06函数的单调性与最值

06函数的单调性与最值

函数的单调性与最值

06函数的单调性与最值

知识网络定义 函数的概念 三要素 表示 定义域 对应法则 值域 单调性 对称性 函数的 基本性质 奇偶性 周期性 最值 函数常见的 几种变换 基本初等 函数

列表法 解析法 图象法 观察法、判别式法、分离常数法、 单调性法、最值法、重要不等式、 三角法、图象法、线性规划等

1.求单调区间：定义法、导数法、用已知函数的单调性. 2.复合函数单调性：同增异减. 1.先看定义域是否关于原点对称，再看f(-x)=f(x)还是-f(x). 2.奇函数图象关于原点对称，若x=0有意义，则f(0)=0. 3.偶函数图象关于y轴对称，反之也成立. f (x+T)=f (x);周期为T的奇函数有： f (T)=f (T/2)=f (0)=0. 二次函数、基本不等式，对勾函数、三角函数有界性、 线性规划、导数、利用单调性、数形结合等. 平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换.

函 数

正(反)比例函数; 一次(二次)函数; 幂、指、对函数;单调性：同增异减 定义、图象、 性质和应用

复合函数抽象函数 函数与方程 函数的应用 常见函数模型

赋值法函数零点、二分法、一元二次方程根的分布

幂、指、对函数模型；分段函数；对勾函数模型

06函数的单调性与最值

要点梳理1.函数的单调性

忆一忆知识要点

(1)单调函数的定义 增函数 减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为A,区间M A . 如果取区间M中的任意两个自变量x1, x2 定 当x1<x2时，都有 当x1<x2时, 都 有 义 f(x1) < f(x2) ____________ ,那么函数 __________ , 那么函数f(x) f(x1) > f(x2) f(x)在区间M上是增函数 在区间M上是减函数 图 象 描 上升的 下降的 述 自左向右看图象是______ 自左向右看图象是_____

06函数的单调性与最值

要点梳理

忆一忆知识要点

(2)单调区间的定义 增函数 减函数 若函数f(x)在区间M上是_______或________,则称函 数f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，________叫做 y 区间M =f(x)的单调区间.

2.函数的最值前 提设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足 (3)对于任意x∈I,都有 f(x)≥M ; (4)存在x0∈I, 使得 f(x0)=M .

(1)对于任意x∈I,都有 f(x)≤M ; 条 件 (2)存在x0∈I, 使得 f(x0)=M . 结 M为最大值 论

M为最小值

06函数的单调性与最值

题 型一

函数单调性的判断及应用

【例 1】已知函数 f(x)= x2+1-ax,其中 a>0. (1)若 2f(1)=f(-1),求 a 的值； (2)证明：当 a≥1 时，函数 f(x)在区间[0,+∞)上为单调 减函数； (3)若函数 f(x)在区间[1,+∞)上是增函数，求 a 的取值 范围.

(1)解:由 2f(1)=f(-1),可得 2-2a= 2+a, 2 2-2a= 2+a, (1)解: 由 2f(1)=f(-1),可得 2 2 2 得 a= . 得 a= . 3 3

06函数的单调性与最值

(2)证明:任取 x1,x2∈[0,+∞),且 x1<x2, 1 2减函数；

(2)证明：当 a≥1 时，函数 f(x)在区间[0,+∞)上为单调 (2)证明:任取 x ,x ∈[0,+∞)

,且

2 2 2 2 f(x x2+1+ax2 f(x1)-f(x x ,x 2∈[0,+∞),且 x )= 2 2x x ∈[0,+∞),且 <x , (2)证明:任取xxx11,x22+1-ax1-1)-f(x2x1<x,1+1-ax1- x2+ (2)证明:任取2)=,x21∈[0,+∞),且 xx11<x,, 1 (2)证明:任取 f(x)在区间[1,+∞)上是增函数，求 a 的取值 (2)证明:任取 ∈[0,+∞),且 1 2 (2)证明:任取 x,x2∈[0,+∞),且 x1<x2, 2 (2)证明:任取 1 1,x2 ∈[0,+∞),且 1<x2 2 (3)若函数 2 22 = 2x22+1- x2+1-a(x1-x2) x2+1+ax 22 = )-f(x2)= xx22+1-ax11- )22+1+ax x1+1- +1-a(x f(x11)-f(x)= xx+1-ax --x 2+1+ax 2 222 f(x1)-f(x2 222)= 2 xx11+1-ax1-x2 x122+1+ax x f(x11)-f(x )= 221+1-ax - x22 2 2 2 f(x )-f(x )= 1 1 +1-ax1- 22 )-f(x 1 f(x 1 范围. f(x +1+ax2 11 x1-x2 x1-x2 222 22 2 = xx122+1- xxx2+1-a(x1-x2)2))2 = xx11+1- 2x22+1-a(x1-x 2 2 x1+1- 2+1-a(x 1-x = 112+1- 2 2+1-a(x11-x +1-a(x = = x22+1- x+1-a(x1-x2)222)x1+1+ x2+1-a(x1-x2) 2 = = x +1+ 22 x +1-a(x -x 22 1 x22 2 22 2 2x-x2 2 -x 1 1-x xx2-x22 xx11-x22 1-x2 x1+x2 = 2 = -a(x -x = -a(x = x2222 1 -a(x 1=(x 22 x-a(x1-x2) 2)) = 2x+1+ xx2+1-a(x11-x22)2)-x ) -a(x 1-x 1+x2 1 -x2 x-x2) x+1 1 1 +1+ 2 +1 xx111+1+ x2x22+1 +1+ 222+1 -a . 2 x2+1+ x2+1-a . x11+1+ 22+1 +1+ =(x1 2 1 2 x+x x1+1+ x 2x2+1 1 2 xx11+x 2 1 +x xx+x2 22 ( x1 x 2 )( a ). 1x1+x2 x1+x 2 2 2∵0≤x1< x1+1,0<x2< x2+1, -a ... -a -a . 2 22 2 2 . =(x -x)) +1,0<x 2 -a =(x -x =(x -x =(x 11-x222) 2x2 1 22< -a =(x 11-x 2 xxx+1+ x 22+11 =(x11-x1<))) x11x212+1+ x2xx22+12-a ∵0≤x 2 2 11 +1+ xx+1 22 x+1+ 2x2+1 +1, x1+x2 +1+ +1 x 11 22+1 1+1+ x122 2 2 2+x ∵0≤x111< xxx11+1,0<x22< x2x22+1, 2+1+ x2+1<1. x2+1,0<x2<1. 2x22+1, < xx22+1, ∵0≤x +1,0<x ∵0≤x< 2 x1+1,0<x 2 x2+1, ∵0≤x11<< x+1,0<x2<<< ∴0< x1 ∴0< ∵0≤x < 1 2+1,0<x 1 2 2 +1, 2 ∵0≤x1x<+1+ x2+1 2< +1, 1 2 1xx+x2 2 2 x111+x2 1x+x22 1 +x ∴0< <1. ∴0< 222 x1+x22 22 <1. 又∵a≥1,∴f(x1)-f(x2)>0, ∴0< <1. ∴0< 22 <1. ∴0< <1. 22 ∴0< xxx11+1+ xxx2+1 <1. x +1+ 12+1 又∵a≥1,∴f(x+1 1+1+ x21+1+ 2x2)-f(x2)>0, 1 +1+ 2 +1 x1 x2+1 ∴f(x)在[0,+∞)上单调递减.

又∵a≥1,∴f(x )-f(x )>0,

又∵a≥1,∴f(x1)-f(x2)>0, ∴f(x)在[0,+∞)上单调递减. 又∵a≥1,∴f(x )-f(x )>0, 又∵a≥1,∴f(x )-f(x )>0, 又∵a≥1,∴f(x111)-f(x

222)>0, 又∵a≥1,∴f(x )-f(x2)>0,

06函数的单调性与最值

(3)若函数 f(x)在区间[1,+∞)上是增函数，求 a 的取值 范围.

x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) ( x1 x2 )(f(x ∵f(x)单调递增，所以 f(x1)-f(x2)<0.a), ∵f(x)单调递增，所以f(x 12)-f(x2)<0. ∵f(x)单调递增，所 2 ∵f(x)单调递增，所以 1)-f(x )<0. 1 1)-f(x x2 ∵f(x)单调递增，所以 x1 1 2 2)<0. ∵f(x)单调递增，所以 f(xf(x1)-f(x2)<0. 又 1-x<0, 又 x1-x22<0, <0, 又 x-x2<0, -x22<0, ∵f(x)单调递增，所以 f(x1)-f(x2)<0. 又 x1-x2<0, 1 又 1x1-x 又x x1+x2 1 x+x+x2 -a>0 恒成立. x1+x x1 1+x2 那么必须2<0, xx+x2 2 -a>0 恒成立. 1 2 又 x1-x 2 2 那么必须 x2+1+ x +1 -a>0 恒成立. -a>0 恒成立. 那么必须 那么必须 2 +1+ x222 2-a>0 恒成立. 那么必须 2 那么必须 x 12 x x x2 x 1 +1+ 2 x2+1 x1+1+1+x+12+1 x1+1+ x11+1+ 2+1 2 那么必须 2 2 22≥x1+1,2x222 22+1, -a>0 恒成立. ∵1≤x1<x2 2x12 2 2 222 2 2 2 22>x2+1, ∵1≤x<x<x2 2x≥x+1,2x>x>x>x2+1,∵1≤x <x 2x2≥x <x 2x+1+ 1+1,2x22+1, 2x≥x≥x1+1,2x22 2+1, ≥x+1,2x2 2>x 2 2 2 ∵1≤x1 2 2 x11 1 ∵1≤x1 11<x2 2x1 1 1 1 x2+1 ∵1≤x 1 2 1 2 2 ∴ 2x 1≥ 2x12+1, 2x 2> x22+1. 2x ≥ 2+1, 2x > 2x +1.2 ∴ 2x1≥≥ x+1, ≥x2+1,2x2>x+1. 1 +1, 2 2 ∴ 2x1≥x1x12+1, 1 > 2>2>2 2+1. ∴ ∵1≤x ∴ 111<x2 2x1 2x2x x2+1.2 2+1, ∴ 1+x1≥ x2+1, x1 2 2x x x2 2x 12 x +x 2 2 2 1 2 相加得 2(x 1+x2)> x212 2(x +x )> 2x +1+ x22+1 xx+x2 x22 >222, +1+ 2 +1 , 2 2 相加得 1≥ 1+x+1,1+1+ x2xx2+1 x21 x1+x+1> >,2, 1+x 2 1x1 2)>)> x +1+ 2+1 2 12x2> 2 ∴ 2x +1. 相加得 2(x 1+x2 )> 1 2+1+ 2 x2+1 2 相加得 2(x 2 21+1 2 22 2 > 22 相加得 2(x 1+x2 x x1 x+1 xx+1+12 2 2> +1 2 x 相加得 x 2(x 2 x1 1x +12 2+1 1+x )> 1 x +1 x +1 2 2 2 x1+x2 2 1 2 2 2 相加得 22. > , ∴0<a≤22(x1+x2)> x1+1+ x2+1 2 2 ∴0<a≤ 2 . ∴0<a≤ . 2 x +1 x2+1 2

(3)解:任取 1≤x1<x2,

06函数的单调性与最值

探究提高(1)证明函数的单调性用定义法的步骤是: 值—作差—变形—确定符号—下结论. (2)利用导数证明的一般步骤为：求导，判断导 函数在区间上的符号，下结论.导数法是比较常用 的一种方法. 取

06函数的单调性与最值

变式训练 1

x 已知 f(x)= (x≠a). x-a (1)若 a=-2,试证 f(x)在(-∞,-2)内单调递增； (2)若 a>0 且 f(x)在(1, +∞)内单调递减， a 的取值范围. 求

2 x1-x2 x1 x2 ∵(x 1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0, ∵(x +2)(x +2)>0,x -x <0, x1)-f(x2)= 1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0, . ∵(x1 -x22 = x1+2 x2+2 1 2 x1+2 +2 ∴f(x1)<f(x2),∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增. ∴f(x1)<f(x2),∴f(x)在(-∞,-2)内单

调递增. ∴f(x1)<f(x2),∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增. +2)(x +2)>0,x -x <0,2 1 2

证明: (1)任设 x <x2 2<-2, (1) 证明:任设 x11<x<-2, 证明: (1)任设 x1<x2<-2, x1x1 1-x2 2 x1-x2 x1--x2 x2 =2 x2 x1-x2 . x2 则 f(x1)-f(x2)= == . 则 f(x1)-f(x )= 则 f(x1 设 x1<x2<-2, )-f(x2)=1x1+2-+2 x1 x1+2 x2+2 . 2 x +2 x2 x2+2 +2 x2+2 x +2 x +2 x +2 x +2 1 2 1 2

1)<f(x2),∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增.

06函数的单调性与最值

(1)若 a=-2,试证 f(x)在(-∞,-2)内单调递增； (2)若 a>0 且 f(x)在(1, +∞)内单调递减， a 的取值范围. 求

(2)解：任设 1<x1<x 2 解: (2)任设 1<x12, 则 则 解: (2)任设 1<x1<x<x2,, 则 解: (2)任设 1<x1<x2, 2x1 则 x2 a xa x -x 解: (2)任设 1<x1<x 则 ,x 2-x1 f(x1)-f(x21<x2 1 解: f(x )-f(x )= x,1 则 - x2 x2 = 2-x2 .1 . (2)任设 1<x)= x - - = a x -x1 . f(x1)-f(x2)=11-a x22x2 = xa x2 2-x1 x -a x x1 -a x2-a a x 1 1 2 x1-a---a-a 1-a x2-a . . x x x x12-x1 x1-a 2 x22 == 1a x-a x2-a f(x1)-f(x2)= x1 f(x1)-f(x2)=-a x -a x -a x -a x1x1-a x 2 f(x1)-f(x2)=>0, - 2x2-a 1 1-a x2-a ∵a>0, x2-x1 x1-a x2-a= x1-a x2-a . ∵a>0, x2-x1>0, ∵a>0, x2-x1>0, ∵a>0, x2-x1>0, )>0,只需(x -a)(x -a)>0 恒成立， ∵a>0, f(x1)-f(x2 2-x1>0, ∴要使 x-x >0, 1 2 ∵a>0,f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0 恒成立， x2f(x )-f(x )>0,只需(x -a)(x -a)>0 恒成立， 1 ∴要使 ∴要使 f(x 1)-f(x 2 1 2 ∴要使 f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0 恒成立， ∴要使 1 )>0,只需(x1-a)(x2-a)>0 恒成立， 2 ∴a≤1. ∴要使 ∴a≤1. f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0 恒成立， ∴a≤1. ∴a≤1. ∴a≤1. 综上所述知 0<a≤1. ∴a≤1. 综上所述知 0<a≤1. 综上所述知 0<a≤1. 综上所述知 0<a≤1. 综上所述知 0<a≤1. 综上所述知 0<a≤1.

06函数的单调性与最值

题 型二

求函数的单调区间

【例 2】求函数 y log 1 ( x 2 3 x 2) 的单调区间.

解:令 u=x -3x+2,则原函数 解:令 u=x -3x+2,则原函数 解:令 u=x -3x+2,则原函数 解:令 可以看作 y= logu11与 与 u=x22-3x+2 的复合函数. y=log u 与 u=x22-3x+2的复合函数. 可以看作 y= log1 u u=x2-3x+2 的复合函数. 可以看作y= log 1 1 u 与 u=x -3x+2 的复合函数. 可以看作2 2 2 2 2

2 2 2 2-3x+2,则原函数 2 u=x2 -3x+2,则原函数

2 2 令u=x2-3x+2>0,则 x<1x<1x>2.x>2. u=x22-3x+2>0,则 x<1 或 x>2. -3x+2>0,则 或 或 令 u=x -3x+2>0,则 x<1或 x>2. 2 2 x22 3 x 2) 的定义域为(-∞, 1)∪(2,+ log1 x 3 2) 2) 的定义域为(-∞, 1)∪(2 ∴函数yy

log(11((x 23 3 x 的定义域为(-∞, 1)∪(2,+∞). log 1 ∴函数 y log1x( x x 2) 的定义域为(-∞, 1)∪(2,+ ∴函数2 2 2 22

又 u=x -3x+2 的对称轴 x= ,且开口向上. u=x -3x+2 的对称轴 ,且开口向上. 又 u=x -3x+2 的对称轴 x=x= 22 ,且开口向上. 2 2 2 2 22 -3x+2 在(-∞, 1)上是单调减函数， ∴u=x-3x+2 在(-∞, 1)上是单调减函数， ∴u=x -3x+2 在(-∞, 1)上是单调减函数， ∴u=x -3x+2 在(-∞, 1)上是单调减函数， 在(2,+∞)上是单调增函数. 在(2,+∞)上是单调增函数. 在(2,+∞)上是单调增函数. 在(2,+∞)上是单调增函数.

3 2 2 3 ,且开口向上. 3x=3 ,且开口向上. 2 -3x+2 的对称轴 u=x2 -3x+2 的对称轴 x=

06函数的单调性与最值

而 y log 1 u 在(0,+∞)上是单调减函数， 而 y log 1 2u 在(0,+∞)上是单调减函数， 而 y log 1 u 在(0,+∞)上是单调减函数， 2 2 2 ∴ y log ( ( x 3 x 2) 的单调减区间为(2,+∞), 2 ∴ y log 1 x 3 x 2) 的单调减区间为(2,+∞),∴ y log ( x 3 x 2) 的单调减区间为(2,+∞),

单调增区间为(-∞,1). 单调增区间为(-∞,1). 单调增区间为(-∞,1).

12 1 2 2

2

探究提高

求函数的单调区间与确定单调性的方法一致. (1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差 或复合函数，求单调区间. (2)定义法:先求定义域，再利用单调性定义. (3)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象 易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间. (4)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调区间. (5)本题的易错点是忽视函数的定义域.

06函数的单调性与最值

变式训练 2

求函数 y= x2+x-6的单调区间. 222+x-6, 解:令u=x 22 u=x2 解:令 u=x2+x-6, 解:令 u=x +x-6, 解:令 +x-6, 解:令 u=x +x-6, 解:令 u=x +x-6, 222 y= xx22+x-6可以看作有 y= u=x2u=x22+x-6 的复合 2 y= x +x-6可以看作有 y=y= u与 u=x22+x-6 的复合函 u与 u与 u=x2+x-6 的复合 +x-6 的复合函数. 2+x-6可以看作有 y= u与 u=x2+x-6 的复合 y= x +x-6可以看作有 y= u与 u=x +x-6 的复合函 y= y= x +x-6可以看作有 y= x +x-6可以看作有 y= u与 由u=x2222+x-6≥0,得：x≤-3 或 x≥2. u=x22 由 u=x2+x-6≥0,得：x≤-3或 x≥2. 由 u=x+x-6≥0,得：x≤-3 或 x≥2.x≥2. 由 +x-6≥0,得：x≤-3 或 由 u=x +x-6≥0,得：x≤-3 或 x≥2. 由 u=x2+x-6≥0,得：x≤-3 或 x≥2. ∵u=x2 +x-6 在(-∞,-3]上是减函数， ∵u=x2222+x-6在(-∞,-3]上是减函数， ∵u=x +x-6 在(-∞,-3]上是减函数， ∵u=x +x-6 在(

-∞,-3]上是减函数， ∵u=x2+x-6 在(-∞,-3]上是减函数， ∵u=x +x-6 在(-∞,-3]上是减函数， 在[2,+∞)为增函数， 在[2,+∞)为增函数， 在[2,+∞)为增函数， 在[2,+∞)上是增函数， 在[2,+∞)为增函数， 在[2,+∞)为增函数， 而 y= u在(0,+∞)上是增函数. 而 y= u在(0,+∞)上是增函数. 而 y= u在(0,+∞)上是增函数. 而 y= u在(0,+∞)上是增函数. 而 y= u在(0,+∞)上是增函数. 而 y= u在(0,+∞)上是增函数. ∴y= x2+x-6的单调减区间为(-∞,-3], x22+x-6的单调减区间为(-∞,-3], ∴y= x22+x-6的单调减区间为(-∞,-3], ∴y= x2+x-6的单调减区间为(-∞,-3], ∴y= x2+x-6的单调减区间为(-∞,-3], ∴y= x +x-6的单调减区间为(-∞,-3], ∴y= 单调增区间为[2,+∞). 单调增区间为[2,+∞). 单调增区间为[2,+∞). 单调增区间为[2,+∞). 单调增区间为[2,+∞). 单调增区间为[2,+∞).

06函数的单调性与最值

题 型三

抽象函数的单调性及最值

【例 3】已知函数 f(x)对于任意 x, y∈R, 总有 f(x)+f(y)=f(x+y), 2 且当 x>0 时，f(x)<0,f(1)=- . 3 (1)求证：f(x)在 R 上是减函数； (2)求 f(x)在[-3, 3]上的最大值和最小值. 证明: (1)∵函数 f(x)对于任意 x, y∈R 总有 f(x)+f(y)=f(x+y), (1)∵函数 f(x)对于任意 y∈R 总有 f(x)+f(y)=f(x+ 证明: (1)∵函数 f(x)对于任意 x,y∈R 总有 f(x)+f(y)=f(x+y), 证明: (1)∵函数 f(x)对于任意 x, x, y∈R 总有 f(x)+f(y)=f(x+y) f(x)+f(y)=f(x+y), (1)证明:方法一∵函数 f(x)对于任意 x, y∈R

∴令 x=y=0,得 f(0)=0. 令y=-x,得 f(-x)=-f(x). x=y=0,得 f(0)=0. y=-x,得 f(-x)=-f(x). ∴令 x=y=0,得 f(0)=0. 令 y=-x,得 f(-x)=-f(x). ∴令 x=y=0,得 f(0)=0. 令令 y=-x,得 f(-x)=-f(x 上任取 >x ,则 1 1-x2>0, 在 R上任取 x111>x,则x11x-x>0, 上任取 1>x2,则 x -x2 2>0, 在 RR 上任取xxx>x222,则x-x2>0, f(x11)-f(x22)=f(x )+f(-x22)=f(x1 1-x2). f(x )-f(x 2)=f(x )+f(-x )=f(x1 1-x2 )-f(x )=f(x)+f(-x2 2)=f(x f(x1)-f(x2)=f(x1111)+f(-x)=f(x-x2).).

又∵x>0时，f(x)<0, 而x1-x2>0,∴f(x1-x2)<0,即f(x1)<f(x2). 因此 f(x)在R上是减函数.

06函数的单调性与最值

(2)解:∵f(x)在 R 上是减函数， (2)解:∵f(x)在 R 上是减函数， ∴f(x)在[-3, 3]上也是减函数， ∴f(x)在[-3, 3]上也是减函数，

∴f(x)在[-3, 3]上的最大值和最小值分别为 f(-3)与 f(3). ∴f(x)在[-3, 3]上的最大值和最小值分别为 f(-3)与 f(3). 而 f(3)=3f(1)=-2,f(-3)=-f(3)=2. 而 f(3)=3f(1)=-2,f(-3)=-f(3)=2. ∴f(x)在[-3, 3]上的最大值为 2,最小值为-2.

∴f(x)在[-3, 3]上的最大值为 2,最小值为-2.

探究提高对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的 定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意 x1, x2在 f (x ) f(x1)-f(x2)与0的大小，或 1 与1的大小. 所给区间内比较 f (x )

x 有时根据需要，需作适当的变形：如 x1= x2 ·1 或 x1=x2 x2 +(x1-x2)等.

2

06函数的单调性与最值

变式训练 3

函数 f(x)的定义域为(0,+∞),且对一切 x>0,y>0 都有

f ( x ) =f(x)-f(y),当 x>1 时，有 f(x)>0. y(1)求 f(1)的值； (2)判断 f(x)的单调性并加以证明.

x ) =f(x)-f(y), x ) =f(x)-f(y), 解: (1)∵当 x>0,y>0 时， f ( =f(x)-f(y), (1)∵当 x>0,y>0 时， 解: (1)∵当 x>0,y>0 时， f (fx()y y y∴令 x=y>0, ∴令 x=y>0, ∴令 x=y>0, 则 f(1)=f(x)-f(x)=0. 则 f(1)=f(x)-f(x)=0. 则 f(1)=f(x)-f(x)=0.

(3)若 f(4)=2,求 f(x)在[1,16]上的值域.

06函数的单调性与最值

则 f(x2)-f(x1)= f ( x22) , 则 f(x 2)-f(x1)= f ((x )) , f(x (2)设 x1,x2∈(0,+∞), 且 x1< 则 f(x 2)-f(x)= f (fx2x12,, 变式训练 31 1)= f ( ) ) 则 f(x22)-f(x1)=f ( x2 x ,, f(x)-f(x )= 则 2)-f(x1 则 x1x)11 x1 1且 x1x2 2,则 f(x )-f(x )= f ( x2 ) , (2)设 x1,x2∈(0,+∞), <x x2 2 1 xx ) >0. x22 ( ∵x2>x1>0 ,, ∴2x >1,∴ f x x2 2) >0. x1 x ∵x2>x 1>0 , ∴2 1 >1,∴ ff(2x 2 ) >0. >x >0 ∴x2 >1,∴ x2 2 ∵x 2 1>0 , ∴x >1,∴ 2f ( ) >0. ∵x22 >x>0 , , ∴x1>1,∴ (f ((x1>0. ∵x >x 1 >0. ∵xf(x 11>0 ∴x1x1 f ( x f) , )x ) >0. >1,∴ 2>x )-f(x )= 1 x1 则 2 x1x1 1 1x1 x1 1 ∵x >x >0 , ∴x2>1,∴ f ( x x1 2 1 ∴f(x2)>f(x1),即 f(x)在(0,+∞)上是增函数. x1 x ∴f(x2)>f(x1),即 f(x)在(0,+∞)上是增函数. ∴f(x22)>f(x),即 f(x)在(0,+∞)上是增函数. ∴f(x )>f(x1),即 f(x)在(0,+∞)上是增函数. ),即 f(x)在(0,+∞)上是增函数. f(x)在(0,+∞)上是增函数. ∴f(x)>f(x1 1),即 f(x)在(0,+∞)上是增函数. 1 ∴f(x22 x2 x2 (3)由(2)知 f(x)在[1, 16]上是增函数. (3)由(2)知f(x)在[1, >1,∴ f ( ) ∴f(x f(x)在[1, 16]上是增函数. ∵x2>x f(x)在[1, 16]上是增函数. (3)由(2)知1>0 , ∴x 16]上是增函数.>0. 2)>f(x1),即 f(x)在(0,+ (3)由(2)知 f(x)在[1, 16]上是增函数. (3)由(2)知 f(x)在[1, 16]上是增函数. (3)由(2)知 1 16]上是增函数. x1 ∴f(x)min=f(1)=0,f(x)max=f(16), ∴f(x)min=f(1)=0,f(x)max=f(16), (3)由(2)知 f(x)在[1, 16]上是增 ∴f(x)min=f(1)=0,f(x)max=f(16), ∴f(x)min=f(1)=0,f(x)maxmax=f(16), ∴f(x)min=f(1)=0,f(x)max=f(16), =f(1)=0,f(x) =f(16), max=f(16), x ) =f(x)-f(y), ∴f(x2)>f(x1),即 f(x)在(0,+∞)上是增函数. ∵f(4)=2,由f f x x ) =f(x)-f(y), f ( y =f(x)-f(y), ∴f(x)min=f(1)=0,f(x)max= ∵f(4)=2,由 ( ( ) ∵f(4)=2,由 f ( x x =f(x)-f(y), ∵f(

4)=2,由 f (( )x))=f(x)-f(y), ∵f(4)=2,由 y ∵f(4)=2,由 f y y =f(x)-f(y), =f(x)-f(y), x (3)由(2)知 f(x)在[1, 16]上是增函数.

(2)设 x1,x2∈(0,+∞), 且 x1<x2, x2 x

∵f(4)=2,由 f ( ) =f(x)- 16 ) =f(16)-f(4), y 16 ) =f(16)-f(4), 知 ff(( 16 ) =f(16)-f(4), 16 )=f(1)=0,f(x)max=f(16), 知 ff(( 16 知 16 ∴f(x)min =f(16)-f(4), 知 f ( 4 ) =f(16)-f(4), 4 知 44 =f(16)-f(4), 知 知 f ( 16 ) =f(16)-f(4), 4 4 ∴f(16)=2f(4)=4, ∵f(4)=2,由 f ( x ) =f(x)-f(y), 4 ∴f(16)=2f(4)=4, ∴f(16)=2f(4)=4, ∴f(16)=2f(4)=4,y ∴f(16)=2f(4)=4, ∴f(16)=2f(4)=4,

y y

∴f(x)在[1, 16]上的值域为[2, 4]. ∴f(x)在[1, 16]上的值域为[2, 4]. ∴f(16)=2f(4)=4, ∴f(x)在[1, 16]上的值域为[2, 4]. ∴f(x)在[1, 16]上的值域为[2, 4]. 16 ) =f(16)-f(4), 4]. ∴f(x)在[1, 16]上的值域为[2, 4]. 知 f( ∴f(x)在[1, 16]上的值域为[2, 4]. ∴f(x)在[1, 16]上的值域为[2

06函数的单调性与最值

题 型 四 函数的单调性与不等式 三例 4:函数 f(x)对任意的 m, n∈R, 都有 f(m+n)=f(m)+f(n) -1,并且 x>0 时，恒有 f(x)>1. (1)求证：f(x)在 R 上是增函数； (2)若 f(3)=4,解不等式 f(a2+a-5)<2.(1)证明:设 x11<x22,∴x22-x11>0, (1)证明:设 x <x ,∴x -x >0, (1)证明:设 x1<x 2,∴x 2-x 1>0, 当 x>0 时，f(x)>1,∴f(x22-x11)>1. 当 x>0 时，f(x)>1,∴f(x -x )>1. 当 x>0 时，f(x)>1,∴f(x2-x 1)>1. f(x22)=f[(x22-x11)+x11]=f(x22-x11)+f(x11)-1, f(x )=f[(x -x )+x ]=f(x -x )+f(x )-1, f(x2)=f[(x 2-x 1)+x 1]=f(x 2-x 1)+f(x 1)-1,∴f(x22)-f(x11)=f(x22-x11)-1>0 f(x11)<f(x22), ∴f(x )-f(x )=f(x -x )-1>0 f(x )<f(x ), ∴f(x2)-f(x 1)=f(x 2-x 1)-1>0 f(x 1)<f(x 2),

[2 分] [2 分] [2 分] [4 分] [4 分] [4 分] [6 分] [6 分] [6 分] [8 分] [8 分] [8 分]

∴f(x)在 R 上为增函数. ∴f(x)在 R 上为增函数. ∴f(x)在 R 上为增函数. (2)解: ∵m,n∈R,不妨设 m=n=1, (2)解: ∵m,n∈R,不妨设 m=n=1, (2)解: ∵m,n∈R,不妨设 m=n=1, ∴f(1+1)=f(1)+f(1)-1 f(2)=2f(1)-1, ∴f(1+1)=f(1)+f(1)-1 f(2)=2f(1)-1, ∴f(1+1)=f(1)+f(1)-1 f(2)=2f(1)-1,

06函数的单调性与最值

(1)证明:设 x <x2,∴x2-x 1>0, (1)证明:设 x11<x2,∴x2-x-x1)>1. 当 x>0 时，f(x)>1,∴f(x 1>0, [2 分] (1)证明:设 x1<x2,∴x2-x212>0,)>1. 当 x>0 时，f(x)>1,∴f(x -x1 [2 分] 当2x>0时，f(x)>1,∴f(x 22-x1)>1. 1)-1, x>0 时，f(x)>1,∴f(x -x )>1. 时，f(x)>1,∴f(x -x 1)>1. [2分] 分] f(x x>0 )=f[(x2-x1)+x1 [4 分] (1)求证：f(x)在 R ]=f(x2 -x1 )+f(x 当 2)=f[(x2-x1)+x1上是增函数； 1)-1, [2 分] 当 x>0 时，f(x)>1,∴f(x 2-x 1)>1. [2 分] f(x [4 当f(x2)=f[(x2-x1)+x]=f(x2-x1)+f(x 1)-1, [2[

4分] 2 2-x1)+f(x 1 分] 1]=f(x f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x2+a-5)<2. )=f[(x -x )+x-x1)-1>0 f(x1)<f(x2), -x )+x ]=f(x -x 1)+f(x1)-1, ]=f(x -x )+f(x )-1, )+f(x )-1, [4分] 分] ∴f(x2)-f(x1)=f(x2 1 f(x )=f[(x 2 1 [4 (2)若 f(x2)=f[(x 2-x 1)+x21]=f(x 2-x 1)+f(x)<f(x2), [4 分] 2 11 ∴f(x f(3)=4,解不等式 f(a 1 f(x2 2 2)-f(x1)=f(x 1-x1)-1>0 f(x11)-1, [4 分] 2 1 2 1 ∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1>0 f(x1)<f(x2), ∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1>0 f(x1)<f(x2), ∴f(x)在 R 11)=f(x2-x1)-1>0 f(x1)<f(x2), [6 分] ∴f(x2)-f(x )=f(x2-x1)-1>0 f(x1)<f(x2), ∴f(x2)-f(x上为增函数. )-f(x上为增函数. ∴f(x)在 R 1)=f(x2-x1)-1>0 f(x1)<f(x2), [6 分] ∴f(x2 ∴f(x)在 R 上为增函数. [6 分] ∴f(x)在R 上为增函数. m=n=1, R 上为增函数. 上为增函数. [6分] 分] (2)解: ∵m,n∈R,不妨设 ∴f(x)在 R [6 分] ∴f(x)在 R 上为增函数. [6 分] (2)解: ∵m,n∈R,不妨设 ∴f(x)在 ∵m,n∈R,不妨设m=n=1, [6 (2)解: m=n=1, (2)解:∵m,n∈R,不妨设 m=n=1, ∵m,n∈R,不妨设 m=n=1, ∴f(1+1)=f(1)+f(1)-1 f(2)=2f(1)-1, [8 分] (2)解: ∵m,n∈R,不妨设 m=n=1, (2)解: ∵m,n∈R,不妨设 m=n=1, ∴f(1+1)=f(1)+f(1)-1 f(2)=2f(1)-1, [8 分] (2)解: ∴f(1+1)=f(1)+f(1)-1 f(2)=2f(1)-1, [8 分] ∴f(1+1)=f(1)+f(1)-1 f(2)=2f(1)-1, [8分] f(3)=4 f(2+1)=4 f(2)+f(1)-1=4 3f(1)-2=4, 分] ∴f(1+1)=f(1)+f(1)-1 f(2)=2f(1)-1, [8 分] ∴f(1+1)=f(1)+f(1)-1 f(2)=2f(1)-1, [8 分] f(3)=4 f(2+1)=4 f(2)+f(1)-1=4 3f(1)-2=4, ∴f(1+1)=f(1)+f(1)-1 f(2)=2f(1)-1, [8 f(3)=4 f(2+1)=4 f(2)+f(1)-1=4 3f(1)-2=4, f(3)=4 f(2+1)=4 f(2)+f(1)-1=4 3f(1)-2=4, ∴f(1)=2,f(2)=2×2-1=3, f(3)=4 f(2+1)=4 f(2)+f(1)-1=4 3f(1)-2=4, f(3)=4 f(2+1)=4 f(2)+f(1)-1=4 3f(1)-2=4, ∴f(1)=2,f(2)=2×2-1=3, f(3)=4 f(2+1)=4 f(2)+f(1)-1=4 3f(1)-2=4, ∴f(1)=2,f(2)=2×2-1=3, ∴f(1)=2,f(2)=2×2-1=3, ∴f(a22 +a-5)<2=f(1), [10 分] ∴f(1)=2,f(2)=2×2-1=3, ∴f(1)=2,f(2)=2×2-1=3, ∴f(a +a-5)<2=f(1), [10 分] 2 ∴f(1)=2,f(2)=2×2-1=3, ∴f(a +a-5)<2=f(1), 2 [10 分] 2 2 +a-5)<2=f(1), ∴f(a2+a-5)<2=f(1), [10分] ∵f(x)在 R 上为增函数，∴a 2 +a-5<1 -3<a<2, [10 分] ∴f(a +a-5)<2=f(1), [10 分] ∴f(a2+a-5)<2=f(1), ∵f(x)在 R 上为增函数，∴a +a-5<1 -3<a<2, [10 分] ∴f(a ∵f(x)在 R 上为增函数，∴a2+a-5<1 -3<a<2, ∵f(x)在R 上为增函数，∴a2 2+a-5<1 -3<a<2, [12 分]

R 上为增函数，∴a2+a-5<1 -3<a<2, 即 a∈(-3,2). ∵f(x)在 R 上为增函数，∴a +a-5<1 -3<a<2, ∵f(x)在 R 上为增函数，∴a 2+a-5<1 -3<a<2, [12 分] 即 a∈(-3,2). ∵f(x)在 即 a∈(-3,2). [12 分] 即a∈(-3,2). a∈(-3,2). [12分] 分] 即 a∈(-3,2). [12 分] 即 a∈(-3,2). [12 分] 即 [12

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