2011安徽数学文科高考试卷

2011安徽数学文科高考试卷

华大学习网 - 1 - 2011年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）

数学（文科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：

答题前，务必在试题卷、答题卡规定填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。

答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．

书写，要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡．．．

规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出书写的答案无效．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．．。 考试结束后，务必将试题卷和答题卡一并上交。

参考公式： 椎体体积13V Sh =

，其中S 为椎体的底面积，h 为椎体的高. 若111n i y y n ==∑（x 1，y 1）

，（x 2，y 2）…，（x n ，y n ）为样本点，?y bx a =+为回归直线，则 111n i x x n ==

∑，111n i y y n ==∑

()()()

111111222111n n i i n n i i i x

y y y x y n x y

b x x x nx a y bx

====---==

--=-∑∑∑∑，a y bx =-

说明：若对数据适当的预处理，可避免对大数字进行运算.

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设 i 是虚数单位，复数

ai i 1+2-为纯虚数，则实数a 为

（A ）2 （B ） -2 （C ） 1-2 （D ） 12

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华大学习网 - 2 - （2）集合}{,,,,,U =123456，}{,,S =145,}{,,T =234,则)(T C S U ?等于

（A ）}{,,,1456 （B ） }{,15 （C ） }{4 （D ） }{,,,,12345

（3）双曲线x y 222-=8的实轴长是

（A ）2 （B

） （C ） 4 （D ）

（4） 若直线x y a 3++=0过圆x y x y 22++2-4=0的圆心,则a 的值为

（A ）-1 （B ） 1 （C ） 3 （D ） -3

（5）若点（a,b ）在lg y x = 图像上，a ≠1,则下列点也在此图像上的是

（A ）（a

1

，b ） （B ）（10a,1-b ） （C ） （a 10,b+1） （D ）（a 2,2b ）

（6）设变量x,y 满足,

x y 1x y 1x +≤??-≤??≥0?,则x y +2的最大值和最小值分别为

（A ）1，-1 （B ）2，-2 （C ）1，-2 （D ）2，-1

（7）若数列}{n a 的通项公式是=+++-=1021),23()1(a a a n a n n 则

（A ）15 （B ）12

（C ）-12 （D ）-15

（8）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

（A ） 48

（B ）

（C ）

48+8 （D ）80 （9） 从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于

（A ）110

（B ） 18 （C ） 16 （D ） 15

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华大学习网 - 3 - （10）函数2)1()(x ax x f n -=在区间〔0,1〕

上的图像如图所示，则n 可能是

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4

第II 卷（非选择题 共100分）

考生注意事项：

请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．．．．．．．．．

. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.

（11）设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x≤0时，()f x =22x x -，则(1)f = .

（12）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 .

（13

）函数y =的定义域是 .

（14）已知向量a ，b 满足（a+2b ）·（a-b ）=-6，且a =1，b =2，

则a 与b 的夹角为 .

（15）设()f x =sin 2cos 2a x b x +，其中a ，b ∈R ，ab ≠0，若

()(

)6f x f π

≤对一切则x ∈R 恒成立，则 ①11(

)012f π

= ②7()10f π＜()5f π

③()f x 既不是奇函数也不是偶函数

④()f x 的单调递增区间是2,()63k k k Z π

πππ?

?++∈????

⑤存在经过点（a ，b ）的直线与函数()f x 的图像不相交

以上结论正确的是 （写出所有正确结论的编号）.

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内.

（16）（本小题满分13分）

在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，

，

，12cos()0B C ++=

，

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华大学习网 - 4 - 求边BC 上的高.

（17）（本小题满分13分）

设直线.02,,1:,1:21212211=+-=+=k k k k x k y l x k y l 满足其中实数 （I ）证明1l 与2l 相交；

（II ）证明1l 与2l 的交点在椭圆222x +y =1上.

（18）（本小题满分13分） 设21)(ax

e x

f x

+=，其中a 为正实数. （Ⅰ）当34

=a 时，求()f x 的极值点；

（Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围.

（19）（本小题满分13分）

如图，A B E D F C 为多面体，平面A B E D 与平面A C F D 垂直，点O 在线段A D 上，1O A =，O D =

，△OAB ，△OAC ，△ODE ，△ODF 都是正三角形。

（Ⅰ）证明直线B C E F ∥； （Ⅱ）求棱锥F O B E D -的体积.

（20）（本小题满分10分）

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（Ⅰ）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y bx a =+;

（Ⅱ）利用（Ⅰ）中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量。

温馨提示：答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及说明.

（21）（本小题满分13分）

在数1和100之间插入n 个实数，使得这2n +个数构成递增的等比数列，将这2n +个数的乘积记作n T ，再令,lg n n a T =1n ≥.

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设1tan tan ,n n n b a a +=?求数列{}n b 的前n 项和n S .

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华大学习网 - 6 - 参考答案

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分50分.

（1）A （2）B （3）C （4）B （5）D （6）B （7）A （8）C （9）D （10）A

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分25分.

（1）－3 （12）15 （13）（－3，2） （14）3π

（15）①，③

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（16）（本小题满分13分）本题考查两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，利用正弦定理或余弦定理解三角形，以及三角形的边与角之间的对应大小关系，考查综合运算求和能力.

解：由A C B C B -=+=++π和0)cos(21，得 .23sin ,21

cos ,0cos 21===-A A A

再由正弦定理，得.22

sin sin ==a A

b B .22sin 1cos ,2

,,=-=<<<B B B B A B a b 从而不是最大角所以知由π

由上述结果知).21

23(22

)sin(sin +=+=B A C

设边BC 上的高为h ，则有.21

3sin +==C b h

（17）（本小题满分13分）本题考查直线与直线的位置关系，线线相交的判断与证明，点在曲线上的判断与证明，椭圆方程等基本知识，考查推理论证能力和运算求解能力.

证明：（I ）反证法，假设是l 1与l 2不相交，则l 1与l 2平行，有k 1=k 2，代入k 1k 2+2=0，得

.0221=+k 此与k 1为实数的事实相矛盾. 从而2121,l l k k 与即≠相交.

（II ）（方法一）由方程组?

??-=+=1121x k y x k y

解得交点P 的坐标),(y x 为???????-+=-=.,2121212k k k k y k k x

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- 7 -

而

.14

4228)(

)2(

2222

21

2

2212

121

22

2

12

1222

1

2122

1

22

2

=++++=

-++++=

-++-=+k

k

k k k k k

k

k k k k k k k k k k y

x

此即表明交点.12),(22上在椭圆=+y x y x P

（方法二）交点P 的坐标),(y x 满足

.021

1,02.1,1.011212121=++?-=+??????

?+=-=≠??

?=+=-x

y x y k k x y k x

y k x x

k y x k y 得

代入从而故知

整理后，得,1222=+y x

所以交点P 在椭圆.1222上=+y x

（18）（本小题满分13分）本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化

之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力.

解：对)(x f 求导得.)

1(1)(2

2

2

ax ax

ax

e

x f x

+-+=' ①

（I ）当3

4=a ，若.2

1,2

3,0384,0)(212

=

=

=+-='x x x x x f 解得则

综合①,可知

所以,2

31=

x 是极小值点,2

12=

x 是极大值点.

（II ）若)(x f 为R 上的单调函数，则)(x f '在R 上不变号，结合①与条件a>0，知

0122

≥+-ax ax

在R 上恒成立，因此,0)1(4442

≤-=-=?a a a a 由此并结合0>a ，知.10≤<a

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（19）（本小题满分13分）本题考查空间直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，空间直线平行的证明，多面体体积的计算，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力.

（I ）证明：设G 是线段DA 与EB 延长线的交点. 由于△OAB 与△ODE 都是正三角形，所以 OB ∥DE 2

1

，OG=OD=2，

同理，设G '是线段DA 与FC 延长线的交点，有.2=='OD G O

又由于G 和G '都在线段DA 的延长线上，所以G 与G '重合.

在△GED 和△GFD 中，由OB ∥DE 21

和OC ∥DF 2

1

，可知B 和C 分别是GE 和GF 的

中点，所以BC 是△GEF 的中位线，故BC ∥EF. （II ）解：由OB=1，OE=2，2

3,60=?=∠EOB S EOB 知，而△OED 是边长为2的正三

角形，故.3=OED S

所以.2

33=

+=OED EOB OEFD S S S

过点F 作FQ ⊥DG ，交DG 于点Q ，由平面ABED ⊥平面ACFD 知，FQ 就是四棱锥F —OBED

的高，且FQ=3，所以.233

1=

?=

-OBED OBED F S FQ V

（20）（本小题满分10分）本题考查回归分析的基本思想及其初步应用，回归直线的意义和求法，数据处理的基本方法和能力，考查运用统计知识解决简单实际应用问题的能力.

解：（I ）由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来配回归直线方程，

为此对数据预处理如下：

对预处理后的数据，容易算得

= = = =

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2.3,5.640260422429

4192)11()2()21()4(,

2.3,02222=-===+++?+?+-?-+-?-===x b y a b y x

由上述计算结果，知所求回归直线方程为

,2.3)2006(5.6)2006(257+-=+-=-∧x a x b y

即.2.260)2006(5.6+-=∧x y ①

（II ）利用直线方程①，可预测2012年的粮食需求量为 2.2992.26065.62.260)20062012(5.6=+?=+-（万吨）≈300（万吨）.

21．（本小题满分13分）本题考查等比和等差数列，指数和对数的运算，两角差的正切公式

等基本知识，考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力.

解：（I ）设221,,,+n l l l 构成等比数列，其中,100,121==+n t t 则

,2121++????=n n n t t t t T ①

,1221t t t t T n n n ????=++ ②

①×②并利用得),21(1022131+≤≤==+-+n i t t t t n i n

.1,2lg ,10)()()()()2(2122112212≥+==∴=????=+++++n n T a t t t t t t t t T n n n n n n n n （II ）由题意和（I ）中计算结果，知.1),3tan()2tan(≥+?+=n n n b n

另一方面，利用,tan )1tan(1tan )1tan())1tan((1tan k k k k k k ?++-+=

-+= 得.11tan tan )1tan(tan )1tan(--+=

?+k

k k k 所以∑∑+==?+==

2

3

1tan )1tan(n k n k k n k k b S .1tan 3tan )3tan()11

tan tan )1tan((23n n k k n k --+=--+=∑

+=

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