实际问题与一次函数

实际问题与一次函数

【教学目标】灵活运用一次函数解决实际问题。 【教学难点】一次函数的实际应用。 【教学过程】

一. 教学内容： 1. 基本概念；

2. 一次函数的图象及其性质； 3. 一次函数与方程（组）、不等式之间的关系； 4. 一次函数的应用．

二. 知识要点： 1. 基本概念

（1）变量（2）常量（3）函数（4）正比例函数（5）一次函数 2. 一次函数的图象与性质

（1）一次函数的图象是一条直线，类型如下：

kk＜0,b＝0

b＜0k＜0,b

（2）性质：k＞0时，y随x的增大而__________；k＜0时，y随x的增大而__________．

（3）直线y＝kx与y＝kx＋b的关系是：__________．直线y＝kx＋b由y＝kx向上（b>0）或向下（b<0）平移︱b︱个单位得到． 3. 一次函数与方程（组）、不等式之间的关系

（1）一元一次方程kx＋b＝y0（y0是已知数）的解就是直线y＝kx＋b上y＝y0时这点的横坐标．

（2）一元一次不等式kx＋b≤y0（或kx＋b≥y0）（y0是已知数）的解集就是直线y＝kx＋b上满足y≤y0（或y≥y0）的那条射线所对应的自变量的取值范围．

（3）利用二元一次方程组确定一次函数y＝kx＋b中k、b的值；两条直线

y＝k1x＋b1、y＝k2x＋b2的交点坐标是方程组 4. 一次函数图象的应用

利用已知自变量求函数值；

利用已知函数值求自变量的值；

y k1x b1

的解．

y k2x b2

1

利用图象进行估计，或利用函数的图象分析一些实际问题，进行一些决策、方案设计．

注意：

（1）在分析函数图象时，对于两个函数图象共同分析时，一定要清楚两个函数图象交点的意义．

（2）当图中出现两个函数图象时，首先把每个图象所表示的意义弄清，否则会混淆，从而影响正确地帮助解决实际问题．

三. 重点难点：

重点是一次函数的图象和性质及其应用；难点是利用一次函数的图象解决决策和方案设计问题．

四. 考点分析：

中考试题的总趋势仍是稳中求进，在前进中求创新，题型方面仍以基本题型为主；同时，研究性试题，阅读理解题，读图题等渗透新课程标准的理念题将是考查的重点．本章主要从以下几个方面进行考查：1. 会从多角度确定函数的取值范围，并会构建一些简单的一次函数关系式；2. 能根据两点的坐标，分别求出正比例函数、一次函数的解析式，反之还会根据一次函数的解析式画出其图象，并能确定函数性质；3. 会构建一次函数的模型解决一类与函数性质有关的应用题；4. 能从多角度思考一类以一次函数为基础的综合型考题，并能借助函数的有关知识，进行一系列以函数及其图象为主题的研究性学习活动．

【典型例题】 例1. （1）（2007年福州）已知一次函数y＝（a－1）x＋b的图象如图所示，那么a的取值范围是 （ ）

A．a＞1 B．a＜1 C．a＞0 D．a＜0

（2）某型号汽油的数量与相应金额的关系如图所示，那么这种汽油的单价是每升__________元． （3）（2007年河北）甲、乙二人沿相同的路线由A到B匀速行进，A、B两地间的路程为20km．他们行走的路程s（km）与出发后的时间t（h）之间的函数图象如图所示，根据图象信息，下列说法正确的是 （ ） A．甲的速度是4km/h B．乙的速度是10km/h C．乙比甲晚出发1h D．甲比乙晚到B地3h

第（2）题

第（3）题

第（1）题

2

例2. （2008年山东）如图①，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，则△ABC的面积是 （ ）

A．10 B．16 C．18 D．

20

CP

B

31

例3. 已知一次函数y＝x＋a和y＝－x＋b的图象都经过点A（－4，0），且

22

与y轴分别交于点B、C，求△ABC的面积．

例4. 我边防局接到情报，近海处有一可疑船只A正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇B追击．如图所示，l1、l2分别表示两船相对于海岸的距离s（海里）与追赶时间t（分）之间的关系．

)

根据图象回答下列问题：

（1）哪条线段表示B离海岸的距离与追赶时间的关系？ （2）A、B哪个速度快？

（3）15分钟内B能否追上A？

（4）如果一直追下去那么B能否追上A？ （5）当A逃到离海岸12海里的公海时，B将无法对其进行检查．照此速度，B能否在A逃入公海前将其拦截？

例5. 某批发商欲将一批海产品由A地运往B地．汽车货运公司和铁路货运公司均开办海产品运输业务．已知运输路程为120千米，汽车和火车的速度分别为60千米

3

注：吨货物每小时的冷藏费．

（1）设该批发商待运的海产品有x（吨），汽车货运公司和铁路货运公司所要收取的费用分别为y1（元）和y2（元），试求y1和y2与x的函数关系式；

（2）若该批发商待运的海产品不少于30吨，为节省运费，他应选哪个货运公司承担运输业务？

【方法总结】

1. 解题方法：在确定一次函数的解析式的时候，常用待定系数法来求． 2. 思想方法：①分类讨论思想，例如在研究一次函数y＝kx＋b的性质的时候，要分k＞0和k＜0两种情况进行讨论；②数形结合思想，一次函数的图象和解析式这两者之间的结合是有力的“开门锁”，利用它可以使所有要研究的问题化难为易，化繁为简；③转化思想，已知直线上两点坐标，求其解析式的时候往往是把这两点坐标代入解析式，将其转化为方程组来求解．

【模拟试题】（答题时间：45分钟）

一、选择题 1. 下列函数中，一次函数是

A．y＝8x2

（ ）

D．y＝

1x＋1

8

B．y＝x＋1 C．y＝x

2. 已知一次函数y＝kx－k，若y随着x的增大而减小，则该函数图象经过

（ ）

A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限

（ ）

3. 一次函数y＝ax＋b，若a＋b＝1，则它的图象必经过点

A．（－1，－1） B．（－1，1） C．（1，－1） D．（1，1）

4. 一次函数y＝－x－1的图像是 （ ）

4

3

5. 一次函数y＝18x＋的图像不经过 （ ）

5

象限

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四

*6. 如果直线y＝k1x＋1和直线y＝k2x－4的交点在x轴上，那么等于

A．4

（ ）

1

B．－4 C．4

1D．－

4

k1k2

7. 函数y＝2x－4的图像与两条坐标轴所围成的三角形的面积为 （ ）

A．2平方单位 B．4平方单位 C．8平方单位 D．16平方单位

8. （2008年玉林、防城港）下列函数中，其图象同时满足两个条件①y随着x的增大而增大，②与y轴的正半轴相交．则它的解析式为 （ ）

A．у＝－2x－1 B．у＝－2x＋1 C．у＝2x－1 D．у＝2x＋1 **9. （2008年济南）济南市某储运部紧急调拨一批物资，调进物资共用４小时，调进物资2小时后开始调出物资（调进物资与调出物资的速度均保持不变）．储运部库存物资S（吨）与时间t（小时）之间的函数关系如图所示，这批物资从开始调进到全部调出需要的时间是 （ ）

)

D．5小时

A．4小时 B．4.4小时 C．4.8小时

二、填空题

10. 点A（2，4）在正比例函数的图象上，这个正比例函数的解析式是__________．

5

11. 一次函数y＝3x＋b的图像经过A（－1，5），则b＝________． 12. （2008年哈尔滨）函数y＝

xx－1

x的取值范围是__________．

13. 经过点（1，7）和（－1，1）两点的一次函数的解析式为________________． 14. 一次函数y＝（k＋1）x＋k－2的图象经过一、三、四象限，则k的取值范围是__________．

15. 两个变量y与x之间的函数图像如图所示，则y的取值范围是__________．

16. 一次函数y＝2x＋b的图像经过点（1，－3），则它与y轴的交点是________． **17. 如果一个一次函数的自变量取值增加1，函数值就相应地减少4，并且它的图像经过点（0，2），则这个一次函数的解析式为____________．

三、解答题

18. 已知直线y＝x＋b过点（3，4）．（1）求b的值；（2）当x取何值时，y＜0？

19. 已知正比例函数y＝k1x的图像与一次函数y＝k2x－9的图像交于点P（3，－6）．

（1）求k1、k2的值；（2）如果一次函数与x轴交于点A，求A点的坐标．

四、应用题

*20. （2008年吉林）如图，某花园护栏用直径为80cm的半圆形条钢组制而成，且每增加一个半圆形条钢，护栏长度增加a cm（a＞0），设半圆形条钢的个数为x（x为正整数），护栏总长度为y cm．

（1）当a＝60时，y与x之间的函数关系式为__________；

（2）若护栏总长度为3380cm，则当a＝60时，所用半圆形条钢的个数为__________，当a＝50时，所用半圆形条钢的个数为__________；

（3）若护栏总长度不变，则当a＝60时，用了n个半圆形条钢；当a＝50时，用了（n＋k）个半圆形条钢．请求出n、k之间的关系式．

6

21. （2008年宁夏）商场为了促销，推出两种促销方式：方式①：所有商品打7.5折销售：方式②：一次购物满200元送60元现金．

（1）杨老师要购买标价为628元和788元的商品各一件，现有四种购买方案：方案一：628元和788元的商品均按促销方式①购买；方案二：628元的商品按促销方式①购买，788元的商品按促销方式②购买；方案三：628元的商品按促销方式②购买，788元的商品按促销方式①购买；方案四：628元和788元的商品均按促销方式②购买．你给杨老师提出的最合理购买方案是__________．

（2）通过计算下表中标价在600元到800元之间商品的付款金额，你总结出商品的购买规律是________________________________________．

付款金额（元）

商品标价628

638

648

768

778

788

方式①方式②

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