2013版高中全程复习方略课时提能演练：6.3基本不等式

课时提能演练(三十六)

(45分钟 100分)

一、选择题(每小题6分，共36分)

1a＋b42

1.下列不等式①a＋1>2a；②x＋2≥1；③≤2；④sinx＋2≥4.

2

2

x＋1ab

sinx其中正确的不等式的个数是( )

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

2.(2012·九江模拟)设两个正数x，y满足x＋y＝1，则49

x＋y的最小值为( (A)24 (B)26 (C)25 (D)1

3.已知x，y∈R，且满足xy

＋3＋4＝1，则xy的最大值为( )

(A)1 (B)3 (C)4 (D)5

4.(预测题)已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是( ) (A)3 (B)4 (C)911

2 (D)2

5.(易错题)若a>0，b>0，且a＋b＝1，则ab＋1

ab的最小值为( )

(A)2 (B)4 (C)17

4

(D)22

6.(2012·汉中模拟)若a＞0，b＞0，c＞0，且a(a＋b＋c)＋bc＝4－23，则2a＋b＋c的最小值为( ) (A)3－1 (B)3＋1 (C)23＋2 (D)23－2 二、填空题(每小题6分，共18分)

)

1

7.(2012·合肥模拟)函数y＝＋x(x＞3)的最小值为 .

x－3x

8.若对任意x＞0，2≤a恒成立，则a的取值范围是 .

x＋3x＋1116

9.若x＞0，y＞0，且＋＝1，则x＋y的最小值是 .

xy三、解答题(每小题15分，共30分) 10.已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0， 求(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值.

11.(2012·西安模拟)甲、乙两地相距S千米，一船由甲地逆水匀速行驶至乙地，水速为常量p(单位：千米/小时)，船在静水中的最大速度为q千米/小时(q＞p).已知船每小时的燃料费用(单位：元)与船在静水中的速度v(单位：千米/小时)的平方成正比，比例系数为k.

(1)把全程燃料费用y(单位：元)表示为船在静水中的速度v的函数，并求出这个函数的定义域.

(2)为了使全程燃料费用最小，船的实际前进速度应为多少？ 【探究创新】

(16分)设矩形ABCD(AB>AD)的周长为24，把它沿AC折起来，AB折过去后交CD于点P，如图，设AB＝x，求△ADP的面积的最大值，及此时x的值.

答案解析

1.【解析】选A.∵a2＋1－2a＝(a－1)2≥0，故①错； ∵x2

＋12

x＋11＋12＝x＋x2＋1

－1≥2－1＝1，

等号成立的条件为x＝0，故②对；

当a，b均大于零时，a＋b≥2ab，即a＋bab≥2，故③错；

sin2

x＋4

sin2x

≥4等号不成立，

故④错，故选A.

2.【解析】选C.4x＋949

y＝(x＋y)(x＋y)

＝4＋4yx＋9xy＋9＝13＋4y9xx＋y

∵x，y为正数，∴4y＋9x

≥2·4yxy

x·9x

y

＝12. 当且仅当4yx＝9xy，即x＝25，y＝3

5时，等号成立.

∴49

x＋y

≥13＋12＝25. 3.【解析】选B.∵x，y∈Rxyxy

xy

＋且3＋4＝1，由基本不等式有1＝3＋4≥212

，解得xy≤3，当且仅当x3＝y4＝12，即x＝3

2，y＝2时，等号成立.

所以xy的最大值为3.

4.【解题指南】由已知的等式用x表示y，代入要求式子，转化为函数的最值问题.

【解析】选B.因为x＋2y＋2xy＝8， 8－x8－x

所以y＝，所以x＋2y＝x＋ 2x＋2x＋1－(x＋1)＋99

＝x＋＝(x＋1)＋－2

x＋1x＋19

≥29－2＝4(当且仅当x＋1＝，

x＋1即x＝2时等号成立，此时y＝1)，选B.

【一题多解】本题也可以利用基本不等式转化为一元二次不等式求解. x＋2y2

因为x＋2y≥22xy，所以2xy≤()，

2(x＋2y)2

所以x＋2y＋2xy≤x＋2y＋，

4A2

设x＋2y＝A，则A＋≥8，

4

即A2＋4A－32≥0，解此不等式得A≤－8(舍去)或A≥4，即x＋2y≥4.∴最小值为4.

5.【解题指南】由已知利用基本不等式得ab的取值范围而后换元利用函数的单调性求解.

【解析】选C.由a＋b＝1，a>0，b>0得 11

2ab≤a＋b＝1，∴ab≤，∴ab≤. 241

令ab＝t，则0

4

11111

则ab＋＝t＋，由函数的图像可知t＋在(0，]上单调递减，故当t＝时，abtt441117

t＋有最小值为＋4＝. t44

6.【解析】选D.∵a(a＋b＋c)＋bc＝(a＋b)(a＋c)＝4－23，且a＋b＞0，a＋c＞0，∴2a＋b＋c＝(a＋b)＋(a＋c)≥2(a＋b)(a＋c)＝24－23＝2(3－1)2＝2(3－1)(当且仅当a＋b＝a＋c，即b＝c时等号成立)， ∴2a＋b＋c的最小值为23－2，故选D. 117.【解析】y＝＋x(x＞3)＝＋(x－3)＋3

x－3x－3∵x＞3，∴x－3＞0， 1

∴y＝＋(x－3)＋3≥2·

x－3－3，即x＝4时，等号成立. 答案：5

1x

8.【解析】因为x＞0，所以x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)，所以有2

xx＋3x＋1111x11

＝≤＝，即2的最大值为，故a≥. 12＋35x＋3x＋155x＋＋3

x1

答案：[，＋∞)

5

【方法技巧】不等式恒成立问题的解题方法

不等式的恒成立问题与函数最值有密切的关系，解决不等式恒成立问题，通常先分离参数，再转化为最值问题来解： c≥f(x)恒成立?c≥f(x)max；

11·(x－3)＋3＝2＋3＝5.当且仅当＝xx－3x－3

c≤f(x)恒成立?c≤f(x)min.

116

9.【解析】∵x＞0，y＞0且＋＝1，

xy11616xy

∴x＋y＝(x＋y)(＋)＝1＋＋＋16

xyyx＝17＋

16xy

＋≥17＋2yx

16xy

·＝17＋8＝25. yx

16xy

当且仅当＝，即x＝5，y＝20时，“＝”成立.

yx答案：25

82

10.【解题指南】把2x＋8y－xy＝0转化为＋＝1即可.

xy82

【解析】(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，

xy又x＞0，y＞0， 82则1＝＋≥2xy

828·＝，得xy≥64， xyxy

82

当且仅当＝时，等号成立.

xy所以xy的最小值为64.

(2)方法一：由2x＋8y－xy＝0，得x＝∵x＞0，y>0，∴y＞2，

8y16

则x＋y＝y＋＝(y－2)＋＋10≥18，

y－2y－216

当且仅当y－2＝，即y＝6，x＝12时，等号成立.

y－2∴x＋y的最小值为18.

8y， y－2

82

方法二：由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，

xy82

则x＋y＝(＋)·(x＋y)

xy2x8y

＝10＋＋≥10＋2

yx

2x8y

·＝18. yx

2x8y82

当且仅当＝，且＋＝1时等号成立，

yxxy∴x＋y的最小值为18.

S

11.【解析】(1)由题意知，船每小时的燃料费用是kv，全程航行时间为，v－p

2

S

于是全程燃料费用y＝kv·(p＜v≤q)，定义域是(p，q].

v－p

2

222

Sv－p＋p

(2)由(1)知y＝kv2·＝kS·

v－pv－p

p2

＝kS[(v＋p)＋]

v－p

p2

＝kS[(v－p)＋＋2p]≥kS[2v－p

p2

(v－p)·＋2p]

v－p

p2

＝4kSp(当且仅当v－p＝，即v＝2p时等号成立).

v－p

①当2p∈(p，q]，即2p≤q时，ymin＝4kSp，此时船的前进速度为2p－p＝p. S

②当2p(p，q]，即2p＞q时，函数y＝kv·在(p，q]内单调递减，所以

v－p

2

q2

ymin＝kS·，此时船的前进速度为q－p.

q－p

故为了使全程燃料费用最小，当2p≤q时，船的实际前进速度应为p千米/小时；当2p＞q时，船的实际前进速度应为(q－p)千米/小时.

【变式备选】围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面围墙利用旧墙(利用旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x(单位：m)，所需费用为y元. (1)将y表示为x的函数；

(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最少，并求出最少总费用. 【解析】(1)设矩形的另一边长为a m，

则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360 360

由已知xa＝360，得a＝，

x3602

所以y＝225x＋－360(x>0).

x

3602

(2)∵x＞0，∴225x＋≥2225×3602＝10 800，

x3602

∴y＝225x＋－360≥10 440.

x

3602

当且仅当225x＝，即x＝24时，等号成立.

x

即当x＝24 m时，修建此矩形场地围墙的总费用最少，最少总费用是10 440元. 【探究创新】

【解析】∵AB＝x，∴AD＝12－x， 又∵DP＝PB′，AP＝AB′－PB′＝AB－DP， 即AP＝x－DP，

72∴(12－x)＋PD＝(x－PD)，得PD＝12－，

x

2

2

2

∵AB>AD，∴6

1172

∴△ADP的面积S＝AD·DP＝(12－x)(12－) 22x72

＝108－6(x＋)≤108－6·272＝108－722

x当且仅当x＝72

x

即x＝62时取等号，∴△ADP面积的最大值为108－722，此时

x＝62.

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