2019年四川凉山州中考数学试题（解析版）

{来源}2019年凉山州中考数学 {适用范围:3． 九年级}

{标题}2019年凉山州高中阶段教育学校招生统一考试

数学试题

A卷（共100分）

第Ⅰ卷（选择题共48分）

{题型:1-选择题}—、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是 正确的，把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置. {题目}1.(2019年凉山州）-2的相反数是（ ▲ ） A.2 B.-2 C.{答案}A.

{解析}本题考查了相反数的定义，数a的相反数是-a，解析：-2的相反数是2，因此本题选A. {分值}4

{章节:[1-1-2-3]相反数} {考点:相反数的定义} {类别:常考题} {难度:1-最简单}

{题目}2.(2019年凉山州）2018年凉山州生产总值约为153 300 000 000元，用科学记数法表示数153 300 000 000是 （ ▲ ）

9101112

A.1.533×10 B.1.533×10 C.1.533×10 D.1.533×10 {答案}C.

n

{解析}本题考查了科学记数法，将一个数写成a×10的形式，叫做科学记数法.其中a是整数数位有且仅有一位的数，即a应满足1≤|a|＜10；当原数的绝对值不小于1时，n等于原数的整数位数减去1所得的差；当原数的绝对值小于1时，n等于原数左起第一位非零数字前面所有0的个数的相反数.153 300 000 000用科学记数表示成：1.53?1011 ，因此本题选C． {分值}4

{章节:[1-1-5-2]科学计数法}

{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法} {类别:常考题} {难度:1-最简单}

{题目}3.(2019年凉山州）如图，BD∥EF, AE 与 BD 交于点 C，∠B=30°,∠A=75°，则 ∠E的度数为（ ▲ ）

A. 135° B.125° C. 115° D.105°

11 D.? 22 1

{答案}D.

{解析}本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理关于外角的推论，由三角形外角的性质可知∠ACD=∠A+∠B=30°+75°=105°，∵BD∥EF，∴∠E=∠ACD=105°，因此本题选D． {分值}

{章节:[1-5-3]平行线的性质}

{章节:[1-11-2]与三角形有关的角} {考点:两直线平行同位角相等} {考点:三角形的外角} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}4.(2019年凉山州）下列各式正确的是（ ▲ ）

A. 2a + 3a =5a B.a ?a= a C.( a) = a D. {答案}B.

{解析}本题考查了合并同类项、幂的有关运算以及二次根式的性质，A项考查了合并同类项，正确结果应该是5a2；B项考查的是同底数幂的乘法，结果正确；C项考查的是幂的乘方，正确的结果应该是a10；D项考查了二次根式的性质，结果应为|a|．因此本题选B. {分值}4

{章节:[1-2-2]整式的加减} {章节:[1-15-2-3]整数指数幂} {章节:[1-16-1]二次根式} {考点:合并同类项} {考点:同底数幂的乘法} {考点:幂的乘方}

{考点:平方的算术平方根} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}5.(2019年凉山州）不等式1–x≥x-1的解集是（ ▲ ） A.x≥1 B.x≥-1 C.x≤1 D.x≤-1 {答案}C.

{解析}本题考查了一元一次不等式的解法，移项、合并同类项得2?2x ，∴x?1，因此本题选C.

2

2

4

2

3

23

5

a2?a

2

{分值}4

{章节:[1-9-2]一元一次不等式} {考点:解一元一次不等式} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}6.(2019年凉山州）某班40名同学一周参加体育锻炼时间统计如下表所示: 人数（人） 3 17 8 13 9 7 10 时间（小时） 7 那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（ ▲ ） A.17， 8.5 B.17，9 C. 8， 9 D.8， 8.5 {答案}D.

{解析}本题考查了众数和中位数的定义，由于8出现了17次，故这组数据的众数为8；而第20，21位数分别为8和9，这两个数的平均数伟8.5，所以这组数的中位为8.5.因此本题选D． {分值}4

{章节:[1-20-1-2]中位数和众数} {考点:中位数} {考点:众数} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}7．(2019年凉山州）下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②两点之间线段最短；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦．其中，真命题的个数是（▲） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 {答案}A.

{解析}本题考查了点到直线的距离、线段的基本性质、圆心角与弧的关系，垂径定理的逆命题以及命题的真假的判断等几何知识.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故命题①为假命题；两点之间线段最短为线段的基本性质，属于基本事实，故命题②为真命题；命题③漏了“在同圆或等圆中”，因而是假命题；当被平分线的弦是直径时，平分弦的直径不一定垂直于弦，所以命题④为假命题.因此本题选A． {分值}4

{章节:[1-5-4] 命题、定理、证明} {章节:[1-4-2]直线、射线、线段} {章节:[1-5-1-2]垂线}

{章节:[1-24-1-2]垂直于弦的直径} {章节:[1-24-1-3]弧、弦、圆心角} {考点:垂径定理}

{考点:圆心角、弧、弦的关系} {考点:命题}

{考点:点到直线的距离} {考点:线段公理} {难度:3-中等难度}

3

{题目}8.(2019年凉山州）如图，正比例函数y=kx与反比例函数y=

4的图象相交于A、C两点，过x点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接BC，则△ABC的面积等于（ ▲ ） A.8 B.6 C.4 D.2

{答案}C.

{解析}本题考查了反比例函数k的几何意义，设A点的坐标为（m，-4），则C点的坐标为（-m，m14144），由双曲线的中心对称性可知，S?ABC?S?OBC?S?OAB?m???m???4，因此本题选C．

2m2mm{分值}4

{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质} {考点:反比例函数的几何意义}

{考点:反比例函数与一次函数的综合} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}

{题目}9．(2019年凉山州）如图，在△ABC中，CA = CB = 4，cos C =值为（ ▲ ） A．

1，则 sinB的410 410 2B．

15 3C．

6 4D．

{答案}D．

{解析}本题考查了，构造直角三角形求锐角三角函数值，过点A作AD⊥BC于点D，∵cosC=，AC=4，∴CD=1，∴BD=3，AD=sinB=

42?12?15，在Rt△ABD中，AB=

14(15)2?32?26，∴

AD1510，因此本题选D． ??AB264 4

ABDC

{分值}4

{章节:[1-28-3]锐角三角函数} {考点:正弦} {考点:余弦} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}

{题目}10.(2019年凉山州）如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC = 1：2，0是BD的中点，连接A0并延长交BC 于 E，则BE:EC=（ ▲ ） A. 1:2 B. 1:3 C. 1:4 D. 2:3

{答案}B.

{解析}本题考查了平行线分线段成比例，也可以用相似三角形的性质来解决.过点D作DF∥AE，则

BEBOEFAD1??1,??，∴BE:EF:FC=1：1：2，∴BE:EC=1：3.因此本题选B. EFODFCCD2

{分值}4

{章节:[1-27-1-2]相似三角形的性质} {考点:平行线分线段成比例} {考点:相似三角形的性质} {类别:常考题} {难度:4-较高难度}

{题目}11．(2019年凉山州）如图，在△AOC中，OA=3cm，OC=lcm，将△AOC绕点D顺时针旋转

5

90 °后得到△BOD，则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为( ▲ )cm2 A．

? 2 B．2π C．

17? 8 D．

19? 8

{答案}B.

{解析}本题考查了利用扇形面积求不规则图形的面积，关键在于将不规则图形的面积转化为规则图形的面积来求，AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积=S△OCA+S扇形OAB- S扇形OCD- S△ODB①,由旋转知：

90??3290??12△OCA≌△ODB，∴S△OCA=S△ODB,∴①式= S扇形OAB- S扇形OCD=-=2π，因此本题选B.

360360

{分值}4

{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积} {考点:扇形的面积} {类别:常考题}

{难度:3-中等难度}

{题目}12.(2019年凉山州）二次函数y=ax+bx+c的部分图象如图所示，有以下结论：①3a –b=0；②b-4ac＞0；③5a-2b+c＞0； ④4b+3c＞0,其中错误结论的个数是（ ▲ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

2

2

6

{答案}A.

{解析}本题考查了二次函数的图象性质中系数与图象的关系，以及抛物线与一元二次方程的关系.根据对称轴?b3??得b=3a，故可得3a –b=0，所以结论①正确；由于抛物线与x轴有两个不同2a22

的交点，所以b-4ac＞0，结论②正确；根据结论①可知b=3a，∴5a-2b+c=5a-6a+c=-a+c，观察图

像可知a＜0,c＞0，∴5a-2b+c=-a+c＞0，结论③正确；根据抛物线的轴对称性可知抛物线与x轴的右交点在原点与（1，0）之间（不含这两点），所以当x=1时，y=a+b+c＜0，∵a=b，∴b+c＜0，∴4b+3c＜0，所以结论④错误.因此本题选A． {分值}4

{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质} {考点:二次函数y＝ax2+bx+c的性质} {考点:二次函数的系数与图象的关系} {考点:抛物线与一元二次方程的关系}

{类别:思想方法}{类别:常考题}{类别:易错题} {难度:5-高难度}

1343第Ⅱ卷（非选择题共52分）

二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）

?x?y?10，{题目}13．(2019年凉山州）方程?的解是 ．

2x?y?16??x?6?x?613.?，解析：{答案}?.

y?4y?4??{解析}本题考查了二元一次方程组的解法.把两个方程相减，得x=6，把x=6 代入x+y=10，得y=4，∴

?x?6?x?6.故答案为. ???y?4?y?4{分值}4

{章节:[1-8-2]消元——解二元一次方程组} {考点:加减消元法} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}14.(2019年凉山州）方程{答案}x=-2.

{解析}本题考查了分式方程的解法，原方程可化为

2x?12??1解是 ▲ . x?11?x22x?12??1，去分母得（2x-1）x?1(x?1)(x?1)(x+1)-2=(x+1)(x-1)，解得x1=1，x2=-2，经检验x1=1是增根，x2=-2是原方程的解，∴原方程的解为x=-2.故答案为x=-2． {分值}4

7

{章节:[1-15-3]分式方程} {考点:稍复杂的分式方程} {类别:易错题} {难度:3-中等难度}

{题目}15．(2019年凉山州）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A =30°， CD =23，则⊙O的半径是 ．

{答案}2.

{解析}本题考查了垂径定理，，接OC，则OA=OC，∴∠A=∠ACO=30°，∴∠COH=60°，∵OB⊥CD，CD=23，∴CH=3，∴OH=1，∴OC=2.因此本题应填：2．

{分值}4

{章节:[1-24-1-2]垂直于弦的直径} {章节:[1-28-2-1]特殊角} {考点:垂径定理} {考点:解直角三角形} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}

{题目}16.(2019年凉山州）在□ABCD中，E是AD上一点，且点E将AD分为2:3的两部分， 连接BE、AC相交于F，则S△AEF:S△CBF是 ▲ .

（第16题图答图1） （第16题图答图2）

8

{答案}4：25或9:25.

{解析}本题考查了似三角形的性质中相似三角形面积比与相似比的关系，在□ABCD中，∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF.如答图1，当AE:DE=2：3时，AE：AD=2:5,∵AD=BC，∴AE：BC=2:5, ∴S△AEF:S

如答图2，当AE:DE=3：2时，AE：AD=3:5,∵AD=BC，∴AE：BC=3:5, ∴S△AEF:S△CBF=9:25.△CBF=4:25；

故本题答案为4：25或9:25. {分值}4

{章节:[1-27-1-2]相似三角形的性质} {考点:相似三角形面积的性质} {类别:易错题} {难度:4-较高难度}

{题目}17.(2019年凉山州）将抛物线y=(x-3)2-2向左平移 个单位后经过点A(2，2)． {答案}3.

{解析}本题考查了二次函数图象的平移与系数的关系，设抛物线向左平移m个单位，则平移后的解析

22

式为y=（x-3+m）-2，将A（2，2）代入，有：2=（2-3+m）-2，解得：m1=-1（舍去），m2=3，∴m=3.故本题答案为：3. {分值}4

{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质} {考点:二次函数图象的平移} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}

{题型:4-解答题}三、解答题（共5小题，共32分）

0

{题目}18.(2019年凉山州）（5分）计算：tan45° + （3-2）-（-

1-2

） + ︱3-2︱. 2{解析}本题考查了实数的计算，涉及特殊角的锐角三角函数、0指数幂、负指数幂以及绝对值的化简，先根据上述知识分别求出各个项，然后再进行加减即可.

2

{答案}解：原式=1+1-(-2)+2-3=2-4+2-3=-3.

{分值}5.

{章节:[1-28-2-1]特殊角} {难度:3-中等难度} {类别:常考题}

{考点:特殊角的三角函数值}

{题目}19．(2019年凉山州）（5分）先化简，再求值：(a+3)2- (a+1)（a-1）-2(2a +4)，其中a=-

1． 2{解析}本题考查了整式的乘法与化简求值，先利用乘法公式以及整式乘法的有关法则进行计算，再代入求值．

{答案}解：原式=a+6a+9-a+1-4a-8=2a+2，当a=-

{分值}5

2

2

11时，原式==2×（-）+2=-1+2=1. 22 9

{章节:[1-14-2]乘法公式} {难度:2-简单} {类别:常考题}

{考点:乘法公式的综合应用}

{题目}20. (2019年凉山州）（6分）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点0，E是OC上一点，连接EB.过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F.求证：OE = OF.

{解析}本题考查了正方形的性质．关键是利用正方形的性质找出一对全等三角形来证明OE = OF. {答案}证明：在正方形ABCD中，∵AC⊥BD，AM⊥BE，∴∠AOF=∠BOE=∠AME=90°，∴∠FAO+∠AEB=∠EBO+∠AEB=90°，∴∠FAO=∠EBO，∵AC=BD，OA=△AOF≌△BOE（AAS），∴OE = OF. {分值}6

{章节:[1-18-2-3] 正方形} {难度:3-中等难度} {类别:常考题}

{考点:正方形的性质}

{题目}21．(2019年凉山州）（8分）某校初中部举行诗词大会预选赛，学校对参赛同学获奖情况进行统计，绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中相关数据解答下列问题.

11AC，OB=BD，∴OA=OB，∴22

（1）参加此次诗词大会预选赛的同学共有 ▲ 人；

（2）在扇形统计图中，“三等奖”所对应的扇形的圆心角的度数为 ▲ ； （3）将条形统计图补充完整； （4）若获得一等奖的同学中有

11来自七年级，来自九年级，其余的来自八年级.学校决定从获得42一等奖的同学中任选两名同学参加全市诗词大会比赛．请通过列表或树状图方法求所选两名同学中，

恰好是一名七年级和一名九年级同学的概率．

{解析}本题考查了统计图的有关计算，以及求等可能条件下的概率．前三问根据统计图进行分析、

10

{类别:常考题}

{考点:相似三角形的判定（两角相等）} {考点:相似三角形的性质}

2

{题目}28.(2019年凉山州）（12分）如图，抛物线y= ax+bx+c的图象过点A（-1，0）、B（3,0）、C（0,3）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，请求出点 P的坐标及△PAC的周长；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M （不与C点重合），使得 S△PAM=S△PAC，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

{解析}本题考查了二次函数与一次函数、轴对称知识及三角形面积的有关知识的综合运用．第一问根据相关点的坐标列方程组，即可求得相关参数，从而得到函数解析式；第二问需要利用轴对称的“将军饮马模型”来解决；第三问关键是利用“等底等高的三角形面积相等”发现点M的位置.

?a?b?c?0?a??1??2

{答案}解：（1）由题知?9a?3b?c?0，解得?b?2，∴抛物线的解析式为y= -x+2x+3；

?c?3?c?3??（2）存在.连接BC交抛物线对称轴于点P，此时△PAC的周长最小.设BC:y=kx+3，则3k+3=0，解

得k=-1，∴BC:y=-x+3.由抛物线的轴对称性可得其对称轴为直线x=1，当x=1时，y=-x+3=2，∴P（1,2）.在Rt△OAC中，AC=12?32=10；在Rt△OBC中，BC=32?32=32.∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PA=PB，∴△PAC的周长=AC+PC+PA= AC+PC+PB=AC+BC=10+32.综上，存在符合条件的点P，其坐标为（1,2），此时△PAC的周长为10+32； （3）存在.由题知AB=4，∴S△PAC= S△ABC- S△PAB=

11×4×3-×4×2=2.设：AP:y=mx+n，则22??m?n?0?m?1，解得，∴AP:y=x+1. ???m?n?2?n?1①过点C作AP的平行线交x轴上方的抛物线于M，易得CM:y=x+3，由??y?x?3解得2y??x?2x?3? 16

?x1?0?x2?1，?，∴M（1,4）； ?y?3y?4?1?2②设抛物线对称轴交x轴于点E（1,0）,则S△PAC=

1×2×2=2= S△PAC.过点E作AP的平行线交x轴2上方的抛物线于M，设EM:y=x+t，则1+t=0,∴t=-1，∴EM:y=x-1. 由??y?x?1解得2?y??x?2x?3??1?171?17x?x???1?17?1?17?2?122（舍），?，∴M（,）. ?22?1?17?1?17?y??y?21??22??综上，存在符合条件的点M，其坐标为（1,4）或（

1?17?1?17,）. 22

{分值}12.

{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质} {难度:5-高难度} {类别:常考题} {类别:易错题}

{考点:其他二次函数综合题}

17

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