概率论第二版杨振明课后题答案

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概率论与数理统计推荐度：
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2.1.习题

1．设随机变量?的分布函数为F(x)，证明??e也是随机变量，并求?的分布函数．

证明：由定理2.1.3随机变量的Borel函数仍为随机变量，故??e也是随机变量．

???pq?11?p2?qp ?11?q2

?pq?1(1?p)qq1?q?qp?1p(1?q)

?p1?p?

?的分布函数为

F?(y)?P{??y}?P{e?y}

当y?0时，{e当

??4．在半径为R的圆内任取一点（二维几何概型），试求此点到圆心之距离?的分布函数及P{??2R3}． ?y}??，故F?(y)?0；

解：此点到圆心之距离?的分布函数为

y?0?时，

F(x)?P{??x}

F?(y)?P{??y}?P{e?y}?P{??lny}?F?(

因此，?的分布函数为

y)ln当x?0时，{??x}??，F?x??0；

?F?(lny),F?(y)??0?y?0y?0当0?x?R时，F(x)?P{??x}?．

当x?R时， F?x??1 故?的分布函数为

?x?R22?xR22；

3．假定一硬币抛出正面的概率为p(0?p?1)，反复抛这枚硬币直至正面与反面都出现过为止，试求：（1）抛掷次数?的密度阵；（2）恰好抛偶数次的概率．

解：（1）{??k}表示前k?1次都出现正(反)面，第k次出现反(正)面，据题意知，

?0,2??xF(x)??2,?R??1,x?00?x?R． x?R2P{??k}?pk?1(1?p)?(1?p)k?1p，k?2,3,4,?

P{??2R3}?1?F(2R3)?1?(2R/3)R2?1?49?59．

所以，抛掷次数?的密度阵为

5．在半径为1的车轮边缘上有一裂纹，求随机停车后裂纹距地面高度?的分布函数．

23?k??? ??2p?2p2p?p2?pk?1(1?p)?(1?p)k?1p?????(2) 恰好抛掷偶数次的概率为：

P{??2}?P{??4}?P{??6}???P{??2n}??

?pq?qp?pq?qp?pq?qp???p

33552n?1x(1?x?q?qp?? x?1

2n?1x(0?x?1) ?pq(1?p?p??)?qp(1?q?q??)

解：当x?0时，{??x}??，F?x??0；

2424

当裂纹距离地面高度为1时，分布函数为

F?x??F；

????,1???P???0??1???R2?R?12???arccos(1?x)?当裂纹距离地面高度为xx?1?时，分布函数为

2arccos?x?1?R2?R0??12?x?2F?x?????1x2?2x?1?2?1?,,,,x?00?x?11?x?2x?2,,

,.F?x??F????,x???P???x??arccos?x?1?（2）P?0.2???1.2??P???1.2??P???0.2?

?????arccos?1?x??；

?F?1.2??F7．设

?0.?2?0. 66当裂纹距离地面高度为x(1?x?2)时，分布函数为

p(x)?e?e(x?a)，x?0

F?x??F；

????,x??（1）求a使p(x)为密度函数； ??2??2arccos?1?x???R??arccos?1?x??P???x???2?R?（2）若?以此p(x)为密度函数，求b使P{??b}?b．

解：（1）由密度函数的性质，知

当x?2时， F?x??1；则?的分布函数为

1?????p(x)dx?1e??0e?e(x?a)dx??1ee?e(x?a)?0?1eeea

0?????arccos?1?x?F?x?????1??6．已知随机变量?的密度函数为

x?00?x?2 x?2解得，a?．

（2）【法一】根据概率的非负性，b?0，

当b?0时，P{??b}?1，显然P{??b}?b不成立；当

b?0时，

?x p?x????2?x试求：(1) ?的分布函数，（2）P?0.2?解：（1）当x?0时，F(x)?当0?x?1时，F(x)?当

,,0?x?1,1?x?2.

P{??b}?

??bp(x)dx???be1?e(x?)edx??1ee1?e(x?)e?b?1ee?e(b??1.2?．

p(t)dt?而P{??b}?b，即

1ee1?e(b?)e?b，

?x???12x??0dt?0；

解得，b?21e?x??p(t)dt??x．

0tdt?时

x；

，

1?x?2【法二】?的分布函数为

2F(x)??x??p(t)dt??10tdt??x12?tdt??1221x?2x?1；

当x?2时，F(x)?则?的分布函数为

?x??p(t)dt??10tdt??2?tdt?1；

0??1??F?x???x??1?e?1e??1?e?e?ee?,,x?0x?0,.P???b??1?P???b??1?F?b??b

当b?0时，F?b??0，上式不成立．

1???e?b??e?e?(2) 至多命中两次的概率

当b?0时，F?b???1???e?b??e?e?1e?1ee

P{??2}?P{??0}?P{??1}?P{??2}

则1?1e?1ee?b，

?C20p(1?p)0020?C20p(1?p)001119?C20p(1?p)20112218

19解得，b?1e．

?C200.2(1?0.2) (3)

?C200.2(1?0.2)?8.设F(x)是连续型分布函数，试证对任意a?b有

?0.206．

在二项分布中， k?[(n?1)p]时，P{??k}最大，

??F(x?????b)?F(?xa)?

d?x?b. a证：等式左边= =

????????x?bx?ap(t)dtdx故k?[(20?1)?0.2]=4时最大，即最可能命中的次数为4次．

2．同时掷两枚骰子，直到某个骰子出现6点为止，求恰好掷

????x?bx?ad(F(t))dx

因F(x)是连续的分布函数则上式积分可以交换．

n次的概率．

解：掷一枚骰子出现6点的概率是

有两种：都是6点概率为×

则上式交换积分次序得

??????x?bx?a16d(F(t))dx，同时出现6点的情况

????x?bx?a?????16d(F(t))dx

16，其中一个是6点的概率为2×

16x?bx?a56(F(??)?F(??))dx

．因此掷两枚骰子出现6点的概率是

1136．

?2.2习题

?x?bx?a1dx?b?a．

以?表示某骰子首次出现6点时的投掷次数，题目要求恰好掷

n次则前n?1次都没有出现6点，于是所求概率为

P{??n}?(1136)(1?1136)n?11．向目标进行20次独立的射击，假定每次命中率均为0.2．试求：（1）至少命中1次的概率；（2）至多命中2次的概率；（3）最可能命中次数．

解：令?表示命中次数，这是n=20重Bernoulli次命中率p=0.2，命中次数?服从B(20,0.2)分布． (1) 至少命中一次的概率

试验，每

．

3．某公司经理拟将一提案交董事代表会批准，规定如提案获多数代表赞成则通过．经理估计各代表对此提案投赞成票的概率为0.6，且各代表投票情况相互独立．为以较大概率通过提案，试问经理请3名董事代表好还是请5名好？

解：即求请3名董事获多数赞成通过的概率大还是请5名董事通过的概率大．令?表示3名董事代表对提案的赞成数，则

P{??1}?1?P{??1}?1?P{??0}?1?C20p(1?p)

?1?C200.2(1?0.2)00200020?~B(3,0.6)分布．

多数赞成，即

P{??2}?P{??2}?P{??3}

?0.988．

22133 P{??7}?C60.6(1?0.6)?0.165888343?C30.6(1?0.6)?C30.6(1?0.6)

?0.648

034i?4 因此，P{??i}?Ci?10.6(1?0.6)对甲先胜四场成为冠军的概率是

，i=4,5,6,7

P{??4}?P{??4}?P{??5}?P{??6}?P{??7}?0.71令?表示5名董事代表对提案的赞成数，则?~B(5,0.6)分布．

多数赞成，即

P{??3}?P{??3}?P{??4}?P{??5}

?C3350.6(1?0.6)2?C441550.6(1?0.6)?C50.65(1?0.6)0

?0.68256

因此，请5名董事代表好．

4．甲、乙二队比赛篮球．假定每一场甲、乙队获胜的概率分别为0.6与0.4，且各场胜负独立．如果规定先胜4场者为冠军，求甲队经i场(i=4,5,6,7)比赛而成为冠军的概率pi．再问与赛满3场的“三场两胜”制相比较，采用哪种赛制甲队最终夺得冠军的概率较小？

解：令?表示甲成为冠军所经过比赛的场数．

对甲先胜四场为冠军：{??i}表示前i?1场中胜三场，第i场必胜．

则

P{??4}?C44040.6(1?0.6)?0.1296

P{??5}?C34140.6(1?0.6)?0.20736

P{??6}?C3450.6(1?0.6)2?0.20736

．

对赛满3场的“三场两胜”制：甲前两场中胜一场，第三场必胜则

P{??3}?C12120.6(1?0.6)?0.288．

因此，进行甲先胜4场成为冠军的概率较大．

5．对n重Bernoulli试验中成功偶数次的概率Pn．

解：记p为一次Bernoulli试验中事件成功的概率，q为失

败的概率． P00nn?Cnpq?C2n?2np2q?

由

1?(p?q)n?C00n11n?1npq?Cnpq????Cnn0npq

①

(q?p)n?C00n?1npqn?C1npq????Cnn(?p)nq0

②

（①-②）/2得： P1?(q?p)nn?2

7．在可列重Bernoulli试验中，以?i表第i次成功的等待时

间，求证?2??1与?1有相同的概率分布．

解：这是一个几何分布．?2??1表示第一次成功到第二次成功的等待时间．

如果第一次成功到第二次成功进行了m次试验，而第一次成功进行了n次试验．根据几何分布的无记忆性可得：

P{?2??1?m}?(1?p)m?1p,P{?1?n)?(1?p)n?1p

因此，?2??1与?1有相同的概率分布．

8.（广义Bernoulli试验）假定一试验有r个可能结果

A1,?,Ar，并且

P(Ai)?pi?0，p1?p2???pr?1．现将此试验独立

地重复n次，求A1恰出现k1次，??，Ar恰出现kr次(ki?0，

k1?k2???kr?n)的概率．

解：设一次试验的可能结果为A1,?,Ar，它们构成一完备事

件组，P?Ai??pi，

?pi?1，则在n次重复独立试验中

iA1,?,Ar分别出现k1,k2,?,kr次的概率为 n!k1kpk2?pkr ．

1!k2!?kr!p（A1恰出现k1次，??，Ar恰出现kr次，则Ai组成n元序列，上述n次试验结果由分成r组，共有Ck1nCk2n?k1?Ckrk种结果，每

r种结果出现的概率是pk1pk2?pkr，则n次Bernoulli试验中A1恰出现k1次，??，Ar恰出现kr次(ki?0，

k1?k2???kr?n)

的

概率概率是

Ck1Ck2krk1pk2?pkrnn?k1?Ckrp

?n!k1kpk2?pkr ）

1!k2!?kr!p2.3 Poisson分布

1．假定螺丝钉的废品率p?0.015，试求一盒应装多少只才能保证每盒中正品在100只以上的概率不小于80%．

解：设每盒应装100+k只，为使每盒有100只以上的好钉，则

每

盒

次品

的

个数

?应?k-1，故5

k?1piii1?P{??k?1}??C100?kp(1?p)100?k??0.8

i?0由于k值不大，有(100?k)?0.015?1.5,

k?1?1.5i.5?0.80,

i?0i!e?1查表，当k?1?1时, p1=0.557825；当k?1?2时, p1=0.8, 则k=3时，满足题设条件，故每盒中应装103只．

2．据以往的记录，某商店每月出售的电视机台数服从参数

??7的 Poisson分布．问月初应库存多少台电视机，才能以0.999

的概率保证满足顾客对电视机的需求．

解：设月初应当库存电视机台数为?，则每月出售的电视机台

n数?，要满足顾客的要求，则

?Ciin?inp(1?p)?0.999,

i?0n即

??i??i?0i!e?0.999．

n查表得：当n=15时，

??i???0.997553；

i?0i!en当n=16时，

??i?；

i?0i!e??0.999001因此，月初应当库存16台电视机才能以0.999的概率保证满足顾客对电视机的需求．

3．保险公司的资料表明，持有某种人寿保险单的人在保险期

内死亡的概率为0.005．现出售这种保险单1200份，求保险公司至多赔付10份的概率．

解：保险公司赔付的份数?服从n=1200,p=0.005的二项分布．

根据Poisson定理，?服从参数为??1200?0.005?6的Poisson分布．

10P{??10}???k?6k?0k!e

6. 设(?,?)的联合密度函数为当1?m?n时

P{?1?m,?2?n}?P{??m,??n?m}?P{??m}P{??n p(x,y)?cxy2,0?x?2,0?y?1.

试求：（1）常数c；（2）：?,?至少有一个小于12的概率.

解：由联合密度函数的规范性知：

?2?1200cxydydx?1

即

?2cx03dx?1 ?2c3?1

解得c?32．

??(?,?)的联合密度函数为

p(x,y)?32xy2 （2）?,?至少有一个小于

12的概率p为：

p?P{??112}?P{??12}?P{??12,??2}

1111??232??223122220?02xydydx0?02xydxdy???3002xydxxy

1111??2x2222202y3|10dx??2304yx|0dy??2304yx|20dy ?23128

7. 在可列重伯努利试验中，以?i表示第i成功的等待时间，试求

(?1,?2)的：

1）

联合分布; (2) 边缘分布.

（注：?1表示第一次成功的等待时间，?2表示第二次成功的等待时间，???1??2表示第一次成功到第二次成功的等待时间．根据无记忆性，?服从几何分布，即忘记了第一次成功的信息．）根据题目要求，本题解答如下

解：(1)设一次试验中成功的概率为p 失败的概率为q；因为?1,?2服从几何分布具有无记忆性所以：

?qm?1pqn?m?1p?qn?2p2

(2)边缘分布

a. ?1的边缘分布：

根据边缘分布的定义当?1取值为m时的边缘分布．即让?2遍历所有可能的值m?1,m?2,?n于是有：

P{?1?m}?qm?1p2?qmp2???qn?2p2

n?2??qip2?pqm?1

i?m?1即?m?11的边缘分布为pm.?pq(1?m)

b. ?2的边缘分布：

当第二次成功出现在第n次时，即让?1遍历可能的值

1,2,3,?n?1．而?1取每一个值的概率均为 qn?2p2，于是有

P{?22?n}?(n?1)qn?2p

即??(n?1)qn?222的边缘分布为：p.np,n?2

8．设(?,?)服从区域D?{(x,y):0?x2?y?x?1}上的

均匀分布．试求： (1) ?的边缘分布；（2）P{??12}

解

：

（

）

因

为

(?,?)服从区域

{D?{(x,y):0?x2?y?x?1}上的均匀分布，所以有

?1p(x,y)???m(D),(x,y)?D

??0,其它并且有m(D)?2??dxdy??120(x?x)dx?1x?12?13?16

0?x?y??当(x,y)?D时p(x,y)?6．于是有?的边缘分布为：

p?(x)??????p(x,y)dy??x2x6dy?6(x?x)2

?1?r2??1?2x?(0,1)

（

）

法

（

12???2?2(1?r)?1?e??2?2?1?d?

??0S2?）：

当???时，P{(?,?)?D(?)}?1，由此得

P{??

12}??112p?(y)dy???121yy6dxdy??16(y?2y)dy?74??2?0212Sd??2??1?1?r22．

法（2）： P{??而

12}?1?P{??11}?1?F() 2210. 设随机向量有联合密度函数 p(x,y,z)?xze?(x?xy?z), x,y,z?0

F()?2112?206(x?x)dx?122?2126(1234?x)dx?7422?34

(1).?的一维边缘密度；（2）?的一维边缘密度（3）(?,?)的二维边缘密度

解：（1） ?的一维边缘密度即把yz看作常量得到：

所以P(??)?1?2???2

9. （选学）设（?,?）为二维正态随机向量，求落入区域

p?(x)???0?x????0??xzeze?(x?xy?z)dydz dy

D={(x,y):

(x?a)2??22-

2r(x?a1)(y?12a2)???+

?xe ?e?0?z0???0e?xy?x(y?a2)2???ze?z?zdz

?z?2 ?}内的概率． ?e?x(ze

?e)|0

??2?e解：作变换，令x?a??cos?,y?b??sin?，则|J|??椭圆区域为

2?cos2?2rsin?cos?sin??22?????? ?22?1?2?2???1?x 即得?的一维边缘密p?(x)?e?x．

（2）?的一维边缘密度，把x,z看作常量．即

p?(y)????0??0????0xze?(x?xy?z)dxdz dzdx

记

cos?2?12?2rsin?cos??1??sin?22?22?s

2?xe1?(x?xy)???0ze?z则???/s，且

?(1?y)12e?(x?xy)|0

??P{(?,?)?D(?)}?2??1?

121?r2??2x0??12(1?r)2?S22d??s0e?d??(1?y)2 y?0

?2??1?

121?r2??2x0?(1?r)S22?S22即??的一维边缘密度: p?(y)??21(1?y)2

Se2(1?r)d?（3）(?,?)的二维边缘密度此时z为常量．

012

有： p????xze?(x?xy?z)dy

0?(x?z) ?xzex?(x?z)???0e?(xy)dxy

?24y(1?x?y),???12y(1?y)2?0,?

0?x?1?y其它?2(1?x?y),???(1?y)2?0,?0?ze (x?0,z?0) （1）所以，???(x?z)12条件下?的条件密度为

即(?,?)的二维边缘密度p??(x,y)?ze2.6 随机变量的独立性

4．设随机变量(?,?)的联合密度函数为

p?|?p(,y)2(y|)?12p?()2111?6y(1??y)?2,???13(1?)?2?0,?12；

0?y?12其它p(x,y)?24y(1?x?y)，x,y?0且x?y?1，

试求（1）??条件密度。解：据题意知，

12条件下?的条件密度；（2）??12条件下?的

??24y(1?2y),???0,?（2）??0?y?其它12条件下?的条件密度为

?,?的边缘概率密度函数分别为

?1?x???24y(1?x?y)dy,p(x,y)dy??0?0,?p?(x)??0?x?1其它??1p(x,)12p?|?(x|)?12p?()21?2(1?x?)?2,???12(1?)?2?0,?。

?4(1?x)3,??0,?p?(y)?0?x?1其它，

0?x?1????1?y???24y(1?x?y)dx,p(x,y)dx??0?0,?0?y?1其它??4(1?2x),2???0,?0?x?其它12其它?12y(y?1)2,??0,?故当0?x?1时，

0?y?1其它，

5．设(?,?)是连续型随机变量，?有密度函数

p1(x)??xe

2??x，x?0

p?|?(y|x)?p(x,y)p?(x)而?服从区间(0,?)上的均匀分布，试求?的密度函数。解：据题意知，

?24y(1?x?y),???4(1?x)3?0,?

当0?y?1时，

?6y(1?x?y)0?y?1?x?,??(1?x)3?其它0,?0?y?1?x其它p?|??1?,(y|x)??x??0,0?y?x其它

由于p?|?(y|x)?

p(x,y)p?(x)，故

p?|?(x|y)?p(x,y)p?(y)13

p(x,y)?p?|??12??x???xe,(y|x)p?(x)??x?0,?0?y?x其它p?(y)?，

????y???8xydx,p(x,y)dx??0?0,?0?y?1其它?4y2,???0,??2e??x,???0,0?y?x其它，

因为p(x,y)?p?(x)p?(y)，所以?与?不独立． 7.设随机向量(?,?)的联合密度函数

所以，?的密度函数为

p?(y)??????2??x????edx,p(x,y)dx??y?0,?y?0其它?1?xy?,p(x,y)??4??0,试证?与?不独立，但?证：当|x|?1时，

22|x|?1,|y|?1其它，

??e??y,???0,y?0其它。

与?是相互独立的．

6．设随机变量(?,?)的联合密度函数为

?4xy,（1）p(x,y)???0,0?x,y?1其它；

p?(x)?????p(x,y)dy??1?11?xy4dy?12，其余

p?(x)?0．

?8xy,p(x,y)?（2）??0,0?x?y?1其它，

同理当|y|?1时，p?(y)?1/2其余p?(x)?0，当

试问?与?是否相互独立？为什么？

解：（1）?的边缘概率密度函数为

1???4xydy,p(x,y)dy??0?0,?0?|x|?1, 0?y?1时有

p(x,y)?p?(x)p?(y)，所以?与?不独立．

p?(x)?????0?x?1其它?2x,???0,0?x?1其它现试用分布函数来证?2与?独立．?22的分布函数记为

，

同理，?的边缘概率密度函数为

F1(x)，则当0?x?1时，

F1(x)?P{?0?y?12?x}?P{?p?(y)?，

??????4xydx,p(x,y)dx???0?0,?1x???；

x}?0?y?1其它?2y,???0,?x?x12dx?x其它2同理可求得?的分布函数F2(y)，得

因为p(x,y)?p?(x)p?(y)，所以?与?独立．（2）?的边缘概率密度函数为

1???8xydy,p(x,y)dy??x?0,??0,?F1(x)??x,?1,?0?x?122x?00?x?1x?1,

?0,?F2(y)??y,?1,?y?00?y?1y?1,p?(x)?????0?x?1其它?4x(1?x2),??0,?(?其它,?)联合分布函数记为F3(x,y)，则当

，

同理，?的边缘概率密度函数为

0?x?1,y?1时

F3(x,y)?P{?14

2?x,?2?y}?P{?2?x}?x

同理得当0?y?1,x?1时，F3(x,y)?y；当

?P{??1,???1}?P{??1}P{???1}?10?x?1,0?y?1时

同理可证 P{???1,??1}?P{???1}P{??1}，

F3(x,y)?P{?

2?x,?2?y}?P{?x???x,?y???y}P{???1,???1}?P{???1}P{???1}.

?x?xds?yy1?st4?dt?xy 所以?与?相互独立．用同样的方法可证?与?也相互独

立．但

合起来写得

?0,?x,??F2(x,y)??y,?xy,???1,x?0或y?00?x?1,y?10?y?1,x?10?x?1,0?y?1x?1,y?1

P{??1,??1,??1}?P({??1,??1}?[{??1,??1}?{?

?P{??1,??1}?P{??1}P{??1}?而P{??1}P{??1}P{??1}?14，

18，

不难验证F3(x,y)?F1(x)F2(y)对所有x,y都成立，所以?与?独立．

8．若?,?相互独立，都服从?1与1这两点上的等可能分布，令????，试证?,?,?两两独立但整体不独立．

证：由题设得

22所以，?,?,?只两两独立而不相互独立． 2.7 随机变量函数的分布

1．设?与?相互独立，同服从参数为p的几何分布，试求：（1）???的分布；（2）???的分布．

解：据题意知，?与?的概率分布分别为

P{??1}?P({??1,??1}?(???1,???1})

P{??i}?q11111????22222（1）

k?1i?1p,i?1,2,? p,j?1,2,?

?P{??1,??1}?P{???1,???1}?，

P{??j}?qj?1P{???1}?P({??1,???1}?(???1,??1})

k?1P{????k}??P{?i?1?i,??k?i}??P{?i?1?i}P{??k?11111?P{??1,???1}?P{???1,??1}?????22 222．

k?1P{??1,??1}?P({??1}?[{??1,??1}?(???1,???1i}])?1k?i?1??qpqp?k?1?qi?1k?2p2?(k?1)qk?2p，

i?11 1}P{??1}2{,????P{??1,??1}?P{??1}P{??1}?k??1,P4，

(2)令?????，所以

P{??1,???1}?P({??1}?[{??1,???1}?(???1,??1}])k?1k

{??k}??{?i?1?i,??k}??{?j?1?k,??j}

k?1kP{??k}??i?1P{??i,??k}??j?12P{??k,??j}?P{?1?k}P{?2?n?k}P{?1??2?n}

k?1k??i?1pq21?k?2??j?1pqk?j?2

??1kk!e??1??2n?k(n?k)!e??2?(?1??2n!k?1k1?q?2k?1?1?qk?1k?pq???(2?q?q)pq?1?q1?q??k?1 (k?1,2,?)

，k?0,1,2,?,n

2.假定随机变量?1与?2相互独立，对i?1,2，?i服从参数

?n???1????k???????1??2????k??2?????2?1????n?k3.设随机向量(?,?)有联合分布如下表：

为?i的Poisson分布，试求：

? （1）?1??2的分布；

（2）已知?1??2?n时?1的条件分布．解：（1）由卷积公式及独立性得

k-1 0 1 2 pi? ? 1 2 3 2/16 0 2/16 4/16 0 3/16 0 3/16 2/16 0 1/16 3/16 1/16 2/16 3/16 6/16 5/16 5/16 6/16 1 P{?1??2?k}??P{?i?01?i,?2?k?i}p?j k试求：（1）???的概率分布；（2）???的概率分布；（3）?12??P{?i?0?i}P{?2?k?i}

ki1k?12的概率分布．

解：（1）???的全部可能取值为0，1，2，3，4，5

??2??i?0?i!e??1?e(k?i)!?P{????0}?P{??1,???1}?2/16，

P{????1}?P{??1,??0}?P{??2,???1}?0?0?0，

?1k!ke?(?1??2)?i!(k?1)!??i?0k!i1k?12

?(?1??2)k!ke?(?1??2)

P{????2}?P{??1,??1}?P{??2,??0}?P{??3,?

k?0,1,2,?

即?1??2具有普阿松分布，且参数为?1??2

?2/16?3/16?2/16?7/16，

P{????3}?P{??1,??2}?P{??2,??1}?P{??3,?

（2）P{?1?k|?1??2?n}?P{?1?k,?1??2?n}P{?1??2?n}?1/16?0?0?1/16，

P{????4}?P{??2,??2}?P{??3,??1}?2/16?1/1，

?P{?1?k,?2?n?k}P{?1??2?n}P{????5}?P{??3,??2}?3/16．

所以，???的概率分布为

的密度函数．

2 3 4 5 解：据题意知，?的概率密度函数为

x2??? pk 0 2/16 7/16 1/16 3/16 3/16 p(x)??12??e?2，???x??

(2) ???的全部可能取值为1，2，3

（1）令??e，则e的分布函数为

P{????1}?P{??1,???1}?P{??1,??0}?P{??1,??1}

F?(y)?P{??y}?P{e?y}

???2/16?0?2/16?4/16

当y?0时，{e?y}??，则F?(y)?0；

当?00P{????2}?P{??1,??2}?P{??2,???1}?P{??2,?y?}时，?P{??2,??1}

F?(y)?P{e?y}?P{??lny}?F?(lny)

?P{??2,??2}?1/16?0?3/16?0?2/16?6/16所以，e的密度函数为

??，

P{????3}?P{??3,???1}?P{??3,??0}?P{??3,??1}?P{??3,???20},p?(y)?F??(y)????[F?(lny)],

?2/16?0?1/16?3/16?6/16

所以，???的概率分布为

y?0y?0??? pk 21 2 3 0,??1??p?(lny)?,?y?y?0y?0

4/16 6/16 6/16 0,?2?(lny)???11e2?,?y?2?0,?2?(lny)???1e2,?y2??（2）令??y?0y?0(3) ?的全部可能取值为0，1，4

y?0y?0

P{?P{?，

2?0}?P{??0}?3/16，

?1}?P{???1}?P{??1}?4/16?3/16?7/1621?2，则

1?2的分布函数为

P{?2?4}?P{??2}?6/16．

2所以，?的概率分布为

F?(y)?P{??y}?P{0 1 4 当y?0时，{3/16 7/16 6/16 当y?0时，

1?2?y}

? pk 21?2?y}??，则F?(y)?0；

4.设?服从标准正态分布，试求：(1)e的密度函数；（2）?12?F?(y)?P{17

1?2?y}?P{???1y}?P{??1y}?F?(?1y

所以，

n???p?(y)?F?(y)???jexp??y??j?

j?1j?1??n1?2的密度函数为

即??min(?1,?2,?,?n)的密度函数为

0,??11p?(y)?F??(y)??[F?(?)?1?F?()]?,?yy?y?0y?0

0,?33?111?2??1?2yp?(?)?p?()?(?y),?22yy?

y?0y?00,??nn?p?(y)???jexp??y??j???j?1j?1??y?0??,??y?0

6.设随机变量?有密度函数p(x)，试求下列随机变量的分布函数：（1）????1，这里P{??0}?0；（2）??tg?；（3）

0,?3?11??1?2y[p?(?)?p?()],?2yy???3??1?2?y[?2??????0,12?y3?12yy?0y?0

??|?|．

解：（1）由P{??0}?0知，当y?0?以概率1取有限值．

0,(?1y2)2y?0(1y2)2时，

12?e??12?e?],y?0??1?1?F?(y)?P{??y}?P??y??P{??0}?P?????y?????；

?0??y?0e,y?0．

当y?0时，

5.若?1,?2,?,?n相互独立，且皆服从指数分布，参数分别为?1,?2,?,?n，试求??min(?1,?2,?,?n)的分布．

解：当y?0时由独立性得

?1??1?F?(y)?P??y??P????0??????y?当y?0时，

?01yp(x)dx；

F?(y)?故?的分布函数为

?0??p(x)dx．

1?F?(y)?P{??y}?P{?1?y,?2?y,?,?n?y}

nnin?

?i?1P{?1?y}??(1?F?(y))??i?1i?1?0p(x)dx??p(x)dx,?1????y?0?nF?(y)????iy???p(x)dx,(e)?exp(?y??i)?0i?1??1p(x)dx,?y?（2）

y?0y?0． y?0n???F?(y)?1?exp??y??i?

i?1??F?(y)?P{tg??y}当y?0时F?(y)?0．求导得?的密度函数为，当y?0时p?(y)?0；当y?0时

??????P?{k?????k??arctgy})???

2?k??????18

k?????k??arctgyk???2p(x)dx

（3）当y?0时，F?(y)?0；当y?0时，

F?(y)?P?|?|?y??P??y???y???y?yp(x)dx?y,?p?(y)??2?y,?0,?0?y?11?y?2。其它．

故?的分布函数为

??0,y?0F?(y)??y

????yp(x)dx,y?0．7．若?,?为相互独立的分别服从[0，1]均匀分布的随机变量，试求?????的分布密度函数．

解：?与?的密度函数为

px)?p?1,0?x?1?(?(x)?? （1）

?0,其它由卷积公式及独立性得?????的分布密度函数为 y

p?(y)?????p?(x)p?(y?x)dx （2）

2 C

把（2）与（1）比较知，在（2）中应有0?x?1，

0?y?x?1，满足此不等式组的解(x,y) 构成

图中平面区域平形四边形ABCD，当0?y?1时 1 B

0?x?y ,当1?y?2时y?1?x?1．所以当

A0 1 x

0?y?1时（2）中积分为 py?(y)??01?1dx?y

当

1?y?2时

，（

）

中

积

分

为

p?(y)??1y?11?1dx?2?y;

对其余的y有p?(y)?0．

所以，?????的分布密度函数为

8．设随机变量?1,?,?r相互独立，都服从参数为?的指数

分布，试证?1????r服从?分布?(?,r)。

证明：

9．在(0,a)线段上随机投掷两点，试求两点间距离的分布函

数．

解：设(0,a)在内任意投两点?1,?2，其坐标分别为x,y，

则?1,?2的联合分布密度为

?0,(x,y)?(0,a)?(0,a)p(x,y)???1??a2,(x,y)?(0,a)?(0,a)．

设??|?1??2|，则?的分布函数为，当z?0时

F?(z)?0；当z?a时F?(z)?1；当0?z?a时，

F?(z)?P{|?1??2|?z}???p(x,y)dxdy?1?z?x?y?za2??dxdy?z?x?y?z0?x,y?a0?x,y?a，

积分S为平面区域ABCDEF的面积，其值为

a2?(a?z)2?2az?z2，所以

F22?(z)?(2az?z)/a.

所以，两点间距离的分布函数为

?0,z?0F?2/a2?(z)??(2az?z),0?z?a. ??1z?a10．若?,?是独立随机变量，均服从N(0,1)，试求

U????,V????的联合密度函数．

解：作变换，令s?x?y,t?x?y，得

x?12(s?t),y?12(s?t),|J|?12．由?与?独立知，它们

的联合密度应是它们单个密度的乘积，由此得U，V的联合密度函数为

12pUV(s,t)?1e?2x?1e?12y2?|J|2?2???12???s?t?22????s?t?????1???2??2???2?e?12

21?2??1?14(s2?t2)?1?s?2?4?e?12?????2??2e?12?t????2??2??2e?pU(s)pV(t)

所以U,V两随机变量也相互独立，且均服从N（0，2）． 11．设?,?相互独立，分别服从N(0,1)，试证??

??服从

柯西分布．

证：p?(x)?p?(x)?1e?12x2，

2?122p??(x,y)?12(x?y)2?e?

由求商的密度函数的公式得

p?(y)?????|x|p(xy,x)dx???1?122(x2y2?x2)??|x|2?edx?22???0xe?12x(1?y2)dx ?1?2?1??11?y2?e?x(1?y2)??2???0?1???y???

(1?y2, ?)??

??服从柯西分布．

12.若?,?相互独立，且同服从指数分布，密度函数为：

)???e?xp(xx?0，证明：与

??0x?0?+??相互独立．

??z1证：令?u?????x?y?? 即??x 逆变换?v????z?2?y?z1z2??x??1?z2 z1??y?zJ?(1?z 122)?1?z2 故

pz1z2???,?(z1,z2)?P()|J|?e?z1z1?1?z,z121?z2(1?z,z1?0,2)2

而p???(z1)???0e?z1z1(1?z?z?z11e,z1?0

2)2dz2

p?(z2)???z10e?z1?(1?z2dz1?1?0

2)(1?z2,z22) 因p???,?(z1,z2)?p???(z1)p?(z2)对?z1,z2

?? 故 ??? 与

??独立．

13.设平面上随机点的直角坐标(?,?)有联合密度函数

p(x,y)?222?(1?x?y)，0?x2?y2?1

求此点极坐标(?,?)的联合密度与边缘密度函数。

解：本题所涉及的变换x?rcost,y?rsint是(?,?)的值域0?x2?y2?1到(?,?)的值域(0,1)?[0,2?)间的一

一变换（坐标原点除外），其雅克比行列式J?r。

由变量变换法，得极坐标(?,?)的联合密度为

?p(r,t)??2??r(1?r2),0?r?1,0?t?2?，

??0,其它

?的边缘密度函数为

故U??????的密度函数为

p?(r)?????p(r,t)dt?0,??2p(t)??3t,?(1?t)4?t?0t?0。

?2?22??r(1?r)dt,??0??0,?0?r?1其它15.设?与?独立，?服从U(0,1)分布，?的分布函数为

?4r(1?r2),??0,?0?r?1其它；

F(y)?1?1y2，y?1。

?的边缘密度函数为 p?(t)?????p(r,t)dr??1?,??2???0,试求??的密度函数。

解：据题意知，

?122??r(1?r)dr,??0??0,?0?t?2?其它0?t?2?其它。

?的概率密度函数为

?1,p(x)???0,0?x?1其它14.设?,?,?有联合密度函数

?6(1?x?y?z)?4,p(x,y,z)???0,，

当x?0,y?0,z?0时其它?的概率密度函数为

?0,p(x)?F?(x)???3?2y,设U???,V??，则

y?1y?1

试求U??????的密度函数．

解：U的分布函数为，当t?0时F(t)?0；当t?0时有

t0t?x0t?x?y0F(t)?

????x?y?z?tp(x,y,z)dxdydz??dx?dy??2(1?t)?t233?t22??t0dx?t02(1?x?y?z)3dy

u??u?xy?x?的反函数为?v，雅克比行列式为 ?v?y??y?v6?dz4(1?x?y)101vJ??

uv?21v所以，p(u,v)?p?(u?(1?t)1?t(1?t)t(1?t)22??t0dx?t2t01(1?x)2u1， )p?(v)|J|?p?()p?(v)vv|v|dx

对p(u,v)关于v积分，可得

?1?t?1??(1?t)3

p??(u)?????u1p?()p?(v)dv

v|v|对F(t)求导可得U的密度函数为，当t?0时p(t)?0；

要使上式被积函数不为零，当且仅当

当t?0时p(t)?3t24(1?t)．

u??0?u?v?1?0??? v?v?1??v?1?21

故

，

p??(u)????????31?2v??1?u1???3p?()p?(v)dv???1?2vuv|v|?0,????2?3,??2??3,?3u?0,??1v1vdv,dv,0?u?1u?1其它??????1??1??2??0,1x,21?(x?1),21,x?00?x?1

1?x?2x?2

0?u?1u?1其它12

（2）

?0,?1??x,?2?1,x?00?x?2； x?2?2??的分布函数为

16.设随机变量?,?独立，?服从p?的Bernoulli分布，

（1）???的分布函数；?服从区间(0,1)上的均匀分布。试求：（2）

?2??的分布函数；（1）??的分布函数。

0,???P{?0,??x},?2???1?P{?0,??x}?P{?,??x?F?(x)?P{???x}??222??22???1P{?0,??x}?P{?,??x?222??1,?

解：据题意知，?的概率分布为

? pk 0 1 1/2 1/2 ?的分布函数为

?0,?F(y)??y,?1,?（1）???的分布函数为

y?00?y?1 y?1

0,???P{?0}P{??x},?2???11?P{?0}P{??x}?P{?}P{??x?},??2222???11P{?0}P{??x}?P{?}P{??x?},?2222??1,?x0?12?1?x0,??x?010,??x,??P{??0,??x},0??x?12?F???(x)?P{????x}??11???x??(x?P{??0,??x}?P{??1,??x?1},1?x2???22?1,?x1?21???1??(x?22 ?? 1,?0,x?0??P{??0}P{??x},0?x?1????P{??0}P{??x}?P{??1}P{??x?1},1?x?2?1,x?2?

x?00?x?1212),),1212

?x?1321?x?x?32

?0,?1x,?2?1?x?,??4?x1??,24??1,?x?00?x?1212；

。

?1n?(q1?q)??1q?(1?q)?q(1?q)?111?????22nn(1?q)n(1?q)?x?1322．若随机变量?服从拉普拉斯分布，其密度函数为

?|x??|1?x?x?32p(x)?12?e?,???x??, ??0。

（3）??的分布函数为试求E(?)。

F??0,??(x)?P{???x}??P{??0,???}?P{??1,??x},?1,?x?00?x?1x?1?解：E(?)????????12??|x??|xe?dx(令t?(x??)?)

??t??2???e?|t|dt0,????P{??0}P{???}?P{??1}P{??x},?1,?

x?0?0?x?1x?1?????t2e?|t|dt???2e?|t|dt?0????。

3．试求?分布?(?,r)的数学期望。

解：据题意知，设?服从?分布?(?,r)，则其概率密度函

0,??11???1??x,2?21,?

3.1 习题

?0,?1x0?x?1???,?22x?1?1,x?0x?00?x?1。x?1数为

??rr?1??x?xe,p(x)???(r)?0,???x?0x?0，

1．某人有n把外形相似的钥匙，其中只有一把能打开门。现任意一一试开，直至打开门为止。试对如下二情形求试开次数?的数学期望：（1）每次试毕不放回；（2）每次试毕放回。

解：（1）?的可能取值为1,2,?,n。

则E(?)????xp(x)dx??0x?r?(r)1xr?1e??xdx

令y??x??(r)?y?r?0(y?)er?y??dyn?1n?2n?(i?1)11P{??i}???????，

nn?1n?(i?2)n?(i?1)ni?1,2,?,n

n???(r)??1?0yerdy????(r)?dy?10yd(er?y)

r??(r)??0yr?1e?yr??(r)?(r)?r?。

故E(?)??i?i?11n?1n(n?1)n?1。 ??n221n)k?14．在长为a的线段上任意独立地取n个点，求相距最远的两点间距离的期望。

解：【法一】分别记此n个点为?1,?2,?,?n，则

（2）P{??k}?(1???1n，k?1,2,?

故E(?)??k?(1?n)k?11k?11n?1n???kqk?1k?1?1n??(?q)?

k?1k?1,?2,?,?n相互独立，且都服从区间[0,a]上的均匀分布，我

们的目的是求

E[max(?1,?2,?,?n)?min(?1,?2,?,?n)]

而??max(?1,?2,?,?n)和??min(?1,?2,?,?n)的密度函数分别为

而相距最远的两点间的距离为?2??3????n，因此所求期望为

E(?2??3????n)?n?1n?1n?1a。

p?(y)?n[F(y)]p(y)?nyn?10?y?a?,??an?其它?0,n?15．设?为非负整数值的随机变量，其数学期望存在，求证

?yn?11??n?()?,??aa?0,?0?y?a其它，

E(?)??P{?i?1?i}。

???p?(z)?n[1?F(z)]p(z)证：

?P{?i?1?i}??i?1?P{?j?i?j}

zn?11??n?(1?)?,??aa?0,?

0?z?a其它?P{??1}?P{??2}?P{??3}???P{??2}?P{?

??n(a?z)n?1?,n??a?0,?又

?0?z?a其它

??iP{?i?1?i}?E(?)。

6．设F(x)为某非负随机变量的分布函数，试证对任s?0有

因

a为

E(?)?，

???yp?(y)dy??0y?nyan?1ndy?nan?an?1n?1?nan?1证：

??0xdF(x)?s??0sxs?1[1?F(x)]dx。

E(?)?，所以，

????zp?(z)dz??a0z?n(a?z)ann?1dz??nan?azn7．设随机变量?的分布函数为F(x)，且?的期望存在。求

0d(a?z)?nn证： an?an?1n(n?1)0??an?10??E(?)?证

??1?F(x)?dx?????F(x)dx。

：

E[max(?1,?2,?,?n)?min(?1,?2,?,?n)]?。

nan?1?an?1?(n1))aE?(??n?1

????xdF(x)??xdF(x)???0xdF(x)??0??xdF(x)??【法二】n个点把区间[0,a]分成n?1段，他们的长度依次记为

?xF(x)0????0??F(x)dx?x?1?F(x)???0??10??1,?2,?,?n?1。因为此n个点是随机取的，所以?1,?2,?,?n?1具有相同的分布，从而有相同的期望。

而

由均值存在得

????|x|dF(x)??，

∴ 0?AF(?A)?此

???A???B|x|dF(x)?0(当A???)， (当B???)

算

式

即

得

?1??2????n?1?aan?1，。

因

0?B(1?F(B))?以

此

代

入

|x|dF(x)?0的

计

E(?1)?E(?2)???E(?n?1)?E(?)24

E(?)???1?F(x)?dx??F(x)dx。

0??8．将长为a的棒任意折成两段，求较短一段长度的数学期望。解：将木棒置于[0，a]区间上，

令?：棒上任意一点的坐标，则?~U(0,a)

?0∴ E(???)???max(x,y)p(x,y)dxdy

????dx?x??xp(x,y)dy?????dx??xyp(x,y)dy?：较短一段的长度 ????则????a????所

（利用密度函数的积分值为1，减a再加a）

0???a2a2

?????dx?x??(x?a)p(x,y)dy?????dx??x(y?a???a以

a0（在前一积分中交换积分次序，在后一积分中交换x与y的记号）

?????dy??y(x?a)p(x,y)dx?????dy??y(y?E??

?g(x)p(x)dx??g(x)1aadx??20x1adx??aa2(a?x)1a

dx?a4?a?2?(y?a)?t) ?a?1???12??2?(y?a)2?22edy??y?(x?a)2?22(x?a)ed9．设?为Cauchy分布C(1,0)随机变量，计算E(|?|?1)。解：因为?为Cauchy分布C(1,0)随机变量，故?的概率密度函数为

(令???????e?t2dtp(x)?1?1?x2

?1，

?a?????a???a???。

?|?|,又因为|?|?1???1,于是E(|?|?1)?|?|?1|?|?1[法二]令U?，V???a?，则U与V相互独立，且都

服从N(0,1)，

????min(|x|,1)p(x)dx

(???)?a??(U?V)。

|x|?1??|x|?1|x|p(x)dx?1?p(x)dx

而p(u,v)??112?e?(u?v)/222，

?2?x?01?(1?x)12。

2dx??1???(1?x)2dx???11?(1?x)2dx

所以，E(U?V)?????????max(u,v)p(u,v)dudv

??ln2???2??vp(u,v)dudvu?v?0??up(u,v)dudvu?v?0

210．设随机变量?,?独立同N(a,?)分布，求证

?12?[?e????u/22du??uve?v/22dv?????e?v/2dv?uev?E(???)?a???。

?一

]

1??????e?u2du?1，

?证：[法

?,?的联合密度为

故E(???)?a?。

p(x,y)?12??2e?(x?a)2(y?a)2?x???p?， 222?2???25

?11．设随机变量?,?相互独立，同服从几何分布G(p)，试

求E(???)。

解：据题意知，?,?的概率分布分别为

P{??i}?(1?p)i?1p，i?1,2,?； P{??j}?(1?p)j?1p，j?1,2,?。

??E(???)???ipij???jpij

j?1i?jj?1i?j???j?1???i(1?p)i?j?2p2???j(1?p)i?j?2p2

j?1i?jj?1i?1??j?1??qj?1p2(qj)j?11?q)???jqj?2p2q(1?qj?11?q

????(jq2j?2(1?q)?q2j?1)??jqj?1(1?qj?1)p

j?1j?1?3?2pp(2?p)。

12．袋中有r个红球与b个黑球，现从中任取n个球，求其中红球个数的数学期望。

解：以?表示任取n个球中红球个数，则

kn?kP{??k}?CrCbCn，k?0,1,2,?,l?min(r,n)

r?bllkn?k则E(?)??kP{??k}??kCrCbk?0k?0Cn r?bl??r!Cn?kb(k?1)!(r?k)!n

k?1Cr?bl?r?Ck?1Cn?kbr?1?b

k?1Cn?1r?b?1?rn?nrr?b

13．参加集会的n个人将他们的帽子混放在一起，会后每人任取一顶帽子戴上，以?表示他们中戴对自己帽子的人的个数，求

E(?)。

解

：

引

入

随

机

变

量

??1,第i个人戴对自己的帽子i??i?1,2,?,n

?0,第i个人未戴对自己的帽子，显然，???1??2????n ，且

P{?i?1}?1n，P{?i?0}?1?1n，

所以，

nnE(?)?E(?1??2????n)??E(?i)??1?P{?i?1}?0?Pi?1i?1

14．设袋中有2n个球，其中编号为k的球各Ckn个

（k?0,1,2,?,n），现不放回地从袋中任取m个（m?2n），求这些球上编号之和的数学期望。

解：令?i表示取出的第i个球上的编号，i?1,2,?,m，

k由抽签与顺序无关，P{?i?k}?Cn2n,k?0,1,...n

n则E(?i)??kCknk?02n?n2

所以m个球之和的数学期望

mE(?1??2?...??m)??E?i?mni?12

15．袋中有r个红球与b个黑球，现任意一一取出，直至取到红球为止，求取球次数的数学期望。

解：令?表示直至取到红球为止所进行的取球次数，则

P{??k}?b?2r?b?b?1r?b?1?br?b?2???b?kr?b?k?rr?b?，k?1,2,?,b?1，

所以，

b?1E(?)??kP{??k}

k?1b?1??k(b?b?1?b?2?kk?1r?br?b?1r?b?2???br?b?k?rr?b?

b?1??r?kk?1b?1b!(b?k?1)!(r?1)!b!(r?b)!b?1?(r?b?k?2)!(r?b)!(r?b?k?2)!E(?)?

2?k?1k?(1?21n)k?11n?1n???kqk?12k?1?1n??(?qk?1k?1)???1n?r?kk?1?(b?k?1)!(r?1)!?1n?(q21?q)???n?1n(1?q)?23?n?1n?2n?n3?

k?C?(r?b)!k?1r!b!r?1r?b?k?2

?2n?n，

所以，D(?)?E(?)?(E(?))222 ?2n?n?n?n?n。

222?3.2 习题

r?b?1r?1

2．若随机变量?服从拉普拉斯分布，其密度函数为

?|x??| 1．某人有n把外形相似的钥匙，其中只有一把能打开门。现任意一一试开，直至打开门为止。试对如下二情形求试开次数?的方差：（1）每次试毕不放回；（2）每次试毕放回。

解：（1）?的可能取值为1,2,?,n。

p(x)?12?e?,???x??, ??0。试求D(?)。

解：E(?)??????12??|x??|xe?dx(令t?(x??)?)

????t??2?????e?|t|dtn?1n?2n?(i?1)11P{??i}???????，

nn?1n?(i?2)n?(i?1)ni?1,2,?,n

1n(n?1)n?1故E(?)??i???， ?nn22i?1n?????t2e?|t|dt??????2e?|t|dt?0????，

?|x??|D(?)?

?12?(x??)e2?(令t?(x??)?)1??21n(2n?3n?1)2n?3n?122E(?)??i????，

nn66i?1所

22n122????tedt??t(?e)2?t?02?t22?t?0?2??t2??0tedt

2?t?0?t?2?t(?e)。

?2?2??0tedt?2?(?e)?2?2以

D(?)?E(?)?(E(?))?。

（2）P{??k}?(1??2n?3n?162?(n?12)?2n?11223．甲从1,2,3,4中任取一数，乙再从1,?,?中任取一整数?，试求(?,?)的协方差。

1n)k?1?1n，k?1,2,?

解： ?可以取的值为1,2,3,4，那么?取每一个值的概率为

14。

故E(?)??k?(1?n)k?11k?11n?1n???kqk?1k?1?1n??(?q)?

k?1k一旦?取定值i，那么?只能从1,2,?,i中取值，取每一个值的概率为

。于是有：

1i?n121(1?P(,??j??P???j??i?P???i?? ?1???ni))4i11q?(1?q)?q(1?q)?111??()???????22n1?qnn(1?q)n(1?q)1q。

所以（?,?）的联合分布与边缘分布如下： 27

?1 \\? 1 2 3 4 p ?j D??D?1?D?2???D?m?（2）

112m(n?1)。

2140 0 0 18180 0 1121121120 11611611611614254813487481161 2 3 4 5．参加集会的n个人将他们的帽子混放在一起，会后每人任取一顶帽子戴上，以?表示他们中戴对自己帽子的人的个数，求

D(?)。

解

：

引

入

随

机

变

量

p?0,第i个人未戴对自己的帽子11E(??)?1?1??2?1??2?2??3?1??3?2??3?3??4?1??4?2?48812121216?? ，且显然，??16?1??2??n11 ?4?3? ?4?4?111616P{?i?1}?，P{?i?0}?1?， nn ?5，

1E(?)?1?P{??1}?0?P{??0}?所以，， iii11115nE(?)?1??2??3??4??，

444421222E(?)?1?P{??1}?0?P{??0}?， iii2513717nE(?)?1??2??3??4??，

484848164112n?122D(?)?E(?)?(E(?))??()?， iii5752nnnCov(?,?)?E(??)?E(?)E(?)?5???。

24814．袋中有编号1至n的n张卡片，现从中任意抽取m张。试而P{?i?1,?j?1}?，i?j，

n(n?1)对以下二情形求m张卡片上编号之和的方差：（1）有放回抽取；（2）

111111不放回抽取（m?n）。

解：（1）设?表示抽取m张卡片的号码和，?i表示第i次抽

所

到卡片的号码，则

以

i? 14 14 14 ?i???1,第i个人戴对自己的帽子，i?1,2,?,n

E(?i?j)?1?P{?i?1,?j?1}?1n(n?1)，

，

???1??2????m，因为是有放回抽取，所以诸?i独立。

由此得，对i?1,2,?,m。

nC，故

(?i,?j)?E(?i?j)?E(o?i)E(?j)?1n(n?1)?111?v?2nnn(nE(?i)??j?1nj?1n2?1nn?j?11n(n?1)n?1j???，

n22nD(?)?D(?1??2????n)?

n?D(?i?1i)?2?Cov(?1?i?j?ni,?j)E(?i)?，

2?j?11n(n?1)(2n?1)1j????(n?1)(2n?1)nn661?1?i?1n?1n2?2?Cn?21n(n?1)2?1。

D(?i)?E(?i)??E?i??2216(n?1)(2n?1)?14(n?1)?212(6n．设随机变量?1)(?,?,?)有联合密度函数

2，

p(x,y,z)?(x?y)ze28

?z，0?x,y?1,z?0，

求此随机变量的协方差阵。

解

：

由

于

E(?)?????????????xp(x,y,z)d????110x(x?y)ze?z700?dxdydz?12，

E(?)?????????????yp(x,y,z)dxdydz????1?1zdxdydz?712，

000y(x?y)ze?E(?)?????????????zp(x,y,z)dxdydz????11?z00?0z(x?y)zedxdydz?2， E(??)?????????????xyp(x,y,z)dxdydz????1?1dxdydz?13，

000xy(x?y)ze?zE(??)?????????????yzp(x,y,z)dxdydz????11?z，

00?0yz(x?y)zedxdydz?76E(??)?????????????xzp(x,y,z)dxdydz???11，

0?0?0xz(x?y)ze?zdxdydz?76所

以

，

Cov(?,?)?E(??)?E(?)E(?)?13?712?712??11，

Cov(?,?)?E(??)?E(?)E(?)?776?2?12?0，

Cov(?,?)?E(??)?E(?)E(?)?776?12?2?0，

而

E(?2)?????2????????xp(x,y,z)dxdydz????1?12?z，

000x(x?y)zedxdydz?512E(?2)?????2????????yp(x,y,z)dxdydz???112?z0?0?0y(x?y)zedxdydz?512，

E(?2)?????2????????zp(x,y,z)dxdydz???110?0?0z2(x?y)ze?zdxdydz?6，

所以，D(?)?E(?2)?(E(?))2?5712?(12)2?11144，

D(?)?E(?2)?(E(?))2?5721112?(12)?144， D(?)?E(?2)?(E(?))2?6?22?2，

故此随机变量的协方差阵为

??11?10??144144??11???1?1441440??。 ?002????7．设随机变量?1,?,?m?n（m?n）是独立同分布的，它们有有限的方差。求???1????n与???m?1????m?n之间的相关系数。

解：由于随机变量的相关系数与标准化随机变量的相关系数相等，为简单计，不妨设E(?2i)?0,E(?i)?1，

i?1,2,?,m?n，则

Cov(?,?)?E[(?1????n)(?m?1????m?n)]

?E(?22m?1??m?2????2n)?E(?2(4?22n?m4m?1)?Em?2)???E(?n)?， D(?)?E(?2221??2????n)?E(?2221)?E(?2)???E(?n)?n， D(?)?E(?222m?1??m?2????m?n)?E(?2m?1)?E(?22m?2)???E(?m?n)?n，

故?Cov(?,?)????n?mD(?)D(?)n。

8．若?与?都是只能取两个值的随机变量，试证如果它们不相关，则独立。

证：【法一】设?a,b??c,d???p1,q?,??1?p2,q?。作两个随机2?

变量

即

P{??xi,??yj}?P{??xi}P{??yj}，故

????b:?*?a?b,?p1,0?*?,????dq1?。

?c?d,:??p2,0??q2?(??,独立。)

9．设随机变量?服从标准正态分布，求证?与?但是不独立。

证明：因为E(?)?E(?)?0，所以，Cov(?,?)?0，2不相关，

由?与?不相关即E???E?E?得

E???E(???b??d??bd)?(E?E??bE??dE??bd)**32