数学建模，汽车的刹车距离，动物的身长与体重，论文

学科评价模型 汽车刹车距离

一、问题重述

制定这样的规定是为了在后车急刹车情况下不致撞到前面的车，即要确定汽车的刹车距离。刹车距离显然与车速有关，先看看汽车在10英里/小时（约16千米/小时）的车速下2秒钟下行驶多大距离。容易计算这个距离为：10英里/小时*5280英尺/英里*1小时/3600秒*2秒=29.33英尺（=8.94米），远远大于一个车身的平均长度15英尺（=4.6米），所以“2秒准则”与上述规则并不一样。为了判断规则的合理性，需要对刹车距离做教仔细的分析。

一方面，车速是刹车距离的主要影响因素，车速越快，刹车距离越长；另一方面，还有其他很多因素会影响刹车距离，包括车型.车重，刹车系统的机械状况，轮胎类型和状况，路面类型和状况，天气状况，驾驶员的操作技术和身体状况等。

为了建立刹车距离与车速之间的函数关系，需要提出哪几条合理的简化假设呢？

可以假设车型，轮胎类型，路面条件都相同； 假设汽车没有超载;

假设刹车系统的机械状况，轮胎状况，天气状况以及驾驶员状况都良好； 假设汽车在平直道路上行驶，驾驶员紧急刹车，一脚把刹车踏板踩到底，汽车在刹车过程没有转方向。

这些假设都是为了使我们可以仅仅考虑车速对刹车距离的影响。这些假设是初步的和粗糙的，在建模过程中，还可能提出新假设，或者修改原有假设。

首先，我们仔细分析刹车的过程，发现刹车经历两个阶段：

在第一阶段，司机意识到危险，做出刹车决定，并踩下刹车系统开始起作用，汽车在反应时间行驶的距离称为“反应距离”；反应距离有反应时间和车速决定，反应时间取决于司机个人状况（灵敏、机警等）和制动系统的灵敏性，由于很难对反应时间进行区别，因此，通常认为反应时间为常数，而且在这段时间内车速

不变。

在第二阶段，从刹车踏板被踩下，刹车系统开始起作用，到汽车完全停止，汽车在制动过程“行驶”（轮胎滑动摩擦地面）的距离称为“制动距离”。刹车距离与制动作用力、车重、车速以及路面状况等因素有关系。由能量守恒制动力所做的功等于汽车动能的改变。设计制动器的一个合理原则是，最大制动力大体上与汽车的质量成正比，汽车的减速度基本上是常数。路面状况可认为是固定的。

二、模型假设

根据上述分析，可作如下假设：

①刹车距离d等于反应距离d1和制动距离d2之和； ②反应距离d1与车速v成正比，且比例系数为反应时间t；

③刹车时使用最大制动力F，F作的功等于汽车动能的改变，且F与车质量m成正比；

④人的反应时间t为一个常数； ⑤在反应时间内车速v不变 ； ⑥路面状况是固定的；

⑦汽车的减速度a基本上是一个常数。

三、问题分析

1.由上述假设，可得： ⑴d2?tv； ⑵Fd2?1212mv,而F?ma，则d2?v。所以d2?kv2。 22a综上，刹车距离的模型为d?tv?kv2。 2.参数估计

可用我国某机构提供的刹车距离实际观察数据来拟合未知参数t和k。 转化单位后得：

车速（公里/小时） 20 40

60

80 100 120 140

实际刹车距离

（米）

6.17.33.6

57.1

83.4

118.0

153.5

5 8

用Mathematica进行拟合，代码如下： Clear[x,v,d];

x={{20/3.6,6.5},{40/3.6,17.8},{60/3.6,33.6},{80/3.6,57.1},{100/3.6,83.4},{120/3.6,118},{140/3.6,153.5}}; d=Fit[x,{v,v^2},v]; Print[\Plot[d,{v,0,200/3.6}] 结果： In[387]:=

Clear[v,d];

D=0.65218*v/3.6+0.0852792*(v/3.6)^2;

For[v=20,v<=140,v=v+20,Print[\速度为\，v，\时刹车距离为\，d]] 速度为20km/h时刹车距离为6.2553 速度为40km/h时刹车距离为17.7747 速度为60km/h时刹车距离为34.5583 速度为80km/h时刹车距离为59.6061 速度为100km/h时刹车距离为83.918 速度为120km/h时刹车距离为116.494 速度140km/h时刹车距离为154.334 Y7U

3.结果分析

将拟合结果与实际结果对比：（代码） Clear[v,d];

d=0.65218*v/3.6+0.0852792*(v/3.6)^2;

For[v=20,v<=140,v=v+20,Print[\速度为\时刹车距离为\结果：

车速（公里/小时） 20 40 实际刹车距离

（米） 计算刹车距离

（米）

6.

17.

60 33.6 34.6

80 100 120 140 57.1 56.6

83.4 83.9

118.0 116.5

153.5 154.3

5 8 6.2

17.8

计算刹车距离与实际刹车距离基本相当。

综上，反应时间t约等于0.6522秒，刹车时减速度约等于1/2k≈6m/s2。 刹车距离与车速的关系满足：d=0.6522v+0.08528v^2。

四、模型的评价

1、模型的优点

考察误差，发现当车速不超过104.6千米/小时，实际值都微小于理论值，但是当车速更快时，实际值就会大于理论值，而且随着车速的增加误差会越来越

大。

2.模型的缺点

误差分析说明制动距离子模型d2= kv2的模型假设适合较低的车速范围内；当车速更高时，可能由于我们漏了考虑某些不容忽视的因素，导致模型解答不那么令人信服。

五、参考文献

1.姜启源 谢金星等 高等教育出版社 2003年 2.任善强 雷宁 数学模型 高等教育出版社 2003年 3.苏金明等，MATLAB 工程数学，电子工业出版社，2005.8. 4.龚纯等，MATLAB 语言常用算法程序集，电子工业出版社，2008.6. 5.江明辉等，多元统计分析，高教出版社，2007.6 6.刘思峰，灰色系统理论及其应用，1999.10。。。。。

动物的身长和体重

一、问题重述

四足动物的躯干的长度（不含头尾）与它的体重有什么关系，这个问题有

一定的实际意义。比如，在生猪收购站或屠宰场工作的人们，往往希望能从生猪的身长估计出它的体重。

动物的生理结构因种类不同而异，如果陷入对生物学复杂生理 结构的研究，将很难得到满足上述目地的有使用价值的模型。这里我们仅在十分粗略的假设基础上，利用类比方法，借助力学的某些结果，建立动物身长和体重间的比列关系。类比法是依据两个对象的已知的相似性，把其中一个对象的已知的特殊性质迁移到另一对象上去，从而获得另一个对象的性质的一种方法。因此类比法是一种寻

求解题思路、猜测问题答案或结论的发现的方法，而不是一种论证的方法，作用是启迪思维，帮助我们寻求解题的思路，是建立数学模型的一种常见的、重要的方法。也因此，用类比法建立数学模型要求建模者具有广博的知识，只有这样才能将你所研究的问题与某些已知的问题、某些已知的模型建立起联系。

二、模型假设

首先注意这样一个事实：对于生猪，其体重越大、躯干越长，其脊椎下陷越大，这与什么相类似呢——弹性梁。为讨论问题简单起见，把动物的躯干看作圆柱体，设其长度为l、直径为d、断面面积为S（如图）。将这种圆柱体的躯干类比作一根支撑在四肢上的弹性梁，这样就可以借助力学的某些结果研究动物的身长与体重的关系。

三、问题分析

长度为L的圆柱型弹性梁在自身重力f作用下, 弹性梁的最大弯曲v与重力f和梁的长度立方成正比，与梁的截面面积s和梁的直径d平方成反比，即v∝fl^2/sd^2.

利用这个结果，我们采用类比的方法给出假设。

设动物在自身体重（记为f）的作用下， 躯干的最大下垂度为b，即弹性梁的最大弯曲。根据对弹性梁的研究，b∝fl^3/sd^2.因为f∝sl,所以b/l∝l^3/d^2.

b是动物躯干的绝对下垂度，b/l是动物躯干的相对下垂度。b/l太大，四肢将无法支撑动物的躯干，b/l太小，四肢的材料和尺寸超过了支撑躯干的需要，无疑是一种浪费，因此，从生物学角度可以假定，经过长期进化，对于每一种动物而言，b/l已经达到其最适宜的数值，换句话说，b/l应视为与动物尺寸无关

的常数，而只与动物的种类有关。

四、模型的建立与求解

因此l^3∝d^2,再从f∝sl,s∝d^2,可得f∝l^4.

即四足动物的体重与躯干长度的四次方成正比。这样，对于某种四足动物（如：生猪），根据统计数据确定上述比例系数k后，就可以依据上述模型，由躯干的长度估计出动物的体重.

五 模型的评价

1、模型的优点

在上述模型中，将动物的躯干类比作弹性梁是一个大胆的假设，其假设的合理性，模型的可信度应该用实际数据进行仔细检验。但这种思考问题、建立数学模型的方法是值得借鉴的。值得指出的是，利用类比方法，对问题进行大胆的假设和简化是数学建模的一个重要方法。此外，从一系列的比例关系着手推导模型可以使推导问题大为简化。

2.模型的缺点

在上述问题中，如果不熟悉弹性梁、弹性力学的有关知识，就不可能把动物躯干类比作弹性梁，就不可能想到将动物躯干长度和体重的关系这样一个看来无从下手的问题，转化为已经有明确研究成果的弹性梁在自重作用下的挠曲问题。因此，平时学习时应广泛地涉猎各门学科的知识，研读一些典型的建模实例。不过，使用此方法时要注意对所得数学模型进行检验。

六、参考文献

杜军平 Brian May 《计算机工程》 2000 第12期 - 维普资讯网

余坚 高天舒 刘毅 李宏光 尹卫东 《华夏医学》 2008 第1期 - 维普资讯网 王梅 韦小芳 杨艳琪 蒙莉薇 谢萍 《中医药学报》 2006 第1期 - 维普资讯网 王彤 周国用 马静 赵泳谊 冯自由 《中国实验动物学报》 2000 第2期 - 维普资讯网

郭蕾 王永炎 张志斌 张俊龙 《中医研究》 2006 第3期 - 维普资讯网

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/z9or.html