2022-2022学年陕西省西安中学高二(上)期末数学试卷(理科)

2018-2019学年陕西省西安中学高二（上）期末数学试卷（理

科）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．（5分）抛物线x2＝﹣8y的准线方程是（　　）

A．x B．y＝2C．y D．y＝﹣2

2．（5分）已知向量（1，1，0），则与共线的单位向量（　　）

A．（，，0）B．（0，1，0）C．（，，0）D．（1，1，1）3．（5分）下列说法中正确的是（　　）

A．若，则A，B，C，D四点构成一个平行四边形

B．若，，则

C．若和都是单位向量，则

D．零向量与任何向量都共线

4．（5分）给出如下三个命题：

①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；

②命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；

③“?x∈R，x2+1≥1”的否定是“?x∈R，x2+1≤1”．

正确的是（　　）

A．0B．1C．2D．3

5．（5分）若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（　　）

A．B．C．D．

6．（5分）“a＝1”是“函数y＝cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

7．（5分）若曲线表示椭圆，则k的取值范围是（　　）

A．k＞1B．k＜﹣1

C．﹣1＜k＜1D．﹣1＜k＜0或0＜k＜1

8．（5分）已知平面α内有一点M（1，﹣1，2），平面α的一个法向量（2，﹣1，2），则下列点P在平面α内的是（　　）

第1页（共15页）

A．（﹣4，4，0）B．（2，0，1）C．（2，3，3）D．（3，﹣3，4）9．（5分）若点O和点F（﹣2，0）分别是双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（　　）

A．B．C．D．

10．（5分）已知动圆P与定圆C：（x﹣2）2+y2＝1相外切，又与定直线l：x＝﹣1相切，那么动圆的圆心P的轨迹方程是（　　）

A．y2＝4x B．y2＝﹣4x C．y2＝8x D．y2＝﹣8x 11．（5分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，x2y3z，则x+y+z＝（　　）A．1B．C．D．

12．（5分）方程mx+ny2＝0与mx2+ny2＝1（|m|＞|n|＞0）的曲线在同一坐标系中的示意图应是（　　）

A

．B ．

C ．D

．

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．（5分）过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），如果x1+x2＝8，则|AB|＝　　；

14．（5分）已知，且，，，则　　；

15．（5分）已知（4，2）是直线l被椭圆1所截得的线段的中点，则l的方程是　　．16．（5分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，侧面PCD⊥底面ABCD，且PC＝PD＝2，M，N分别为棱PC，AD的中点，则点N到平面MBD的距离为　　．

第2页（共15页）

第3页（共15

页）三、解答题：（本大题共6小题，共70分）

17．（10分）已知双曲线的方程是16x 2﹣9y 2＝144．

（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；

（2）设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|?|PF 2|＝32，求∠F 1PF 2的大小．

18．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，BB 1⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，AC ＝AB ＝AA 1，E 是BC 的中点．

（1）求证：AE ⊥B 1C ；

（2）求异面直线AE 与A 1C 所成的角的大小；

（3）若G 为C 1C 中点，求二面角C ﹣AG ﹣E

的正切值．

19．（12分）如图，在边长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是BC 的中点，F 是DD 1的中点，

（1）求证：CF ∥平面A 1DE ；

（2）求平面A 1DE 与平面A 1DA 夹角的余弦值．

第4页（共15

页）20．（12分）已知抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点F ，抛物线上一点P 点纵坐标为2，|PF |＝3．

（1）求抛物线的方程；

（2）已知抛物线C 与直线l ：y ＝kx +1交于M ，N 两点，y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有k PM +k PN ＝0？说明理由．

21．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PD 垂直于底面ABCD ，AD ＝PD ＝2，

E 、

F 分别为CD 、PB 的中点．

（1）求证：EF ⊥平面PAB ；

（2）设，求直线AC 与平面AEF 所成角θ

的正弦值．

22．（12分）已知椭圆C ：的两个焦点分别为F 1，F 2，离心率为，过F 1的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且△MNF 2的周长为8．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）直线m 过点（﹣1，0），且与椭圆C 交于P 、Q 两点，求△PQF 2面积的最大值．

2018-2019学年陕西省西安中学高二（上）期末数学试卷（理

科）

参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．（5分）抛物线x2＝﹣8y的准线方程是（　　）

A．x B．y＝2C．y D．y＝﹣2

【解答】解：抛物线x2＝﹣8y可得2p＝8，

∴2．

∴此抛物线的准线方程是y＝2．

故选：B．

2．（5分）已知向量（1，1，0），则与共线的单位向量（　　）

A．（，，0）B．（0，1，0）C．（，，0）D．（1，1，1）【解答】解：对于C：向量（，，0），并且向量（，，0）的模为1．

故选：C．

3．（5分）下列说法中正确的是（　　）

A．若，则A，B，C，D四点构成一个平行四边形

B．若，，则

C．若和都是单位向量，则

D．零向量与任何向量都共线

【解答】解：若，则A，B，C，D四点构成一个平行四边形或共线，故A错误；

若，，则，或，不共线，比如，故B错误；

若和都是单位向量，可得，的模相等，不能判断共线或相等，故C错误；

零向量与任何向量都共线，故D正确．

故选：D．

4．（5分）给出如下三个命题：

①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；

②命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；

③“?x∈R，x2+1≥1”的否定是“?x∈R，x2+1≤1”．

正确的是（　　）

第5页（共15页）

A．0B．1C．2D．3

【解答】解：①根据真值表可得：若p且q为假命题时，则p、q至少有一个是假命题，所以①错误．

②根据命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”．

是真命题，所以②正确．

③若原命题“?x∈R，都有x2+1≥1”

∴命题“?x∈R，都有x2+1≥2x”的否定是：

?x∈R，有x2+1＜1，所以③不正确．

故选：B．

5．（5分）若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（　　）

A．B．C．D．

【解答】解：由题意，椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，

∴2c＝a

∴e

故选：A．

6．（5分）“a＝1”是“函数y＝cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【解答】解：函数y＝cos2ax﹣sin2ax＝cos2ax，它的周期是，a＝±1

显然“a＝1”可得“函数y＝cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”

后者推不出前者，

故选：A．

7．（5分）若曲线表示椭圆，则k的取值范围是（　　）

A．k＞1B．k＜﹣1

C．﹣1＜k＜1D．﹣1＜k＜0或0＜k＜1

【解答】解：∵曲线表示椭圆，∴，解得﹣1＜k＜1，且k≠0．

故选：D．

8．（5分）已知平面α内有一点M（1，﹣1，2），平面α的一个法向量（2，﹣1，2），则

下列点P在平面α内的是（　　）

第6页（共15页）

A．（﹣4，4，0）B．（2，0，1）C．（2，3，3）D．（3，﹣3，4）【解答】解：若点P在平面α内，则0，设P（x，y，z），

则2（x﹣1）﹣（y+1）+2（z﹣2）＝0，

经过验证只有点（2，3，3）满足．

故选：C．

9．（5分）若点O和点F（﹣2，0）分别是双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（　　）

A．B．C．D．

【解答】解：因为F（﹣2，0）是已知双曲线的左焦点，

所以a2+1＝4，即a2＝3，所以双曲线方程为，

设点P（x0，y0），

则有，解得，

因为，，

所以x0（x0+2），

此二次函数对应的抛物线的对称轴为，

因为，

所以当时，取得最小值，

故的取值范围是，

故选：B．

10．（5分）已知动圆P与定圆C：（x﹣2）2+y2＝1相外切，又与定直线l：x＝﹣1相切，那么动圆的圆心P的轨迹方程是（　　）

A．y2＝4x B．y2＝﹣4x C．y2＝8x D．y2＝﹣8x

【解答】解：令P点坐标为（x，y），A（2，0），动圆得半径为r，

则根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得，PA＝1+r，d＝r，

P在直线的右侧，故P到定直线的距离是x+1，

所以PA﹣d＝1，即（x+1）＝1，

化简得：y2＝8x．

故选：C．

11．（5分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，x2y3z，则x+y+z＝（　　）A．1B．C．D．

第7页（共15页）

【解答】解：如图所示，

在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，

，

与x2y3z比较可得：

x＝1，2y＝1，﹣1＝3z．

则x+y+z＝1．

故选：B

．

12．（5分）方程mx+ny2＝0与mx2+ny2＝1（|m|＞|n|＞0）的曲线在同一坐标系中的示意图应是（　　）

A

．B ．

C ．D

．

【解答】解：方程mx+ny2＝0 即y2，表示抛物线，方程mx2+ny2＝1（|m|＞|n|＞0）表示椭圆或双曲线．

当m和n同号时，抛物线开口向左，方程mx2+ny2＝1（|m|＞|n|＞0）表示焦点在y轴上的椭圆，无符合条件的选项．

当m和n异号时，抛物线y2开口向右，方程mx2+ny2＝1（|m|＞|n|＞0）表示双曲线，

故选：A．

第8页（共15页）

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．（5分）过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），如果x1+x2＝8，则|AB|＝　10　；

【解答】解：抛物线y2＝4x中，p＝2；

过焦点F作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），

若x1+x2＝8，则|AB|＝（x1）+（x2）＝x1+x2+p＝8+2＝10．

故答案为：10．

14．（5分）已知，且，，，则　　；

【解答】解：，，，，

则44?2?4?

＝1+4+1+4×cos0﹣0

＝8，

∴2．

故答案为：2．

15．（5分）已知（4，2）是直线l被椭圆1所截得的线段的中点，则l的方程是　x+2y﹣8＝0　．

【解答】解：设直线l与椭圆交于P1（x1，y1）、P2（x2，y2），

将P1、P2两点坐标代入椭圆方程相减得直线l斜率

k．

由点斜式可得l的方程为x+2y﹣8＝0．

16．（5分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，侧面PCD⊥底面ABCD，且PC＝PD＝2，M，N分别为棱PC，AD的中点，则点N到平面MBD的距离为　　．

【解答】解：取CD、AB的中点分别为O，E，连结OP，OE

第9页（共15页）

以O为原点，OE为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，

则N（1，﹣1，0），M（0，，），B（2，1，0），D（0，﹣1，0），

（1，0，0），（0，，），（2，2，0），

设平面MBD的法向量（x，y，z），

则，取x＝1，得（1，﹣1，），

∴点N到平面MBD的距离：

d．

故答案为：．

三、解答题：（本大题共6小题，共70分）

17．（10分）已知双曲线的方程是16x2﹣9y2＝144．

（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；

（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|?|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．

【解答】解：（1）由16x2﹣9y2＝144得1，

∴a＝3，b＝4，c＝5．焦点坐标F1（﹣5，0），F2（5，0），离心率e，渐近线方程为y ＝±x．

（2）||PF1|﹣|PF2||＝6，

cos∠F1PF2

0．

∴∠F1PF2＝90°．

18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AC＝AB ＝AA1，E是BC的中点．

第10页（共15页）

（1）求证：AE⊥B1C；

（2）求异面直线AE与A1C所成的角的大小；

的正切值．

（3）若G为C1C中点，求二面角C﹣AG﹣E

【解答】证明：（1）因为BB1⊥面ABC，AE?面ABC，所以AE⊥BB1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）

由AB＝AC，E为BC的中点得到AE⊥BC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）

∵BC∩BB1＝B∴AE⊥面BB1C1C﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）

∴AE⊥B1C﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）

解：（2）取B1C1的中点E1，连A1E1，E1C，

则AE∥A1E1，

∴∠E1A1C是异面直线AE与A1C所成的角．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）

设AC＝AB＝AA1＝2，则由∠BAC＝90°，

可得A1E1＝AE，A1C＝2，E1C1＝ECBC

∴E1C

∵在△E1A1C中，cos∠E1A1C（8分）

所以异面直线AE与A1C所成的角为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）

（3）连接AG，设P是AC的中点，过点P作PQ⊥AG于Q，连EP，EQ，则EP⊥AC ﹣﹣﹣﹣（10分）

又∵平面ABC⊥平面ACC1A1

∴EP⊥平面ACC1A1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）

而PQ⊥AG∴EQ⊥AG．

第11页（共15页）

∴∠PQE是二面角C﹣AG﹣E的平面角．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）由EP＝1，AP＝1，PQ，得tan∠PQE

分）

所以二面角C﹣AG﹣E的平面角正切值是（13

19．（12分）如图，在边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC的中点，F是DD1的中点，

（1）求证：CF∥平面A1DE；

夹角的余弦值．

（2）求平面A1DE与平面A1DA

则A（2，0，0），A1（2，0，2），E（1，2，0），D（0，0，0），B1（2，2，2），

则，

设平面A1DE的法向量是

则，取，

∴

所以CF∥平面A1DE．

解：（2）是面A1DA的法向量，

∴

即平面A1DE与平面A1DA夹角的余弦值为．

第12页（共15页）

第13页（共15

页）20．（12分）已知抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点F ，抛物线上一点P 点纵坐标为2，|PF |＝3．

（1）求抛物线的方程；

（2）已知抛物线C 与直线l ：y ＝kx +1交于M ，N 两点，y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有k PM +k PN ＝0？说明理由．

【解答】解：（1）∵，∴，即p ＝2，故抛物线的方程为x 2＝4y ．

（2）设P （0，b ）为符合题意的点，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），

设直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2．

将y ＝kx +1代入抛物线C 的方程得x 2﹣4kx ﹣4＝0，

故x 1+x 2＝4k ，x 1x 2＝﹣4，

∴

，

当b ＝﹣1时，即p （0，﹣1），有k PM +k PN ＝0．

21．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PD 垂直于底面ABCD ，AD ＝PD ＝2，

E 、

F 分别为CD 、PB 的中点．

（1）求证：EF ⊥平面PAB ；

（2）设，求直线AC 与平面AEF 所成角θ的正弦值．

第14页（共15

页）【解答】解：以D 为从标原点，DC 、DA 、DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系D ﹣xyz ．设AB ＝a ，

则A （0，2，0），B （a ，2，0），C （a ，0，0），D （0，0，0，），p （0，0，2），（2

分）

（1）由题意可得：0×0+1×2+1×（﹣2）＝0，0×a +1×2+1×（﹣2）＝0

∴EF ⊥PA ，EF ⊥PB ．

∴EF ⊥平面PAB ．…（6分）

（2）AB ＝2（0，1，1）．

设平面AEF 的法向量n ＝（x ，y ，z ），

则

令y ＝1，则x （9分）

又．…（11分）

所以sin θ＝1cos ．…（12分）

22．（12分）已知椭圆C ：的两个焦点分别为F 1，F 2，离心率为，过F 1的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且△MNF 2的周长为8．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）直线m 过点（﹣1，0），且与椭圆C 交于P 、Q 两点，求△PQF 2面积的最大值．

【解答】解：（1）由题意知，4a＝8，则a＝2，

由椭圆离心率，得c＝1，∴b2＝3．

∴椭圆C的方程为；

（2）设直线m的方程为：x＝ty﹣1，P（x1，y1），Q（x2，y2），由，得（4+3t2）y2﹣6ty﹣9＝0．

，．

∴．

令，则n≥1，

∴，而3n在[1，+∞）上单调递增，

∴．

当n＝1时取等号，即当t＝0时，△PQF2的面积最大值为3．

第15页（共15页）

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