Z变换存在的条件与X(Z)的收敛域

? Z变换存在的条件为：X?z???n????x?n?r?n??n?j?ne?n????x?n?r??n??

即X?z?存在的充分条件:

n????x?n?r??

X?z??IZT?x?n??的收敛域定义为满足上式的r的取值域。换言之，使X?z???的z取值域称为X?z?的收敛域。显然，X?z?的收敛域与x?n?有关。

要点 对一个确定的x?n?，其Z变换X?z?的表达式及其收敛域是一个整体，二者共同唯一确定x?n?。

收敛域（ROC）特点

? Z变换的收敛域是中心在原点的圆盘或环状区域； ? 仅当ROC包含单位圆时，序列的傅里叶变换存在；

? 收敛域内部不包含任何极点且是连通的，也即收敛域是以极点为边界的； ? Z变换加收敛域才能唯一确定一个序列

? 典型序列Z变换的收敛域

双边序列的Z变换收敛域为一环域，

X?z??n????x?n?z??n,R??z?R?

因果序列的Z变换收敛域为某圆外，

X?z??

n????x?n?z??n,R??z??

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（3）逆Z变换的计算

逆Z变换的计算方法有幂级数法（长除法），部分分式法和留数法。留数法；

??x(n)????x(n)???1X(z)zn?1dz??Res[X(z)zn?1]z?zk?2?jck1X(z)zn?1dz???Res[X(z)zn?1]z?zm?2?jcm留数计算公式：

将F?z?化为z的正次幂有理分式，设z0为F?z?的一个m阶级点，则F?z?可表示为

F?z????z??z?z0?m,??z?在z0处无极点

1dm?1??z? Res?F?z?,z0???m?1?!dzm?1当m=1时

z?z0

Res?F?z?,z0????z?z?z0?F?z??z?z0?z?z0

由此可见，一阶级点的留数计算非常简单。而数字信号处理课程中，大多数情况下为一阶级点。

2.4. Z变换的主要性质与定理

为了便于查阅，将Z变换的主要性质与定理列在下表中，表中

X?z??ZT?x?n??,Rx??z?Rx?Y?z??ZT?y?n??,Ry??z?Ry?序号 名 称 性质与定理内容

备 注 1 线性 ZT?ax?n??by?n???aX?z??by?z?,R??z?R? R??maxRx?,Ry?R?x???min?R,Ry??? 2 时域移位 ZT?X?n?n0???z?n0X?z?,Rx??z?Rx? 对某些特殊序列，收敛域有变化 3 4 5 乘指数序列 序列乘n 初值定理 ZTa*x?n??Xa?1z,aRx??z?aRx? ZT?nx?n????zx??????dX?z?,Rx??z?Rx? dzx?0??limX?z? x?n?为因果序列 6

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x?n?6 终值定理 为因果序列，n??limx?n??lim?z?1?X?z? x?1X?z?的极点除一个可以在单位圆上外，其余全位于单位圆内 7 时域卷积定理 ZT?x?n??y?n???X?z??Y?z?,R??z?R? R?和R?同1

5．.序列的傅里叶变换与其Z变换的关系

比较Xe??与X?z?的定义公式：

j?X?z??ZT?x?n???defn????x?n?z?n?????nXej??FT?x?n???容易得到二者的关系为

??def

?j?n?x?n?eXej??X?z?z?ej?

这说明，序列x?n?的傅里叶变换Xe????是x?n?的Z变换在z平面单位圆上的取值。即

j?傅里叶变换是Z变换的特例。只有当X?z?的收敛域包含单位圆时，x?n?才存在傅里叶变换。 作业：

1-3. 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。 （1）x(n)?Acos(?n?（2）x(n)?e解：

1j(n??)837?8)，A是常数；

。

32?14?,?，这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14； 7w312??16?，这是无理数，因此是非周期序列。 （2）w?,8w（1）w?

2.1. 设X(e)和Y(e)分别是x(n)和y(n)的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换： （1）x(n?n0)；

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（2）x(?n)； （3）x(n)y(n)； （4）x(2n)。 解：

（1）FT[x(n?n0)]?n????x(n?n)e0??jwn

令n'?n?n0,n?n'?n0，则

FT[x(n?n0)]???jwn*n????x(n)e'??jw(n'?n0)?e?jwn0X(ejw)

（2）FT[x(n)]?*n?????x(n)en????[?x(n)ejwn]*?X*(e?jw)

n????jwn?（3）FT[x(?n)]??x(?n)e

令n??n，则

'FT[x(?n)]?n'????x(n)e'?jwn'?X(e?jw)

jwjw（4） FT[x(n)*y(n)]?X(e)Y(e) 证明： x(n)*y(n)?m?????x(m)y(n?m)

??jwn?FT[x(n)*y(n)]?令k=n-m，则

n???m????[?x(m)y(n?m)]e??

FT[x(n)*y(n)]? ?k???m?????[?x(m)y(k)]e?jwk?m????jwk?jwnek????y(k)e?x(m)e?jwn

?X(ejw)Y(ejw)??1,w?w02-2. 已知X(e)??

??0,w0?w??jw8

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求X(ejw)的傅里叶反变换x(n)。 解： x(n)?12??w0?w0ejwndw?sinw0n ?n2-5. 设如图所示的序列x(n)的FT用X(ejw)表示，不直接求出X(ejw)，完成下列运算： （1）X(ej0)；

?（2）

???X(ejw)dw；

2?（5）解：

???X(e)dw

jw（1）X(e)??j0n??3?x(n)?6

7（2）

???X(ejw)dw?x(0)?2??4?

27?（5）

???X(e)dw?2??x(n)?28?

jwn??322-6. 试求如下序列的傅里叶变换: （2）x2(n)?11?(n?1)??(n)??(n?1)； 22（3）x3(n)?anu(n),0?a?1 解：

（2）

1jw1?jw?jwnx(n)e?e?1?e?222n???

1 ?1?(ejw?e?jw)?1?cosw2X2(e)?jw?（3） X3(e)?2-7. 设:

（1）x(n)是实偶函数，

jwn????au(n)en??jwn??ane?jwn?n?0?1 ?jw1?ae（2）x(n)是实奇函数，分别分析推导以上两种假设下，x(n)的傅里叶变换性质。

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解： 令 X(e)?jwn????x(n)e??jwn

（1）x(n)是实、偶函数，X(e)?两边取共轭，得到

jwn????x(n)ejwn??jwn

X(e)?因此X(ejw)?X*(e?jw)

*jwn????x(n)e??n????x(n)e??j(?w)n?X(e?jw)

上式说明x(n)是实序列，X(ejw)具有共轭对称性质。

X(e)?jwn????x(n)e???jwn?n????x(n)[coswn?jsinwn]

?由于x(n)是偶函数，x(n)sinwn是奇函数，那么

n?????x(n)sinwn?0

因此X(e)?jwn????x(n)coswn

该式说明X(e)是实函数，且是w的偶函数。

总结以上x(n)是实、偶函数时，对应的傅里叶变换X(e)是实、偶函数。 （2）x(n)是实、奇函数。

上面已推出，由于x(n)是实序列，X(e)具有共轭对称性质，即

jwjwjwX(ejw)?X*(e?jw)

X(e)?jwn????x(n)e??jwn?n????x(n)[coswn?jsinwn]

?x(n)coswn?0

??由于x(n)是奇函数，上式中x(n)coswn是奇函数，那么

n????因此X(e)?j

jwn????x(n)sinwn，这说明X(ejw)是纯虚数，且是w的奇函数。

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2-10. 若序列h(n)是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下式: HR(ejw)?1?cosw 求序列h(n)及其傅里叶变换H(ejw)。 解：

?1jw1?jwHR(e)?1?cosw?1?e?e?FT[he(n)]??he(n)e?jwn22n???jw?1?2,n??1?he(n)??1,n?0?1?,n?1?2?0,n?0??1,n?0???h(n)??he(n),n?0???1,n?1?2h(n),n?0??0,其它n?e??H(e)?jwn???

??h(n)e?jwn?1?e?jw?2e?jw/2cos

w22-14. 求以下序列的Z变换及收敛域： （2）?2?nu(?n?1)； （3）2u(?n)；

（6）2[u(n)?u(n?10)] 解：

（2） ZT[2u(n)]?（3）

?n?n?nn????2u(n)z?n??n??2?nz?n?n?0?11 ,z??1?11?2z2ZT[?2u(?n?1)]? ?（6）

?nn?????2??nu(?n?1)z?n?n??1??2??nz?n???2nznn?1??2z11?,z?1?2z1?2?1z?129

ZT[2u(n)?u(n?10)]??2?nz?n?nn?0 ?

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1?2z,0?z??1?2?1z?1?10?10

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2-16. 已知:

X(z)?32 ?1?11?2z?11?z2求出对应X(z)的各种可能的序列的表达式。 解：

有两个极点，因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有以下三种情况： 三种收敛域对应三种不同的原序列。 （1）当收敛域z?0.5时，

x(n)?12?jn?1X(Z)zdz ??c令F(z)?X(z)zn?15?7z?15z?7n?1n ?z?z?1?1(1?0.5z)(1?2z)(z?0.5)(z?2)n?0，因为c内无极点，x(n)=0；

n??1，C内有极点0，但z=0是一个n阶极点，改为求圆外极点留数，圆外极点有

z1?0.5,z2?2，那么

x(n)??Res[F(z),0.5]?Res[F(z),2](5z?7)zn(5z?7)zn ?(z?0.5)z?0.5?(z?2)(z?0.5)(z?2)(z?0.5)(z?2)1 ??[3?()n?2?2n]u(?n?1)2（2）当收敛域0.5?z?2时，

z?2

(5z?7)zn F(z)?(z?0.5)(z?2)n?0，C内有极点0.5；

1x(n)?Res[F(z),0.5]?3?()n

2n?0，C内有极点0.5，0，但0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，c外极点只有一

个，即2，

x(n)??Res[F(z),2]??2?2nu(?n?1)

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()u(n)?2?2u(?n?1) 最后得到x(n)?3?（3）当收敛域2?z时，

12nn(5z?7)zn F(z)?(z?0.5)(z?2)n?0，C内有极点0.5，2；

1x(n)?Res[F(z),0.5]?Res[F(z),2]?3?()n?2?2n

2n<0，由收敛域判断，这是一个因果序列，因此x(n)=0。

或者这样分析，C内有极点0.5，2，0，但0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，c外无极点，所以x(n)=0。 最后得到

1x(n)?[3?()n?2?2n]u(n)

217. 已知x(n)?anu(n),0?a?1，分别求： （1）x(n)的Z变换； （2）nx(n)的Z变换； （3）au(?n)的z变换。 解：

（1）X(z)?ZT[au(n)]?n?nn????anu(n)z?n??1,z?a ?11?azdaz?1（2）ZT[nx(n)]??zX(z)?,z?a ?12dz(1?az)（3）ZT[au(?n)]??n?azn?0???n?n??anzn?n?0?1,z?a?1 1?az?3z?118. 已知X(z)?，分别求： ?1?22?5z?2z（1）收敛域0.5?z?2对应的原序列x(n)； （2）收敛域z?2对应的原序列x(n)。

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解：

x(n)?12?jn?1X(z)zdz ??cF(z)?X(z)zn?1?3z?1?3?znn?1 ?z??1?22?5z?2z2(z?0.5)(z?2)（1）当收敛域0.5?z?2时，n?0，c内有极点0.5，

x(n)?Res[F(z),0.5]?0.5n?2?n,n?0,

c内有极点0.5,0,但0是一个n阶极点,改求c外极点留数,c外极点只有2,

x(n)??Res[F(z),2]?2n,

最后得到

x(n)?2?nu(n)?2nu(?n?1)?2（2（当收敛域z?2时，

?n

n?0,c内有极点0.5,2,

x(n)?Res[F(z),0.5]?Res[F(z),2]

?3?zn?0.5?2(z?0.5z)?(nn ?0.5?n2z(?2)2)z?2

n?0,c内有极点0.5,2,0,但极点0是一个n阶极点,改成求c外极点留数,可是c外没有极点,

因此x(n)?0, 最后得到

x(n)?(0.5n?2n)u(n)

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