三重积分的计算方法小结与例题

方法

三重积分的计算方法介绍：

三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看：

如果先做定积分

z2

f(x,y,z)dz

，再做二重积分

D

F(x,y)d

，就是“投

z1

影法”，也即“先一后二”。步骤为：找 及在xoy面投影域D。多D上一点（x,y）“穿线”确定z的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D上的二重积分，完成“后二”这一步。

z2

f(x,y,z)dv

[

D

z1

f(x,y,z)dz]d

如果先做二重积分

Dz

f(x,y,z)d

再做定积分 F(z)dz，就是“截面

c1

c2

法”，也即“先二后一”。步骤为：确定 位于平面z即z [c

1

c1与z c2

之间，

z

,c2]，过

z作平行于xoy面的平面截 ，截面D。区域D的边

z

z

界曲面都是z的函数。计算区域D上的二重积分

Dz

f(x,y,z)d

，完成

了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分 F(z)dz，完成“后

c1

c2

c2

一”这一步。

f(x,y,z)dv

[

c1

Dz

f(x,y,z)d ]dz

当被积函数f（z）仅为z的函数（与x,y无关），且D的面积 (z)

z

容易求出时，“截面法”尤为方便。

为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域 投影到xoy面，得投影区域D(平面)

（1） D是X型或Y型，可选择直角坐标系计算（当 的边界曲

方法

面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算） （2） D是圆域（或其部分），且被积函数形如f(x

2

y),f(

2

yx

)时，

可选择柱面坐标系计算（当 为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算）

（3） 是球体或球顶锥体，且被积函数形如

可选择球面坐标系计算

以上是一般常见的三重积分的计算方法。对 向其它坐标面投影或 不易作出的情形不赘述。

f(x

2

y

2

z)

2

时，

三重积分的计算方法小结：

1.对三重积分，采用“投影法”还是“截面法”，要视积分域 及被积函数f(x,y,z)

的情况选取。

一般地，投影法（先一后二）：较直观易掌握；

截面法（先二后一）：

Dz

是 在z处的截面，其边界曲线方

程易写错，故较难一些。

特殊地，对Dz积分时，f(x,y,z)与x,y无关，可直接计算SD。因而

z

中只要z [a,b], 且f(x,y,z)仅含z时，选取“截面法”更佳。

2.对坐标系的选取，当 为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它曲

面所围成的形体；被积函数为仅含z或zf柱面坐标计算。

(x

2

y)时，可考虑用

2

三重积分的计算方法例题：

补例1：计算三重积分I

zdxdydz

，其中 为平面x y z 1与三个坐标面

x 0,y 0,z 0

围成的闭区域。

z 1 x y

解1“投影法” 1.画出 及在xoy面投影域D. 2. “穿线”0

方法

X型 D：

0 x 10 y 1 x

0 x 1

∴

：0

y 1 x

0 z 1 x y

3.计算

1

1 x

1 x y

1

1 x

I

zdxdydz

dx

dy

zdz

dx

01

12

(1 x y)dy

2

12

1

[(1 x)y (1 x)y

22

13

y]0

31 x

dx

16

1

(1 x)dx

3

16

[x

32

x

2

x

3

14

x]0

4

124

解2“截面法”1.画出 。2.

Dz

z [0,1]

过点z作垂直于z轴的平面截 得Dz。

1 z,y 1 z

是两直角边为x,y的直角三角形，x

3.计算

1

1

1

I

zdxdydz

[

Dz

zdxdy]dz

z[

Dz

dxdy]dz

zS

Dz

dz

1

z(

12

1

xy)dz z

12

(1 z)(1 z)dz

12

1

(z 2z

2

z)dz

3

124

补例2：计算 解1“投影法”

1.画出 及在xoy面投影域D.

z x2 2y2

由 z 1

x

2

ydv

2

，其中 是x2

y

2

z

2

和z=1围成的闭区域。

消去z，

得x2

y

2

1即x

2

D：x2

2

y

2

1

2. “穿线”

y

z 1，

方法

X型

1 x 1D：

2

x y

x

2

∴

1 x 1

22

: x y 1 x

22 x y z 1

3.计算

1

1 x

1

1

1 x

2

x

2

ydv

2

1

dx

1 x

2

dy

x y

2

2

x

2

ydz

2

1

dx

1 x

2

x

2

y(1

2

x

2

y)dy

2

6

注：可用柱坐标计算。

解2“截面法”

1.画出 。 2.

z [0,1]

2

过点z作垂直于z轴的平面截 得Dz：x

y

2

z

2

Dz

：

0 2 0 r z

用柱坐标计算 3.计算

1

1

2

z

0 2

: 0 r z

0 z 1

1

x

2

ydv

2

[

Dz

x

2

ydxdy]dz

2

[

d

rdr]dz

2

2 [

13

r]0dz

3z

23

1

zdz

3

6

补例3：化三重积分I

z x

2

2

f(x,y,z)dxdydz

为三次积分，其中 ：

2y及z 2 x

2

所围成的闭区域。

解：1.画出 及在xoy面上的投影域D.

由

22

z x 2y 2 z 2 x

消去z，得x2

y

2

1

即D：

x

2

y

2

1

方法

2.“穿线” X型

x

2

2y

2

z 2 x

2

1 x 1D：

2

x y

x

2

1 x 1 22

： x y x

222x 2y z 2 x

11 x

2

2 x

2

3．计算 注：当

I

f(x,y,z)dxdydz

dx 1

1 x

2

dy

2

f(x,y,z)dz

2

x 2y

f(x,y,z)为已知的解析式时可用柱坐标计算。

补例4：计算

zdv

，其中 为z

6 x

2

y及z

2

x

2

y

2

所围成的闭区域。

解1“投影法”

1.画出 及在xoy面投影域D， 用柱坐标计算

x rcos

由 y rsin z z

化 的边界曲面方程为：z=6-r2，z=r

2.解

z 6 r2

得r 2

z r 0 2

∴D：r 2 即

0 r 2

0 2

∴ : 0 r 2

2 r z 6 r

2

“穿线”

r z 6 r

2

6 r

2

2 26 r

2

3．计算

zdv

D

r

[zdz]rdrd

d

rdr

r

zdz 2

r[

12

z]r

26 r

2

dr

22

r[(6 r) r]dr

222

(36r 13r

2

r)dr

5

923

。

解2“截面法”

1.画出 。如图： 由z 2.

6 r及z r

2

围成。

z [0,6] [0,2] [2,6]

1 2

方法

1由

z=r与z=2围成；

z [0,2]，Dz

：r

z

0 2

1： 0 r z

0 z 2

2

由z=2与z=6 r2围成；

z [2,6]，Dz

：r

6 z

0 2

2： 0 r 6 z

2 z 6

2

6

3.计算

zdv

=

1

zdv

2

zdv

z[

Dz

1

rdrd ]dz

z[

2

Dz

2

rdrd ]dz

2

6

2

6

2

6

zS

Dz1

dz

2

zS

Dz2

dz

z[ (z)]dz

2

2

z[ (6 z)]dz

2

zdz

3

(6z z)dz

2

2

923

注：被积函数z是柱坐标中的第三个变量，不能用第二个坐标r代换。

补例5：计算

确定。

x cos sin

解：用球坐标计算。由 y sin sin

z cos

(x

2

y)dv

2

，其中 由不等式0

a x

2

y

2

z

2

A

，z

0

所

得 的边界曲面的球坐标方程：a

A

P ，连结OP= ，其与z轴正向的夹角为 ，OP= 。P在xoy面的投影为P ，连结OP ，其与x轴正向的 夹角为 。 ∴ ：a

2

2

A

A，0

2

，0

2

2

2

(x

2

y)dv

2

d

d (

a

sin

2

) sin d

2

=2 sin3 [ 5]aAd

5

1

=

2 5

2

(A a) sin

553

d

2 5

(A a)

55

23

1

4 15

(A a)

55

方法

三重积分的计算方法练习

1. 计算 （x

2

y)dv

2

，其中 是旋转面x

2

y

2

2z

与平面z=2,z=8所围

成的闭区域。 2. 计算 （x

z)dv

，其中 是锥面z

x

2

y

2

与球面z

x

2

y

2

所

围成的闭区域。

为了检测三重积分计算的掌握情况，请同学们按照例题的格式，独立完成以上的练习，答案后续。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/zaoe.html