三重积分的计算方法小结与例题
更新时间:2023-05-10 15:27:01 阅读量: 实用文档 文档下载
方法
三重积分的计算方法介绍:
三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分(一重积分)和一个二重积分。从顺序看:
如果先做定积分
z2
f(x,y,z)dz
,再做二重积分
D
F(x,y)d
,就是“投
z1
影法”,也即“先一后二”。步骤为:找 及在xoy面投影域D。多D上一点(x,y)“穿线”确定z的积分限,完成了“先一”这一步(定积分);进而按二重积分的计算步骤计算投影域D上的二重积分,完成“后二”这一步。
z2
f(x,y,z)dv
[
D
z1
f(x,y,z)dz]d
如果先做二重积分
Dz
f(x,y,z)d
再做定积分 F(z)dz,就是“截面
c1
c2
法”,也即“先二后一”。步骤为:确定 位于平面z即z [c
1
c1与z c2
之间,
z
,c2],过
z作平行于xoy面的平面截 ,截面D。区域D的边
z
z
界曲面都是z的函数。计算区域D上的二重积分
Dz
f(x,y,z)d
,完成
了“先二”这一步(二重积分);进而计算定积分 F(z)dz,完成“后
c1
c2
c2
一”这一步。
f(x,y,z)dv
[
c1
Dz
f(x,y,z)d ]dz
当被积函数f(z)仅为z的函数(与x,y无关),且D的面积 (z)
z
容易求出时,“截面法”尤为方便。
为了简化积分的计算,还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑:将积分区域 投影到xoy面,得投影区域D(平面)
(1) D是X型或Y型,可选择直角坐标系计算(当 的边界曲
方法
面中有较多的平面时,常用直角坐标系计算) (2) D是圆域(或其部分),且被积函数形如f(x
2
y),f(
2
yx
)时,
可选择柱面坐标系计算(当 为圆柱体或圆锥体时,常用柱面坐标计算)
(3) 是球体或球顶锥体,且被积函数形如
可选择球面坐标系计算
以上是一般常见的三重积分的计算方法。对 向其它坐标面投影或 不易作出的情形不赘述。
f(x
2
y
2
z)
2
时,
三重积分的计算方法小结:
1.对三重积分,采用“投影法”还是“截面法”,要视积分域 及被积函数f(x,y,z)
的情况选取。
一般地,投影法(先一后二):较直观易掌握;
截面法(先二后一):
Dz
是 在z处的截面,其边界曲线方
程易写错,故较难一些。
特殊地,对Dz积分时,f(x,y,z)与x,y无关,可直接计算SD。因而
z
中只要z [a,b], 且f(x,y,z)仅含z时,选取“截面法”更佳。
2.对坐标系的选取,当 为柱体,锥体,或由柱面,锥面,旋转抛物面与其它曲
面所围成的形体;被积函数为仅含z或zf柱面坐标计算。
(x
2
y)时,可考虑用
2
三重积分的计算方法例题:
补例1:计算三重积分I
zdxdydz
,其中 为平面x y z 1与三个坐标面
x 0,y 0,z 0
围成的闭区域。
z 1 x y
解1“投影法” 1.画出 及在xoy面投影域D. 2. “穿线”0
方法
X型 D:
0 x 10 y 1 x
0 x 1
∴
:0
y 1 x
0 z 1 x y
3.计算
1
1 x
1 x y
1
1 x
I
zdxdydz
dx
dy
zdz
dx
01
12
(1 x y)dy
2
12
1
[(1 x)y (1 x)y
22
13
y]0
31 x
dx
16
1
(1 x)dx
3
16
[x
32
x
2
x
3
14
x]0
4
124
解2“截面法”1.画出 。2.
Dz
z [0,1]
过点z作垂直于z轴的平面截 得Dz。
1 z,y 1 z
是两直角边为x,y的直角三角形,x
3.计算
1
1
1
I
zdxdydz
[
Dz
zdxdy]dz
z[
Dz
dxdy]dz
zS
Dz
dz
1
z(
12
1
xy)dz z
12
(1 z)(1 z)dz
12
1
(z 2z
2
z)dz
3
124
补例2:计算 解1“投影法”
1.画出 及在xoy面投影域D.
z x2 2y2
由 z 1
x
2
ydv
2
,其中 是x2
y
2
z
2
和z=1围成的闭区域。
消去z,
得x2
y
2
1即x
2
D:x2
2
y
2
1
2. “穿线”
y
z 1,
方法
X型
1 x 1D:
2
x y
x
2
∴
1 x 1
22
: x y 1 x
22 x y z 1
3.计算
1
1 x
1
1
1 x
2
x
2
ydv
2
1
dx
1 x
2
dy
x y
2
2
x
2
ydz
2
1
dx
1 x
2
x
2
y(1
2
x
2
y)dy
2
6
注:可用柱坐标计算。
解2“截面法”
1.画出 。 2.
z [0,1]
2
过点z作垂直于z轴的平面截 得Dz:x
y
2
z
2
Dz
:
0 2 0 r z
用柱坐标计算 3.计算
1
1
2
z
0 2
: 0 r z
0 z 1
1
x
2
ydv
2
[
Dz
x
2
ydxdy]dz
2
[
d
rdr]dz
2
2 [
13
r]0dz
3z
23
1
zdz
3
6
补例3:化三重积分I
z x
2
2
f(x,y,z)dxdydz
为三次积分,其中 :
2y及z 2 x
2
所围成的闭区域。
解:1.画出 及在xoy面上的投影域D.
由
22
z x 2y 2 z 2 x
消去z,得x2
y
2
1
即D:
x
2
y
2
1
方法
2.“穿线” X型
x
2
2y
2
z 2 x
2
1 x 1D:
2
x y
x
2
1 x 1 22
: x y x
222x 2y z 2 x
11 x
2
2 x
2
3.计算 注:当
I
f(x,y,z)dxdydz
dx 1
1 x
2
dy
2
f(x,y,z)dz
2
x 2y
f(x,y,z)为已知的解析式时可用柱坐标计算。
补例4:计算
zdv
,其中 为z
6 x
2
y及z
2
x
2
y
2
所围成的闭区域。
解1“投影法”
1.画出 及在xoy面投影域D, 用柱坐标计算
x rcos
由 y rsin z z
化 的边界曲面方程为:z=6-r2,z=r
2.解
z 6 r2
得r 2
z r 0 2
∴D:r 2 即
0 r 2
0 2
∴ : 0 r 2
2 r z 6 r
2
“穿线”
r z 6 r
2
6 r
2
2 26 r
2
3.计算
zdv
D
r
[zdz]rdrd
d
rdr
r
zdz 2
r[
12
z]r
26 r
2
dr
22
r[(6 r) r]dr
222
(36r 13r
2
r)dr
5
923
。
解2“截面法”
1.画出 。如图: 由z 2.
6 r及z r
2
围成。
z [0,6] [0,2] [2,6]
1 2
方法
1由
z=r与z=2围成;
z [0,2],Dz
:r
z
0 2
1: 0 r z
0 z 2
2
由z=2与z=6 r2围成;
z [2,6],Dz
:r
6 z
0 2
2: 0 r 6 z
2 z 6
2
6
3.计算
zdv
=
1
zdv
2
zdv
z[
Dz
1
rdrd ]dz
z[
2
Dz
2
rdrd ]dz
2
6
2
6
2
6
zS
Dz1
dz
2
zS
Dz2
dz
z[ (z)]dz
2
2
z[ (6 z)]dz
2
zdz
3
(6z z)dz
2
2
923
注:被积函数z是柱坐标中的第三个变量,不能用第二个坐标r代换。
补例5:计算
确定。
x cos sin
解:用球坐标计算。由 y sin sin
z cos
(x
2
y)dv
2
,其中 由不等式0
a x
2
y
2
z
2
A
,z
0
所
得 的边界曲面的球坐标方程:a
A
P ,连结OP= ,其与z轴正向的夹角为 ,OP= 。P在xoy面的投影为P ,连结OP ,其与x轴正向的 夹角为 。 ∴ :a
2
2
A
A,0
2
,0
2
2
2
(x
2
y)dv
2
d
d (
a
sin
2
) sin d
2
=2 sin3 [ 5]aAd
5
1
=
2 5
2
(A a) sin
553
d
2 5
(A a)
55
23
1
4 15
(A a)
55
方法
三重积分的计算方法练习
1. 计算 (x
2
y)dv
2
,其中 是旋转面x
2
y
2
2z
与平面z=2,z=8所围
成的闭区域。 2. 计算 (x
z)dv
,其中 是锥面z
x
2
y
2
与球面z
x
2
y
2
所
围成的闭区域。
为了检测三重积分计算的掌握情况,请同学们按照例题的格式,独立完成以上的练习,答案后续。
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