多目标决策分析

§6 多目标决策分析简介 一、问题的提出

如设计导弹, 射程远, 耗料少, 命中高等多目标. 如企业生产, 费用最少, 质量最好, 利润最大等. 一般只能是兼顾, 满意等 二、基本概念 一般形式

?f1(x),f2(x),...,fp(x)??V?min??? VP:?gi(x)?0,i?1,2,...,m??其中f1(x),f2(x),...,fp(x)为目标函数,

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gi(x)?0为约束条件, x为决策变量. 记

R?{x|gi(x)?0,i?1,...,m},

称为VP的可行解集(决策空间), F(R)=为VP像集. 定义1 设x?R, 若对?x?R, 有

f2?(f1(x),f2(x))fi(x)?fi(x),i?1,2,...,m

则称x为VP的绝对最优解, 解集记Rab.

一般很难, 或根本不存在, 故引入非劣解或有效解. 意大利经济学家Pareto:

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?f1当一个国家的资源和产品是以这样一种方式配置时，即没有一种重新配置，能够在不使一个其他人的生活恶化的情况下改善任何人的生活， 则可以说处于Pareto最优.

定义2设x?R, 若不存在x?R, 使

fi(x)?fi(x),i?1,2,...,p

且至少有一个fj(x)?fj(x), 则称x为VP的有效解 (或Pareto最优解),

f2?(f1(x),f2(x))f(x)称为有效点.

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f1?有效解集记为Re和有效点集记为Fe?

常转化为加权形式的一个单目标函数

p?p?min??jfj(x)P(?):?, 其中?j?0,??j?1 j?1j?1?x?R?(??(?1,?2,...,?p)T,不加证明地引入: 定理1 设x是单目标问题P(?)的最优解, 若下面两个条件之一成立, 则x?Re? 1) ?j?0,j?1,2,...,p; 2) x是P(?)的惟一解.

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定理2 设f1(x),f2(x),...,fp(x)是凸函数. 若设x是多目标问题VP的有效解, 则存在???,使得x是P(?)的最优解.

三、权系数的确定

这里假设: 决策者是根据综合效用(最大)来决策, 则基本思想为: 对重要的分量fj(x), 给大权. 即假设决策者的效用函数为:

p?u(x)???ifi(x)

i?1第 5 页 共 27 页

其中fi(x)为给出的每个属性的效用函数, 只要再确定权系数?i, 就可求出使maxu(x)的决策(或解).

确定?i方法有: 1. 专家法 首先给专家填表, 然后汇总, 如右表 算出均值?j,

专家12...K?1?2...?ny1y2...yn...?1n...?2n......?11?21...?12?22...?K1?K2...?Kn算出偏差?ij?|?ij??j|, 让偏差大的发言,

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修改权系数, 直到基本满意为止. 有一定的科学性.

2. 特征向量法

利用AHP法确定权系数, 即确定

??1/?1?1/?2??/??/w22A??21?......????n/?1?n/?2系数.

...?1/?n?...?2/wn?? ......??...?n/?n??判断CI满意后, 求出?max, 求出特征向量?即为权

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四、有限方案的多目标决策方法(关于max的) 1. 决策矩阵及其规范化

设X?{X1,X2,...,Xm}为可行方案,

Y?{y1,y2,...,yn}为属性集(相当于各目标)

每个方案Xi关于属 性yj的结果记为:

方案X1属性y1y11y21...ym1y2y12......yny1nyij?fj(xij),i?1,...,m,j?1,...,n作决策矩阵, 如右图.

X2...Xmy22...y2n.........ym2...ymn第 8 页 共 27 页

统一量纲的方法有(各目标物理量不一致) (1) 列向量规范化:

mzij?yij/(2) 线性变换, 设yjmax?yi?1i2ij

?maxyij

max若希望yj愈大愈好, 则令zij?yij/yj

max若希望yj愈小愈好, 则令zij?1?yij/yj

(注:各目标都归结为最大, 如设0?yi?1, 则

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[miny1,maxy2]?[max(1?y1),maxy2]

(3) 其它变换

若望yi大, 则选zij?若望yi小, 则选zij?2. 简单线性加权法

设uj(?)为第j个目标的效用值, 通过求

yij?yminjymax?yminjjymax?yijjymax?yminjj,

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maxu???juj(x)

x?Rj?1n选择使综合效用值u最大的方案作为最优方案. 例 某人拟 购买一套住房, 有四处地点可 选, 有关信息 如右表.

方案X1X2X3X4价格y1万元3.02.51.82.2面积y2(m)1008050702距离y3(km)1082012设备环境y47355y575118表13?13解 设决策人对各属性比较后得

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价格?1面积?3A?距离?2设备?4环境??51/311/2121/221221/411/2111/5?1/2?1/2? 1?1??用AHP方法, 可求得特征向量(已作归一化)

??(0.0598,0.1942,0.1181,0.2363,0.3916)T

clear;clc

a=[1 1/3 1/2 1/4 1/5; 3 1 2 1 1/2; 2 1/2 1 1/2 1/2; 4 1 2 1 1 ;

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5 2 2 1 1]; n=5; for i=1:5

temp=1;for j=1:5 temp=temp*a(i,j);end; w(i)=temp^(1/n); end; wsum=sum(w); w=w/wsum

lmbdmax=(1./w)*a*w'/n [v,d]=eig(a)

(有误差)

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规范化表

方案X1X2X3X4价格y1万元3.02.51.82.2面积y2(m)1008050702距离y3(km)1082012设备环境y47355y575118对第1, 3列用zij?ymax?yijjymax?yminjj规范化;

对第2, 4, 5列用zij?

yij?yminjminymax?yjj规范化;

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?00.417Z???1??0.66710.600.40.833100.667100.50.50.333?0?

?10.667??然后计算出每个方案Xi的综合效用

u(Xi)???jzij

j?1n得到: u(X1)?0.6593, u(X2)?0.2596,

u(X3)?0.5696, u(X4)?0.5757,

所以选第1方案.

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***补充: 1. 基本解法

例1设f1(x)?2x?x 1?x,0?x?1 f2(x)????2x?3,1?x?2R?[0,2],求V?maxF(x).

x?R2f1f2f112xf2解单个最优解f(0)1?f1(1)?maxf1(x);

f2(0)?f2(1)?maxf2(x)

是同一个点, 所以x?1是问题的最优解.

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2. 变量空间与目标函数空间的图解法

f1f2f2 ?f(1)??1?f(x?)??1???? ?f2(1)??1?f11

f(?)?

|| 2x1???f2(?)f1x??? f2clear;clf;

x=[0:1/50:1];

f1=2*x-x.^2; f2=x; for i=1:size(x,2)

subplot(121);axis([0,2,-1,1]);plot(x(i),f1(i),'.');hold on;plot(x(i),f2(i),'.'); subplot(122);axis([0 1 -1 1]);plot(f1(i),f2(i),'.');hold on; pause(0.1); end

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x=[1:1/50:2]; f1=2*x-x.^2; f2=-2*x+3; for i=1:size(x,2)

subplot(121);plot(x(i),f1(i),'.');hold on;plot(x(i),f2(i),'.'); subplot(122);plot(f1(i),f2(i),'.');hold on; pause(0.1); end

例2 设f1(x)?2x?x,f2(x)?x,R?[0,2],求最大. 解 易得单独的x(1)?1,x(2)?2, 无公共解. f1f2f2f2?f(?)

1 1f1 f(?)?f(??)?2???1 18 x页 共 27 页 ?第21[1,2]内都是非劣解.

2例3 设f1(x)?2x?x, f2(x)?(?12x2?36x?15)8,

R?[0,2],求最大V?maxF(x).

x?R解 易求得x?1,x?1.5, 无公共解. [1,1.5]内都是非劣解.

f2ff2 1f21.5 1f11

x 27 页 ? 19 10.511.5第2页 共f(1)(2)clear;clf;

x=[0:1/50:2]; f1=2*x-x.^2; f2=(-12*x.^2+36*x-15)/8; for i=1:size(x,2)

subplot(121);axis([0,2,-2,2]);plot(x(i),f1(i),'.');hold on;plot(x(i),f2(i),'.'); subplot(122);axis([0 1 -2 2]);plot(f1(i),f2(i),'.');hold on; pause(0.1); end

subplot(121);grid on;subplot(122);grid on;

例4 设f1(x)??3x1?2x2, f2(x)?x1?2x2

??2x1?3x2?18?R:??2x1?x2?10, 求V?maxF(x).

x?R?x?0,x?02?1

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解得(0,6)是单独最优解, 但这一解可接受.

f1?12 A6f2?12 B(3,4) C x21?C?x1f2B??A??f1例5 设f1(x)??3x1?2x2, f2(x)?4x1?3x2,R同例4, 求V?maxF(x).

x?R解 易得x(1)?(0,6),x(2)?(3,4)非最优解, 但非劣解.

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这两点连线上的点都是非劣解.

%%第一段 clf;

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x26f1?12AB(3,4)f2?24C(5,0)1C???B?f2?A?

f1x1%p439%%%%例666666666666666

x1=[0:1/10:5];

x2=zeros(1,size(x1,2)); for i=1:size(x1,2)

subplot(121);axis([0 6 0 6]);hold on;plot(x1(i),x2(i),'.'); f1=-3*x1(i)+2*x2(i); f2=x1(i)+2*x2(i);

subplot(122);axis([-16 12 0 12]); hold on; plot(f1,f2,'.'); pause(0.1); end pause;

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%%第2段

x1=[5:-1/10:3]; x2=10-2*x1; for i=1:size(x1,2)

subplot(121); %axis([0 6 0 6]);hold on; plot(x1(i),x2(i),'.'); f1=-3*x1(i)+2*x2(i); f2=x1(i)+2*x2(i);

subplot(122);%axis([-16 12 0 12]); hold on; plot(f1,f2,'.'); pause(0.1);

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end pause; %%第3段

x1=[3:-1/10:0]; x2=(18-2*x1)/3; for i=1:size(x1,2)

subplot(121);%axis([0 6 0 6]);hold on; plot(x1(i),x2(i),'.'); f1=-3*x1(i)+2*x2(i); f2=x1(i)+2*x2(i);

subplot(122);%axis([-16 12 0 12]); hold on;

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plot(f1,f2,'.'); pause(0.1); end pause; %%第4段

x2=[6:-1/10:0];

x1=zeros(1,size(x2,2)); for i=1:size(x1,2)

subplot(121);%axis([0 6 0 6]);hold on; plot(x1(i),x2(i),'.'); f1=-3*x1(i)+2*x2(i);

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f2=x1(i)+2*x2(i);

subplot(122);%axis([-16 12 0 12]); hold on; plot(f1,f2,'.'); pause(0.11); end

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