湖南大学《随机过程》课程习题集汇总

湖南大学本科课程《随机过程》习题集

主讲教师：何松华 教授

第一章：概述及概率论复习

1.1 设一批产品共50个，其中45个合格，5个为次品，从这一批产品中任意抽取3个，

求其中有次品的概率。

1.2 设一批零件共100个，次品率为10%，每次从其中任取一个零件，取出的零件不再

放回，求第3次才取得合格品的概率。

1.3 设一袋中有N个球，其中有M个红球，甲、乙两人先后各从袋中取出一个球，求

乙取得红球的概率(甲取出的球不放回)。

1.4 设一批产品有N个，其中有M个次品，每次从其中任取一个来检查，取出后再放

回，求连续n次取得合格品的概率。 1.5设随机变量X的概率分布函数为连续的，且

?A?Be??xF(x)??0?其中??0为常数，求常数A、B的值。 1.6设随机变量X的分布函数为

x?0x?0

F(x)?A?Barctg(x) (-?

(1) 求系数A、B；(2)求随机变量落在(-1,1)内的概率；(3)求其概率密度函数。 1.7已知二维随机变量(X,Y)的联合概率密度分布函数为

?6xy(2?x?y)0?x,y?1 fXY(x,y)??0elsewhere?(1)求条件概率密度函数fX|Y(x|y)、fY|X(y|x)；(2)问X、Y是否相互独立？ 1.8已知随机变量X的概率密度分布函数为

(x?mX)2fX(x)?exp[?] 22?X2??X1随机变量Y与X的关系为 Y=cX+b，其中c，b为常数。求Y的概率密度分布函数。 1.9设X、Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度分布函数分别为

?e?y?10?x?1，fY(y)??fX(x)???0elsewhere?0求随机变量Z=X+Y的概率密度分布函数。

0?yelsewhere

1.10设随机变量Y与X的关系为对数关系，Y=ln(X)，随机变量Y服从均值为mY、标

准差为?Y的正态分布，求X的概率密度分布。

1x21.11随机变量X服从标准正态分布fX(x)?求随机变量Y?Xn(n为正整exp{?}，

22?数)的数学期望及方差。

1.12随机变量X服从均值为mX、标准差为?X的正态分布，X通过双向平方率检波器，

Y=cX2(c>0)，求Y的概率密度分布。 1.13设二维随机变量的联合概率密度分布函数为

fXY(x,y)?Asin(x?y) (0?x??2,0?y??2)

(1) 求系数A，(2)求数学期望E[X]、E[Y]，方差D[X]、D[Y]；(3)求X、Y的相关函数

及相关系数。

1.14设X为拉谱拉斯随机变量，fX(x)??2e??|x| (-??x??) (??0)；求：(1)X的特征

函数，(2)利用特征函数求X的均值与方差，(3)讨论特征函数实部与虚部的奇偶性。

第二章：随机过程的基本概念

2.1某公共汽车站停放着两辆公共汽车A、B，从t=1s开始，每隔1s有一名乘客到达车

站。如果每名乘客以概率1/2登上A车，以概率1/2登上B车，各乘客登上哪辆车是相互独立的，用Xj表示第j秒到达的乘客的登车状态，即登上A车则Xj=1，登上B车则Xj=0；设t=n时A车上的乘客数为Yn。(1)求离散时间随机过程Yn的一维概率分布率；(2)当公共汽车A上的乘客达到10个时，A即开车，求A车出发时刻n的概率分布。

2.2一个正弦振荡器，由于元器件的热噪声和电路分布参数变化的影响，其输出的正弦

波可以看作一个随机过程X(t)?Acos(?t??)，其中A、?、?为相互独立的随机变量，且

?2a/A02fA(a)???0a?(0,A0)?1/100??(250,350)，f?(?)??，

0otherwiseotherwise??1/(2?)??(0,2?) f?(?)??otherwise?0求随机过程X(t)的一维概率密度分布函数。 2.3用一枚硬币掷1次的试验定义一个随机过程

?cos(?t)出现正面 X(t)??出现反面?2t设“出现正面”和“出现反面”的概率各为1/2。(1) 确定X(t)的一维分布函数FX(x,1/2)、FX(x,1)；(2) 确定X(t)的二维分布函数FX(x1, x2;1/2,1)；(3)画出上述分布函数的图形。 2.4设随机过程Z(t)?Xcos(?t)?Ysin(?t) (-??t??)，其中?>0为常数，X、Y为相互独立的随机变量，概率密度分布函数分别为标准正态分布(即均值为0，标准差为1)。若将Z(t)写成Z(t)?Vcos(?t??)，(1)求随机变量V、?的概率密度分布函数及联合概率密度分布函数，问二者是否统计独立？(2)求随机过程的一维概率密度分布函数。

2.5求4题所给出的随机过程的均值及相关函数，并判断该随机过程是否为广义平稳随机过程。

2.6设某信号源每T(s)产生一个幅度为A的方波脉冲，脉冲宽度X为均匀分布于[0,T]的随机变量。这样构成一个随机过程Y(t)(0?t

2.7设随机过程X(t)=Ycos(t) (-?

2.8随机过程Z(t)??Akej?kt (t?R)，其中Ak服从分布N(0,?k2)，且相互独立；?k为常数，

k?1Nj为虚数单位，求复随机过程Z(t)的均值函数与方差函数。

??12r?2.9随机过程X(t)=X+Yt，t?R；随机矢量(X,Y)的协方差矩阵为?，求随机过2?r??2?T程X(t)的协方差函数。

2.10给定随机变量X(ti)，xi为任一实数。定义另外一个随机过程

?1X(ti)?xi i?1,2,... Y(ti)???0X(ti)?xi试证明Y(t)的均值和自相关函数分别为X(t)的一维和二维分布函数。

2.11有一脉冲串，其中每个脉冲的宽度为1，脉冲可为正脉冲也可为负脉冲，即脉冲的幅度随机地取1或-1(概率相等)，各脉冲的幅度取值相互独立；脉冲串的起始时间均匀分布于单位时间内，脉冲间隔为0；求此脉冲随机过程的相关函数。

2.12．设随机过程X(t)=b+Nt，b为常量，N为正态随机变量，均值为m，标准差为?，求随机过程X(t)的一维概率密度及均值、方差。

2.13质点在直线上作随机游动，即质点在n=1,2,3,…时刻可以在x轴上往右或往左作一个单位距离的随机游动。往右、左移动的概率分别为p、q(p+q=1)，P{Xn=1}=p，P{Xn=-1}=q，各次游动是相互独立的，经过n次游动后，质点所在的相对位置为

Y(n)??Xi

i?1n求：(1)离散时间随机过程Y(n)的均值函数；(2) Y(n)的相关函数及自协方差函数。 2.14设随机过程X(t)=?+?t，?和?为相互独立的随机变量，其概率密度分布分别为f?(?)、

f?(?)，求随机过程X(t)的概率密度。

2.15设随机过程X(t)?A(t)sin[?0t??(t)]，其中A(t)?0，在同一时刻随机过程A(t)和?(t)是相互独立的，且?(t)在任意时刻的概率密度分布为[-?,?]上的均匀分布，包络A(t)在任意时刻的概率密度分布为fA(a)，求随机过程X(t)的一维概率密度。

2.16随机初始相位正弦波随机过程X(t)=Acos(?t+?)，其中振幅A、角频率?取常数，相

位?为均匀分布于[-?,?]的随机变量，求X(t)的一维概率密度分布函数。

2.17设某通信系统的信号为脉冲信号，脉宽为T，脉冲信号的周期也为T，脉冲幅度是随机的且服从高斯分布N(0,?2)，不同周期内的幅度xi是相互独立的；第1个脉冲的起始时间与t=0时刻的时间差u是均匀分布于(0,T)的随机变量，u与各xi相互独立，求该随机信号在任意两个不同时刻的二维联合概率密度分布函数。

2.18设随机过程X(t)的均值为mX(t)，协方差函数为KX(t1,t2)，?(t)为普通函数，试求随机过程Y(t)=X(t)+ ?(t)的均值和协方差函数。

2.19广义平稳随机过程X(t)在四个不同时刻的四维随机变量X=[X(t1), X(t2), X(t3), X(t4)]T的自相关矩阵为

?21.30.4a??b?21.20.8T? RX?E[XX]???0.41.2c1.1???e2??0.9d求矩阵中未知元素的值。

2.20设随机过程X(t)?Acos(?t)?Bsin(?t)，其中?为常数，A、B为相互独立的随机变量，概率密度分布函数为正态分布N(0,?2)。求X(t)的均值和自相关函数。

2.21某平稳随机过程X(t)的自相关函数满足RX(T)= RX(0) (T?0)，证明RX(?)必为以T为周期的周期函数。

2.22给定随机过程X(t)和常数a。Y(t)=X(t+a)-X(t)。试以X(t)的自相关函数来表示随机过程Y(t)的自相关函数。若X(t)平稳，均值为mX，求Y(t)的均值；问Y(t)是否平稳？是否与X(t)联合平稳？ 2.23．(缺)

2.24 X(t)=At，A为随机变量，概率密度分布为N(0,1)，求X(t)的均值及自相关函数。 2.25 X(t)=cos(?t)，其中?为均匀分布于(?1,?2)的随机变量，求X(t)的均值及自相关函数。 2.26随机初始相位正弦波随机过程X(t)=Acos(?t+?)，其中振幅A、角频率?取常数，相位?为均匀分布于[-?,?]的随机变量，求该随机过程的均值及相关函数，并判断其平稳性。 2.27随机过程X(t)仅由3个样本函数组成[查看教材中的原图]，而且每个样本函数等概率发生。计算E[X(2)]、E[X(6)]、RX(2,6)、FX(x,2)、FX(x,6)、FX(x1, x2,2，6)。分别画出它们的图形。

2.28设从t=0开始，作每秒1次的掷硬币试验，如正面朝上，则X(t)在该秒内的取值为1，如反面朝上，则X(t)在该秒内的取值为0；求：(1)X(t)的均值函数，(2)计算RX(0.5,0.6), RX(0.5,2.5)。

2.29随机初始相位正弦波随机过程X(t)=Acos(?t+?)，其中振幅A、角频率?取常数，相位?为均匀分布于[0,2?]的随机变量，求其时间相关函数及集合自相关函数，二者是否相等？

2.30根据掷色子实验定义随机过程X(t)?cos[(率密度，问X(t)是否为平稳随机过程。

2.31某随机过程由3个不同的样本函数组成，各样本函数等概率出现。

2k?)t]; k?1,2,3,4,5,6，求X(1),X(2)的概6

3.20如图所示系统，输入随机过程的功率谱密度函数为常数，GX(?)?法求输出随机过程Z(t)的均方值。

N0，试用频谱2

3.21零均值平稳随机过程X(t)加到一个线性滤波器，滤波器的冲激响应是指数函数的一段，即

?e??th(t)???00?t?Totherwiset

试用GX(?)来表示输出随机过程Y(t)的功率谱密度。 3.22设积分电路输入输出之间满足如下关系Y(t)??t?TX(?)d?，其中T为常数，且X(t)、

Y(t)均为平稳随机过程，求二者功率谱密度之间的关系。

3.23线性时不变系统的输入X(t)、输出Y(t)为平稳随机过程，系统传递函数为H(j?)，

*求证：GYX(?)?H(j?)GX(?)、GY(?)?H(j?)GYX(?)

3.24对于图示单输入、多输出线性时不变系统，求证：输出Y1(t)、Y2(t)的互功率谱密度

(?)?H1(j?)H2(j?)GX(?)。 为GYY12*H1(j?) X(t) H2(j?) Y1(t) Y2(t)

3.25设具有功率谱密度函数GX(?)?(??3)/(??8)的某平稳随机过程通过某线性系统后，输出随机过程的功率谱密度函数为GY(?)?1，求该系统的传递函数。 3.26已知平稳随机过程的相关函数为：(1) RX(?)??2(1??|?|) (|?|?1/?)；

22(2) RX(?)??2e??|?|；??0。分别求其等效通能带。(注：此题应放在第4章)

?1X(t)?x3.27给定实数x，定义理想门限系统的输入输出关系为Y(t)??，证明：(1)

?0X(t)?xE[Y(t)]?FX(x);(2) RY(?)?FX(x,x,?)。

第四章：白色噪声与正态随机过程

4.1 X1、X2、X3、X4是四元联合高斯分布随机变量，且E[X1]?E[X2]?E[X3]?E[X4]?0，

求证：E[X1X2X3X4]?E[X1X2]E[X3X4]?E[X1X3]E[X2X4]?E[X1X4]E[X2X3]。 4.2 X、Y是零均值高斯随机变量，方差分别为?X2、?Y2，若X、Y服从联合高斯分布，

且相关系数为r，求Z=X/Y的概率密度分布函数。 4.3 (接上题)证明以下关系成立：

1arcsin(r)? 42?1arcsin(r)P{X?0,Y?0}?P{X?0,Y?0}??

42?1arcsin(r)P{XY?0}??

2?1arcsin(r)P{XY?0}??

2?P{X?0,Y?0}?P{X?0,Y?0}?4.4设线性系统的冲激响应为h(t)，输入为平稳高斯过程X(t)，系统的输出过程为Y(t)，

证明X(t)与Y(t)为联合正态分布随机过程。

4.5设n维高斯分布随机矢量X?[X1,X2,...,Xn]T的各个分量的均值为零，协方差矩阵为

111??111...?22...?222???3...333?????????(其他未注明的元素根据对称性确定)

?n?2n?2n?2???n?1n?1???n???求X的一维与二维概率密度分布函数。

4.6功率谱密度函数为N0/2的高斯白色噪声通过一个滤波器，其传输函数为

H(j?)?11?j?/?1

求输出随机过程Y(t)在任意时刻的概率密度分布函数。

4.7白噪声的均值为0，功率谱密度为非零的常数N0，求其相关函数。

4.8理想白噪声通过截止频率为fc的理想低通滤波器(幅频特性为常数1)，求输出过程的自相关函数。

4.9设X、Y是相互统计独立的高斯随机变量，且它们具有相同的该密度N(m,?2)；求随机变量U=aX+bY和V=aX-bY的互相关系数以及U、V的二维联合概率密度。

4.10并联谐振电路如图所示，iN代表噪声电流，它是白噪声，其功率谱密度为N0，且为零均值，若t=0时电路开始工作，初始条件为iL(0-)=0，v(0-)=0；研究t时刻电流iL和iR的统计特性。

4.11设X、Y为联合高斯分布的随机变量，均值分别为mX、mY，根方差分别为?X、?Y，互相关系数为r，已现知X=x，求Y的合理估计值。

4.12一个高斯随机过程的均值函数为mX(t)?2、协方差函数为KX(t1,t2)?8cos[?(t1?t2)]，写出t1=0,t2=1/2时刻的二维概率密度。

4.13一个平稳高斯随机过程的均值函数为mX(t)?0、自相关函数为RX(?)?出t1=0,t2=1/2、t3=1时刻的三维概率密度。

4.14设随机过程Z(t)?Acos(?0t)?n(t)，其中A、?0为常量，n(t)为零均值平稳高斯过程，相关函数为RN(?)，写出Z(t)的一维、二维概率密度分布函数。

4.15考虑两个随机变量的去相关处理。设Y1、Y2为相关的零均值随机变量，方差分别为?12,?22，互相关系数为?，考察下列变换

sin(??)??，写

?X1??cos(?)sin(?)??Y1??X????sin(?)cos(?)??Y?

??2??2??求使得变换后的变量不相关的条件。

4.16图示RC低通滤波器的输入为白色噪声，物理功率谱密度为FX(?)=N0(0??t2>t1，有

RY(t3?t1)?RY(t3?t2)RY(t2?t1)

RY(0)

4.17 (与第3章第26题重复)。

4.18设有二维随机矢量[X1,X2]，其概率密度为

(x1?m1)22r(x1?m1)(x2?m2)(x2?m2)21fX(x1,x2)?exp{?[??]} 22222(1?r)?1?1?2?22?1?r?1?21在椭圆

(x1?m1)2?12上概率密度为常数

2r(x1?m1)(x2?m2)(x2?m2)22???? (?为常量) 2?1?2?212?1?r?1?22exp{??22(1?r)2}，称该椭圆为等概率椭圆，求随机矢量

落在等概率椭圆内的概率。

4.19设n维随机矢量X=[X1,X2,…,Xn]服从联合高斯分布，各个分量相互独立，且均值为0，随机矢量的协方差矩阵为

??2a?200...0???22?a?0...0??22??a?...0?

?????????2???求其N维特征函数

4.20 (接上题)若各个分量的之间的协方差为

Km,i?n?|m?i|

设另一随机变量Y为Y??Xi，求Y的特征函数

i?1n4.21设3维高斯随机矢量X=[X1,X2,X3]各个分量的均值为0，其协方差矩阵的元素值为kij(i,j=1,2,3),且

k11=k22=k33=?2；求(1) E[X1X2X3]，(2) E[X12X22X32]，(3)

E[(X12??2)(X22??2)(X32??2)]

4.22设3维高斯随机矢量X=[X1,X2,X3]的概率密度为

1fX(x1,x2,x3)?Cexp{?[2x12?x1x2?x22?2x1x3?x32]}

2(1) 证明经过线性变换

?1?1/4?1/2??X1???X? Y?AX??01?2/7???2??01??0???X3??得到的随机矢量Y=[Y1,Y2,Y3]，则Y1,Y2,Y3是相互统计独立的随机变量；(2)求C的值。 4.23设X1、X2是相互独立的零均值、单位方差高斯随机变量，定义二维随机矢量Y

?[X1,|X2|]X1?0 Y?[Y1,Y2]???[X1,?|X2|]X1?0证明：(1)Y1、Y2都是高斯分布的，(2)Y不是联合高斯分布的。 4.24设某一线性系统的单位冲激响应为

?e?ath(t)???0t?0t?0 (a>0)

输入N(t)为零均值白色噪声，功率谱密度为N0/2，输出为X(t)；Y(t)?X(t)?X(t?T)，假设输入从-?开始，求Y(t)的一维概率密度函数。

4.25设随机变量X、Y是联合高斯随机变量，且具有边缘概率密度fX(x)、fY(y)，

E[X]?E[Y]?0，E[X2]?E[Y2]??2，E[XY]??；证明：

E[fX(X)fY(Y)]?12?4???42

4.26设零均值高斯随机过程X(t)的相关函数为RX(?)??2e?a|?|，对其进行量化处理，得到时间连续但取值离散的随机过程Y(t)，即

Y(t)?iS if i???2?X(t)?i???2 (i=0,?1,?2,...)

(1)求Y(t)的均值函数；(2)求Y(t)的一维概率密度函数。

4.27设线性系统的输入过程X(t)为零均值高斯随机过程，相关函数为

RX(?)??2e?a|?|(a>0)，系统的冲激响应为

?e?bth(t)???0t?0t?0 (b>0,b?a)

X(t)是在t=-?接入系统的，(1)求在t=0时输出Y(0)大于y的概率；(2)如果在t=-T时，

X(-T)=0，求条件概率P{Y(0)?y|X(?T)?0}(T>0)；(3) 如果在t=T时，观察到X(T)=0，求条件概率P{Y(0)?y|X(T)?0}(T>0)。

4.28 设有平稳高斯随机过程X(t)，其均值为0，功率谱密度函数为

?S?0???/2?|?|??0???/2 GX(?)??0otherwise?0求：(1)该过程在单位时间内取得极大值的平均次数；(2)极大值的概率密度分布；(3)该过程在单位时间内正穿越X=a(从水平线X=a的下方向上穿过)的次数。

4.29设有平稳实高斯过程X(t)，均值为0，相关函数为RX(?)，该过程依均方意义可导，其导数过程为X'(t)，求在t1,t2两个时刻X(t1),X'(t1),X(t2),X'(t2)的四维概率密度。 4.30设X(n)为均值为0、方差为?2的离散白噪声，通过一个单位脉冲响应为h(n)的线性时不变离散时间线性系统，Y(n)为其输出，试证：

E[X(n)Y(n)]?h(0)?，?Y??222?h(n)

2n?0?4.31均值为0、方差为?2的离散白噪声X(n)通过单位脉冲响应分别为h1(n)=anu(n)以及h2(n)=bnu(n)的级联系统(|a|<1,|b|<1)，输出为W(n)，求?W2。

4.32设离散系统的单位脉冲响应为h(n)?na?nu(n) (a?1)，输入为自相关函数为

RX(m)??X2?(m)的白噪声，求系统输出Y(n)的自相关函数和功率谱密度。 4.33序列X(n)和Y(n)满足差分方程

Y(n)?X(n?a)?X(n?a)

其中a为整常数，试用X(n)的相关函数表示Y(n)的相关函数。 4.34实值一阶自回归过程X(n)满足差分方程

X(n)?a1X(n?1)?V(n)

其中a1为常数，V(n)为方差为?2的白噪声，输入从n=0开始，X(?1)?0。

(1)证明：若V(n)均值非零，则X(n)非平稳；(2)证明：若V(n)均值为零、|a1|<1，则当n足够大时，E[X2(n)]??V2/(1?a12)；(3)若V(n)均值为零，|a1|<1，求X(n)的自相关函数的平稳解。

4.35考察如下的二阶自回归过程X(n)

X(n)??a1X(n?1)?a2X(n?2)?V(n)

(1)若已知随机过程的相关函数值RX(0)、RX(1)、RX(2)，试写出用于计算系数a1,a2以及零均值白色噪声V(n)的方差?V2的Yule-Walker方程；(2)反过来，若已知a1= -1,a2=0.5,

?V2?0.5，求RX(0)、RX(1)、RX(2)的值；(3)求相关函数的通解。

4.36察如下的二阶自回归过程X(n)

X(n)?b1X(n?1)?b2X(n?2)?V(n)

零均值白色噪声V(n)的方差为?V2，|b1?b12?4b22|?2；求：(1)X(n)的功率谱密度；(2)根据Wold分解求X(n)的自相关函数；(3)求Yule-Walker方程

4.37考察如下的二阶MA模型，输入X(n)的功率谱密度为?X2，求Y(n)的自相关函数和功率谱密度。

Y(n)?X(n)?a1X(n?1)?a2X(n?2)

4.38考察如下的ARMA模型

X(n)?0.9X(n?1)?V(n)?0.2V(n?1)

其中V(n)为零均值、单位方差离散白色噪声，求X(n)的自相关函数。

第五章：窄带随机过程

5.1证明：偶函数的希尔伯特变换为奇函数，奇函数的希尔伯特变换为偶函数。 5.2设一个线性系统的输入为X(t)时，相应的输出为Y(t)，证明：若该系统的输入为X(t)?(t)，则其输出为Y(t)的希尔伯特Y?(t)。 的希尔伯特X5.3设功率谱密度N0/2为的零均值高斯白噪声通过一个理想带通滤波器，此滤波器的增益为1，中心频率为f，带宽为2B（B?f），滤波器输出为n(t)，求n(t)的自相关函数以及其同相分量与正交分量的自相关函数。

5.4设a(t)?A(t)sin[?(t)]与b(t)?A(t)cos[?(t)]为低频信号，即当|?|???/2时，其频谱值为0，?0???0/2，证明

H{A(t)cos[?0t??(t)]}?A(t)sin[?0t??(t)]H{A(t)sin[?0t??(t)]}??A(t)cos[?0t??(t)]

?(t)的相关函数存在如下关系 5.5证明广义平稳随机过程X(t)与其希尔伯特X??RXX?(?)?RX(?)，RXX?(?)??RX(?) RX?(?)?RX(?)，RXX?(?)为奇函数

?(t)，证明： 5.6设X(t)的解释信号(复信号表示)为Z(t)?X(t)?jX?(?)],E[Z(t)Z(t??)]?0 E[Z(t)Z*(t??)]?2[RX(?)?jRX并用X(t)的功率谱密度函数GX(?)来表示Z(t)的功率谱密度函数。

5.7在复随机过程Z(t)?X(t)?jY(t)中，如果其均值E[Z(t)]?E[X(t)]?jE[Y(t)]?mZ为复常数，且其自相关函数E[Z(t)Z*(t??)]?RZ(?)为仅与?有关的复函数，则称Z(t)为复平稳随机过程，设Ak,k?1,2,...,n是n个实随机变量，?k,k?1,2,...,n是n个实数。试问：

Ak以及Ak之间应满足什么条件，才能使Z(t)??Akej?kt是一个复平稳随机过程。

k?1n5.8考虑窄带高斯过程n(t)?X(t)cos(?ct)?Y(t)sin(?ct)，假定其物理功率谱密度对称于载频?c，求概率密度f(xt,xt??,yt,yt??)。

5.9设复随机过程为Z(t)??[?icos(?it)?j?isin(?it)]，其中?i、?i为相互独立的零均值

i?1n实随机变量，E[?i2]?E[?i2]??i2，对于任意的i?k，?i、?k以及?i、?k相互正交，求该复随机过程的自相关函数。

5.10设窄带信号X(t)的物理带宽为?(?c??/2????c??/2)，证明其复包络模平方的物理带宽为?(0????)。

5.11设窄带平稳随机过程n(t)?X(t)cos(?ct)?Y(t)sin(?ct)，证明：

?(?)sin(??) RY(?)?Rn(?)cos(?c?)?Rnc5.12对于调频信号X(t)?cos[?ct?m(t)]，设|dm(t)/dt|???c，即为窄带信号，求该信号

的复包络与包络的表示式。

5.13设窄带平稳随机过程n(t)?X(t)cos(?ct)?Y(t)sin(?ct)，证明其自相关函数为

Rn(?)?RX(?)cos(?c?)?RXY(?)sin(?c?)

5.14设窄带平稳随机过程n(t)?X(t)cos(?ct)?Y(t)sin(?ct)，若满足：

Gn(?)?0 (|?|?2?c)

证明X(t)的功率谱密度为

GX(?)?Gn(???c)?Gn(???c) (|?|??c)

5.15将相关函数为RX(?)??X2e?a|?|cos(?0?)的窄带平稳随机过程X(t)表示为

**X(t)?AC(t)cos(?0t)?AS(t)sin(?0t)

**试在(1) ?0??0，(2) ?0??0的条件下，分别求出相关函数RC(?)、RS(?)以及RCS(?)。

5.16考虑随机相位正弦波与窄带平稳实高斯随机过程X(t)之和

Y(t)?Asin(?0t??)?X(t)

?为(0,2?)其中A、?0为常数，?0为窄带实平稳随机过程Y(t)的功率谱密度的中心频率，上均匀分布的随机变量，E[X(t)]?0、D[X(t)]??2，并假设X(t)、?相互独立； (1)对每一个固定的?值，求Y(t)的均值和相关函数，判断Y(t)是否为高斯过程以及平稳过程；(2)当?为(0,2?)上均匀分布的随机变量时，求Y(t)的均值和相关函数，判断Y(t)是否为高斯过程以及平稳过程。

5.17考虑图示RLC带通滤波器，设其品质因素Q??1，输入是功率谱密度为N0/2的零均值高斯白噪声w(t)，求滤波器输出端的窄带过程n(t)及其同相分量、正交分量的功率谱密度Gn(?)、GnC(?)、GnS(?)，并以图示之。

5.18设A(t)为窄带平稳高斯平稳随机过程的包络，试证：

E[A(t)]?其中?2为该窄带随机过程的方差。 X?2??X、D[A(t)]?(2?)?2

2X5.19设窄带信号Z(t)?Acos(?0t??)?n(t)，其中n(t)为高斯过程，?为[0,2?]上均匀分布随机变量，且

n(t)?X(t)cos(?0t)?Y(t)sin(?0t)

证明Z(t)的包络平方的相关函数为

RZ(?)?A4?4A2?2?4?2?4[A2RX(?)?RX2(?)?RXY2(?)]

5.20?变量为卡方分布变量的?2的平方根，证明n个自由度的?变量的概率密度为

f(?)??n?1e??2/22(n?2)/2?(n/2)

5.21证明n个自由度的卡方分布?2变量的m阶原点矩为

?n??n??n?2m????1?...??m?1? ?2??2??2?

第六章：随机过程的非线性变换

6.1给定实数x和一个平稳随机过程X(t)，定义理想门限系统的特性为

?1X(t)?x Y(t)???0X(t)?x试证：(1) E[Y(t)]?FX(x)；(2) RY(?)]?FX(x,x,?)

6.2设平方律检波器的传输特性为y?x2，在检波器输入端加入一窄带高斯随机过程

X(t)，其概率密度函数为

(x?a)2fX(x)?exp{?} 22?X2??X1在检波器后联接一个理想低通滤波器，求低通滤波器输出过程的一维概率密度和均值；当a?0时结果有何变化。 6.3设对称限幅器的特性为

X(t)??x0??x0?Y(t)?g[X(t)]??X(t)?x0?X(t)?x0

?xX(t)?x0?0(1)已知输入随机过程X(t)的一维概率密度fX(x,t)，求输出随机过程Y(t)的一维概率密度fY(y,t)。(2)当输入随机过程X(t)为零均值平稳高斯过程、自相关函数为RX(?)时，求输出过程Y(t)的相关函数RY(?)。 6.4设有理想限幅器

?1X(t)?0 Y(t)?g[X(t)]???1X(t)?0?假定输入X(t)为零均值平稳高斯随机过程。(1)求Y(t)的一维概率密度和均值；(2)用Price定理证明：RY(?)?2?arcsin[rX(?)]。

6.5设有零均值高斯平稳随机过程X(t)，其自相关函数为RX(?)，它的一维概率分布函数为FX(x)，定义一个无记忆非线性系统Y(t)?FX[X(t)]?1/2，试用Price定理证明Y(t)的相关函数为

RY(?)??R(?)?1arcsin?X? 2?2R(0)?X?6.6平方律检波器的传输特性为y?x2，在检波器输入端加入一零均值平稳高斯随机过程

X(t)，其方差为?2，相关函数为RX(?)，求检波器输出过程Y(t)的一维概率密度、均值

及相关函数。

6.7全波线性检波器的传输特性为y?|x|，在检波器输入端加入一零均值平稳高斯随机过程X(t)，其方差为?2，相关函数为RX(?)，(1)求检波器输出过程Y(t)的一维概率密度、均值；(2)用Price定理求输出过程Y(t)的相关函数及方差。 6.8半波线性检波器的传输特性为

y?x?|x|?xx?0 ??0x?02?在检波器输入端加入一零均值平稳高斯随机过程X(t)，其方差为?2，相关函数为RX(?)，(1)求检波器输出过程Y(t)的一维概率密度、均值；(2)用Price定理求输出过程Y(t)的相关函数及方差。

6.9图示非线性系统。输入为零均值、功率谱密度为GX(?)?N0/2的高斯白噪声X(t)，求输出随机过程Y(t)的自相关函数和功率谱密度。

6.10设随机变量X和Y是零均值、方差为?2的联合高斯随机变量，其概率密度分布函数分别为fX(x)和fY(y)，且E[XY]??，证明：

E[fX(X)fY(Y)]?12?4???42

6.11设功率谱密度为N0/2的白噪声通过一个物理带宽为??/2的理想低通滤波器，在低通滤波器后接一个传输特性为y?x2的平方律检波器，求检波器输出随机信号的自相关函数和功率谱密度，并将功率谱密度函数用图表示。

6.12设X(t)为均值为mX、相关函数为RX(?)的平稳高斯过程，将其加入到模型为

?1X(t)?0 Y(t)?g[X(t)]???1X(t)?0?的理想限幅器输入端，求限幅器输出过程的自相关函数RY(?)。 6.13平方律检波器的传输特性为y?包络A(t)服从瑞利分布

a2fA(a)?2exp{?2} (a?0)

?2?ab2x，在检波器输入端加入一窄带随机信号，其中2求检波器输出过程的一维概率密度、均值和方差。

6.14同步检波器如下图所示，设X(t)为窄带平稳随机信号，其相关函数为

??2??|?|?RX(?)??Xe?cos(?0?)?sin(?0|?|)? (????0)

?0??求检波器输出端的相关函数及平均功率。

6.15设全波线性检波器的传输特性为y?|x|，检波器的输入为a?N(t)，其中a??0为直流电平信号，N(t)为零均值平稳高斯随机过程，其方差为?2，求检波器输入、输出端的信噪比(考虑高信噪比情况)。

第七章：马尔可夫过程

7.1设由独立随机序列Xi构成一个新的序列Yi，且定义为

Y1?X1, Yn?CYn?1?Xn (n?2)

试证明随机序列Yi为马尔可夫序列。

7.2设X(t)为马尔可夫过程，又设t1?t2?...?tn?tn?1?...?tn?k，试证明

ftn|tn?1,...,tn?k(xn|xn?1,...,xn?k)?ftn|tn?1(xn|xn?1)

即一个马尔可夫过程的反向也具有马尔可夫性。

7.3试证明对于任何一个马尔可夫过程，如果“现在”的X(t)值为已知，则该过程的“过

去”和“将来”是统计独立的，即如果t1?t2?t3，其中t2代表“现在”，t1、t3代表“过去”和“将来”，若X(t2)?x2为已知，试证明

ft1,t3|t2(x1,x3|x2)?ft1|t2(x1|x2)ft3|t2(x3|x2)

7.4设齐次马尔可夫链有四个状态S1、S2、S3、S4，其转移概率矩阵为

?1/41/401/2??0?100?? ?1/201/20???1/41/41/41/4??(1)如果该链在第n时刻处于S3状态，求在n+2时刻处于状态S2的概率；(2) 如果该链在第n时刻处于S1状态，求在n+3时刻处于状态S3的概率。 7.5X(t)为马尔可夫过程，又设t1?t2?...?tm?tm?1?tm?2，试证明

ftm?1,tm?2|t1,t2,...,tm(xm?1,xm?2|x1,x2...,xm)?ftm?1,tm?2|tm(xm?1,xm?2|xm)

7.6一个质点沿标有整数的直线移动，经过一步从点j移动到j?1的概率为p，停止在点

j的概率为q，移动到j?1的概率为r，且p?q?r?1。(1)求该马尔可夫过程的一步转

移概率矩阵以及二步转移概率矩阵；(2)若该质点在n时刻位于点j，求该质点在n+2时刻位于各点的概率。

7.7若质点M在(0,1,2)三个位置随机徘徊，每经一单位时间按下列概率规则改变一次位置：自0出发，下一步停留在0的概率为q，来到1的概率为p；自1出发到达0,2的概率分别为p和q；自2出发停留在2及到达1的概率分别为p和q。该马尔可夫过程的一步转移概率矩阵以及二步转移概率矩阵。

7.8若质点M在图示的反射壁间四个位置(a1,a2,a3,a4)上随机游动，在a1处向右移动一步的概率为1；在a4处向左移动一步的概率为1；在a2、a3处向左或向右移动一步的概率为1/4、停留的概率为1/2，试求在平稳情况下，质点处于各状态的概率。

7.9设X1,X2,..,Xn,...为相互统计独立的零均值随机变量构成的序列，各自的概率密度分布函数分别为fXn(xn)，定义另外一个随机变量序列{Yn}如下

Y1?X1,Y2?X1?X2,Y3?X1?X2?X3,..,Yn?X1?X2?X3?...?Xn,...

试证明：(1) 序列{Yn}具有马尔可夫性

(2) E[Yn|Y1?y1,Y2?y2,Y3?y3,...,Yn?1?yn?1]?E[Yn?1|Yn?yn?1]?yn?1

?2/31/3?7.10设齐次马尔可夫链的一步转移矩阵为?，请应用该过程的遍历性证明： ??1/32/3??1/21/2??[P]??? n??1/21/2??(1)nP(n)7.11从1，2，3，4，5，6六个数中等可能地取一个数，然后还原，不断独立地连续下去，如果在前n次中所取的最大数为j，就说质点在第n步时的位置处于状态j。质点的运动构成马尔可夫链，试写出其转移概率矩阵。

7.12设有随机过程X(n)，n=1,2,3,…；它的状态空间I：{x,0

1?0?x1?...?xm?1?xm?1? f1,2,...,m(x1,x2,...,xm)??(1?x1)(1?x2)...(1?xm?1)?0otherwise?(1)求边际概率密度分布f1(x1)、f2(x2)及条件概率密度f2|1(x2|x1)；(2)求转移或条件概率密度函数fj|j?1(xj|xj?1) (j?3,4,...,m) ，并问该过程是否为马尔可夫过程。

7.13设经过RC滤波器后的高斯白噪声为Y(t)，其相关函数RY(?)?e??|?|，规定t3?t2?

t2?t1??，Y(t3)?Y3、Y(t2)?Y2、Y(t1)?Y1，式中t3?t2?t1。试证：

fY1|Y2,Y3(y1|y2,y3)?fY1|Y2(y1|y2)

7.14考察下列随机过程，确定是否为独立增量过程，如果是，求其均值与方差。 (1)随机地投掷一枚硬币，第j次投掷的结果用随机变量Xj描述：

?1第j次投掷结果为正面 Xj???1第j次投掷结果为反面?由此确定的累积记数过程为Yn??Xj。

j?1n(2) Z0?1，随机地投掷一枚硬币，第j次投掷的结果用随机变量Zj描述：

3?Xj2Zj?Zj?1

7.15设有一参数离散、状态连续的随机过程X(n)，n=1,2,3,…；它的状态空间I：{x, x>0} X(1),X(2),…,X(m)的联合概率密度函数为

??x1x2...xm?1e?(xmxm?1?xm?1xm?2?...?x2x1?x1)f1,2,...,m(x1,x2,...,xm)??0??0?x1,...,xm?1,xm

otherwise(1)求边际概率密度分布f1(x2)、f2(x2)；(2)求边际概率密度f1,2,...,m?1(x1,x2,...,xm?1) ；(3)求转移概率密度fm|m?1(xm|xm?1)，并问该过程是否为马尔可夫过程。

7.16三个黑球与三个白球，将这6个球任意等分两个袋中，并将甲袋中的白球数定义为随机过程的状态，则有四种状态：0，1，2，3；现每次从甲、乙袋中各取一球，然后相互交换，经过n次交换，过程的状态为X(n)，n=1,2,3，…；

(1)该过程是否为马尔可夫链；(2)计算其一步转移概率矩阵；(3)该链的平稳分布是否存

在，为什么？若存在，求其平稳分布；(4)若X(0)=0，求经过三次交换后甲袋中有三个白球的概率。

7.17设{X(n)}是一马尔可夫链，其状态空间为I：{0,1,2}，初始状态概率分布为

P{X(0)?0}?1/4,P{X(0)?1}?1/2,P{X(0)?2}?1/4

一步转移概率矩阵为

?1/43/40?? P? ?1/31/31/3????01/43/4??(2)(1)计算概率P{X(0)?0,X(1)?1,X(2)?1}；(2)计算P01

7.18设有马尔可夫链，它的状态空间为I：{0，1，2}，它的一步转移概率矩阵为

1?0P? ??1?p0?1?00?p?? 0??(1)试求P(2)，并证明P(4)?P(2)； (2)求P(n)，n?1。

7.19设{X(n)}是一马尔可夫链，其状态空间为I：{0,1}，其一步转移概率矩阵为

?p1?p?P? ?? 1?pp??证明：

?1n?(2p?1)?2? ??1?(2p?1)n??21??(2p?1)n?2?

1?(2p?1)n??2?P(n)7.20天气预报问题。假设今日是否下雨依赖于前3天是否有雨，请将这一问题归结为马尔可夫链。如果过去一连3天有雨，今天有雨的概率为0.8，连续3天为晴，今天有雨的概率为0.2；在其他天气情况下，今日的天气与昨日相同的概率为0.6，求这个马尔可夫链的转移矩阵。

7.21设{Xn,n?N}为马尔可夫链，其状态空间I?{a,b,c}，转移矩阵为

?1/21/41/4?? P??2/301/3????3/52/50??(1)求P{X1?b,X2?c,X3?a,X4?c,X5?a,X6?c,X7?b|X0?c} (2)求P{Xn?2?c|Xn?b}

7.22设{Xn}为马尔可夫链，其状态空间I?{a,b,c,d,e}，转移概率矩阵为

0??1/201/20?01/403/40???P??001/302/3?，求其闭集。

??1/41/201/40????1/301/301/3??7.23确定下列马尔可夫链的状态分类，哪些属于常返的，哪些属于非常返的。其一步转移概率矩阵分别为。

0?0?01/21/2??00?；(2) ?1/201/2(1) P??P????1/21/2??1/21/20???0?000011?0??1/21/20?1/21/20?1?0?；P??? ?1/41/41/41/4?0????0?010??00?0??0? ?0?0??0?0?1/201/20?1/43/40?1/41/21/40??1/21/2000???0?；(5) P??0010(4) P??1/201/20???0001/21/201/32/3???0??001/21/2?000?0??17.24设N(t)为具有比率为?的泊松记数过程，其相应的概率分布为

(?t)k??tP{N(t)?k}?e

k!试求该过程的特征函数，并根据特征函数求其均值、方差。

7.25设N(t)为具有比率为?的泊松记数过程，以如下方式产生一个新的随机过程X(t)，

X(0)?0，在N(t)过程中，每发生一事件，X(t)就变化一随机数量，对应第n次事件的

随机变量为Yn，并且对应不同的事件，这些变化之间以及与N(t)间是相互独立的，这样

X(t)??Yn

n?1N(t)假设每个随机变量Yn具有相同的概率密度函数fY(y)，对应的均值、均方值分别为mY、

mY2，试求该过程的特征函数，并根据特征函数求其均值、方差。 7.26设N1(t)与N2(t)是两个相互独立的、比率分别为?1和?2的泊松过程 (1)证明NS(t)?N1(t)?N2(t)是比率为?1??2的泊松过程； (2)证明ND(t)?N1(t)?N2(t)不是泊松过程 7.27设在时间t内向电话总机呼唤k次的概率为

?kk!e??,k?0,1,2,...，其中??0为常数，

在任意相邻的时间间隔内的呼唤次数是相互独立的，求在2t时间内呼唤n次的概率P2(tn)。 7.28设X1、X2、…、XN是相互独立、分别服从参数为?1、?2、…、?N的泊松分布

P{Xi?k}??ikk!e随机变量，证明随机变量Y??Xi服从参数为????i的泊松分布。

??NNi?1i?17.29电子管中的电子发射问题。设单位时间内到达阳极的电子数目N服从泊松分布，即

P{N?k}??kk!e??，每个电子携带的能量构成随机序列X1、X2、…、Xk；已知各Xi间

2N相互独立且与N相互独立，E[Xi]??、D[Xi]??；S??Xi，求S均值与方差。

i?17.30给定一个随机过程X(t)的任意两个时刻t1'和t2'，若对于任意时刻t'?t1'，X(t')与

X(t2')?X(t1')统计独立，试证明X(t)为马尔可夫过程。 7.31多级单调谐电流放大器的频率响应特性为

?(???0)2?K(?)?C0exp???

2???其输入端接入电流I(t)??q?(t?tj)，q为电子的电荷，已知泊松脉冲序列Z(t)?

j??(t?t)的相关函数为R(?)??j2Z???(?)，如果中频放大器输出电流V(t)的均值mV和

j方差?V2都可以测出，求输入脉冲列每秒的平均个数?。

7.32已知X(t)为泊松过程，如果t2?t1，且n和k为非负整数，证明：

P{X(t1)?k,X(t2)?n?k}?e??t2?k?n(t2?t1)nt1k

n!k!7.33一质点沿圆周运动，圆周按顺时针等距排列3个点(0,1,2)将圆周分成3格，质点每次移动或顺时针或逆时针移动一格，顺时针前进一格的概率为1/2，逆时针退一格的概率为1/2。设X(n)代表质点经过n次游动后所处的位置，X(n)为齐次马尔可夫链。试求：(1)一步转移概率矩阵，(2)极限概率分布。

7.34一质点沿圆周运动，圆周按顺时针等距排列5个点(0,1,2,3,4)将圆周分成5格，质点每次移动或顺时针或逆时针移动一格，顺时针前进一格的概率为p，逆时针退一格的概率为1?p。设X(n)代表质点经过n次游动后所处的位置，X(n)为齐次马尔可夫链。试求：(1)一步转移概率矩阵，(2)极限概率分布。

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