2016高考数学全国各地最新押题卷——辽宁省沈阳二中2016届高三下学期四模数学理科试卷(含答案)

沈阳二中2015-2016学年度下学期第四次模拟考试

高三（16届）数学理科试题

命题人：周兆楠 刘宏佳 审校人：周兆楠 刘宏佳

说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分

2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上.

第Ⅰ卷 （60分）

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题

目要求的. 1. 若复数z满足 3 4i z 4 3i，则z的虚部为( ) A. 4 B.

44

C. 4 D.

55

2

2. 已知集合M xx 1，N xy log2(x 1)，则M N （ ）

A. 1,2 B. ( , 1) 0, C. ,0 (1, ) D. ( , 1) 0,2 3. 已知向量a，b满足|b| 4，a在b方向上的投影是

1

，则a b=( ) 2

1

A. 2 B. 2 C. 0 D.2

4. 命题“若x2 y2 0，则x y 0”的否命题为( )

A．若x2 y2 0，则x 0且y 0 B．若x2 y2 0，则x 0或y 0 C．若x2 y2 0，则x 0且y 0 D．若x2 y2 0，则x 0或y 0 5. 已知log1a log1b，则下列不等式一定成立的是( )

2

2

11A.

ab

1 1 B.

3 3

ab

C. ln a b 0

D. 3

a b

1

6. 《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何.”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布( )

A. 30尺 B. 90尺 C. 150尺 D. 180尺

x2y2

1的一条渐近线，P是l上的一点，F1,F2是C的两个焦点，若7.已知l是双曲线C:24

PF1 PF2 0，则P到x轴的距离为( )

C. 2

8．设m,n是不同的直线， , 是不同的平面，下列命题中正确的是( )

A. 若m// ,n ,m n，则 B. 若m// ,n ,m n，则 // C. 若m// ,n ,m//n，则 D．若m// ,n ,m//n，则 //

9. 设函数f(x) xsinx cosx的图像在点(t,f(t))处切线的斜率为k,则函数k g(t)的图像为

A B C D

10. 用随机模拟的方法估计圆周率π的近似值的程序框图如右图

所示，P表示输出的结果，则图中空白处应填( )

MM

B. P

600100

NN

C. P D. P

100100

A. P

11. 设集合M {(x,y)|(x 1)2 y2 1,x,y R},

（第10题图）

N {(x,y)|x y c 0,x,y R}，则使得M N M的实数c的取值范围是( )

A. [1,

) B. ( ,1] C. [2 1, ) D. ( , 2 1] 12．定义在(0,

2

)上的函数f(x)，f (x)是它的导函数,恒有f(x) f (x)tanx成立，则( )

A

() () B．f(1) 2f() sin1 436C

() f() D

() f()6463

第Ⅱ卷 （90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13. 已知的展开(1 2x)式中所有项的系数和为m，则

5

2

1

xmdx .

14. 正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为8，P、Q分别是棱A1B1和B1C1的中点，则点A1到平面

APQ的距离为15．以下命题正确的是 ．

① 函数y 3sin(2x ② 函数f(x) x

)的图象向右平移个单位，可得到y 3sin2x的图象； 36

a

(x 0)的最小值为2a； x

③某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有30种；

2

④ 在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（2， ）（ 0）．若ξ在 ,1 内取值的概率为

0.1，则ξ在（2，3）内取值的概率为0.4．

16. 已知数列{an}的前n项和为Sn,S1 6，S2 4，Sn 0，且S2n,S2n 1,S2n 2成等比数列，

S2n-1,S2n 2，S2n 1成等差数列，则a2016等于三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. （本小题满分12分） 设 ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a ba c

，b 3.

sin(

A B)sinA sinB

ABC的面积. 18. （本小题满分12分） 根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流水位X（单位：米）的频率分布直方图如下：将河流水位在以上6段的频率作为相应段的概率，并假设每年河流水位互不影响.

（Ⅰ）求角B ； （Ⅱ）若sin A

（Ⅰ）求未来三年，至多有1年河流水位X [27,31)的概率（结果用分数表示）；

（Ⅱ）该河流对沿河A企业影响如下：当X [23,27)时，不

,35)时，损失60000元，为减少损失，会造成影响；当X [27,31)时，损失10000元；当X [31

现有三种应对方案：

方案一：防御

35米的最高水位，需要工程费用

3800元； 方案二：防御不超过31米的水位，需要工程费用2000元； 方案三：不采取措施；试比较哪种方案较好，并说理由.

19. (本小题满分12分) 已知四棱锥P－ABCD的三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点．

（Ⅰ）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论； （Ⅱ）若点E为PC的中点，求二面角D－AE－B的大小.

x2y220. （本小题满分12分） 已知椭圆 :2 2 1 a b

0 的离心率为，若 与圆E：

ab23 2

. 相交于M,N两点，且圆E在内的弧长为x y 1 32

（I）求a,b的值；

（II）过 的中心作两条直线AC，BD交 于A,C和B,D四点，设直线AC的斜率为k1，BD的斜率为

2

k2，且k1k2

1

.（1）求直线AB的斜率；（2）求四边形ABCD面积的取值范围. 4

2x

21.（本小题满分12分）定义在R上的函数f x 满足f x e

x2 ax，a,b为常数，函数

x 1

g x f x2 1 b x b，若函数f x 在x 0处的切线与y轴垂直.

2 4

（I）求函数f x 的解析式； （II）求函数g x 的单调区间；

（III）若s,t,r满足s r t r恒成立，则称s比t更靠近r.在函数g x 有极值的前提下，当x 1时，

ex 1

比e b更靠近lnx，试求b的取值范围. x

请考生在22,23,24题中任选一题作答，如果多做，则按第一题记分 22．（选修4—1；几何证明选讲 本小题满分10分） 如图过圆E外一点A作一条直线与圆E交于B、C两点，且AB

1

AC，作直线AF与圆E相切于点3

F，连结EF交BC于点D，已知圆E的半径为2， EBC 30

（Ⅰ）求AF的长； （Ⅱ）求证：AD 3ED 23．（选修4-4；坐标系与参数方程选讲 本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为

x tcos

0 ）（t为参数，，

y tsin

p

p 0）

1 cos

以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 （Ⅰ）写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A,B两点，求

11

的值. OAOB

24．（选修4—5；不等式选讲 本小题满分10分）设函数f(x) 2x x 4．

（Ⅰ）解不等式：f(x) 0； （Ⅱ）若f(x) 3x 4 m对一切实数x均成立，求m的取值范围．

沈阳二中2015-2016学年度下学期第四次模拟考试

高三（16届）数学理科试题参考答案

（1）～（5）DBBDD (6)～（10）BCCBA (11)～（12）BB （13）ln2 （14）

8

（15）①③④ (16）-1009 3

a ba ca ba c

2分

sin(A B)sinA sinBca b

（17）解：（Ⅰ）

2

2

2

a2 c2 b2ac1

5分 a b ac c cosB

2ac2ac2

B (0, )， B 6分

3

ab （Ⅱ）由b

3，sin A ，得a 2 7分 sinAsinB由a b得A

B，从而cos A ， 9分

3

故sin C sin(A B) sin Acos B cos Asin B 10分

6

1所以

ABC的面积为S absin C . 12分

22

（18）

（19） 解：(Ⅰ) 不论点E在何位置，都有BD⊥AE. 证明如下：

由三视图可知，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC＝2. 1分

连结AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC. 2分

∵PC⊥底面ABCD，且BD 平面ABCD，∴BD⊥PC. 3分

又∵AC∩PC＝C，∴BD⊥平面PAC. 4分 ∵不论点E在何位置，都有AE 平面PAC.∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE. 5分

(Ⅱ) 解法1：在平面DAE内过点D作DF⊥AE于F，连结BF. 6分

∵AD＝AB＝1，DE＝BE＝12＋122，AE＝AE3，∴Rt△ADE≌Rt△ABE，从而△ADF≌△ABF，∴BF⊥AE.∴∠DFB为二面角D－AE－B的平面角 9分．

1AD·DE66

Rt△ADE中，DF, ∴BF＝.BD＝2，△DFB中余弦定理得cos∠DFB＝ ，∴∠DFB

AE332

＝

2π2π

D－AE－B的大小为. 12分 33

解法2：如图，以点C为原点，CD，CB，CP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间

直角坐标系． 6分

D(1,0,0)，A(1,1,0)，B(0,1,0)，E(0,0,1)，从而DA＝

(0,1,0)，

DE＝(－1,0,1)，BA＝(1,0,0)，BE＝(0，－1,1)． 设平面ADE和平面ABE的法向量分别为

y1 0 n DA 0 1，取n1 1, n1 x1,y1,z1 ，n2 x2,y2,z2 由 0由,1

x1 z1 0 n1 DE 0 n BA 0 x2 0，取 2

n2 0, 1, 1 10分

y2 z2 0 n2 BE 0

n n21

设二面角D－AE－B的平面角为θ

，则cos 1 ， 11分

2n1 n2

2π2π

∴θ＝，即二面角D－AE－B 12分

(20)

33

m2 0,2 ，且m2 1，所以S ABO 0,4 12分

·8·

（22）解：（Ⅰ）延长BE交圆E于点M，连接CM，则 BCM 90，

BM 2BE 4BM 2BE 4， EBC 30 ，所

以BC ，根据切割线定理得

：

AF2 AB AC 9，所以AF 3. 5分

（Ⅱ）过E作EH BC于H，则△EDH∽△ADF ,从而有

EDEH1

, EH MC,所以ADAF2

EH 1，因此

ED1

，即AD 3ED. 10分 AD3

x tcos

(23)解：（Ⅰ）由 得，直线l是过原点且倾斜角为 的直线.故直线l的极坐标方程为

y tsin

, 0 3分

由

PP 2

得y 2p x 5分

1 cos 2

24． 解：（Ⅰ）

x 4当

时,f x 2x 1 x 4 x 5 0,得x 5,所以x 4成立. 当

1

x 4时，2

成

立

f x 2x 1 x 4 3x 3 0,

当x

得

x 1

，所以

1 x 4

.

1

时, f x x 5 0,得x 5,所以x 5成立. 2

综上，原不等式的解集为 xx 1,或x 5 5分

（Ⅱ）f x 3x 4 2x 2x 4 |2x 1 (2x 8)| 9 当 1

2

x 4时等号成立

所以m 9 10分

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